2026年高考数学复习热搜题速递之圆与方程（2025年12月）

第1页（共1页）2026年高考数学复习热搜题速递之圆与方程（2025年12月）一．选择题（共8小题）1．若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax+by＝0的距离为22，则直线lA．[π12，π4] B．[π122．若圆x2+（y+2）2＝r2（r＞0）上到直线y=3x+2的距离为1的点有且仅有2个，则rA．（0，1） B．（1，3） C．（3，+∞） D．（0，+∞）3．设A（2，﹣1），B（4，1），则以线段AB为直径的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+y2＝2 B．（x﹣3）2+y2＝8 C．（x+3）2+y2＝2 D．（x+3）2+y2＝84．直线x﹣y+3＝0被圆（x+2）2+（y﹣2）2＝2截得的弦长等于（）A．62 B．3 C．23 D．5．若直线y＝x+b与曲线y＝3-4x-x2A．[1-22，1+22] B．[C．[﹣1，1+22] D．[1-6．O为原点，P在圆C（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上，OP与圆C相切，则|OP|＝（）A．2 B．23 C．13 D．7．直线x+ay﹣1＝0（a∈R）与圆x2+y2﹣4x＝0的交点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．无数个8．圆心在直线y＝x上，经过原点，且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2+（y+1）2＝2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2或（x+1）2+（y+1）2＝2 D．（x﹣1）2+（y+1）2＝2或（x+1）2+（y﹣1）2＝2二．多选题（共4小题）（多选）9．已知点A（﹣1，0），B（1，0），点P为圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+17＝0上的动点，则（）A．△PAB面积的最小值为8-B．AP的最小值为22C．∠PAB的最大值为5π12D．AB→⋅（多选）10．已知点P在⊙O：x2+y2＝4上，点A（3，0），B（0，4），则（）A．点P到直线AB的距离最大值是225B．满足AP⊥BP的点P有2个 C．过直线AB上任意一点作⊙O的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN过定点（12，1） D．2|PA|+|PB|的最小值为2（多选）11．下列说法错误的是（）A．“a＝﹣1”是“直线x﹣ay+3＝0与直线ax﹣y+1＝0互相垂直”的充分必要条件 B．直线xcosα﹣y+3＝0的倾斜角θ的取值范围是[0C．若圆C1：x2+y2﹣6x+4y+12＝0与圆C2：x2+y2﹣14x﹣2y+a＝0有且只有一个公共点，则a＝34 D．若直线y＝x+b与曲线y=3-4x-x2（多选）12．已知圆O1：x2+y2﹣2x﹣3＝0和圆O2：x2+y2﹣2y﹣1＝0交点为A，B，则（）A．圆O1和圆O2有两条公切线 B．直线AB的方程为x﹣y+1＝0 C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|＞|AB| D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+三．填空题（共4小题）13．已知O为坐标原点，点P在圆（x+1）2+y2＝9上，则|OP|的最小值为．14．已知AC、BD为圆O：x2+y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，2），则四边形ABCD的面积的最大值为．15．设圆C：（x﹣3）2+（y﹣5）2＝5，过圆心C作直线l交圆于A，B两点，与y轴交于点P，若A恰好为线段BP的中点，则直线l的方程为．16．圆C的方程为（x﹣2）2+y2＝4，圆M的方程为（x﹣2﹣5cosθ）2+（y﹣5sinθ）2＝1（θ∈R），过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE、PF，切点分别为E、F，则PE→⋅PF→的最小值为四．解答题（共4小题）17．已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，1）和B（2，0），线段AB的垂直平分线交该圆于C、D两点，且|CD|＝10（Ⅰ）求直线CD的方程；（Ⅱ）求圆P的方程．18．已知圆C1：x2+y2﹣4x﹣3＝0和C2：x2+y2﹣4y﹣3＝0．（1）求两圆C1和C2的公共弦方程；（2）若圆C的圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，并且通过圆C1和C2的交点，求圆C的方程．19．已知点M（3，1），直线ax﹣y+4＝0及圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．（1）求过M点的圆的切线方程；（2）若直线ax﹣y+4＝0与圆相切，求a的值；（3）若直线ax﹣y+4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为23，求a20．平面直角坐标系xOy中，直线x﹣y+1＝0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为6．（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

