2026年高考数学复习热搜题速递之相等关系与不等关系（2025年12月）

第1页（共1页）2026年高考数学复习热搜题速递之相等关系与不等关系（2025年12月）一．选择题（共8小题）1．不等式x-1x-3A．（﹣∞，1）∪[3，+∞） B．（﹣∞，1]∪（3，+∞） C．[1，3） D．[1，3]2．已知a＞0，b＞0，则1aA．2 B．22 C．4 D．3．已知实数a，b，c满足a+b+c＝1，a2+b2+c2＝1，则a3+b3+c3的最小值是（）A．13 B．59 C．79 4．已知a，b均为正数，且1a+1+2b-2=1A．8 B．16 C．24 D．325．已知0＜x＜12，则A．16 B．18 C．8 D．206．已知a，b＞0且ab＝2，则（a+1）（b+2）的最小值为（）A．4 B．6 C．22 D．7．实数x、y满足|x+y|+|x﹣y|＝2，若z＝4ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则1aA．最大值9 B．最大值18 C．最小值9 D．最小值188．函数y＝x+1x-1+5（xA．5 B．6 C．7 D．8二．多选题（共4小题）（多选）9．已知a＞0，b＞0，若a+2b＝1，则（）A．ab的最大值为18 B．a2+b2的最小值为1C．2a+1b的最小值为8 D．2a（多选）10．已知正实数a，b满足ab+a+b＝8，下列说法正确的是（）A．ab的最大值为2 B．a+b的最小值为4 C．a+2b的最小值为62-3D．1a(b+1)+（多选）11．设正数a，b满足a+b＝1，则有（）A．ab≤14 BC．1a⋅(b+4b（多选）12．若实数m，n＞0，满足2m+n＝1，以下选项中正确的有（）A．mn的最大值为18B．1m+1C．2m+1+9D．4m2+n2的最小值为1三．填空题（共4小题）13．若2a+3b＝12（a•b≥0），则9a2+9+4b2+4的最小值为14．函数y＝loga（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1＝0上（其中m，n＞0），则1m+2n的最小值等于15．若实数x，y满足2cos2（x+y﹣1）=(x+1)2+(y-1)2-2xyx-y+116．设函数f(x)=2-x-1，x≤0x12，x＞0，若f（x四．解答题（共4小题）17．已知-12≤2x+y≤12，-118．2018年10月19日，由中国工信部、江西省政府联合主办的世界VR（虚拟现实）产业大会在南昌开幕，南昌在红谷滩新区建立VR特色小镇项目．现某厂商抓住商机在去年用450万元购进一批VR设备，经调试后今年投入使用，计划第一年维修、保养费用22万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为180万元，设使用x年后设备的盈利额为y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）使用若干年后，当年平均盈利额达到最大值时，求该厂商的盈利额．19．已知函数f（x）＝2x+2﹣x．（1）求方程f（x）＝2的实根；（2）若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值．20．求下列函数的最值（1）求函数y＝2x+1x-1（x＞（2）求函数y=x2+2x-1（（3）设a＞0，b＞1，若a+b＝2，求2a（4）若正数x，y满足x+3y＝5xy，求3x+4y的最小值．

2026年高考数学复习热搜题速递之相等关系与不等关系（2025年12月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CCBBBDCD二．多选题（共4小题）题号9101112答案ACDBCDACDAD一．选择题（共8小题）1．不等式x-1x-3A．（﹣∞，1）∪[3，+∞） B．（﹣∞，1]∪（3，+∞） C．[1，3） D．[1，3]【考点】其他不等式的解法．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学抽象．【答案】C【分析】由题意，解分式不等式即可．【解答】解：不等式x-1x-3≤0，等价于解得1≤x＜3，所以不等式的解集是[1，3）．故选：C．【点评】本题考查了可化为一元二次不等式的分式不等式解法问题，是基础题．2．已知a＞0，b＞0，则1aA．2 B．22 C．4 D．【考点】基本不等式及其应用．【答案】C【分析】a＞0，b＞0，即1a＞【解答】解：因为1当且仅当1a=1b，且1ab=ab故选：C．【点评】基本不等式a+b≥2ab，（当且仅当a＝一正（即a，b都需要是正数）二定（求和时，积是定值；求积时，和是定值．）三等（当且仅当a＝b时，才能取等号）3．已知实数a，b，c满足a+b+c＝1，a2+b2+c2＝1，则a3+b3+c3的最小值是（）A．13 B．59 C．79 【考点】基本不等式及其应用．【专题】计算题；函数思想；转化思想；构造法；导数的综合应用；不等式的解法及应用；数学建模；运算求解．