2026年高考数学复习热搜题速递之椭圆（2025年12月）

第1页（共1页）2026年高考数学复习热搜题速递之椭圆（2025年12月）一．选择题（共8小题）1．已知椭圆的焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），P是椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|等差中项，则椭圆的方程是（）A．x216+y29=C．x24+y232．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1→•MFA．（0，1） B．（0，12] C．（0，22） D．[223．点P在焦点为F1（﹣4，0）和F2（4，0）的椭圆上，若△PF1F2面积的最大值为16，则椭圆标准方程为（）A．x220+y24=C．x232+y2164．过椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，FA．22 B．33 C．12 5．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1A．12 B．13 C．23 6．已知方程x22-m+A．（﹣1，2） B．(-C．(-1，17．椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两顶点为A（a，0），BA．3-12 B．1+54 C．58．F1、F2是椭圆C：x225+y29=1的左、右焦点，点P在椭圆C上，|PF1|＝6，过F1作∠F1A．1 B．2 C．3 D．4二．多选题（共4小题）（多选）9．设椭圆的方程为x22+y24=1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于AA．直线AB与OM垂直 B．若点M坐标为（1，1），则直线方程为2x+y﹣3＝0 C．若直线方程为y＝x+1，则点M坐标为（13，D．若直线方程为y＝x+2，则|AB|=（多选）10．如图所示，用一个与圆柱底面成θ（0＜θ＜π2）角的平面截A．椭圆的长轴长等于4 B．椭圆的离心率为32C．椭圆的标准方程可以是x2D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4（多选）11．我们通常称离心率是5-12的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），A1，A2，B1，B2A．|A1F1|•|F2A2|＝|F1F2|2 B．∠F1B1A2＝90° C．PF1⊥x轴，且PO∥A2B1 D．四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2（多选）12．已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，长轴长为4A．离心率的取值范围为（0，12）B．当离心率为24时，|QF1|+|QP|的最大值为4+C．存在点Q使得QF1D．1|QF三．填空题（共4小题）13．已知平面直角坐标系中有两个定点A（﹣2，0），B（2，0），若动点P满足|PA|+|PB|＝6，则动点P的轨迹方程为．14．已知椭圆：x24+y2b2=1(0＜b＜2)，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|+|AF15．椭圆x29+y22=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝，∠F1PF216．椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F四．解答题（共4小题）17．平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率是32，抛物线E：（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．（ⅰ）求证：点M在定直线上；（ⅱ）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求S1S218．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1过点A（﹣（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点B（﹣4，0）的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝﹣4于点P，Q．求|PB||BQ|19．设椭圆x2a2+y23=1（a＞3）的右焦点为F（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．20．已知斜率为k的直线l与椭圆C：x24+y23=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1（1）证明：k＜-1（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP→+FA→+FB→=0→．证明：|FA

2026年高考数学复习热搜题速递之椭圆（2025年12月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CCCBABCA二．多选题（共4小题）题号9101112答案BDBCDBDBD一．选择题（共8小题）1．已知椭圆的焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），P是椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|等差中项，则椭圆的方程是（）A．x216+y29=C．x24+y23【考点】椭圆的标准方程．【专题】计算题．【答案】C【分析】根据椭圆和数列的基本性质以及题中已知条件便可求出a和b值，进而求得椭圆方程．【解答】解：∵F1（﹣1，0）、F2（1，0），∴|F1F2|＝2，∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，∴2|F1F2|＝|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|＝4，∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，∵2a＝4，a＝2c＝1∴b2＝3，∴椭圆的方程是x故选：C．