2026年高考数学复习热搜题速递之圆与方程（2025年12月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BBADDACC二．多选题（共4小题）题号9101112答案BCDABDACABD一．选择题（共8小题）1．若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax+by＝0的距离为22，则直线lA．[π12，π4] B．[π12【考点】直线与圆的位置关系．【专题】压轴题．【答案】B【分析】先求出圆心和半径，比较半径和22；要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by＝0的距离为22，则圆心到直线的距离应小于等于【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0整理为(x-∴圆心坐标为（2，2），半径为32，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by＝0的距离为22则圆心到直线的距离应小于等于2，∴|2a+2b|a∴(a∴-2-3∴2-直线l的倾斜角的取值范围是[π故选：B．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离等知识，是中档题．2．若圆x2+（y+2）2＝r2（r＞0）上到直线y=3x+2的距离为1的点有且仅有2个，则rA．（0，1） B．（1，3） C．（3，+∞） D．（0，+∞）【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】B【分析】求解圆的圆心到直线的距离，与圆的半径比较，即可得到r的范围．【解答】解：圆x2+（y+2）2＝r2（r＞0）的圆心（0，﹣2），半径为r，圆心到直线y=3x+2的距离d=|2+2|圆x2+（y+2）2＝r2（r＞0）上到直线y=3x+2的距离为1的点有且仅有2可得d﹣1＜r＜d+1，即r∈（1，3）．故选：B．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．3．设A（2，﹣1），B（4，1），则以线段AB为直径的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+y2＝2 B．（x﹣3）2+y2＝8 C．（x+3）2+y2＝2 D．（x+3）2+y2＝8【考点】根据圆的几何属性求圆的标准方程．【专题】整体思想；综合法；直线与圆．【答案】A【分析】由题意求出直径，进而求出半径，再求中点坐标，进而求出圆的标准方程．【解答】解：弦长AB=(4-2)2+(1+1)2=22所以圆的方程（x﹣3）2+y2＝2，故选：A．【点评】本题考查求圆的方程，属于基础题．4．直线x﹣y+3＝0被圆（x+2）2+（y﹣2）2＝2截得的弦长等于（）A．62 B．3 C．23 D．【考点】直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长．【专题】计算题．【答案】D【分析】先根据点到直线的距离公式求出圆心到弦的距离即弦心距OD，然后根据垂径定理得到垂足为弦长的中点D，根据勾股定理求出弦长的一半BD，乘以2即可求出弦长AB．【解答】解：连接OB，过O作OD⊥AB，根据垂径定理得：D为AB的中点，根据（x+2）2+（y﹣2）2＝2得到圆心坐标为（﹣2，2），半径为2．圆心O到直线AB的距离OD=|-2-2+3|12+则在直角三角形OBD中根据勾股定理得BD=OB2-OD2=故选：D．【点评】考查学生灵活运用点到直线的距离公式解决数学问题，以及理解直线和圆相交所截取的弦的一半、圆的半径、弦心距构成直角三角形．灵活运用垂径定理解决数学问题．5．若直线y＝x+b与曲线y＝3-4x-x2A．[1-22，1+22] B．[C．[﹣1，1+22] D．[1-【考点】其他形式的圆和圆弧的方程．【专题】计算题；压轴题；数形结合．【答案】D【分析】本题要借助图形来求参数b的取值范围，曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，画出图形即可得出参数b的范围．【解答】解：曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，如图依据数形结合，当直线y＝x+b与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y＝x+b距离等于2，即|2-3+b|2=2解得b=1+2因为是下半圆故可知b=1+22（舍），故当直线过（0，3）时，解得b＝3，故1-故选：D．【点评】考查方程转化为标准形式的能力，及借助图形解决问题的能力．本题是线与圆的位置关系中求参数的一类常见题型．6．O为原点，P在圆C（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上，OP与圆C相切，则|OP|＝（）A．2 B．23 C．13 D．【考点】直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】A【分析】由题意利用勾股定理即可求解．