2026年高考数学复习热搜题速递之排列与组合（2025年12月）

第1页（共1页）2026年高考数学复习热搜题速递之排列与组合（2025年12月）一．选择题（共9小题）1．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（）种A．19 B．26 C．7 D．122．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A，B可以不相邻），那么不同的排法共有（）A．24种 B．60种 C．90种 D．120种3．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A．152 B．126 C．90 D．544．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（）A．234 B．346 C．350 D．3635．有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有（）A．26种 B．32种 C．36种 D．56种6．如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（）A．24 B．48 C．96 D．1207．将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（）A．24种 B．28种 C．32种 D．36种8．如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A．96 B．84 C．60 D．489．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i＝1，2，…，6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）A．22种 B．24种 C．25种 D．27种二．多选题（共3小题）（多选）10．4个男生与3个女生并排站成一排，下列说法正确的是（）（选项中排列数的计算结果均正确）A．若3个女生必须相邻，则不同的排法有A33B．若3个女生中有且只有2个女生相邻，则不同的排法有A44C．若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，则不同的排法共有A77D．若3个女生按从左到右的顺序排列，则不同的排法有A7（多选）11．如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法数为（）A．A43×B．A32×C．A42×（AD．C41×A32+C（多选）12．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）A．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种 B．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种 C．如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 D．如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种三．填空题（共4小题）13．如果一个正四位数的千位数a、百位数b、十位数c和个位数d满足关系（a﹣b）（c﹣d）＜0，则称其为“彩虹四位数”，例如2012就是一个“彩虹四位数”．那么，正四位数中“彩虹四位数”的个数为．（直接用数字作答）14．某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各安装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则不同的安装方法共有种（用数字作答）．15．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．16．从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为．（用数字作答）四．解答题（共4小题）17．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．（1）选5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；（3）全体排成一排，女生必须站在一起；（4）全体排成一排，男生互不相邻；（5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；（6）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边．18．设a1，a2，…，an为1，2，…，n按任意顺序做成的一个排列，fk是集合{ai|ai＜ak，i＞k}元素的个数，而gk是集合{ai|ai＞ak，i＜k}元素的个数（k＝1，2，…，n），规定fn＝g1＝0，例如：对于排列3，1，2，f1＝2，f2＝0，f3＝0（I）对于排列4，2，5，1，3，求k=1（II）对于项数为2n﹣1的一个排列，若要求2n﹣1为该排列的中间项，试求k=1n（Ⅲ）证明k=1n19．在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目．（1）当4个舞蹈节目接在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？（2）当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？（3）若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？20．某条公路上依次有10个车站A0，A1，…，A9，相邻两站（如A0与A1、A1与A2…）间距离均为1km，某货车从A0站出发，跑遍各站，运送货物，且货车在每站只停留一次，最终返回A0站，由于货运需要，货车不一定顺次停车．（如可能从出发到返回依次停车于A0→A5→A4→A8→A7→A3→A6→A2→A9→A1→A0）；（1）若货车按上述示例送货，其总里程是多少？（写出结果即可）（2）求该货车可能行驶的最小里程？（3）求该货车可能行驶的最大里程？并求达到该最大里程的停靠方案数有多少种？

