2026年高考数学复习热搜题速递之双曲线（2025年12月）

第1页（共1页）2026年高考数学复习热搜题速递之双曲线（2025年12月）一．选择题（共8小题）1．渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是（）A．22 B．1 C．2 D．2．已知定点F1（﹣2，0），F2（2，0），N是圆O：x2+y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆3．已知椭圆C1：x2m2+y2＝1（m＞1）与双曲线C2：x2n2-y2＝1（n＞0）的焦点重合，e1，eA．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1 C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜14．平面内有两个定点F1（﹣5，0）和F2（5，0），动点P满足条件|PF1|﹣|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是（）A．x216-y29=1（x≤﹣4） B．xC．x216-y29=1（x≥4） D．5．已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．x23-y2C．x26-y6．双曲线x23-y2A．（-2，0），（2，0） B．（﹣2，0），（2，0）C．（0，-2），（0，2） D．（0，﹣2），（0，27．已知两定点F1（﹣5，0），F2（5，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|＝2a，则当a＝3和5时，P点的轨迹为（）A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线8．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1的离心率e=5A．x24-y23=C．x216-y29二．多选题（共4小题）（多选）9．已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，双曲线的左焦点在直线x+y+5=0上，A、B分别是双曲线的左、右顶点，点PA．34 B．1 C．43 D（多选）10．已知双曲线C：x2m-y2m+7=1（m∈R）的一条渐近线方程为4A．（7，0）为C的一个焦点 B．双曲线C的离心率为53C．过点（5，0）作直线与C交于A，B两点，则满足|AB|＝15的直线有且只有两条 D．设A，B，M为C上三点且A，B关于原点对称，则MA，MB斜率存在时其乘积为16（多选）11．设F1，F2同时为椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)与双曲线C2：x2a12-y2b12A．|F1F2|＝2|MO|，则1eB．|F1F2|＝2|MO|，则1e1C．|F1F2|＝4|MF2|，则e1e2的取值范围是(2D．|F1F2|＝4|MF2|，则e1e2的取值范围是(（多选）12．已知点P是双曲线E：x216-y29=1的右支上一点，F1，F2为双曲线E的左、右焦点，△A．点P的横坐标为203B．△PF1F2的周长为803C．∠F1PF2小于π3D．△PF1F2的内切圆半径为3三．填空题（共4小题）13．设双曲线C经过点（2，2），且与y24-x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为；渐近线方程为14．设F1，F2是双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为15．已知F1、F2分别为双曲线C：x29-y227=1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF216．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．则该椭圆的离心率的取值范围是．四．解答题（共4小题）17．已知双曲线C：（1）求双曲线C的渐近线方程；（2）已知点M的坐标为（0，1）．设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点．记λ=MP→⋅（3）已知点D，E，M的坐标分别为（﹣2，﹣1），（2，﹣1），（0，1），P为双曲线C上在第一象限内的点．记l为经过原点与点P的直线，s为△DEM截直线l所得线段的长．试将s表示为直线l的斜率k的函数．18．已知双曲线C的焦点坐标为F1(-5（1）求双曲线C标准方程；（2）若双曲线C上存在一点P使得PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积．19．已知双曲线的方程是16x2﹣9y2＝144．（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．20．已知双曲线的焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），且该双曲线过点P（6，22）．（1）求双曲线的标准方程；（2）若双曲线上的点M满足MF1⊥F1F2，求△MF1F2的面积．