【答案】B【分析】由已知条件可得a+b＝1﹣c；a2+b2＝1﹣c2，由（a+b）2＝a2+b2+2ab可得ab=(a+b)2-(a2+b2)2=c2﹣c，所求式子a3+b3+c3可以用c表示，由a2【解答】解：∵a+b+c＝1，a2+b2+c2＝1，∴a+b＝1﹣c，a2+b2＝1﹣c2，ab=(a+b)2-(a∴a3+b3+c3＝（a+b）（a2+b2﹣ab）+c3＝（1﹣c）（1﹣c2﹣（c2﹣c））+c3＝3c3﹣3c2+1，又∵a2+b2≥2ab，∴1﹣c2≥2（c2﹣c），解得-13≤c令f（x）＝3x3﹣3x2+1（-13≤x则f′（x）＝9x2﹣6x＝9x（x-2则当x∈[-13，0）∪（23，1]时，f′（x）＞0，当x∈（0，23）时，f′（则f（x）在[-13，0）、（23，1]上单调递增，在（0且f（-13）＝3×（-13）3﹣3×（-13）2+1=59，f（23）＝3×（23）故a3+b3+c3的最小值是59故选：B．【点评】本题考查了不等式的性质及重要不等式的应用，同时考查了函数的性质及导数的综合应用，属于难题．4．已知a，b均为正数，且1a+1+2b-2=1A．8 B．16 C．24 D．32【考点】基本不等式及其应用．【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】B【分析】确定b＞2，变换得到2a+b=2[2(a+1)+(b-2)](【解答】解：当b∈（0，2）时，2b-2＜-1，1故b＞2，所以2a+b＝2（a+1）+（b﹣2）＝2[2（a+1）+（b﹣2）]（1a+1+2b-2）＝8⋅a+1b-2当且仅当8•a+1b-2=2⋅b-2a+1，即a＝3，故选：B．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．5．已知0＜x＜12，则A．16 B．18 C．8 D．20【考点】基本不等式及其应用．【专题】转化思想；构造法；转化法；不等式的解法及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】B【分析】1x+81-2x=22x+81-2x，又2x+（1﹣2x）＝1，利用基本不等式的配凑法变形可得22x+81-2x=（2【解答】解：1x+81-2x=22x+81-2x，又2∴22x+81-2x=（22x+81-2x）[2x+（1∵0＜x＜12，∴1﹣2x＞0，2x＞∴2(1-2x)2x+16x1-2x≥22(1-2x)2x⋅∴1x+81-2x=2故1x+8故选：B．【点评】本题考查基本不等式的应用，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．6．已知a，b＞0且ab＝2，则（a+1）（b+2）的最小值为（）A．4 B．6 C．22 D．【考点】运用基本不等式求最值．【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】D【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值．【解答】解：a，b＞0且ab＝2，则(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=4+2a+b≥当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时取等号，所以当a＝1，b＝2时，（a+1）（b+2）的最小值为8．故选：D．【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．7．实数x、y满足|x+y|+|x﹣y|＝2，若z＝4ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则1aA．最大值9 B．最大值18 C．最小值9 D．最小值18【考点】基本不等式及其应用．【专题】计算题；数形结合法；不等式；数学建模；运算求解．【答案】C【分析】根据|x+y|+|x﹣y|＝2，求出点（x，y）满足的图形，根据z＝4ax+by的最值，求出a，b的关系，再根据基本不等式求解．【解答】根据|x+y|+|x﹣y|＝2，可得点（x，y）满足的图形为A（1，1）、B（﹣1，1）、C（﹣1，﹣1）、D（1，﹣1）为顶点的正方形，可知x＝1，y＝1时z＝4ax+by取得最大值，故4a+b＝1，所以1a+1故选：C．【点评】本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题．8．函数y＝x+1x-1+5（xA．5 B．6 C．7 D．8【考点】基本不等式及其应用．【专题】不等式的解法及应用．【答案】D【分析】由题意可得y＝x﹣1+1x-1+6≥2(x-【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0，∴y＝x﹣1+1x-1+6≥2(x当且仅当x﹣1=1x-1即x＝故函数y＝x+1x-1+5（x＞故选：D．【点评】本题考查基本不等式求最值，属基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．已知a＞0，b＞0，若a+2b＝1，则（）A．