2026年高考数学复习热搜题速递之排列与组合（2025年12月）参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）题号123456789答案BBBBCCBBD二．多选题（共3小题）题号101112答案BCDACDABD一．选择题（共9小题）1．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（）种A．19 B．26 C．7 D．12【考点】排列组合的综合应用．【专题】计算题；对应思想；转化法；排列组合；运算求解．【答案】B【分析】由题意，根据甲丙丁的支付方式进行分类，根据分类计数原理即可求出．【解答】解：顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，①当甲丙丁顾客都不选微信时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人A22＝2种，当甲选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C21C21＝5，故有2+5＝7种，②当甲丙丁顾客都不选支付宝时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人A22＝2种，当甲选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有1+C21C21＝5，故有2+5＝7种，③当甲丙丁顾客都不选银联卡时，若有人使用现金，则C31A22＝6种，若没有人使用现金，则有C32A22＝6种，故有6+6＝12种，根据分类计数原理可得共有7+7+6+6＝26种，故选：B．【点评】本题考查了分步计数原理和分类计数原理，考查了转化思想，属于难题2．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A，B可以不相邻），那么不同的排法共有（）A．24种 B．60种 C．90种 D．120种【考点】排列组合的综合应用．【专题】转化思想．【答案】B【分析】根据题意，首先计算五人并排站成一排的情况数目，进而分析可得，B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的，使用倍分法，计算可得答案．【解答】解：根据题意，使用倍分法，五人并排站成一排，有A55种情况，而其中B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的，则其情况数目是相等的，则B站在A的右边的情况数目为12×A55＝故选：B．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意使用倍分法时，注意必须保证其各种情况是等可能的．3．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A．152 B．126 C．90 D．54【考点】排列组合的综合应用．【专题】计算题．【答案】B【分析】根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，②甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；1°丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A222°甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作：A32由分类计数原理，可得共有18+36+72＝126种，故选：B．【点评】本题考查排列、组合的综合运用，注意要根据题意，进而按一定顺序分情况讨论．4．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（）A．234 B．346 C．350 D．363【考点】排列组合的综合应用．【专题】计算题；压轴题．【答案】B【分析】前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，当两个人分别在前排和后排做一个时，前排有8种，后排有12种，两个人之间还有一个排列，当两个人都在前排坐时，因为两个人不相邻，可以列举出所有情况，当两个人都在后排时，也是用列举得到结果，根据分类计数得到结果．【解答】解：由题意知本题需要分类讨论（1）前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，前排一个，后排一个共有2C81•C121＝192．（2）后排坐两个（不相邻），2（10+9+8+…+1）＝110．（3）前排坐两个2（6+5+…+1）+2＝44个．∴总共有192+110+44＝346个．故选：B．【点评】本题考查分类讨论在解排列组合应用题中的运用．这是一道难度较大的小综合题，题目的分类要做到不重不漏．5．有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有（）A．26种 B．32种 C．36种 D．56种【考点】排列组合的综合应用．【专题】排列组合．【答案】C【分析】每所学校至少去一名，那就是有两名一定到同一所学校，先选择这两名同学，再排列问题得以解决．