2026年高考数学复习热搜题速递之圆锥曲线综合（2025年12月）

第1页（共1页）2026年高考数学复习热搜题速递之圆锥曲线综合（2025年12月）一．选择题（共8小题）1．方程（2x+3y﹣1）（x-3-1A．两条直线 B．两条射线 C．两条线段 D．一条直线和一条射线2．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1、F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则e1•e2+1的取值范围为（）A．（1，+∞） B．（43，+∞） C．（65，+∞） D．（1093．设圆（x+1）2+y2＝25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为（）A．4x221-4C．4x225-4．将x26+y2＝1的横坐标压缩为原来的1A．x23+y24=C．x212+2y2＝1 D．x235．如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）A．3 B．2 C．3 D．26．过双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右顶点AA．2 B．3 C．5 D．107．已知圆B：（x+2）2+y2＝64，A（2，0），动点C为圆B上任意一点，则AC的垂直平分线与BC的交点P的轨迹方程是（）A．x212+y2C．x216+y8．以（a1，0），（a2，0）为圆心的两圆均过（1，0），与y轴正半轴分别交于（0，y1），（0，y2），且满足lny1+lny2＝0，则点(1A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线二．多选题（共4小题）（多选）9．已知曲线C的方程为x2m+1+y23-mA．当m＝1时，曲线C为圆 B．当m＞1时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆 C．当m＝5时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y=±D．存在实数m使得曲线C为双曲线，其离心率为2（多选）10．发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣．像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线．卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数．已知：曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2（a＞1）的点的轨迹，则下列命题中正确的是（）A．曲线C过坐标原点 B．曲线C关于坐标原点对称 C．曲线C关于坐标轴对称 D．若点在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于1（多选）11．已知点P是椭圆C：x26+y2＝1上的动点，Q是圆D：（x+1）2+yA．椭圆C的短轴长为1 B．椭圆C的离心率为306C．圆D在椭圆C的内部 D．|PQ|的最小值为5（多选）12．关于曲线y24+x|x|A．该曲线的范围为：y∈R，x≤1 B．该曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称 C．该曲线与直线2x+y＝0有两个公共点 D．该曲线上的点到坐标原点的距离的最小值为1三．填空题（共4小题）13．如图，已知抛物线的方程为x2＝2py（p＞0），过点A（0，﹣1）作直线l与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（0，1），连接BP，BQ，设QB，BP与x轴分别相交于M，N两点．如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为﹣3，则∠MBN的大小等于．14．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线过椭圆x24+y216=1和椭圆ax21615．若直线y＝kx+1与焦点在x轴上的椭圆x25+y2m=1总有公共点，则实数16．若存在实数a、b使得直线ax+by＝1与线段AB（其中A（1，0），B（2，1））只有一个公共点，且不等式1sin2θ+pcos2θ≥20（a2+b2）对于任意θ∈（四．解答题（共4小题）17．已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y＝x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．18．已知抛物线C1：x2＝y，圆C2：x2+（y﹣4）2＝1的圆心为点M．（Ⅰ）求点M到抛物线C1的准线的距离；（Ⅱ）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程．19．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．20．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝22cosθ．（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为（1，0），M为C上的动点，点P满足AP→=2AM→，写出P的轨迹C1的参数方程，并判断