2026年高考数学复习热搜题速递之双曲线（2025年12月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CBADBBDC二．多选题（共4小题）题号9101112答案CDBDBDABCD一．选择题（共8小题）1．渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是（）A．22 B．1 C．2 D．【考点】双曲线的几何特征．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】C【分析】由渐近线方程，转化求解双曲线的离心率即可．【解答】解：根据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得a＝b，所以c=则该双曲线的离心率为e=c故选：C．【点评】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．2．已知定点F1（﹣2，0），F2（2，0），N是圆O：x2+y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆【考点】双曲线的定义．【专题】计算题；运算求解．【答案】B【分析】由N是圆O：x2+y2＝1上任意一点，可得ON＝1，且N为MF1的中点可求MF2，结合已知由垂直平分线的性质可得PM＝PF1，从而可得|PF2﹣PF1|＝|PF2﹣PM|＝MF2＝2为定值，由双曲线的定义可得点P得轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线【解答】解：连接ON，由题意可得ON＝1，且N为MF1的中点∴MF2＝2∵点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P由垂直平分线的性质可得PM＝PF1∴|PF2﹣PF1|＝|PF2﹣PM|＝MF2＝2＜F1F2由双曲线的定义可得点P得轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线故选：B．【点评】本题以圆为载体，考查了利用双曲线的定义判断圆锥曲线的类型的问题，解决本题的关键是由N为圆上一点可得ON＝1，结合N为MF1的中点，由三角形中位线的性质可得MF2＝2，还要灵活应用垂直平分线的性质得到解决本题的第二个关键点|PF2﹣PF1|＝|PF2﹣PM|＝MF2＝2＜F1F2，从而根据圆锥曲线的定义可求解，体现了转化思想的应用．3．已知椭圆C1：x2m2+y2＝1（m＞1）与双曲线C2：x2n2-y2＝1（n＞0）的焦点重合，e1，eA．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1 C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1【考点】双曲线的几何特征；椭圆的几何特征．【专题】方程思想；转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】A【分析】由题意可得m2﹣1＝n2+1，即m2＝n2+2，由条件可得m＞n，再由离心率公式，即可得到结论．【解答】解：由题意可得m2﹣1＝n2+1，即m2＝n2+2，又m＞1，n＞0，则m＞n，由e12•e22=n＝1+1n则e1•e2＞1．故选：A．【点评】本题考查双曲线和椭圆的离心率的关系，考查椭圆和双曲线的方程和性质，以及转化思想和运算能力，属于中档题．4．平面内有两个定点F1（﹣5，0）和F2（5，0），动点P满足条件|PF1|﹣|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是（）A．x216-y29=1（x≤﹣4） B．xC．x216-y29=1（x≥4） D．【考点】双曲线的定义；双曲线的标准方程．【答案】D【分析】由条件知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线右支，从而写出轨迹的方程即可．【解答】解：由|PF1|﹣|PF2|＝6＜|F1F2|知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线右支，得c＝5，2a＝6，∴a＝3，∴b2＝16，故动点P的轨迹方程是x29-y216故选：D．【点评】本题考查双曲线的定义、求双曲线的标准方程，体现了等价转化的数学思想．5．已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．x23-y2C．x26-y【考点】双曲线的几何特征．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】B【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B点坐标代入方程联立相减得x1+x2＝﹣24，根据y1-y2x1-x2=4b2【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k＝kPN＝1，设双曲线方程为x2A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1两式相减并结合x1+x2＝﹣24，y1+y2＝﹣30得y1从而k=4即4b2＝5a2，又a2+b2＝9，解得a2＝4，b2＝5，故选：B．【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．6．双曲线x23-y2A．（-2，0），（2，0） B．（﹣2，0），（2，0）C．（0，-2），（0，2） D．（0，﹣2），（0，2【考点】双曲线的几何特征．【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】B【分析】根据双曲线方程，可得该双曲线的焦点在x轴上，由平方关系算出c=a2【解答】解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上，且a2＝3，b2＝1，由此可得c=a2∴该双曲线的焦点坐标为（±2，0）故选：B．【点评】本题考查双曲线焦点坐标，着重考查了双曲线的标准方程和焦点坐标求法等知识，属于基础题．7．已知两定点F1（﹣5，0），F2（5，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|＝2a，则当a＝3和5时，P点的轨迹为（）A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线【考点】双曲线的定义．