【解答】解：O为原点，P在圆C（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上，OP与圆C相切，则|OP|=|OC|故选：A．【点评】本题考查了圆的切线长问题，属于基础题．7．直线x+ay﹣1＝0（a∈R）与圆x2+y2﹣4x＝0的交点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．无数个【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【答案】C【分析】判断直线与圆的位置关系经常利用圆的几何性质来解决，即当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，故本题应先求圆心（2，0）到直线x+ay﹣1＝0的距离，再证明此距离小于半径，即可判断交点个数【解答】解：圆x2+y2﹣4x＝0的圆心O（2，0），半径为2圆心O到直线x+ay﹣1＝0的距离为d=∴a2+1≥1，∴d≤1＜2即圆心到直线的距离小于半径，∴直线x+ay﹣1＝0（a∈R）与圆x2+y2﹣4x＝0的交点个数是2故选：C．【点评】本题考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系的判断，点到直线的距离公式，利用圆的几何性质解决问题是解决本题的关键8．圆心在直线y＝x上，经过原点，且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2+（y+1）2＝2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2或（x+1）2+（y+1）2＝2 D．（x﹣1）2+（y+1）2＝2或（x+1）2+（y﹣1）2＝2【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；数形结合；分类讨论．【答案】C【分析】根据题意画出圆的方程，使圆A满足题意中的条件，分两种情况考虑，当点A在第一象限时，根据垂径定理即可得到OC的长度，根据直线y＝x上点的横纵坐标相等，得到圆心A的坐标，根据勾股定理求出OA的长度即为圆A的半径，根据求出的圆心坐标和半径写出圆的标准方程；当点A′在第三象限时，同理可得圆心坐标和半径，根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：画出圆A满足题中的条件，有两个位置，当圆心A在第一象限时，过A作AC⊥x轴，又|OB|＝2，根据垂径定理得到点C为弦OB的中点，则|OC|＝1，由点A在直线y＝x上，得到圆心A的坐标为（1，1），且半径|OA|=2则圆A的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2；当圆心A′在第三象限时，过A′作A′C′⊥x轴，又|OB′|＝2，根据垂径定理得到点C′为弦OB′的中点，则|OC′|＝1，由点A′在直线y＝x上，得到圆心A′的坐标为（﹣1，﹣1），且半径|OA′|=2则圆A′的标准方程为：（x+1）2+（y+1）2＝2，综上，满足题意的圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2或（x+1）2+（y+1）2＝2．故选：C．【点评】此题考查学生灵活运用垂径定理化简求值，考查了数形结合及分类讨论的数学思想，是一道中档题．需注意的事项是应注意此题有两解，不要遗漏．二．多选题（共4小题）（多选）9．已知点A（﹣1，0），B（1，0），点P为圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+17＝0上的动点，则（）A．△PAB面积的最小值为8-B．AP的最小值为22C．∠PAB的最大值为5π12D．AB→⋅【考点】直线与圆的位置关系；平面向量数量积的性质及其运算．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】BCD【分析】对于A，点P动到圆C的最低点M时，△PAB面积的最小值，利用三角形面积公式；对于B，当点P动到R点时，AP取到最小值，通过两点间距离公式即可求解；对于C，当AP运动到与圆C相切时，∠PAB取得最大值，利用正弦值，求角即可求解；对于D，利用平面向量数量积的几何意义进行求解．【解答】解：∵圆C方程可化为：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝8，∴圆心C（3，4），半径r=22对于A选项，∵△PAB面积的最小值时，点P为圆C的最低点M，此时yM=4-22，S对于B选项，连接A，C交圆于R点，易知当点P动到R点时，AP取到最小值为AC-RC=(3+1)对于C，当AP运动到与圆C相切时，∠PAB取得最大值，设切点为Q，则sin∠CAQ=QC又sin∠CAN=CN∴∠PAB=∠CAQ+对于D选项，∵AB→当点P动到S点时，|AP又AB→⋅AP故选：BCD．【点评】本题考查圆的几何性质，向量数量积的运算，化归转化思想，属中档题．（多选）10．已知点P在⊙O：x2+y2＝4上，点A（3，0），B（0，4），则（）A．点P到直线AB的距离最大值是225B．满足AP⊥BP的点P有2个 C．过直线AB上任意一点作⊙O的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN过定点（12，1） D．2|PA|+|PB|的最小值为2【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．