2026年高考数学复习热搜题速递之圆锥曲线综合（2025年12月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案DBDBBCCA二．多选题（共4小题）题号9101112答案ACBCDBCDAD一．选择题（共8小题）1．方程（2x+3y﹣1）（x-3-1A．两条直线 B．两条射线 C．两条线段 D．一条直线和一条射线【考点】曲线与方程．【专题】综合题．【答案】D【分析】由已知的方程得到2x+3y﹣1＝0或x-3-1=0．然后在满足根式有意义的前提下化简x-3-1=0．从而得到方程（2x+3y﹣1【解答】解：由（2x+3y﹣1）（x-3-1得2x+3y﹣1＝0或x-即2x+3y﹣1＝0（x≥3）为一条射线，或x＝4为一条直线．∴方程（2x+3y﹣1）（x-3-1故选：D．【点评】本题考查了曲线与方程，关键是对含有根式方程的化简，是中档题．2．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1、F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则e1•e2+1的取值范围为（）A．（1，+∞） B．（43，+∞） C．（65，+∞） D．（109【考点】圆锥曲线的综合．【专题】综合题；方程思想；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】B【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，（m＞n），由条件可得m＝10，n＝2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1＝5+c，a2＝5﹣c，（c＜5），运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，（m＞n），由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，即有m＝10，n＝2c，由椭圆的定义可得m+n＝2a1，由双曲线的定义可得m﹣n＝2a2，即有a1＝5+c，a2＝5﹣c，（c＜5），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c＝4c＞10，则c＞52，即有52＜由离心率公式可得e1•e2=c由于1＜25c2＜则e1•e2+1＞1∴e1•e2+1的取值范围为（43，+故选：B．【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查三角形的三边关系，考查运算能力，属于中档题．3．设圆（x+1）2+y2＝25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为（）A．4x221-4C．4x225-【考点】圆锥曲线的轨迹问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】D【分析】根据线段中垂线的性质可得，|MA|＝|MQ|，又|MQ|+|MC|＝半径5，故有|MC|+|MA|＝5＞|AC|，根据椭圆的定义判断轨迹椭圆，求出a、b值，即得椭圆的标准方程．【解答】解：由圆的方程可知，圆心C（﹣1，0），半径等于5，设点M的坐标为（x，y），∵AQ的垂直平分线交CQ于M，∴|MA|＝|MQ|．又|MQ|+|MC|＝半径5，∴|MC|+|MA|＝5＞|AC|．依据椭圆的定义可得，点M的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，且2a＝5，c＝1，∴b=21故椭圆方程为x2254+y故选：D．【点评】本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，得出|MC|+|MA|＝5＞|AC|，是解题的关键和难点．4．将x26+y2＝1的横坐标压缩为原来的1A．x23+y24=C．x212+2y2＝1 D．x23【考点】曲线与方程．【专题】计算题；转化思想；转化法；坐标系和参数方程；运算求解．【答案】B【分析】令x'=12xy'=2y，代入【解答】解：∵将x26+y2＝1的横坐标压缩为原来的1∴令x'=12xy'=2y，代入得2x'2故曲线的方程变为2x2故选：B．【点评】本题考查曲线方程的求法，考查伸缩变换等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．5．如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）A．3 B．2 C．3 D．2【考点】圆锥曲线的共同特征．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】B【分析】根据M，N是双曲线的两顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分，可得椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，利用双曲线与椭圆有公共焦点，即可求得双曲线与椭圆的离心率的比值．【解答】解：∵M，N是双曲线的两顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍∵双曲线与椭圆有公共焦点，∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2故选：B．【点评】本题考查椭圆、双曲线的几何性质，解题的关键是确定椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍．6．过双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右顶点AA．2 B．3 C．5 D．10【考点】直线与圆锥曲线的综合；双曲线的几何特征．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】C【分析】分别表示出直线l和两个渐近线的交点，进而表示出AB→和BC→，进而根据AB→=12BC→求得a和b的关系，进而根据c2﹣a2【解答】解：直线l：y＝﹣x+a与渐近线l1：bx﹣ay＝0交于B（a2a+b，l与渐近线l2：bx+ay＝0交于C（a2a-b，-aba-b），A（a∴AB→=（-aba+b，aba+b），BC→=∴-aba+b=a2ba∴c2﹣a2＝4a2，∴e2=c2a2=故选：C．