【点评】本题利用椭圆的定义求解椭圆的坐标方程，关键是求出其基本量．2．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1→•MFA．（0，1） B．（0，12] C．（0，22） D．[22【考点】椭圆的几何特征．【专题】计算题．【答案】C【分析】由MF1→•MF2→=0知M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴c＜b，c2＜b2【解答】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，∵MF1→•∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即c＜b，c2＜b2＝a2﹣c2．∴e2=c2a2＜1故选：C．【点评】本题考查椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意公式的选取，认真解答．3．点P在焦点为F1（﹣4，0）和F2（4，0）的椭圆上，若△PF1F2面积的最大值为16，则椭圆标准方程为（）A．x220+y24=C．x232+y216【考点】由椭圆的焦点焦距求解椭圆方程或参数．【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】C【分析】由已知求得c，结合△PF1F2面积的最大值为16，求得b，再由隐含条件求解a，则椭圆标准方程可求．【解答】解：由题意，2c＝8，即c＝4，∵△PF1F2面积的最大值为16，∴12即4b＝16，b＝4，∴a2＝b2+c2＝16+16＝32．则椭圆的标准方程为x2故选：C．【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，明确△PF1F2面积何时取最大值是关键，是基础题．4．过椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，FA．22 B．33 C．12 【考点】求椭圆的离心率．【专题】计算题．【答案】B【分析】把x＝﹣c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F1PF2＝60°推断出2cb2a=3整理得3e2+2e【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，b2a）或（﹣c，∵∠F1PF2＝60°，∴2cb即2ac=3b2=3（a2﹣c∴3e2+2e-3=∴e=33或e故选：B．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力．5．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1A．12 B．13 C．23 【考点】椭圆的几何特征．【专题】压轴题；运算求解．【答案】A【分析】在焦点△F1PF2中，设P（x0，y0），由三角形重心坐标公式，可得重心G的纵坐标，因为IG→=λF1F2→，故内心I的纵坐标与G相同，最后利用三角形F1PF2【解答】解：设P（x0，y0），∵G为△F1PF2的重心，∴G点坐标为G（x03，∵IG→=λF1F∴I的纵坐标为y0在焦点△F1PF2中，|PF1|+|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c∴S△F1PF2=12•|F又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标y0内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形∴S△F1PF2=12（|PF1|+|F1F∴12•|F1F2|•|y0|=12（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）即12×2c•|y0|=12（2a+2c）∴2c＝a，∴椭圆C的离心率e=故选：A．【点评】本题考查了椭圆的标准方程和几何意义，重心坐标公式，三角形内心的意义及其应用，椭圆离心率的求法6．已知方程x22-m+A．（﹣1，2） B．(-C．(-1，1【考点】椭圆的标准方程．【专题】计算题；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】B【分析】根据题意，由椭圆的标准方程的形式可得2-m＞【解答】解：根据题意，方程x2则2-解可得：﹣1＜m＜2，且m≠1故m的取值范围为（﹣1，12）∪（12，故选：B．【点评】本题考查椭圆的标准方程，注意椭圆标准方程的基本形式，属于基础题．7．椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两顶点为A（a，0），BA．3-12 B．1+54 C．5【考点】椭圆的几何特征．【专题】计算题；数学建模；运算求解．【答案】C【分析】先求出F的坐标求出直线AB和BF的斜率，两直线垂直可知两斜率相乘得﹣1，进而求得a和c的关系式，进而求得e．【解答】解：依题意可知点F（﹣c，0）直线AB斜率为b-00-a=-ba∵∠FBA＝90°，∴（-ba）•整理得c2+ac﹣a2＝0，即（ca）2+ca-1＝0，即e2+e解得e=5-1∵0＜e＜1∴e=5故选：C．【点评】本题主要考查了椭圆的性质，要注意椭圆的离心率小于1．属基础题．8．F1、F2是椭圆C：x225+y29=1的左、右焦点，点P在椭圆C上，|PF1|＝6，过F1作∠F1A．1 B．2 C．3 D．4【考点】椭圆的几何特征．【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】A【分析】延长F1M和PF2交于N，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a，由|PF1|＝6，可得|PF2|＝4，由等腰三角形的三线合一的性质及其三角形的中位线定理即可得出．