ab的最大值为18 B．a2+b2的最小值为1C．2a+1b的最小值为8 D．2a【考点】基本不等式及其应用．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】ACD【分析】对于A，D选项，直接由基本不等式即可求出最值；对于B选项，化为a2+b2=5【解答】解：对于选项A，由2ab=a⋅2b≤当且仅当a＝2b，且a+2b＝1，即a=12，对于选项B，因为a2当且仅当b=25时，a2+b2取到最小值15对于选项C，因为a＞0，b＞0，所以2a当且仅当4ba=ab，且a+2b＝1，即a=1对于选项D，2a+4b≥22a⋅4b即a=12，故选：ACD．【点评】本题考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．（多选）10．已知正实数a，b满足ab+a+b＝8，下列说法正确的是（）A．ab的最大值为2 B．a+b的最小值为4 C．a+2b的最小值为62-3D．1a(b+1)+【考点】基本不等式及其应用．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】BCD【分析】选项A，由a+b＝8﹣ab≥2ab，解不等式，即可；选项B，由ab＝8﹣（a+b）≤(a+b选项C，分解因式可得（a+1）（b+1）＝9，再配凑a+2b＝（a+1）+2（b+1）﹣3，然后结合基本不等式，得解；选项D，易知a（b+1）＝8﹣b，再将所求式子换成关于b的式子，利用基本不等式，得解．【解答】解：选项A，因为ab+a+b＝8，且a，b为正实数，所以a+b＝8﹣ab≥2ab，即（ab-2）（ab+4）≤0，所以0≤ab≤2，即ab的最大值为4，当且仅当a＝b＝选项B，因为ab+a+b＝8，且a，b为正实数，所以ab＝8﹣（a+b）≤(a+b)24，解得a+b≥4或a+b≤﹣8（舍），当且仅当a＝b＝2时取等号，所以a+b的最小值为选项C，因为ab+a+b＝8，所以（a+1）（b+1）＝9，所以a+2b＝（a+1）+2（b+1）﹣3≥22(a+1)(b+1)-3＝22×9-3＝当且仅当a+1＝2（b+1），即a＝32-1，b=32选项D，由ab+a+b＝8，知a（b+1）＝8﹣b，所以1a(b+1)+1b=18-b+1b=8b(8-b)故选：BCD．【点评】本题考查基本不等式的应用，熟练掌握配凑法，基本不等式“一正二定三相等”的使用条件是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．（多选）11．设正数a，b满足a+b＝1，则有（）A．ab≤14 BC．1a⋅(b+4b【考点】基本不等式及其应用．【专题】转化思想；综合法；不等式；逻辑思维；运算求解．【答案】ACD【分析】根据基本不等式的应用，“齐次化“思想，化归转化思想，“权方和“不等式，即可分别求解．【解答】解：对A选项，∵正数a，b满足a+b＝1，∴ab≤(当且仅当a＝b=12时，等号成立，∴对B选项，∵正数a，b满足a+b＝1，∴a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）＝（a+b）2﹣3ab＝1﹣2ab≥1当且仅当a＝b=12时，等号成立，∴对C选项，∵正数a，b满足a+b＝1，∴1=b=b=5ba+当且仅当5ba=4ab，又正数a，b满足a+即当a＝5-25，b=25对D选项，∵正数a，b满足a+b＝1，∴根据“权方和“不等式可得a2当且仅当ab+1=ba+2，又a+即当a=25，b=3故选：ACD．【点评】本题考查基本不等式的应用，“齐次化“思想，化归转化思想，“权方和“不等式的应用，属难题．（多选）12．若实数m，n＞0，满足2m+n＝1，以下选项中正确的有（）A．mn的最大值为18B．1m+1C．2m+1+9D．4m2+n2的最小值为1【考点】基本不等式及其应用．【专题】计算题；方程思想；构造法；不等式的解法及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】AD【分析】由m，n＞0，得2m+n≥22mn，即1≥22mn，从而即可判断选项A；由1m+1n=（2m+n）＝3+nm+2mn即可利用基本不等式判断选项B；由3m+n＝1可得2（m+1）+（n+2）＝5，从而2m+1+9n+2=15[2（m+1）（n+2）]（2m+1+9n+2）=15[23+2(n+2)m+1+18(m+1)n+2]，进一步即可利用基本不等式判断选项C；由m，n＞0，2m+n＝1，得（2【解答】解：由m，n＞0，得2m+n≥22mn，又2m+n＝1，所以1≥22mn，解得mn≤18，当且仅当2m＝n，即m=14所以mn的最大值为18，选项A1m+1n=（2m+n）（1m+1当且仅当nm=2mn，即m=2-22n=由2m+n＝1，得2（m+1）+（n+2）＝5，所以2m+1+9n+2=15[2（m+1）+（n+2）]（2m+1+9n+2）当且仅当2(n+2)m+1=18(m+1)n+2，即m=0n=1时等号成立，又m所以2m+1+9n+2由m，n＞0，2m+n＝1，得（2m+n）2＝4m2+n2+4mn＝4m2+n2+24m2•n2≤2（4m2则4m2+n2≥12，当且仅当4m2＝n2，即所以4m2+n2的最小值为12，选项D故选：AD．