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．7．已知圆B：（x+2）2+y2＝64，A（2，0），动点C为圆B上任意一点，则AC的垂直平分线与BC的交点P的轨迹方程是（）A．x212+y2C．x216+y【考点】圆锥曲线的轨迹问题．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】C【分析】连结AP，根据题意，|AP|＝|CP|，可得|PB|+|PA|＝|PB|+|PC|＝4＞|AB|，故P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，即可求出AC垂直平分线与线段BC的交点P的轨迹方程．【解答】解：连结AP，根据题意，|AP|＝|CP|，则|PB|+|PA|＝|PB|+|PC|＝8＞|AB|＝4，故P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为8的椭圆，且a＝4，c＝2，∴b＝23，∴点P的轨迹方程为：x2故选：C．【点评】本题考查曲线轨迹的求解，考查椭圆的标准方程，考查学生分析解决问题的能力，需要一定的基本功．8．以（a1，0），（a2，0）为圆心的两圆均过（1，0），与y轴正半轴分别交于（0，y1），（0，y2），且满足lny1+lny2＝0，则点(1A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线【考点】轨迹方程．【专题】综合题；对应思想；转化法；直线与圆．【答案】A【分析】根据点的距离公式可得y12＝1﹣2a1，y22＝1﹣2a2，根据对数的运算性质即可得到y1y2＝1，可得1a1+1a2=2，设x=【解答】解：因为r1＝|1﹣a1|=a12+y12，则y12同理可得y22＝1﹣2a2，又因为lny1+lny2＝0，所以y1y2＝1，则（1﹣2a1）（1﹣2a2）＝1，即2a1a2＝a1+a2，则1a1设x=1a1y=1a2故选：A．【点评】本题考查了点的轨迹方程，考查了点和圆的位置关系，属于中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．已知曲线C的方程为x2m+1+y23-mA．当m＝1时，曲线C为圆 B．当m＞1时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆 C．当m＝5时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y=±D．存在实数m使得曲线C为双曲线，其离心率为2【考点】圆锥曲线的综合．【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】AC【分析】把m＝1代入曲线方程判断A；举例说明B错误；把m＝5代入曲线C的方程判断C；由曲线C为双曲线，其离心率为2，得到m满足的条件，求解m值判断D．【解答】解：当m＝1时，曲线C的方程为x2+y2＝2，轨迹是圆，故A正确；当m＞1时，如m＝4，曲线C的方程为x25-当m＝5时，曲线C的方程为x26-y22其渐近线方程为y=±33若曲线C为双曲线，且离心率为2，则双曲线为等轴双曲线，需满足(m+1)(3-m)＜0|m+1|=|3-m|，即m故选：AC．【点评】本题考查曲线方程，考查双曲线的几何性质，是基础题．（多选）10．发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣．像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线．卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数．已知：曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2（a＞1）的点的轨迹，则下列命题中正确的是（）A．曲线C过坐标原点 B．曲线C关于坐标原点对称 C．曲线C关于坐标轴对称 D．若点在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于1【考点】轨迹方程．【专题】动点型；探究型；运动思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】BCD【分析】设动点坐标为（x，y），根据题意可得曲线C的方程为[（x+1）2+y2]•[（x﹣1）2+y2]＝a4，对各个选项逐一验证，即可得出结论．【解答】解：由题意设动点坐标为（x，y），则(x+1)2+y2即[（x+1）2+y2]•[（x﹣1）2+y2]＝a4，若曲线C过坐标原点（0，0），将点（0，0）代入曲线C的方程中可得a2＝1与已知a＞1矛盾，故曲线C不过坐标原点，故A错误；把方程中的x被﹣x代换，y被﹣y代换，方程不变，故曲线C关于坐标原点对称，故B正确；因为把方程中的x被﹣x代换，方程不变，故此曲线关于y轴对称，把方程中的y被﹣y代换，方程不变，故此曲线关于x轴对称，故曲线C关于坐标轴对称，故C正确；若点P在曲线C上，则|PF1||PF2|＝a2，S△F1PF2=12|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤1故△F1PF2的面积不大于12a2故选：BCD．【点评】本题考查新定义，考查轨迹方程的求法，考查学生分析解决问题的能力，正确运用新定义是解题的关键，属于难题．．（多选）11．已知点P是椭圆C：x26+y2＝1上的动点，Q是圆D：（x+1）2+yA．椭圆C的短轴长为1 B．椭圆C的离心率为306C．圆D在椭圆C的内部 D．|PQ|的最小值为5【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的几何特征．【专题】计算题；转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】BCD【分析】由椭圆的方程可得a，b，c的值，可得A，D不正确，可得圆D的圆心离左顶点最近，进而可得C正确，B正确．