【答案】ABD【分析】对A，求出直线AB的方程，算出圆心到该直线的距离，进而通过圆的性质判断答案；对B，设点P（x，y），根据得到点P的轨迹方程，进而判断该轨迹与圆的交点个数即可；对C，举反例判断即可；对D，设P（x，y），设存在定点C（0，t），使得点P在圆O上任意移动时均有|PC|=12|PB|，进而求出点P的轨迹方程，然后结合点P【解答】解：对A，lAB：x3+y4=1⇒4x+3y-12=0，则圆心到直线的距离对B，设点P（x，y），则x2+y2＝4，且AP→=(x-3，故AP→⋅BP→=x2+y2﹣3x﹣4y两圆的圆心距为(0-32于是92＞52＞12对C，如图，过A作切线时，直线MN显然不经过（12，1），故C错误；对D，即求2(|PA|+1设存在定点C（0，t），使得点P在圆O上任意移动时均有|PC|=1设P（x，y），则有x2+(y-t)2=12x2+(y-4)2，化简得3x2+3y2+8（∵x2+y2＝4，则有2（1﹣t）y＝1﹣t2，即（1﹣t）（2y﹣1﹣t）＝0，∴t＝1，C（0，1），所以2|PA|+|PB|=2(|PA|+|PC|)≥2|AC|=210故选：ABD．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于难题．（多选）11．下列说法错误的是（）A．“a＝﹣1”是“直线x﹣ay+3＝0与直线ax﹣y+1＝0互相垂直”的充分必要条件 B．直线xcosα﹣y+3＝0的倾斜角θ的取值范围是[0C．若圆C1：x2+y2﹣6x+4y+12＝0与圆C2：x2+y2﹣14x﹣2y+a＝0有且只有一个公共点，则a＝34 D．若直线y＝x+b与曲线y=3-4x-x2【考点】直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系及其判定；命题的真假判断与应用；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题；数形结合；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】AC【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合直线垂直的等价条件可判断A．利用已知直线方程求得斜率可得直线的倾斜角的范围判断B；利用两圆相内切或外切可求得a，可判断C；曲线方程变形为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4，表示圆心A为（2，2），半径为2的下半圆，数形结合可求b判断D．【解答】解：对于A：当a＝1时，两方程可化为x+y+3＝0，﹣x﹣y+1＝0，斜率分别为﹣1和﹣1，∴两直线平行，∴充分性不成立，当直线x﹣ay+3＝0与直线ax﹣y+1＝0垂直时，则1×a﹣a×（﹣1）＝0，∴a＝0，∴必要性不成立，∴a＝﹣1是直线x﹣ay+3＝0与直线ax﹣y+1＝0垂直既不充分也不必要条件，故A错误；对于B：直线xcosα﹣y+3＝0的倾斜角θ，可得tanθ＝cosα∈[﹣1，1]，所以θ的取值范围为[0，π4]]∪[3π4，π），所以对于C：圆C1：x2+y2﹣6x+4y+12＝0的圆心为（3，﹣2），半径r＝1，圆C2：x2+y2﹣14x﹣2y+a＝0的圆心为（7，1），半径R=50-a，（a＜50两圆有且只有一个公共点，则两圆外切和内切，则(3-7)2+(-2-1)2=5＝1+解得a＝34或a＝14，故C错误；曲线方程变形为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4，表示圆心A为（2，2），半径为2的下半圆，根据题意画出图形，如图所示：直线y＝x+b与曲线y=3-4x-x2有公共点，则直线y＝x+b与圆相切或过点（当直线y＝x+b与半圆相切时，|2-3+b|2=2，解得b＝1﹣2当直线过点（0，3）时，b＝3，则数b的取值范围为[1﹣22，3]．故D正确．故选：AC．【点评】本题考查直线与直线的位置，圆与圆的位置，以及直线与圆的位置关系，属中档题．（多选）12．已知圆O1：x2+y2﹣2x﹣3＝0和圆O2：x2+y2﹣2y﹣1＝0交点为A，B，则（）A．圆O1和圆O2有两条公切线 B．直线AB的方程为x﹣y+1＝0 C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|＞|AB| D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+【考点】圆方程的综合应用．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】ABD【分析】根据题意，由两个圆的方程求出圆心的坐标和半径，据此依次分析选项，综合可得答案．【解答】解：根据题意，圆O1：x2+y2﹣2x﹣3＝0，即（x﹣1）2+y2＝4，其圆心为（1，0），半径R＝2，圆O2：x2+y2﹣2y﹣1＝0，即x2+（y﹣1）2＝2，其圆心为（0，1），半径r=2依次分析选项：对于A，两圆的圆心距d=2，有2-2＜2＜2+2，则两圆相交，则圆O1对于B，圆O1：x2+y2﹣2x﹣3＝0和圆O2：x2+y2﹣2y﹣1＝0，联立两个圆的方程可得x﹣y+1＝0，即直AB的方程为x﹣y+1＝0，B正确；对于C，直AB的方程为x﹣y+1＝0，经过圆O2的圆心，则线段AB为圆O2的直径，故|PQ|≤|AB|，C错误；对于D，圆O1的圆心为（1，0），到直线AB的距离d=|1+1|2=2，圆O1上的点到直线AB的最大距离为d+R＝2故选：ABD．