【解答】解：延长F1M和PF2交于N，椭圆C：x225+由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a＝10，由|PF1|＝6，可得|PF2|＝4，由等腰三角形的三线合一，可得|PF1|＝|PN|＝6，可得|NF2|＝6﹣4＝2，由OM为△F1F2N的中位线，可得|OM|=12|F2N|＝故选：A．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等腰三角形的三线合一的性质、三角形的中位线定理，考查了推理能力计算能力，属于难题．二．多选题（共4小题）（多选）9．设椭圆的方程为x22+y24=1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于AA．直线AB与OM垂直 B．若点M坐标为（1，1），则直线方程为2x+y﹣3＝0 C．若直线方程为y＝x+1，则点M坐标为（13，D．若直线方程为y＝x+2，则|AB|=【考点】椭圆的中点弦．【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】BD【分析】根据椭圆中点弦的性质kAB•kOM=-42=-2，可以判断A，C选项错误，B选项正确，对于D选项，直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求得【解答】解：对于A选项：因为在椭圆中，根据椭圆中点弦的性质kAB•kOM=-42=-2≠﹣对于B选项：根据kAB•kOM＝﹣2，kOM＝1，所以kAB＝﹣2，所以直线方程为y﹣1＝﹣2（x﹣1），即2x+y﹣3＝0，故选项B正确；对于C选项：若直线方程为y＝x+1，点M(13，43)，则kAB•kOM＝1×4＝对于D选项：若直线方程为y＝x+2，与椭圆方程x22+y24=1联立，得到2x2+（x+2）2﹣4＝0，整理得：3x2所以|AB|=1+12故选：BD．【点评】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，是中档题．（多选）10．如图所示，用一个与圆柱底面成θ（0＜θ＜π2）角的平面截A．椭圆的长轴长等于4 B．椭圆的离心率为32C．椭圆的标准方程可以是x2D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4【考点】椭圆的几何特征．【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】BCD【分析】根据给定图形，求出椭圆长短半轴长a，b，再逐项计算、判断作答．【解答】解：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，则由截面与圆柱底面成锐二面角θ=π3得：2a=4cosθ=8，解得a显然b＝2，则c=a2-b2当以椭圆长轴所在直线为y轴，短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程y2椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a-故选：BCD．【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．（多选）11．我们通常称离心率是5-12的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），A1，A2，B1，B2A．|A1F1|•|F2A2|＝|F1F2|2 B．∠F1B1A2＝90° C．PF1⊥x轴，且PO∥A2B1 D．四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2【考点】椭圆的几何特征．【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】BD【分析】由椭圆方程分别求得A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，﹣b），F1（﹣c，0），F2（c，0），对选项一一分析，结合两点的距离公式、直线的斜率公式和离心率公式，解方程即可得到结论．【解答】解：由椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），可得A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，﹣b），F1（﹣c，对于A，|A1F1|•|F2A2|＝|F1F2|2，即为（a﹣c）2＝（2c）2，所以a﹣c＝2c，即e=ca=对于B，若∠F1B1A2＝90°，则|A2F1|2＝|B1F1|2+|B1A2|2，即（a+c）2＝a2+（a2+b2），所以c2+ac﹣a2＝0，即有e2+e﹣1＝0，解得e=5-12（-1-对于C，若PF1⊥x轴，且PO∥A2B1，所以P（﹣c，b2由kPO=kA2B1，可得b2a-c=b-a，解得b＝c，又a2＝对于D，若四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2，即四边形A1B2A2B1的内切圆的半径为c，则ab＝ca2+b2，结合b2＝a2所以c4﹣3a2c2+a4＝0，即e4﹣3e2+1＝0，解得e2=3+52（舍去）或e2=3-52故选：BD．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，以及“黄金椭圆”的理解和运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．（多选）12．已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，长轴长为4A．离心率的取值范围为（0，12）B．当离心率为24时，|QF1|+|QP|的最大值为4+C．存在点Q使得QF1D．1|QF【考点】椭圆的几何特征．