【解答】解：由椭圆C：x26+y2＝1可得，a2＝6，b2＝1，∴c2＝a2﹣b2＝5，所以椭圆的短轴长为2离心率e=ca=C中，x26+y2=1(x+1)2+y2=1由题意可得|PQ|的最小值为：|PQ|==56x2+2x+2故选：BCD．【点评】本题考查椭圆的性质及圆与椭圆的综合，属于中档题．（多选）12．关于曲线y24+x|x|A．该曲线的范围为：y∈R，x≤1 B．该曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称 C．该曲线与直线2x+y＝0有两个公共点 D．该曲线上的点到坐标原点的距离的最小值为1【考点】曲线与方程．【专题】分类讨论；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．【答案】AD【分析】先利用绝对值的定义进行分类讨论去掉绝对值，得到曲线方程对应的图象，然后利用图象对四个选项进行逐一分析判断即可．【解答】解：曲线y24+x|x|当x≥0时，曲线方程可化为y2当x＜0时，曲线方程可化为y2作出曲线对应的图象如图所示，由图可知，y∈R，x≤1，故选项A正确；由图可知，曲线关于x轴对称，不关于y轴对称，故选项B错误；因为直线2x+y＝0时双曲线的渐近线，与双曲线没有交点，与椭圆只有一个交点，故该曲线与直线2x+y＝0有一个公共点，故选项C错误；因为点（1，0）到原点的距离最小，所以曲线上的点到原点距离的最小值为1，故选项D正确．故选：AD．【点评】本题考查了曲线与方程的应用，涉及了椭圆的标准方程以及双曲线的标准方程的应用，解题的关键是利用绝对值的定义去掉绝对值化简曲线方程，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．如图，已知抛物线的方程为x2＝2py（p＞0），过点A（0，﹣1）作直线l与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（0，1），连接BP，BQ，设QB，BP与x轴分别相交于M，N两点．如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为﹣3，则∠MBN的大小等于π3【考点】直线与圆锥曲线的综合．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【答案】见试题解答内容【分析】设直线PQ的方程为：y＝kx﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线PQ方程与抛物线方程消掉y得x的二次方程，根据韦达定理及斜率公式可求得kBP+kBQ＝0，再由已知kBP•kBQ＝﹣3，可解kBP=3kBQ=-3，由此可知∠BNM【解答】解：设直线PQ的方程为：y＝kx﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），由y=kx-1x2=2py，得x2﹣2pkx+2p则x1+x2＝2pk，x1x2＝2p，kBP=ykBP+kBQ==2k=2k⋅2p-2⋅2pk2p=0，即kBP+kBQ又kBP•kBQ＝﹣3②，联立①②解得kBP=3，k所以∠BNM=π3，∠BMN故∠MBN＝π﹣∠BNM﹣∠BMN=π故答案为：π3【点评】本题考查直线、抛物线方程及其位置关系等知识，解决本题的关键是通过计算发现直线BP、BQ斜率互为相反数．14．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线过椭圆x24+y216=1和椭圆ax216【考点】圆锥曲线的共同特征．【专题】综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】见试题解答内容【分析】联立方程，确定交点坐标，利用焦点在x轴上的双曲线的渐近线过交点，确定双曲线几何量之间的关系，从而可求双曲线的离心率的取值范围．【解答】解：两方程联立x24设双曲线的实轴长为2a′，虚轴长为2b′，则b∴c'2∵0＜a≤1∴2∴2故答案为：[【点评】本题考查椭圆的交点，考查双曲线的离心率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．15．若直线y＝kx+1与焦点在x轴上的椭圆x25+y2m=1总有公共点，则实数m的取值范围是【考点】直线与圆锥曲线的综合；函数的零点．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】见试题解答内容【分析】先根据直线方程可知直线恒过（0，1）点，要使直线y＝kx+1与椭圆恒有公共点需（0，1）在椭圆上或椭圆内，进而求得m的范围．【解答】解：直线y＝kx+1恒过点（0，1），直线y＝kx+1与椭圆恒有公共点∴（0，1）在椭圆上或椭圆内∴0+1∴m≥1又∵椭圆x25+∴0＜m＜5．∴实数m的取值范围是[1，5）．故答案为：[1，5）．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．本题可采用数形结合的方法来解决．16．若存在实数a、b使得直线ax+by＝1与线段AB（其中A（1，0），B（2，1））只有一个公共点，且不等式1sin2θ+pcos2θ≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，【考点】曲线与方程．【专题】数形结合；转化思想；函数的性质及应用；三角函数的求值；不等式的解法及应用．【答案】见试题解答内容【分析】直线ax+by＝1与线段AB有一个公共点，可知：点A（1，0），B（2，1）在直线ax+by＝1的两侧，因此（a﹣1）（2a+b﹣1）≤0．画出它们表示的平面区域，如图所示．由图可知，当原点O到直线2x+y﹣1＝0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，可得dmin=15．由于存在实数a、b使得不等式1sin2θ+pcos2θ≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，π2【解答】解：∵直线ax+by＝1与线段AB有一个公共点，∴点A（1，0），B（2，1）在直线ax+by＝1的两侧，∴（a﹣1）（2a+b﹣1）≤0，即a-1≤画出它们表示的平面区域，如图所示．