【专题】计算题．【答案】D【分析】当a＝3时，由题中条件及双曲线的定义知，P点的轨迹是双曲线的一支，当a＝5时，P点的轨迹是一条射线．【解答】解：当a＝3时，点P满足|PF1|﹣|PF2|＝6＜|F1F2|，依照双曲线的定义，P点的轨迹是双曲线的一支，当a＝5时，点P满足|PF1|﹣|PF2|＝10＝|F1F2|，故P点的轨迹是一条射线，综上，P点的轨迹是双曲线一支和一条射线．故选：D．【点评】本题主要考查了双曲线的定义，轨迹方程问题．考查了学生对基础知识的综合运用．8．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1的离心率e=5A．x24-y23=C．x216-y29【考点】双曲线的几何特征．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】C【分析】利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线C：x2a2-y2b2=1的离心率e可得：ca=54，c＝5，∴a＝4，所求双曲线方程为：x216故选：C．【点评】本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．二．多选题（共4小题）（多选）9．已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，双曲线的左焦点在直线x+y+5=0上，A、B分别是双曲线的左、右顶点，点PA．34 B．1 C．43 D【考点】双曲线的几何特征．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】CD【分析】由双曲线的渐近线方程可得a，b的方程，求得左焦点，可得c，再由a，b，c的关系解方程可得a，b，求得双曲线的方程，可得A（﹣2，0），B（2，0），设P（m，n），代入双曲线的方程，运用直线的斜率公式可得k1k2=14，k1，k2＞0，再由基本不等式即可得到k1+k【解答】解：双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b双曲线的左焦点在直线x+y+5=0上，可得﹣c=-5由a2+b2＝5，解得a＝2，b＝1，双曲线的方程为x24-y2由题意可得A（﹣2，0），B（2，0），设P（m，n），可得m24-n2＝1可得k1k2=nm+2•nm-2=n2m2-4则k1+k2≥2k1k由A，B为左右顶点，可得k1≠k2，则k1+k2＞1，故选：CD．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，注意运用点满足双曲线的方程，以及直线的斜率公式，考查基本不等式的运用以及运算能力，属于中档题．（多选）10．已知双曲线C：x2m-y2m+7=1（m∈R）的一条渐近线方程为4A．（7，0）为C的一个焦点 B．双曲线C的离心率为53C．过点（5，0）作直线与C交于A，B两点，则满足|AB|＝15的直线有且只有两条 D．设A，B，M为C上三点且A，B关于原点对称，则MA，MB斜率存在时其乘积为16【考点】双曲线的对称性．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】BD【分析】由渐近线方程，可得m的方程，求得m，可得a，b，c，可判断A；由双曲线的离心率公式，计算可判断B；分别讨论A，B分别在左、右两支上和都在右支上，结合弦的最小值，可判断C；由点差法和直线的斜率公式，计算可判断D．【解答】解：双曲线C：x2m-y2m+7=1（m∈R）的一条渐近线方程为4可得m+7m=169，解得则双曲线的方程为x29可得a＝3，b＝4，c＝5，焦点为（±5，0），故A错误；双曲线的离心率为e=ca=过右焦点（5，0）作直线与C交于A，B两点，若A，B均在右支上，可得|AB|≥2而15＞32若A，B分别在双曲线的左、右支上，可得|AB|≥2a＝6，而15＞6，可得这样的直线有两条，则满足|AB|＝15的直线共有4条，故C错误；设A（m，n），B（﹣m，﹣n），M（s，t），可得m29-n2两式相减可得(m-s)(m+s)9即有MA，MB斜率存在时其乘积为n-tm-s•n+t故D正确．故选：BD．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．（多选）11．设F1，F2同时为椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)与双曲线C2：x2a12-y2b12A．|F1F2|＝2|MO|，则1eB．|F1F2|＝2|MO|，则1e1C．|F1F2|＝4|MF2|，则e1e2的取值范围是(2D．|F1F2|＝4|MF2|，则e1e2的取值范围是(【考点】双曲线的几何特征．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】BD【分析】设|MF1|＝m，|MF2|＝n，焦距为2c，由椭圆定义可得m+n＝2a，利用双曲线的定义，结合离心率，判断选项的正误即可．【解答】解：如图，设|MF1|＝m，|MF2|＝n，焦距为2c，由椭圆定义可得m+n＝2a，由双曲线定义可得m﹣n＝2a1，解得m＝a+a1，n＝a﹣a1．当|F1F2|＝2|MO|时，则∠F1MF2＝90°，所以m2+n2＝4c2，即a2+a12当|F1F2|＝4|MF2|时，可得n=12c，即a由0＜e1＜1，可得1e1＞1，可得1e2＞12，即可设2+e2＝t（3＜t＜4），则2e由f(t)=t+4t-4在（3，4）上单调递增，可得f(t)∈(故选：BD．【点评】本题考查椭圆与双曲线的性质，考查数形结合的数学思想，是中档题．（多选）12．已知点P是双曲线E：x216-y29=1的右支上一点，F1，F2为双曲线E的左、右焦点，△A．