【点评】本题考查圆的方程的综合应用，涉及圆与圆的位置关系，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．已知O为坐标原点，点P在圆（x+1）2+y2＝9上，则|OP|的最小值为2．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】函数思想；转化法；直线与圆；坐标系和参数方程；运算求解．【答案】2．【分析】由圆的参数方程可得P的坐标，再由两点间的距离公式写出|OP|，结合三角函数求最值．【解答】解：如图，令x+1＝3cosθ，y＝3sinθ，得x＝3cosθ﹣1，y＝3sinθ，即P（3cosθ﹣1，3sinθ），∴|OP|=(3cosθ-1则当cosθ＝1时，|OP|有最小值为2．故答案为：2．【点评】本题考查圆的应用，考查圆的参数方程，考查运算求解能力，是基础题．14．已知AC、BD为圆O：x2+y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，2），则四边形ABCD的面积的最大值为5．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】设圆心到AC、BD的距离分别为d1、d2，则d12+d22＝3，代入面积公式s=12AC×BD，使用基本不等式求出四边形【解答】解：如图连接OA、OD作OE⊥ACOF⊥BD垂足分别为E、F∵AC⊥BD∴四边形OEMF为矩形已知OA＝OC＝2OM=3设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，则d12+d22＝OM2＝3．四边形ABCD的面积为：s=12•|AC|（|BM|+|MD从而：s=1当且仅当d12＝d22时取等号，故答案为：5．【点评】此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．解答关键是四边形面积可用互相垂直的2条对角线长度之积的一半来计算．15．设圆C：（x﹣3）2+（y﹣5）2＝5，过圆心C作直线l交圆于A，B两点，与y轴交于点P，若A恰好为线段BP的中点，则直线l的方程为y＝2x﹣1或y＝﹣2x+11．【考点】直线与圆相交的性质；直线的一般式方程与直线的性质．【专题】计算题；压轴题．【答案】见试题解答内容【分析】由题意可设直线L的方程为y﹣5＝k（x﹣3），P（0，5﹣3k），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立y-5=k(x-3)(x-3)2+(y-5)2=5，然后由方程的根与系数关系可得，x1+x2，x1x2，由A为PB的中点可得x2＝2【解答】解：由题意可得，C（3，5），直线L的斜率存在可设直线L的方程为y﹣5＝k（x﹣3）令x＝0可得y＝5﹣3k即P（0，5﹣3k），设A（x1，y1），B（x2，y2）联立y-5=k(x-3)(x-3)2+(y-5)2=5消去y可得（1+k2）x2﹣6（由方程的根与系数关系可得，x1+x2＝6，x1x2=9∵A为PB的中点∴0+x22=x1即x把②代入①可得x2＝4，x1＝2，x1x2=9∴k＝±2∴直线l的方程为y﹣5＝±2（x﹣3）即y＝2x﹣1或y＝﹣2x+11故答案为：y＝2x﹣1或y＝﹣2x+11【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，方程的根与系数关系的应用，体现了方程的数学思想，属于中档题．16．圆C的方程为（x﹣2）2+y2＝4，圆M的方程为（x﹣2﹣5cosθ）2+（y﹣5sinθ）2＝1（θ∈R），过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE、PF，切点分别为E、F，则PE→⋅PF→的最小值为【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】计算题；综合题；压轴题；数形结合．【答案】见试题解答内容【分析】由两圆的圆心距|CM|＝5大于两圆的半径之和可得两圆相离，如图所示，则PE→⋅PF→的最小值是HE【解答】解：（x﹣2）2+y2＝4的圆心C（2，0），半径等于2，圆M（x﹣2﹣5cosθ）2+（y﹣5sinθ）2＝1，圆心M（2+5cosθ，5sinθ），半径等于1．∵|CM|=(5sinθ)2+(5cosθ)∵PE→⋅PF→=|PE→|⋅|PF|→•cos∠EPF，要使PE如图所示，设直线CM和圆M交于H、G两点，则PE→⋅PF→|HC|＝|CM|﹣1＝5﹣1＝4，|HE|=|HC|2-|CE|2=16-∴cos∠EHF＝cos2∠MHE＝1﹣2sin2∠MHE=1∴HE→⋅HF→=|HE|•|HE|•cos∠EHF＝2故答案为：6．【点评】本题考查两圆的位置关系，两圆的切线，两个向量的数量积的定义，二倍角的余弦公式，体现了数形结合的数学思想，判断PE→⋅PF→四．解答题（共4小题）17．已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，1）和B（2，0），线段AB的垂直平分线交该圆于C、D两点，且|CD|＝10（Ⅰ）求直线CD的方程；（Ⅱ）求圆P的方程．【考点】圆的一般方程．【专题】直线与圆．