a2+b2表示原点到区域内的点的距离的平方，由图可知，当原点O到直线2x+y﹣1＝0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，∵dmin=那么a2+b2的最小值为：d2=1由于存在实数a、b使得不等式1sin2θ+pcos2θ≥20（a∴(1sin2θ+pcos2θ)∵θ∈（0，π2），∴sinθ，cosθ∈（0，1∴1sin2θ+pcos2θ=（sin2θ+cos2θ）(1当且仅当tan2θ=1∴1+p+2p≥4，p＞0，解得1≤p∴tanθ＝1，即θ=π故答案为：[1，+∞）．【点评】本题考查了函数图象与性质、线性规划有关知识、三角函数基本关系式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．四．解答题（共4小题）17．已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y＝x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合；抛物线的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．【答案】见试题解答内容【分析】（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0，1）可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；（II）由题意，可A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝kx+1，将直线方程与（I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．【解答】解：（I）由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py（p＞0）则p2=1，解得p＝2，故抛物线C的方程为x2＝（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝kx+1，由y=kx+1x2=4y消去y，整理得x2﹣4kx﹣4所以x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，从而有|x1﹣x2|=(x1由y=y1x1xy=x-2解得点同理可得点N的横坐标为xN=8所以|MN|=2|xM﹣xN|=2|84-x1-84-x令4k﹣3＝t，t≠0，则k=t+3当t＞0时，|MN|＝2225t2当t＜0时，|MN|＝2225t2综上所述，当t=-253，即k=-43时，【点评】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，本题考查了数形结合的思想及转化的思想，将问题恰当的化归可以大大降低题目的难度，如本题最后求最值时引入变量t，就起到了简化计算的作用．18．已知抛物线C1：x2＝y，圆C2：x2+（y﹣4）2＝1的圆心为点M．（Ⅰ）求点M到抛物线C1的准线的距离；（Ⅱ）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】见试题解答内容【分析】（I）由题意抛物线C1：x2＝y，可以知道其准线方程为y=-14，有圆C2：x2+（y﹣4）2＝1的方程可以知道圆心坐标为（0（II）由于已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），所以可以设出点P的坐标，利用过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，也可以设出点A，B的坐标，再设出过P的圆C2的切线方程，利用交于抛物线C2两点，联立两个方程，利用根与系数之间的关系整体得到两切线的斜率的式子，有已知的MP⊥AB，得到方程进而求解．【解答】解：（I）由题意画出简图为：由于抛物线C1：x2＝y准线方程为：y=-14，圆C2：x2+（y﹣4）2＝1的圆心M（0利用点到直线的距离公式可以得到距离d=4-（II）设点P（x0，x02），A（x1，x12），B（x由题意得：x0≠±0，x1≠x2，设过点P的圆C2的切线方程为：y-x02=k（x﹣x0）即y＝kx﹣则|kx0+4-x02|1+k2=1，即（x02-1）k2+2x0（设PA，PB的斜率为k1，k2（k1≠k2），则k1，k2应该为上述方程的两个根，∴k1+k将y＝x2代入①得：x2﹣kx+kx0-x02=0则x1故x1＝k1﹣x0，x2＝k2﹣x0∴kAB=y1-y2x1-x2=x12-x由于MP⊥AB，∴kAB•KMP＝﹣1⇒x故P(±23【点评】此题重点考查了抛物线即圆的标准方程，还考查了相应的曲线性质即设出直线方程，利用根与系数的思想整体代换，进而解出点的坐标，理应直线与圆相切得到要求的直线方程．19．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．【考点】直线与圆锥曲线的综合；椭圆的几何特征．【专题】证明题；综合题；压轴题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】（I）a＝1，b＝22．（II）证明：由（I）知，F1（﹣3，0），F2（3，0），C的方程为8x2﹣y2＝8①由题意，可设l的方程为y＝k（x﹣3），|k|＜22代入①并化简得（k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8＝0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2=6k2|AF1|=(x1+3)2+|BF1|=(x2+3)2|AF1|＝|BF1|得﹣（3x1+1）＝3x2+1，即x故6k2k2由于|AF2|=(x1-3)2+|BF2|=(x2-3)2+故|AB|＝|AF2|﹣|BF2|＝2﹣3（x1+x2）＝4，|AF2||BF2|＝3（x1+x2）﹣9x1x2﹣1＝16因而|AF2||BF2|＝|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．