【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】BD【分析】由题意可得a，由点P（2，1）在椭圆内部，解得2＜b＜2对于A：e=ca∈（0，22对于B：|QF1|+|QP|＝4﹣|QF2|+|QP|，当点Q，F2，P共线且Q在x轴下方时，|QF2|＜|QP|取最大值4+|PF2|，即可判断B是否正确；对于C：若QF1→⋅QF2→=0，则|OQ|＝c，但是c＝ae∈（0，2），b∈（2，2），推出|OQ对于D：由基本不等式可得（|QF1|+|QF2|）（1|QF1|+1|QF2|）≥4，又|QF【解答】解：因为长轴长为4，所以2a＝4，即a＝2，因为点P（2，1）在椭圆内部，所以222+1b2＜对于A：e=ca=1-(所以e∈（0，22），故A对于B：|QF1|+|QP|＝4﹣|QF2|+|QP|，当点Q，F2，P共线且Q在x轴下方时，|QF2|＜|QP|取最大值4+|PF2|，由e=24，即ca=c2=24，解得c所以|PF2|=(所以|QF|+|QP|的最大值为4+62，故对于C：若QF1→⋅QF2→=0，则|OQ|=由A选项知，c＝ae∈（0，2），b∈（2，2），所以|OQ|min＝b＞c，所以不存在Q使得QF1→⋅对于D：由基本不等式可得（|QF1|+|QF2|）（1|QF1|+1|Q又|QF1|+|QF2|＝4，所以1|QF1|故选：BD．【点评】本题考查椭圆的方程，向量的数量积，解题中需要理清思路，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．已知平面直角坐标系中有两个定点A（﹣2，0），B（2，0），若动点P满足|PA|+|PB|＝6，则动点P的轨迹方程为x29+【考点】椭圆的定义．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】见试题解答内容【分析】利用椭圆的定义判断出动点P的轨迹，再由题意求出基本量，代入椭圆的标准方程即可．【解答】解：因为动点P满足|PA|+|PB|＝6＞|AB|＝4，所以由椭圆的定义得：动点P的轨迹是以A（﹣2，0），B（2，0）为焦点的椭圆，则a＝3、c＝2，即b2＝9﹣4＝5，所以动点P的轨迹方程是x2故答案为：x2【点评】本题考查定义法求动点的轨迹方程，以及椭圆的定义、标准方程，熟练掌握椭圆的定义、标准方程是解题的关键．14．已知椭圆：x24+y2b2=1(0＜b＜2)，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|+|AF【考点】椭圆的几何特征．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】见试题解答内容【分析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值．【解答】解：由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，∴|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此时|AB|＝b2，∴5＝8﹣b2，解得b=3故答案为3．【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，解答此题的关键是明确过椭圆焦点的弦中通径的长最短，是中档题．15．椭圆x29+y22=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝2，∠F1PF2【考点】椭圆的几何特征．【专题】计算题；压轴题．【答案】见试题解答内容【分析】第一问用定义法，由|PF1|+|PF2|＝6，且|PF1|＝4，易得|PF2|；第二问如图所示：角所在三角形三边已求得，用余弦定理求解．【解答】解：∵|PF1|+|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝6﹣|PF1|＝2．在△F1PF2中，cos∠F1PF2=|P=16+4-28∴∠F1PF2＝120°．故答案为：2；120°【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，这类题是常考类型，难度不大，考查灵活，特别是对曲线的定义和性质考查的很到位．16．椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F【考点】椭圆的几何特征．【专题】计算题；压轴题．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用椭圆的定义，结合|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，即可求出椭圆的离心率．【解答】解：因为椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，|AF1|＝a﹣c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a+c，所以（a﹣c）（a+c）＝4c2，即a2＝5c2，所以e=5故答案为：55【点评】本题考查椭圆的基本性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．四．解答题（共4小题）17．平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率是32，抛物线E：（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．（ⅰ）求证：点M在定直线上；（ⅱ）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求S1S2【考点】椭圆的几何特征．【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】见试题解答内容【分析】（I）运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标，以及椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆的方程；（Ⅱ）（i）设P（x0，y0），运用导数求得切线的斜率和方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，可得中点D的坐标，求得OD的方程，再令x＝x0，可得y=-（ii）由直线l的方程为y＝x0x﹣y0，令x＝0，可得G（0，﹣y0），运用三角形的面积公式，可得S1=12|FG|•|x0|=12x0•（12+y0），S2=12|PM|•|x0-4x0y01+4【解答】解：（I）由题意可得e=ca=32，抛物线E：x2＝2y的焦点F即有b=12，a