点P的横坐标为203B．△PF1F2的周长为803C．∠F1PF2小于π3D．△PF1F2的内切圆半径为3【考点】双曲线的几何特征．【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】ABCD【分析】设△F1PF2的内心为I，连接IP，IF1，IF2，求得双曲线的a，b，c，不妨设P（m，n），m＞0，n＞0，运用三角形的面积公式求得P的坐标，运用两直线的夹角公式可得tan∠F1PF2，由两点的距离公式，可得△PF1F2的周长，设△PF1F2的内切圆半径为r，运用三角形的面积公式和等积法，即可计算r．【解答】解：设△F1PF2的内心为I，连接IP，IF1，IF2，双曲线E：x216-y29=1的a＝4，b不妨设P（m，n），m＞0，n＞0，由△PF1F2的面积为20，可得12|F1F2|n＝cn＝5n＝20，即n＝4由m216-169=1由P（203，4），且F1（﹣5，0），F2（5，0可得kPF1则tan∠F1PF2=125-12351+则∠F1PF2＜π3，故由|PF1|+|PF2|=16+则△PF1F2的周长为503+10=80设△PF1F2的内切圆半径为r，可得12r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）=12•|F1F2|可得803r＝40，解得r=32故选：ABCD．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查三角形的内切圆的性质和等积法的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．设双曲线C经过点（2，2），且与y24-x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为x23-y212【考点】双曲线的几何特征．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】见试题解答内容【分析】利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论．【解答】解：与y24-x2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为y24-x2＝∵双曲线C经过点（2，2），∴m=2即双曲线方程为y24-x2＝﹣3对应的渐近线方程为y＝±2x，故答案为：x23-y212【点评】本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础．14．设F1，F2是双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为【考点】双曲线的几何特征．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】见试题解答内容【分析】利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率．【解答】解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|＝6a，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|＝2a所以|F1F2|＝2c，|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2＝30°，由余弦定理，∴|PF2|2＝|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，即4a2＝4c2+16a2﹣2×2c×4a×3∴c2﹣23ca+3a2＝0，∴c=3所以e=c故答案为：3．【点评】本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．15．已知F1、F2分别为双曲线C：x29-y227=1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2【考点】双曲线的几何特征．【专题】压轴题．【答案】见试题解答内容【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．【解答】解：不妨设A在双曲线的右支上∵AM为∠F1AF2的平分线∴|A又∵|AF1|﹣|AF2|＝2a＝6解得|AF2|＝6故答案为6【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义．16．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．则该椭圆的离心率的取值范围是（23，1）【考点】双曲线的几何特征；椭圆的几何特征．【专题】压轴题；数形结合法．【答案】见试题解答内容【分析】作出图象，结合图象把问题转化为1＜c5-c＜2【解答】解：如图，设双曲线的半实轴长，半焦距分别为a2，c，∵△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，∴|PF1|＝|F1F2|＝10，即c＝5，|PF2|＝10﹣2a2，又由双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．故5a2∈（1，∴a2∈（52，5设椭圆的半实轴长为a1，则|PF1|+|PF2|＝2a1＝20﹣2a2，即a1＝10﹣a2∈（5，152故e=ca1∈（2故答案为：（23，1【点评】本题考查双曲线的性质和应用，作出图象，数形结合，事半功倍．四．解答题（共4小题）17．已知双曲线C：（1）求双曲线C的渐近线方程；（2）已知点M的坐标为（0，1）．设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点．