【解答】解：第一步从4名优秀学生选出2个组成复合元素共有C42，在把3个元素（包含一个复合元素）保送到甲、乙、丙3所学校有根据分步计数原理不同保送方案共有C42故选：C．【点评】本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于中档题．6．如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（）A．24 B．48 C．96 D．120【考点】排列组合的综合应用．【专题】计算题；对应思想；转化法；排列组合．【答案】C【分析】分两两类，第一类：若A，D相同，第二类，若A，D不同，根据分类计数原理可得【解答】解：第一类：若A，D相同，先涂E有4种涂法，再涂A，D有3种涂法，再涂B有2种涂法，C只有1种涂法，共有4×3×2＝24种，第二类，若A，D不同，先涂E有4种涂法，再涂A有3种涂法，再涂D有2种涂法，当B和D相同时，C有2种涂法，当B和D不同时，B，C只有1种涂法，共有4×3×2×（2+1）＝72种，根据分类计数原理可得，共有24+72＝96种，故选：C．【点评】本题考查了排列组合中的涂色问题，考查了分类计数原理，属于中档题7．将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（）A．24种 B．28种 C．32种 D．36种【考点】排列组合的综合应用．【专题】计算题；分类讨论；转化法；排列组合．【答案】B【分析】分三类，有一个人分到一本小说和一本诗集，有一个人分到两本诗集，有一个人分到两本小说，根据分类计数原理可得．【解答】解：第一类：有一个人分到一本小说和一本诗集，这种情况下的分法有：先将一本小说和一本诗集分到一个人手上，有4种分法，将剩余的2本小说，1本诗集分给剩余3个同学，有3种分法，那共有3×4＝12种第二类，有一个人分到两本诗集，这种情况下的分法有：先将两本诗集分到一个人手上，有4种情况，将剩余的3本小说分给剩余3个人，只有一种分法．那共有：4×1＝4种，第三类，有一个人分到两本小说，这种情况的分法有：先将两本小说分到一个人手上，有4种情况，再将剩余的两本诗集和一本小说分给剩余的3个人，有3种分法．那共有：4×3＝12种，综上所述：总共有：12+4+12＝28种分法，故选：B．【点评】本题考查了分类和分步计数原理，关键是分类，属于中档题．8．如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A．96 B．84 C．60 D．48【考点】排列及排列数公式．【专题】压轴题．【答案】B【分析】这道题比起前几年出的高考题要简单些，只要分类清楚没有问题，分为三类：分别种两种花、三种花、四种花，分这三类来列出结果．【解答】解：分三类：种两种花有A4种三种花有2A4种四种花有A4共有A42+2故选：B．【点评】本题也可以这样解：按A﹣B﹣C﹣D顺序种花，可分A、C同色与不同色有4×3×（1×3+2×2）＝84．9．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i＝1，2，…，6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）A．22种 B．24种 C．25种 D．27种【考点】排列组合的综合应用．【专题】计算题；方程思想；转化思想；排列组合；数学抽象；运算求解．【答案】D【分析】根据题意，法一：分析可得若抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处，则三次骰子的点数之和是8或16，据此列举列分析点数中三个数字为8或16的组合数目，结合排列、组合数公式分析每种组合的顺序数目，由加法原理计算可得答案．法二：分析可得若抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处，则三次骰子的点数之和是8或16，据此分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．【解答】解：法一：根据题意，正方形ABCD的边长为2个单位，则其周长是8，若抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处，则三次骰子的点数之和是8或16，若三次骰子的点数之和是8，有1、1、6，1、2、5，1、3、4，2、2、4，2、3、3，共5种组合，若三次骰子的点数之和是16，有4、6、6，5、5、6，共2种组合，其中1、1、6，2、2、4，2、3、3，4、6、6，5、5、6，这5种组合有C31＝3种顺序，1、2、5，1、3、4，这2种组合有A33＝6种顺序，则抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法3×5+2×6＝27种，法二：同法一：分析可得三次骰子的点数之和是8或16，若三次骰子的点数之和是8，相当于8个点数中用2个隔板，有C72＝21种顺序，若三次骰子的点数之和是16，有4、6、6，5、5、6，共2种组合，每种组合有C31＝3种顺序，则此时有2×3＝6种顺序，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法21+6＝27种，故选：D．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理，关键分析抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的情况．二．多选题（共3小题）（多选）10．4个男生与3个女生并排站成一排，下列说法正确的是（）（选项中排列数的计算结果均正确）A．若3个女生必须相邻，则不同的排法有A33B．若3个女生中有且只有2个女生相邻，则不同的排法有A44C．若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，则不同的排法共有A77D．