2﹣c2解得a＝1，c=3可得椭圆的方程为x2+4y2＝1；（Ⅱ）（i）证法一：设P（x0，y0），可得x02=2由y=12x2的导数为y′＝x，即有切线的斜率为x则切线的方程为y﹣y0＝x0（x﹣x0），可化为y＝x0x﹣y0，代入椭圆方程，可得（1+4x02）x2﹣8x0y0x+4y02Δ＝64x02y02-4（1+4x02）（4y0设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=8x0y01+4x直线OD的方程为y=-14x0x，可令x＝x即有点M在定直线y=-证法二、如图：设P（2t，2t2），切线l的方程为y＝2tx﹣2t2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x12+4y12=1两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）+4（y1﹣y2）（y1+y2）＝0，可得kAB=y1-y2x1则kOM=-18t，即直线OM：y再令x＝2t，可得M（2t，-1所以点M在定直线y=-法三：设l的斜率为k，y=12x2，y′＝P（k，12k2），l：y-12k2＝k（x﹣k），即y＝kx-12k2，设A（x1，y1），B（x由x2+4y2=1y=kx-12k2，∴x2（1+4k2）﹣4k3x+k4﹣1＝0，∴x1+则D（x1+x22，y1+∴直线OD的方程为y=-14k•x，M（k，y′）在直线OD上，∴y′=-14k（ii）法一：直线l的方程为y＝x0x﹣y0，令x＝0，可得G（0，﹣y0），则S1=12|FG|•|x0|=12x0•（12+y0）=S2=12|PM|•|x0-4x0y01+4x02|=则S1令1+2x02=t（t≥=2t2+t-1t2=2则当t＝2，即x0=22时，S1此时点P的坐标为（22，1法二：F（0，12），P（x0，12x02），G（0S1=12|FG|•|x0|=12×（12+12k2）•D（2k31+4k2，2k4S2=12（12x则S1S2=12k(当S1S2最大时，1k2+4+4k2取最小值，又1k2+4+4k2≥4+2•当2k=1k，即k=22时取等号，此时S1S2【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标，考查直线和抛物线斜的条件，以及直线方程的运用，考查三角形的面积的计算，以及化简整理的运算能力，属于难题．18．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1过点A（﹣（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点B（﹣4，0）的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝﹣4于点P，Q．求|PB||BQ|【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的几何特征．【专题】综合题；对应思想；转化法；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）由题意可得4a2+1b2=1a=2b，解得b2（Ⅱ）设直线方程为y＝k（x+4），设M（x1，y1），N（x2，y2），可得直线AM的方程为y+1=y1+1x1+2（x+2），直线AN的方程为y+1=y2+1x2+2（x+2），【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：x2a2+y2b2=1过点A（﹣则4a2+1b2=1a=2b，解得b2∴椭圆方程为x2（Ⅱ）由题意可得直线l的斜率存在，设直线方程为y＝k（x+4），由y=k(x+4)x消y整理可得（1+4k2）x2+32k2x+64k2﹣8＝0，∴Δ＝﹣32（4k2﹣1）＞0，解得-12＜设M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1+x2=-32k21+4k2则直线AM的方程为y+1=y1+1x1+2（x+2），直线AN的方程为分别令x＝﹣4，可得yP=-2(y1+1)x1∴|PB|＝|yP|＝|(2k+1)x1+(8k+4)x1+2|，|QB|＝|yQ∴|PB||BQ|=|[(2k+1)x1+(8k+4)](∵（2k+1）x1x2+（4k+2）（x1+x2）+8（2k+1）=32∴|(2k+1)x1x2+(4k+2)(x1+x2)+8(2k+1)+(4k+2)x故|PB||BQ|=【点评】本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，分类与整合能力，属于难题．19．设椭圆x2a2+y23=1（a＞3）的右焦点为F（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．【考点】椭圆的几何特征．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由题意画出图形，把|OF|、|OA|、|FA|代入1|OF|+1|OA|=（2）由已知设直线l的方程为y＝k（x﹣2），（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BF⊥HF，得BF→⋅HF→=(1-x1，-y1)⋅(1，-yH)=0，整理得到【解答】解：（1）由1|OF|+1即a+a∴a[a2﹣（a2﹣3）]＝3a（a2﹣3），解得a＝2．∴椭圆方程为x2（2）由已知设直线l的方程为y＝k（x﹣2），（k≠0），设B（x1，y1），M（x0，k（x0﹣2）），∵∠MOA≤∠MAO，∴x0≥1，再设H（0，yH），联立y=k(x-2)x24+y23=1，得（3+4k2）x2﹣16kΔ＝（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）＝144＞0．由根与系数的关系得2x∴x1=8MH所在直线方程为y-令x＝0，得yH∵BF⊥HF，∴BF→即1﹣x1+y1yH=1-整理得：x0=9+20k212(k∴k≤-64【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“整体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法，考查运算能力，是难题．