记λ=MP→⋅（3）已知点D，E，M的坐标分别为（﹣2，﹣1），（2，﹣1），（0，1），P为双曲线C上在第一象限内的点．记l为经过原点与点P的直线，s为△DEM截直线l所得线段的长．试将s表示为直线l的斜率k的函数．【考点】由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数．【专题】计算题；压轴题．【答案】（1）y-（2）（﹣∞，﹣1]；（3）s(k)=【分析】（1）在双曲线C：x22-（2）设P的坐标为（x0，y0），则Q的坐标为（﹣x0，﹣y0），先求出MP→和MQ（3）根据P为双曲线C上第一象限内的点，可知直线l的斜率k∈(0，22)．再由题设条件根据k的不同取值范围试将【解答】解：（1）在双曲线C：x22-所求渐近线方程为y（2）设P的坐标为（x0，y0），则Q的坐标为（﹣x0，﹣y0），λ=MP∵|∴λ的取值范围是（﹣∞，﹣1]．（3）若P为双曲线C上第一象限内的点，则直线l的斜率k∈(0，22)．设直线与ME：y＝1﹣x联立，得y=kxy=1-x，得xF=与MD：y＝1+x联立，得y=kxy=1+x，得xG=与DE：y＝﹣1联立，得y=kxy=-1，得xH=当k∈当k∈∴s表示为直线l的斜率k的函数是s(k)=【点评】本题是直线与圆锥曲线的综合问题，解题要熟练掌握双曲线的性质和解题技巧．18．已知双曲线C的焦点坐标为F1(-5（1）求双曲线C标准方程；（2）若双曲线C上存在一点P使得PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积．【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题；对应思想；转化法；圆锥曲线中的最值与范围问题．【答案】（1）x24-y2（2）1．【分析】（1）由题意可得条件c=5，2a＝4，可得b＝1，即可求双曲线C（2）根据双曲线的定义和勾股定理和三角形的面积公式即可求出．【解答】解：（1）由条件c=5，2a＝4，∴b＝1双曲线方程为x24-y2（2）．由双曲线定义|PF1|﹣|PF2|＝±4，∵|PF1|2+|PF2|2＝4c2＝20，∴|PF1|•|PF2|＝2，∴△PF1F2的面积S=12|PF1|•|PF2|=1【点评】本题考查了双曲线的标准方程，三角形的面积，属于基础题．19．已知双曲线的方程是16x2﹣9y2＝144．（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．【考点】双曲线的几何特征．【专题】计算题．【答案】（1）焦点坐标（﹣5，0），（5，0），离心率53，渐近线方程为y＝±43（2）90°．【分析】（1）向将双曲线转化为标准形式，得到a，b，c的值，即可得到焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）先根据双曲线的定义得到||PF1|﹣|PF2||＝6，再由余弦定理得到cos∠F1PF2的值，进而可得到∠F1PF2的大小．【解答】解：（1）由16x2﹣9y2＝144得x29∴a＝3，b＝4，c＝5．焦点坐标F1（﹣5，0），F2（5，0），离心率e=53，渐近线方程为y＝±4（2）||PF1|﹣|PF2||＝6，cos∠F1PF2==(|PF∴∠F1PF2＝90°．【点评】本题主要考查双曲线的基本性质和余弦定理的应用，考查基础知识的简单应用．20．已知双曲线的焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），且该双曲线过点P（6，22）．（1）求双曲线的标准方程；（2）若双曲线上的点M满足MF1⊥F1F2，求△MF1F2的面积．【考点】双曲线的几何特征．【专题】数形结合；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】（1）双曲线的标准方程为x2（2）S△M【分析】（1）由双曲线定义求出2a，结合c可求b，从而得双曲线的标准方程；（2）求出x＝﹣4时y2，得|MF1|＝|y|，由S△MF1F2=12|MF【解答】解：（1）2a=(6+4)2∴a2＝（23）2＝12，又c＝4，∴b2＝42﹣（23）2＝4，∴双曲线的标准方程为x2（2）x＝﹣4时，y2=43，∴|MF1|∴S△MF1F2=12|MF1=8【点评】本题考查双曲线的定义和简单性质，解答关键是利用双曲线的定义．

考点卡片1．椭圆的几何特征【知识点的认识】1．椭圆的范围2．椭圆的对称性3．椭圆的顶点顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．4．椭圆的离心率①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ca叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e=ca，且0＜e②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．2．双曲线的定义【知识点的认识】双曲线（Hyperbola）是指与平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹．双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平面的交截线．双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点（focus），定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率．标准方程①x2a2-y2b2=1②y2a2-x2b2=1性质这里的性质以x2a2-y2b①焦点为（±c，0），其中c2＝a2+b2；②准线方程为：x＝±a2c；③离心率e=ca＞1；④渐近线：y＝±bax；⑤焦半径公式：左焦半径：r＝|ex+a|，右焦半径：r＝【解题方法点拨】例1：双曲线x24解：由x24