【答案】见试题解答内容【分析】（1）直接用点斜式求出直线CD的方程；（2）根据条件得知|PA|为圆的半径，点P在直线CD上，列方程求得圆心P坐标，从而求出圆P的方程【解答】解：（1）直线AB的斜率k=-13，AB中点坐标为（12，∴直线CD的斜率为3，方程为y-12=3（x-12）即3x﹣y（2）设圆心P（a，b），则由点P在直线CD上得：3a﹣b﹣1＝0①…（8分）又直径|CD|＝10，∴|PA|＝5∴（a+1）2+（b﹣1）2＝25②…（10分）由①②解得a=2b=5或∴圆心P（2，5）或P（﹣1，﹣4）…（12分）∴圆P的方程为（x﹣2）2+（y﹣5）2＝25或（x+1）2+（y+4）2＝25…（14分【点评】此题考查直线方程的点斜式、圆的标准方程的求法．18．已知圆C1：x2+y2﹣4x﹣3＝0和C2：x2+y2﹣4y﹣3＝0．（1）求两圆C1和C2的公共弦方程；（2）若圆C的圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，并且通过圆C1和C2的交点，求圆C的方程．【考点】圆系方程；两圆的公切线条数及方程的确定．【专题】计算题；综合法；直线与圆．【答案】（1）x﹣y＝0．（2）x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0．【分析】（1）将圆C1和C2的方程相减得公共弦的方程．（2）设此圆的方程为：x2+y2﹣4x﹣3+λ（x2+y2﹣4y﹣3）＝0，求出圆心坐标（21+λ，2λ1+λ），代入直线x﹣y﹣4＝0上，求解【解答】解：（1）将圆C1和C2的方程相减得：x﹣y＝0，此即为公共弦的方程．（2）因为所求的圆过两已知圆的交点，故设此圆的方程为：x2+y2﹣4x﹣3+λ（x2+y2﹣4y﹣3）＝0，即（1+λ）（x2+y2）﹣4x﹣4λy﹣3λ﹣3＝0，即x2+y2-4x1+λ-由于圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，∴21+λ-2λ1+λ-4所求圆的方程为：x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0．【点评】本题考查圆系方程的应用，两个圆的位置关系以及圆的方程的求法，考查计算能力．19．已知点M（3，1），直线ax﹣y+4＝0及圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．（1）求过M点的圆的切线方程；（2）若直线ax﹣y+4＝0与圆相切，求a的值；（3）若直线ax﹣y+4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为23，求a【考点】直线与圆相交的性质．【专题】综合题；直线与圆．【答案】见试题解答内容【分析】（1）点M（3，1）在圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4外，故当x＝3时满足与M相切，由此能求出切线方程．（2）由ax﹣y+4＝0与圆相切知|a-2+4|1+a2=（3）圆心到直线的距离d=|a+2|1+a2，l＝23，r＝2，由r2＝d2+（l2【解答】解：（1）∵点M（3，1）到圆心（1，2）的距离d=4+1=5＞∴点M在圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4外，∴当x＝3时满足与M相切，当斜率存在时设为y﹣1＝k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+1＝0，由|k-2+1-3k|k2+1=2∴所求的切线方程为x＝3或3x﹣4y﹣5＝0．（5分）（2）由ax﹣y+4＝0与圆相切，知|a-2+4|1+a2=解得a＝0或a=43．（（3）圆心到直线的距离d=|a+2|1+a又l＝23，r＝2，∴由r2＝d2+（l2）2，解得a=-3【点评】本题考查圆的切线方程的求法和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意点到直线的距离、两点间距离等知识点的合理运用．20．平面直角坐标系xOy中，直线x﹣y+1＝0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为6．（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题．【答案】（1）圆O的方程为x2+y2＝2；（2）直线l的方程为x+y﹣2＝0；（3）是定值，设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），x12+直线MP与x轴交点(x1y直线NP与x轴交点(x1ymn=x1故mn为定值2．【分析】（1）求出O点到直线x﹣y+1＝0的距离，进而可求圆O的半径，即可得到圆O的方程；（2）设直线l的方程，利用直线l与圆O相切，及基本不等式，可求DE长最小时，直线l的方程；（3）设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），x12+y12=2，x22【解答】解：（1）因为O点到直线x﹣y+1＝0的距离为12，（2所以圆O的半径为(1故圆O的方程为x2+y2＝2．（4分）（2）设直线l的方程为xa+yb=1(a＞0，b由直线l与圆O相切，得|ab|a2+b2DE当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x+y﹣2＝0．（10分）（3）设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），x12+直线MP与x轴交点(x1y直线NP与x轴交点(x1y2+mn=x1故mn为定值2．（16分）【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，考查学生的运算能力，属于中档题．