【点评】本题考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．若2a+3b＝12（a•b≥0），则9a2+9+4b2+4的最小值为1【考点】基本不等式及其应用．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式．【答案】见试题解答内容【分析】把已知2a+3b＝12（a•b≥0）两边平方，把9a2+9【解答】解：若2a+3b＝12（a•b≥0），则a≥0，b≥0，有基本不等式12＝2a+3b≥22a⋅3b，（当且仅当a＝3，b＝2时“＝”成立），得0≤ab≤又由（2a+3b）2＝122，得4a2+9b2＝144﹣12ab，令y=9则y=9(令t＝18﹣ab，则，12≤18﹣ab≤18，y=12tt2-24t+288，（12≤t≤18），则y′=12(288-t2)(t2-24t+288)2，令∴当t∈[12，122）时，y′＞0，当t∈（122，18]，y′＜0∴函数y=12tt2-24t+288，在区间当[12，122）上单调递增，在区间当（12∴当t＝122时，y有最大值，最大值是：2+1又因为，当t＝12时，y＝1，当t＝18时，y=65，∵1所以，y的最小值为：1故答案为：1；2+1【点评】本题考查了基本不等式、函数的导数与单调性的基本知识．属于难题．14．函数y＝loga（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1＝0上（其中m，n＞0），则1m+2n的最小值等于【考点】基本不等式及其应用．【专题】计算题；压轴题．【答案】见试题解答内容【分析】由题意可得定点A（﹣2，﹣1），2m+n＝1，把要求的式子化为4+n【解答】解：由题意可得定点A（﹣2，﹣1），又点A在直线mx+ny+1＝0上，∴2m+n＝1，则1m+2n=2m+nm+4m+2nn等号成立，故答案为：8．【点评】本题考查基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子化为4+n15．若实数x，y满足2cos2（x+y﹣1）=(x+1)2+(y-1)2-2xyx-y+1【考点】基本不等式及其应用；余弦定理．【专题】压轴题；不等式的解法及应用．【答案】见试题解答内容【分析】配方可得2cos2（x+y﹣1）=(x-y+1)2+1x-y+1=（x﹣y+1）+1x-y+1，由基本不等式可得（x+y+1）+1x-y+1≤2，或（x﹣y+1）+1x-y+1≤-2，进而可得cos（x+y﹣1【解答】解：∵2cos∴2cos2（x+y﹣1）=∴2cos2（x+y﹣1）=x故2cos2（x+y﹣1）=(x-y+1)2+1x-y+1=（x由基本不等式可得（x﹣y+1）+1x-y+1≥2，或（x﹣y+1）∴2cos2（x+y﹣1）≥2，由三角函数的有界性可得2cos2（x+y﹣1）＝2，故cos2（x+y﹣1）＝1，即cos（x+y﹣1）＝±1，此时x﹣y+1＝1，即x＝y∴x+y﹣1＝kπ，k∈Z，故x+y＝2x＝kπ+1，解得x=kπ+1故xy＝x•x=(kπ+12)2，当k＝0时，故答案为：1【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的应用，余弦函数的单调性，得出cos（x+y﹣1）＝±1是解决问题的关键，属中档题．16．设函数f(x)=2-x-1，x≤0x12，x＞0，若f（x0）＞1，则【考点】指、对数不等式的解法．【专题】计算题；分类讨论．【答案】见试题解答内容【分析】根据函数表达式分类讨论：①当x0≤0时，可得2﹣x﹣1＞1，得x＜﹣1；②当x0＞0时，x0.5＞1，可得x＞1，由此不难得出x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【解答】解：①当x0≤0时，可得2﹣x0﹣1＞1，即2﹣x0＞2，所以﹣x0＞1，得x0＜﹣1；②当x0＞0时，x00.5＞1，可得x0＞1．故答案为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【点评】本题考查了基本初等函数的单调性和值域等问题，属于基础题．利用函数的单调性，结合分类讨论思想解题，是解决本题的关键．四．解答题（共4小题）17．已知-12≤2x+y≤12，-1【考点】不等关系与不等式；简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【答案】见试题解答内容【分析】把9x+y用a（2x+y）+b（3x+y）表示，展开后比较系数求得a，b的值，然后利用基本不等式的性质求得9x+y的取值范围．【解答】解：设9x+y＝a（2x+y）+b（3x+y）＝（2a+3b）x+（a+b）y，比较两边系数得2a+3b＝9，a+b＝1，以上两式联立解得：a＝﹣6，b＝7，由已知不等式-12≤2x+y≤得：﹣3≤﹣6（2x+y）≤3，-7以上两不等式相加，得-13【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数学转化思想方法，考查了基本不等式的性质，是中档题也是易错题．