若3个女生按从左到右的顺序排列，则不同的排法有A7【考点】排列组合的综合应用．【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】BCD【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法求解．【解答】解：对于选项A，若3个女生必须相邻，则不同的排法有A33即选项A错误；对于选项B，若3个女生中有且只有2个女生相邻，则不同的排法有A4即选项B正确；对于选项C，若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，则不同的排法共有A7即选项C正确；对于选项D，若3个女生按从左到右的顺序排列，则不同的排法有A7即选项D正确．故选：BCD．【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，属基础题．（多选）11．如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法数为（）A．A43×B．A32×C．A42×（AD．C41×A32+C【考点】排列组合的综合应用．【专题】计算题；转化思想；定义法；排列组合；运算求解．【答案】ACD【分析】根据题意，分2步讨论4个区域的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：方法一：根据题意，如图，设四个区域依次为ABCD，分2步进行分析：①对于区域ABC，两两互相相邻，有A43种涂色方法，②区域D，与区域B、C相邻，有2种涂色方法，则有A43×A21种涂色方法，③分两种情况，若A、D同色，C41A32种涂色方法；若A、D不同色，先将B、C涂色有C42A22种，然后A、D区域有A22种，总共有方法二：①对于区域BC，有A42种涂色方法，②区域A，D，各有2种涂色方法，则有A42×（A21）2种涂色方法，③分两种情况，若A、D同色，C41A32种涂色方法；若A、D不同色，先将B、C涂色有C42A22种，然后A、D区域有A22种，总共有故选：ACD．【点评】本题考查排列组合的应用，学生的逻辑推理能力，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．（多选）12．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）A．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种 B．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种 C．如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 D．如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种【考点】排列组合的综合应用．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】ABD【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．【解答】解析：A．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有A44AB．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有A32AC．如果甲乙不相邻，则不同排法共有A33AD．如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有A55A故选：ABD．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．三．填空题（共4小题）13．如果一个正四位数的千位数a、百位数b、十位数c和个位数d满足关系（a﹣b）（c﹣d）＜0，则称其为“彩虹四位数”，例如2012就是一个“彩虹四位数”．那么，正四位数中“彩虹四位数”的个数为3645．（直接用数字作答）【考点】排列组合的综合应用．【专题】计算题；压轴题；概率与统计．【答案】见试题解答内容【分析】当b＞a时，c＞d，a和b有36种组合，c和d有45种组合，共有36×45＝1620个．当b＜a时，d＜c，a和b，c和d，都有45种组合，共有45×45＝2025个，相加即得所求．【解答】解：当b＞a时，c＞d．a不能为零，所以a和b有36种组合，c和d有45种组合，共有36×45＝1620个．当b＜a时，d＞c．a和b，c和d，都有45种组合，共有45×45＝2025个．总共1620+2025＝3645个，故答案为3645．【点评】本题主要考查排列与组合及两个基本原理，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．14．某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各安装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则不同的安装方法共有12种（用数字作答）．【考点】排列组合的综合应用．【专题】计算题；压轴题．【答案】见试题解答内容【分析】本题需要用分步计数原理，先安排底面三个顶点，再安排上底面的三个顶点．由分步计数原理可知所有的安排方法．本题也可以先安排上底面的三个顶点．【解答】解：先安排底面三个顶点共有A3再安排上底面的三个顶点共有C2由分步计数原理可知，共有A33•C故答案为：12．【点评】本小题主要考查排列组合的基本知识．对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决．15．