【分析】（I）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程用参数a表示出来，再由直线y＝2与C的两个交点间的距离为6建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；（II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x1，y1），B（x2，y2），将其与双曲线C的方程联立，得出x1+x2=6k2k2-8，x1x2=9k2+8k2-8，再利用|AF1|＝|BF1|建立关于A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系x【解答】解：（I）由题设知ca=3，即b2+a2a2所以C的方程为8x2﹣y2＝8a2将y＝2代入上式，并求得x＝±a2由题设知，2a2+12=所以a＝1，b＝22（II）由（I）知，F1（﹣3，0），F2（3，0），C的方程为8x2﹣y2＝8①由题意，可设l的方程为y＝k（x﹣3），|k|＜22代入①并化简得（k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8＝0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2=6k2|AF1|=(x1+3)2+|BF1|=(x2+3)2|AF1|＝|BF1|得﹣（3x1+1）＝3x2+1，即x故6k2k2由于|AF2|=(x1-3)2+|BF2|=(x2-3)2+故|AB|＝|AF2|﹣|BF2|＝2﹣3（x1+x2）＝4，|AF2||BF2|＝3（x1+x2）﹣9x1x2﹣1＝16因而|AF2||BF2|＝|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转化能力，方程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴．20．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝22cosθ．（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为（1，0），M为C上的动点，点P满足AP→=2AM→，写出P的轨迹C1的参数方程，并判断【考点】轨迹方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】方程思想；转化法；坐标系和参数方程；运算求解．【答案】（1）(x-2)2+（2）C1的参数方程是x=3-2+2cosθy=2sinθ，θ为参数；C【分析】（1）把极坐标方程化为ρ2＝22ρcosθ，写出直角坐标方程即可；（2）【解法1】根据点P的轨迹是以A为中心，2为缩放比例将圆C作位似变换得到的，得出圆C内含于圆C1，圆C与圆C1没有公共点．【解法2】设点P的直角坐标为（x，y），M（x1，y1），利用AP→=2AM→求出点M的坐标，代入C的方程化简得出点P的轨迹方程，再化为参数方程，计算|CC1|的值即可判断【解答】解：（1）由极坐标方程为ρ＝22cosθ，得ρ2＝22ρcosθ，化为直角坐标方程是x2+y2＝22x，即(x-2)2+y2＝2，表示圆心为C（2（2）【解法1】根据题意知，点P的轨迹是以A为中心，2为缩放比例将圆C作位似变换得到的，因此C的圆心为（3-2，0），半径差为2-所以圆C内含于圆C1，圆C与圆C1没有公共点．【解法2】设点P的直角坐标为（x，y），M（x1，y1），因为A（1，0），所以AP→=（x﹣1，y），AM→=（x1﹣1由AP→即x-解得x1所以M（22（x﹣1）+1，22y），代入C的方程得[化简得点P的轨迹方程是(x-3+2)2+y2＝4，表示圆心为C1（3化为参数方程是x=3-2+2cosθ计算|CC1|＝|（3-2）-2|＝3﹣22＜所以圆C与圆C1内含，没有公共点．【点评】本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，也考查了转化思想与运算求解能力，是中档题．

考点卡片1．函数的零点【知识点的认识】一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．【解题方法点拨】解法﹣﹣二分法①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度；②求区间（a，b）的中点x1；③计算f（x1）；④若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点；⑤若f（a）f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，则令a＝x1．（此时零点x0∈（x1，b）⑦判断是否满足条件，否则重复（2）～（4）【命题方向】零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与x轴的交点的横坐标，另外如果在（a，b）连续的函数满足f（a）•f（b）＜0，则（a，b）至少有一个零点．这个考点属于了解性的，知道它的概念就行了．2．椭圆的几何特征【知识点的认识】1．椭圆的范围2．椭圆的对称性3．椭圆的顶点顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．4．椭圆的离心率①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ca叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e=ca，且0＜e②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．