18．2018年10月19日，由中国工信部、江西省政府联合主办的世界VR（虚拟现实）产业大会在南昌开幕，南昌在红谷滩新区建立VR特色小镇项目．现某厂商抓住商机在去年用450万元购进一批VR设备，经调试后今年投入使用，计划第一年维修、保养费用22万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为180万元，设使用x年后设备的盈利额为y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）使用若干年后，当年平均盈利额达到最大值时，求该厂商的盈利额．【考点】运用基本不等式解决实际问题．【专题】应用题；不等式的解法及应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）依题得：y=180x-[22x+x(x-1)2×4]-450=-2（2）先求出平均利润yx【解答】解：（1）依题得：y=180x-[22x+x(x-1)2×4]-450=-2x2（2）yx当且仅当2x=450x时，即x＝∴使用15年后平均盈利额达到最大值，该厂商盈利额为1500万元．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值在实际问题中的应用，属于基础试题19．已知函数f（x）＝2x+2﹣x．（1）求方程f（x）＝2的实根；（2）若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值．【考点】基本不等式及其应用；指数函数的图象．【专题】对应思想；转化法；函数的性质及应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）方程f（x）＝2，即2x+2﹣x＝2，（2x﹣1）2＝0，解得x＝0．（2）由f（2x）≥mf（x）﹣6对于x∈R恒成立，且f（x）＞0，可得m≤f(2x)+6f(x)令h（x）=22x+2-2x+6【解答】解：（1）方程f（x）＝2，即2x+2﹣x＝2，亦即（2x）2﹣2×2x+1＝0，所以（2x﹣1）2＝0，于是2x＝1，解得x＝0．（2）由（1）知f（x）≥2＞0，故对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，等价于对任意x∈R，m≤f(2x)+6f(x)令h（x）=22x+2-2x+6则h（x）=(2x+2-x)2+42x+2-x=当且仅当2x+2﹣x=42x+2-x故m≤4，故m的最大值是4．【点评】本题考查了函数的值域，恒成立问题，属于中档题．20．求下列函数的最值（1）求函数y＝2x+1x-1（x＞（2）求函数y=x2+2x-1（（3）设a＞0，b＞1，若a+b＝2，求2a（4）若正数x，y满足x+3y＝5xy，求3x+4y的最小值．【考点】基本不等式及其应用．【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】（1）原式可化为y=2(x-（2）原式可化为(x-（3）利用换元思想，原式可化为2a（4）将x+3y＝5xy化为15y+35x=1，然后根据3【解答】解：（1）y=2(x-1)+1x-1+2≥22+2，故函数y的最小值为2+22，当且仅当（x﹣1）（2）y=(x-1)2+2(x-1)+3x-1=(x-1)+3x-1+2≥23+2，故函数y的最小值为（3）由题得a＝2﹣b，代入原式，得2a+1b-1=22-b+1b-1=b（4）由题得15y+35x=1，则(3x+4y)(【点评】本题考查基本不等式的应用，正确利用公式是关键，属于基础题．

考点卡片1．不等关系与不等式【知识点的认识】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如42与84就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞不等式定理①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【命题方向】例1：解不等式：sinx≥1解：∵sinx≥1∴2kπ+π6≤x≤2kπ+5π6∴不等式sinx≥12的解集为{x|2kπ+π6≤x≤2kπ+5π这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．例2：当ab＞0时，a＞b⇔1a证明：由ab＞0，知1ab＞又∵a＞b，∴a⋅1ab＞b⋅若1a＜∴a＞b．这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．2．基本不等式及其应用【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2或者a+b实例解析例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则2ab+b2a≥2．