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有630种（用数字作答）．【考点】排列组合的综合应用．【专题】计算题；压轴题；分类讨论．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，要求相邻的两个格子颜色不同，故用到颜色最少为2种，则分用2种颜色、3种颜色、4种颜色3种情况讨论，分析计算各种情况下的情况数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分为三类：第一类是只用两种颜色则为：C62A22＝30种，第二类是用三种颜色则为：C63C31C21C21＝240种，第三类是用四种颜色则为：C64A44＝360种，由分类计数原理，共计为30+240+360＝630种，故答案为630．【点评】本题考查组合、排列的综合应用与分类计数原理的运用，注意分类时，明确分类的标准，做到不重不漏．16．从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为180．（用数字作答）【考点】排列组合的综合应用．【专题】压轴题．【答案】见试题解答内容【分析】从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，这六个数字包含0，这是题目困难的地方，因此在解题时要把带零和不选零分开，既要分类讨论，含0的选择注意0不能放在首位．【解答】解：从六个数字中任取两个奇数和两个偶数，当偶数不包含0时有C22C32A44＝72，当偶数中含0时有C21C32C31A33＝108，∴组成没有重复数字的四位数的个数为72+108＝180，故答案为：180．【点评】题目中出现有限制条件的元素，偶数0若选择时要注意它不能放在首位，解题时要先考虑有限制条件的元素．四．解答题（共4小题）17．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．（1）选5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；（3）全体排成一排，女生必须站在一起；（4）全体排成一排，男生互不相邻；（5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；（6）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边．【考点】部分元素不相邻的排列问题．【专题】分类讨论；综合法；排列组合；运算求解．【答案】（1）2520，（2）5040，（3）576，（4）1440，（5）3600，（6）3720．【分析】（1）由排列数公式分析可得答案；（2）根据题意，分2步分析前排、后排的排法，由分步计数原理计算可得答案；（3）根据题意，先将4名女生看成一个整体，再将这个整体与3名男生全排列，由分步计数原理计算可得答案；（4）根据题意，先排4名女生，排好后有5个空位，在5个人空位中任选3个，安排3名男生，由分步计数原理计算可得答案；（5）根据题意，先分析甲的排法，再分析剩下6人的排法，由分步计数原理计算可得答案；（6）根据题意，分2种情况讨论：①，甲排在最右边，则乙有6个位置可选，将剩下的5人全排列，安排在其他5个位置，②，甲不排在最右边，则乙有5个位置可选，将剩下的5人全排列，安排在其他5个位置，由分类计数原理计算可得答案；【解答】解：（1）根据题意，有3名男生、4名女生，共7人，从中选出5人排成一排，有A75＝2520种排法；（2）根据题意，前排3人，有A73种排法，后排4人，有则有A7（3）根据题意，将4名女生看成一个整体，有A44种排法，将这个整体与3名男生全排列，有A44种排法，则有A44×A44＝576种排法；（4）根据题意，先排4名女生，有A44种排法，排好后有5个空位，在5个人空位中任选3个，安排3名男生，有A53种排法，则有A44×A53＝1440种排法；（5）根据题意，甲不站排头也不站排尾，有5种情况，将剩下的6人全排列，有A66种排法，则有5×A66＝3600种排法；（6）根据题意，分2种情况讨论：①，甲排在最右边，则乙有6个位置可选，将剩下的5人全排列，安排在其他5个位置，此时有6×A55＝720种排法；②，甲不排在最右边，则乙有5个位置可选，将剩下的5人全排列，安排在其他5个位置，此时有5×5×A55＝3000种排法；则一共有720+3000＝3720种不同的排法．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．18．设a1，a2，…，an为1，2，…，n按任意顺序做成的一个排列，fk是集合{ai|ai＜ak，i＞k}元素的个数，而gk是集合{ai|ai＞ak，i＜k}元素的个数（k＝1，2，…，n），规定fn＝g1＝0，例如：对于排列3，1，2，f1＝2，f2＝0，f3＝0（I）对于排列4，2，5，1，3，求k=1（II）对于项数为2n﹣1的一个排列，若要求2n﹣1为该排列的中间项，试求k=1n（Ⅲ）证明k=1n【考点】排列组合的综合应用；数列的求和．【专题】计算题；综合题；压轴题．【答案】见试题解答内容【分析】（I）直接按定义来操作，根据fk是集合{ai|ai＜ak，i＞k}元素的个数，看出符合条件的元素的个数，得到结果．（II）（II）当项数为2n﹣1的一个排列，2n﹣1为该排列的中间项，前面有n项，后面有n项，要求k=1ngk的最大值，只要使得排列满足n到2n﹣2排列到2n﹣1的前面，1到n﹣1排列到2（III）fk是集合{ai|ai＜ak，i＞k}元素的个数，而gk是集合{ai|ai＞ak，i＜k}元素的个数（k＝1，2，…，n），规定fn＝g1＝0，依次得到fn﹣1＝g2，…，得到各项之和相等．