考点卡片1．命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．【解题方法点拨】1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．2．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的认识】1、平面向量数量积的重要性质：设a→，b→都是非零向量，e→是与b→方向相同的单位向量，a→（1）a→⋅e→=（2）a→⊥b→（3）当a→，b→方向相同时，a→⋅b→=|a→||b→|；当a→特别地：a→⋅a→=|a→|2（4）cosθ=a（5）|a→⋅b→|≤|2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a→（2）数乘向量的结合律：（λa→）•b→=λ（a→⋅（3）分配律：（a→⋅b→）•平面向量数量积的运算平面向量数量积运算的一般定理为①（a→±b→）2=a→2±2a→•b→+b→2．②（a→-b→）（a→+b→）=【解题方法点拨】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c→≠0，④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（a→⋅b⑥“acbc=ab”类比得到a→⋅c解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm”类比得到“a→即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，即③错误；∵|a→⋅b→|≠|a→|∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a→⋅b即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴acbc=ab即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c→+b→⋅c→”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=c→”；|a→⋅b→|≠|a→|•【命题方向】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．3．直线的一般式方程与直线的性质【知识点的认识】直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的一般方程的表达式是ay+bx+c＝0．1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y=-ABx-CB，表示斜率为-（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔A1A2=B1B2≠C1C2；l1与l24．直线的一般式方程与直线的垂直关系【知识点的认识】1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1∥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y=-ABx-CB，表示斜率为-（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔A1A2=B1B2≠C1C2；l1与l25．点到直线的距离公式【知识点的认识】﹣点到直线距离：点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离为：d=|A【解题方法点拨】﹣计算距离：1．代入直线方程：将点的坐标代入直线方程．2．计算绝对值：计算Ax0+By0+C的绝对值．3．计算模：计算法向量的模A24．求解距离：将绝对值与模相除，即得距离．【命题方向】﹣距离计算：考查点到直线的距离计算，可能涉及多种坐标系变换或应用．6．圆的标准方程【知识点的认识】1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．2．圆的标准方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圆心C（a，b），半径为r．特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：x2+y2＝r2．其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．【解题方法点拨】已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下：（1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；（2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组；（3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可．