3．抛物线的标准方程【知识点的认识】抛物线的标准方程的四种种形式：（1）y2＝2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F（p2，0），（p（2）x2＝2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，p2），（p四种形式相同点：形状、大小相同；四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．下面以两种形式做简单的介绍：标准方程y2＝2px（p＞0），焦点在x轴上x2＝2py（p＞0），焦点在y轴上图形顶点（0，0）（0，0）对称轴x轴焦点在x轴长上y轴焦点在y轴长上焦点（p2，0（0，p2焦距无无离心率e＝1e＝1准线x=y=4．双曲线的几何特征【知识点的认识】双曲线的标准方程及几何性质标准方程x2a2-y2b2=1y2a2-x2b2=1图形性质焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e=ca（e＞准线x＝±ay＝±a渐近线xa±yxb±y5．曲线与方程【知识点的认识】在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．求解曲线方程关键是要找到各变量的等量关系．【解题方法点拨】例：：定义点M到曲线C上每一点的距离的最小值称为点M到曲线C的距离．那么平面内到定圆A的距离与它到定点B的距离相等的点的轨迹不可能是（）A：直线B：圆C：椭圆D：双曲线一支．解：对定点B分类讨论：①若点B在圆A内（不与圆心A重合），如图所示：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的垂直平分线l交AP于点M，连接BM，则|AM|+|BM|＝|AP|＝R＞|AB|．由椭圆的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的椭圆．②若点B在圆A外，如图2所示：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的垂直平分线l交AP于点M，连接BM，则|BM|﹣|AM|＝|AP|＝R＜|AB|．由双曲线的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的双曲线的一支．③若定点B与圆心A重合，如图3所示：设点P是圆A上的任意一点，取线段AP的中点M，则点M满足条件，因此点M的轨迹是以点A为圆心，以12④若点B在圆A上，则满足条件的点是一个点B．综上可知：可以看到满足条件的点M的轨迹可以是：椭圆、双曲线的一支，圆，一个点，而不可能是一条直线．故选A．这是一个非常好的题，一个题把几个很重要的曲线都包含了，我认为这个题值得每一个学生去好好研究一下．这个题的关键是找等量关系，而这个等量关系是靠自己去建立的，其中还要注意到圆半径是相等的和中垂线到两端点的距离相等这个特点，最后还需结合曲线的第二定义等来判断，是个非常有价值的题．【命题方向】这个考点非常重要，但也比较难，我们在学习这个考点的时候，先要认真掌握各曲线的定义，特别是椭圆、抛物线、双曲线的第二定义，然后学会去找等量关系，最后建系求解即可．6．圆锥曲线的共同特征【知识点的认识】圆锥曲线的共同特征：圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到定直线的距离之比为定值e．当0＜e＜1时，圆锥曲线是椭圆；当e＞1时，圆锥曲线是双曲线；当e＝1时，圆锥曲线是抛物线．其中定点是圆锥曲线的一个焦点，定直线是相应于这个交点的准线．7．直线与圆锥曲线的综合【知识点的认识】直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．【解题方法点拨】例：已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心率e=1（1）求圆锥曲线C的方程；（2）设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点P，使PA→解：（1）依题意，设曲线C的方程为x2a2+y2b∴c＝1，∵e=c∴a＝2，∴b=a所求方程为x2（2）当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y＝k（x﹣1），由x2得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，从而xA+x设P（t，0），则PA→当3t解得t=此时对∀k∈R，PA→当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x＝1，xA＝xB＝1，yA对t=118，即存在x轴上的点P(118，0)，使这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在求证某种特殊的关系，像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式．我们看看解答思路，第一问就是求a、b、c中的两个值即可；第二问先是联立方程，然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系，这也是常用的方法．【命题方向】必考题，也是难题，希望大家多总结，尽量去总结一下各种题型和方法，在考试的时候，如果运算量大可以适当的放到最后做．8．圆锥曲线的综合【知识点的认识】1、抛物线的简单性质：2、双曲线的标准方程及几何性质标准方程x2a2-y2b2=1y2a2-x2b2=1图形性质焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2ca2+b2＝c2范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e=ca（e＞准线x＝±ay＝±a渐近线xa±yya±x9．圆与圆锥曲线的综合【知识点的认识】1、抛物线的简单性质：2、双曲线的标准方程及