【解答】解：（I）∵排列4，2，5，1，3，fk是集合{ai|ai＜ak，i＞k}元素的个数，∴f1＝3，f2＝1，f3＝2，f4＝0，f5＝0，∴k=1nfk（II）当项数为2n﹣1的一个排列，2n﹣1为该排列的中间项，前面有n项，后面有n项，∴要求k=1ngk的最大值，只要使得排列满足n到2n﹣2排列到2n﹣1的前面，1到n﹣1排列到2∴g1＝0，g2＝1，g3＝2，…g2n﹣1＝2n﹣2，∴k=1ngk的最大值是(1+2n-2)(2n-2)2=（2n﹣比如举一个包含7项的数列：6，5，4，7，3，2，1；（III）∵fk是集合{ai|ai＜ak，i＞k}元素的个数，而gk是集合{ai|ai＞ak，i＜k}元素的个数（k＝1，2，…，n），规定fn＝g1＝0，∴fn﹣1＝g2fn﹣2＝g3…∴f1＝gn．∴k=1n【点评】本题是一道综合性很强的题，解题时要认真审题，理解定义，并会用新定义来解题，仔细解答，避免错误．19．在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目．（1）当4个舞蹈节目接在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？（2）当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？（3）若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？【考点】排列组合的综合应用．【专题】计算题；对应思想；转化法；排列组合；运算求解．【答案】（1）120960，（2）840，（3）132．【分析】（1）相邻问题用捆绑法，根据分步乘法计数原理可得，（2）不相邻问题用插空，先排6个演唱节目，再4个舞蹈节目插空，根据分步乘法原理可得，（3）所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A12【解答】解：（1）第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A7第二步再松绑，给4个节目排序，有A44=24种方法．根据分步乘法计数原理，一共有5040×24（2）第一步将6个演唱节目排成一列（如图中的“口”），一共有A6×□×□×□×□×□×□×第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间（即图中“×”的位置），这样相当于7个“×”选4个来排，一共有A7根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝604800种．（3）若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A1212种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有【点评】本题考查排列、组合的应用，要掌握常见问题的处理方法，如相邻问题用捆绑法，不相邻用插空，定序法，属于中档题．20．某条公路上依次有10个车站A0，A1，…，A9，相邻两站（如A0与A1、A1与A2…）间距离均为1km，某货车从A0站出发，跑遍各站，运送货物，且货车在每站只停留一次，最终返回A0站，由于货运需要，货车不一定顺次停车．（如可能从出发到返回依次停车于A0→A5→A4→A8→A7→A3→A6→A2→A9→A1→A0）；（1）若货车按上述示例送货，其总里程是多少？（写出结果即可）（2）求该货车可能行驶的最小里程？（3）求该货车可能行驶的最大里程？并求达到该最大里程的停靠方案数有多少种？【考点】排列组合的综合应用．【专题】应用题；对应思想；转化法；排列组合．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由题意直接计算即可，（2）论货车如何依靠，均完成了从A0站出发，到达A9站，并返回至A0的过程，故所经过的路程至少为A0、A9间距离的2倍，即S≥2×9＝18km．问题得以解决，（3）设货车依次停经站点与A0站距离为xn，这里x0＝0，x1，x2，…，x9为1，2，3，…，9的一个排列，则S＝|x0﹣x1|+|x1﹣x2|+…+|x8﹣x9|+|x9﹣x0|＝50km，再根据排列组合的知识即可求出【解答】解：（1）5+1+4+1+4+3+4+7+8+1＝38，故货车按上述示例送货，其总里程是38km，（2）不论货车如何依靠，均完成了从A0站出发，到达A9站，并返回至A0的过程，故所经过的路程至少为A0、A9间距离的2倍，即S≥2×9＝18km．另一方面，当货车按照A0→A1→A2→A3→A4→A5→A6→A7→A8→A9→A0，可取等号，（3）设货车依次停经站点与A0站距离为xn，这里x0＝0，x1，x2，…，x9为1，2，3，…，9的一个排列，则总路程S＝|x0﹣x1|+|x1﹣x2|+…+|x8﹣x9|+|x9﹣x0|；若把上述绝对值符号去掉，则上述和为10个带正号的数与10个带负号的数的代数和，故|S|≤2（9+8+7+6+5）﹣2（0+1+2+3+4）＝50km；若要达到这个效果，则每个|xi﹣xi+1|中的xi与xi+1不能同时取{0，1，2，3，4}中的值，或同时取{5，6，7，8，9}中的值，其中i＝0，1，2，…，9且认为x10＝x0，∴货车经过各站必须满足第偶数站是A0，A1，A2，A3，A4中的某站，第奇数站是A5，A6，A7，A8，A9中的某站，特别地，当货车按照A0→A9→A1→A8→A2→A7→A3→A6→A4→A5→A0时，可取到最大值；∴达到该最大里程的停靠方案共有5!×4!＝2880种【点评】本题考查了路线最短和最远问题，考查了转化能力和分析解决问题的能力，属于难题

考点卡片1．数列的求和【知识点的认识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+12n（n﹣1）d或S②等比数列前n项和公式：③几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．（3）裂项