另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程．【命题方向】可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a，b，r值的求解可能和直线与圆的位置关系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度．在解答题中，圆的标准方程作为基础考点往往出现在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，找出a，b，r的值或解得圆的一般方程再进行转化．例1：圆心为（3，﹣2），且经过点（1，﹣3）的圆的标准方程是（x﹣3）2+（y+2）2＝5分析：设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程．解答：设圆的标准方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝R2，由圆M经过点（1，﹣3）得R2＝5，从而所求方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝5，故答案为（x﹣3）2+（y+2）2＝5点评：本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径．例2：若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1分析：要求圆的标准方程，半径已知，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为（a，b），由已知圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出关于a与b的关系式，又圆与x轴相切，可知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即|b|等于半径1，由圆心在第一象限可知b等于圆的半径，确定出b的值，把b的值代入求出的a与b的关系式中，求出a的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可．解答：设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），由圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离d=|4a-3b|5=r化简得：|4a﹣3b|＝5①，又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝﹣1（舍去），把b＝1代入①得：4a﹣3＝5或4a﹣3＝﹣5，解得a＝2或a=-∴圆心坐标为（2，1），则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．故选：A点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．例3：圆x2+y2+2y＝1的半径为（）A．1B．2C．2D．4分析：把圆的方程化为标准形式，即可求出圆的半径．解答：圆x2+y2+2y＝1化为标准方程为x2+（y+1）2＝2，故半径等于2，故选B．点评：本题考查圆的标准方程的形式及各量的几何意义，把圆的方程化为标准形式，是解题的关键．7．根据圆的几何属性求圆的标准方程【知识点的认识】1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．2．圆的标准方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圆心C（a，b），半径为r．特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：x2+y2＝r2．其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．【解题方法点拨】已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下：（1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；（2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组；（3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可．另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程．【命题方向】﹣标准方程推导：考查如何从几何属性推导圆的标准方程，通常涉及基本的几何知识和代数运算．8．圆的一般方程【知识点的认识】1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．2．圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）其中圆心坐标为（-D2，-E23．圆的一般方程的特点：（1）x2和y2系数相同，且不等于0；（2）没有xy这样的二次项．以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圆的必要非充分条件．9．其他形式的圆和圆弧的方程【知识点的认识】﹣圆弧方程：