20．已知斜率为k的直线l与椭圆C：x24+y23=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1（1）证明：k＜-1（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP→+FA→+FB→=0→．证明：|FA【考点】直线与椭圆的综合．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题．【答案】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB的中点为M（1，m），∴x1+x2＝2，y1+y2＝2m将A，B代入椭圆C：x243x两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）＝0，∴k=点M（1，m）在椭圆内，即14解得0＜m＜∴k=-3（2）32128或【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法得6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）＝0，k=又点M（1，m）在椭圆内，即14+m23＜（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2＝2由FP→+FA→+FB→=0→，可得x3﹣1＝0，由椭圆的焦半径公式得则|FA|＝a﹣ex1＝2-12x1，|FB|＝2-12x2，|FP|＝2-12x3【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB的中点为M（1，m），∴x1+x2＝2，y1+y2＝2m将A，B代入椭圆C：x243x两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）＝0，∴k=点M（1，m）在椭圆内，即14解得0＜m＜∴k=-3（2）由题意得F（1，0），设P（x3，y3），则x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1＝0，y1+y2+y3＝0，由（1）及题设得x3＝3﹣（x1+x2）＝1，y3＝﹣（y1+y2）＝﹣2m＜0．又点P在C上，所以m=34，从而P（1，-3于是|FA→|=同理|FB→|=所以|FA→|+|FB→|＝4故|FA→|+|FB→|＝2|FP→|，即|FA→|，|FP→|设该数列的公差为d，则2|d|=||FB→|-|FA→||=12|将m=34代入①得k＝﹣所以l的方程为y＝﹣x+74，代入C的方程，并整理得7x故x1+x2＝2，x1x2=128，代入②解得|d|所以该数列的公差为32128或【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查了点差法、焦半径公式，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用与计算能力的考查．属于中档题．

考点卡片1．椭圆的定义【知识点的认识】1．椭圆的第一定义平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距．2．椭圆的第二定义平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e=ca（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数3．注意要点椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a}．（1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆；（2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2；（3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹．【命题方向】利用定义判断动点运动轨迹，需注意椭圆定义中的限制条件：只有当平面内动点P与两个定点F1、F2的距离的和2a＞|F1F2|时，其轨迹才为椭圆．1．根据定义判断动点轨迹例：如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆分析：根据CD是线段MF的垂直平分线．可推断出|MP|＝|PF|，进而可知|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|结果为定值，进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹．解答：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．∴|MP|＝|PF|，∴|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|（定值），又显然|MO|＞|FO|，∴根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆．故选A点评：本题主要考查了椭圆的定义的应用．考查了学生对椭圆基础知识的理解和应用．2．与定义有关的计算例：已知椭圆x24+y23=1A．25B．23C．5D．3分析：先由椭圆的第一定义求出点P到右焦点的距离，再用第二定义求出点P到右准线的距离d．解答：由椭圆的第一定义得点P到右焦点的距离等于4-32=5再由椭圆的第二定义得52d=∴点P到右准线的距离d＝5，故选C．点评：本题考查椭圆的第一定义和第二定义，以及椭圆的简单性质．2．椭圆的标准方程【知识点的认识】椭圆标准方程的两种形式：（1）x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|（2）y2a2+x2b2=1（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．标准方程x2a2+y2b中心在原点，焦点在x轴上y2a2+x2b中心在原点，焦点在y轴上图形顶点A（a，0），A′（﹣a，0）B（0，b），B′（0，﹣b）A（b，0），A′（﹣b，0）B