B：x2+2x2解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？当0＜x＜解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，y=x用基本不等式若x＞0时，0＜y≤2若x＜0时，-24≤y综上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2的最值是这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【解题方法点拨】基本不等式的应用1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【命题方向】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x•（8﹣2x）]≤12（2x+8-2x当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y=x解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y=x2+7x+10x+1=(x+1)当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2(x+1)×4x+1+5＝9（当且仅当技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+a技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．3．运用基本不等式求最值【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2或者a+b【解题方法点拨】在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2从而得出最小值为2，并且在【命题方向】均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等．例如，求解一个代数式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大．这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最值求解，并能正确代入和计算．已知正数a，b满足a+b＝1，则a+1+b+1的最大值是解：因为正数a，b满足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，则a+1+当且仅当a＝b=1故答案为：6．4．运用基本不等式解决实际问题【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2或者a+b【解题方法点拨】均值不等式在解决实际问题中有广泛应用．例如，在优化设计、资源分配等问题中，可以通过均值不等式求解最优解，从而解决实际问题．通过均值不等式，可以将实际问题转化为数学问题，从而进行分析和求解．【命题方向】运用均值不等式解决实际问题的命题方向包括优化设计问题、资源分配问题等．例如，通过均值不等式求解最优资源分配方案，或设计最优几何图形．这类题型要求学生能够将实际问题转化为数学问题，并能灵活运用均值不等式进行求解和分析．某单位准备建造一间地面面积为12平方米，背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1200元/平方米，房屋侧面的造价为800元/平方米，屋顶造价为5800元，房屋背面的费用忽略不计．若墙高为3米，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少？解：设房屋侧面的长度为x米，房屋总造价为y，则y＝2x×3×800+12x×＝4800（x+9x）+5800（x＞∵x+9x≥29=6，当且仅当x=9∴y的最小值为4800×6+5800＝34600，则当矩形小房地面的长度分别为3，4米时，总造价最低．最低总造价是34600元．5．指、对数不等式的解法【知识点的认识】不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）．步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．特例：①一元一次不等式ax＞b解的讨论；②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则．（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．（4）指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对值不等式①应用分类讨论思想去绝对值；②应用数形思想；③应用化归思想等价转化．注：常用不等式的解法举例（x为正数）：6．其他不等式的解法【知识点的认识】指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点就是学会指数和指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解．【解题方法点拨】例1：已知函数f（x）＝ex﹣1（e是自然对数的底数）．证明：对任意的实数x，不等式f（x）≥x恒成立．解：（I）设h（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣1﹣x∴h'（x）＝ex﹣1﹣1，当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）为增，当x＜1时，h'（x）＜0，h（x）为减，当x＝1时，h（x）取最小值h（1）＝0．∴h（x）≥h（1）＝0，即f（x）≥x．这里面是一个综合题，解题的思路主要还是判断函数的单调性，尤其是指数函数的单调性，考查的重点其实是大家的计算能力．例2：已知函数f（x）＝loga（x﹣1），g（x）＝loga（3﹣x）（a＞0且a≠1），利用对数函数的单调性，讨论不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围．解：∵不等式f（x）≥g（x），即loga（x﹣1）≥loga（3﹣x），∴当a＞1时，有x-1＞3-x1当1＞a＞0时，有x-1＜3-x1综上可得，当a＞1时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（2，3）；当1＞a＞0时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（1，2）．这个题考查的就是对数函数不等式的求解，可以看出主要还是求单调性，当然也可以右边移到左边，然后变成一个对数函数来求解也可以．【命题方向】本考点其实主要是学会判断各函数的单调性，然后重点考察学生的运算能力，也是一个比较重要的考点，希望大家好好学习．7．简单线性规划【知识点的认识】线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．【解题方法点拨】1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．在通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距zb取最大值时，z也取最大值；截距zb取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距zb取最大值时，z取最小值；截距【命题方向】例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件x+2y≥（1）试确定可行域的面积；（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），则可行域的面积S=1（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最小，此时z最小为z＝2+3＝5，当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最大，此时z最大为z＝4+3＝7，故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k的值是（）A．73B．37C．43分析：画出平面区域，显然点（0，43）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，4解答：不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y＝kx+43过定点（0，43）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（12，5当y＝kx+43过点（12，52）时，5答案：A．点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．题型二：求线性目标函数的最值典例2：设x，y满足约束条件：，求z＝x+y的最大值与最小值．分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x+y达到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．题型三：实际生活中的线性规划问题典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（）A．50，0B．30，20C．20，30D．0，50分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．解析设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知x+y求目标函数z＝x+0.9y的最大值，根据题意画可行域如图阴影所示．当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植2