2026年高考数学复习热搜题速递之直线与方程（2025年12月）

第1页（共1页）2026年高考数学复习热搜题速递之直线与方程（2025年12月）一．选择题（共8小题）1．已知直线l1：mx+4y﹣2＝0与l2：2x﹣5y+n＝0互相垂直，其垂足为（1，p），则m+n﹣p的值为（）A．4 B．﹣16 C．0 D．202．与直线L1：mx﹣m2y＝1垂直于点P（2，1）的直线L2的方程为（）A．x+y﹣1＝0 B．x﹣y﹣3＝0 C．x﹣y﹣1＝0 D．x+y﹣3＝03．过点P（2，﹣2）且平行于直线2x+y+1＝0的直线方程为（）A．2x+y﹣2＝0 B．2x﹣y﹣2＝0 C．2x+y﹣6＝0 D．2x+y+2＝04．点（2，1）到直线3x﹣4y+2＝0的距离是（）A．45 B．54 C．425 5．直线l过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+9＝0垂直，则l的方程是（）A．3x+2y﹣1＝0 B．3x+2y+7＝0 C．2x﹣3y+5＝0 D．2x﹣3y+8＝06．设直线l的方程为x﹣ysinθ+2＝0，则直线l的倾斜角α的范围是（）A．[0，π] B．[πC．[π4，3π7．平行于直线l：x+2y﹣3＝0，且与l的距离为25的直线的方程为（）A．x+2y+7＝0 B．x+2y﹣13＝0或x+2y+7＝0 C．x+2y+13＝0 D．x+2y+13＝0或x+2y﹣7＝08．直线l过点P（﹣1，2）且与以点M（﹣3，﹣2）、N（4，0）为端点的线段恒相交，则l的斜率取值范围是（）A．[-25，5] B．[-25，0）∪（C．（﹣∞，-25]∪[5，+∞） D．（﹣∞，-25]∪二．多选题（共4小题）（多选）9．已知直线l的方程为ax+by﹣2＝0，下列判断正确的是（）A．若ab＞0，则l的斜率小于0 B．若b＝0，a≠0，则l的倾斜角为90° C．l可能经过坐标原点 D．若a＝0，b≠0，则l的倾斜角为0°（多选）10．已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x+2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值可能为（）A．1 B．13 C．﹣2 D．﹣（多选）11．已知A（1，﹣1），B（4，1），点P满足|PB|＝2|PA|，则（）A．点P在以AB为直径的圆上 B．△PAB面积的最大值为133C．存在点P使得∠PBA=D．|PA||PB|的最小值为26（多选）12．三条直线x+y＝0，x﹣y＝0，x+ay＝3构成三角形，则a的值不能为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2三．填空题（共4小题）13．一条光线经过点A（2，3）射到直线x+y+1＝0上，被反射后经过点B（1，1），则入射光线所在直线的方程为．14．已知直线l1：kx+y+3＝0，l2：x+ky+3＝0，且l1∥l2，则k的值．15．（A组题）已知点P（﹣1，0），圆（x﹣1）2+y2＝9上的两个点A（x1，y1）、B（x2，y2）满足AP→=λPB→（λ∈R），则|3x116．过点P（0，3）作直线l：（m+n）x+（2n﹣4m）y﹣6n＝0的垂线，垂足为点Q，则点Q到直线x﹣2y﹣8＝0的距离的最小值为．四．解答题（共4小题）17．已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d（P，l）（1）求点P（1，1）到线段l：x﹣y﹣3＝0（3≤x≤5）的距离d（P，l）；（2）设l是长为2的线段，求点的集合D＝{P|d（P，l）≤1}所表示的图形面积；（3）写出到两条线段l1，l2距离相等的点的集合Ω＝{P|d（P，l1）＝d（P，l2）}，其中l1＝AB，l2＝CD，A，B，C，D是下列三组点中的一组．对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分．①A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，0）．②A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，﹣2）．③A（0，1），B（0，0），C（0，0），D（2，0）．18．已知直线l的方程为2x﹣y+1＝0（Ⅰ）求过点A（3，2），且与l垂直的直线的方程；（Ⅱ）求与l平行，且到点P（3，0）的距离为5的直线的方程．19．设已知三条直线l1：mx﹣y+m＝0，l2：x+my﹣m（m+1）＝0，l3：（m+1）x﹣y+（m+1）＝0，它们围成△ABC．（1）求证：不论m为何值，△ABC有一个顶点为定点；（2）当m为何值时，△ABC面积有最大值和最小值，并求此最大值与最小值．20．已知三角形△ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，8）．（1）求BC边上的高所在直线的方程；（2）求BC边上的中线所在直线的方程．

2026年高考数学复习热搜题速递之直线与方程（2025年12月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CDAAACBD二．多选题（共4小题）题号9101112答案ABDBCDBCDAC一．选择题（共8小题）1．已知直线l1：mx+4y﹣2＝0与l2：2x﹣5y+n＝0互相垂直，其垂足为（1，p），则m+n﹣p的值为（）A．4 B．﹣16 C．0 D．20【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【专题】对应思想；转化法；直线与圆．【答案】C【分析】先由两直线平行斜率相等，求出m，第一直线的方程确定了，把垂足坐标代入，可求p，垂足坐标确定了，把垂足坐标代入第二条直线的方程可得n，进而求得m+n﹣p的值．【解答】解：∵直线mx+4y﹣2＝0与2x﹣5y+n＝0互相垂直，∴m-4×∴m＝10，直线mx+4y﹣2＝0即5x+2y﹣1＝0，垂足（1，p）代入得，5+2p﹣1＝0，∴p＝﹣2．把P（1，﹣2）代入2x﹣5y+n＝0，可得n＝﹣12，∴m+n﹣p＝10﹣12+2＝0，故选：C．【点评】本题考查两直线垂直的性质，垂足是两直线的公共点，垂足坐标同时满足两直线的方程．2．与直线L1：mx﹣m2y＝1垂直于点P（2，1）的直线L2的方程为（）A．x+y﹣1＝0 B．x﹣y﹣3＝0 C．x﹣y﹣1＝0 D．x+y﹣3＝0【考点】直线的一般式方程与直线的性质；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【专题】计算题．【答案】D【分析】先求m＝1，从而得到直线L1的斜率为1，直线L2的斜率为﹣1，故可求．【解答】解：点P（2，1）代入直线L1：mx﹣m2y＝1，可得m＝1，所以直线L1的斜率为1，直线L2的斜率为﹣1，故可知方程为x+y﹣3＝0，故选：D．【点评】本题主要考查两直线垂直，斜率互为负倒数，属于基础题．3．过点P（2，﹣2）且平行于直线2x+y+1＝0的直线方程为（）A．2x+y﹣2＝0 B．2x﹣y﹣2＝0 C．2x+y﹣6＝0 D．2x+y+2＝0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】方程思想；待定系数法；直线与圆；运算求解．【答案】A【分析】由题意设过点P（2，﹣2）且平行于直线2x+y+1＝0的直线方程为2x+y+m＝0，代入P（2，﹣2）求得m，则直线方程可求．【解答】解：设与直线2x+y+1＝0平行的直线方程为2x+y+m＝0，代入P（2，﹣2），可得2×2﹣2+m＝0，即m＝﹣2．∴过点P（2，﹣2）且平行于直线2x+y+1＝0的直线方程为2x+y﹣2＝0．故选：A．【点评】本题考查直线方程的求法，考查两直线平行与斜率的关系，是基础题．4．点（2，1）到直线3x﹣4y+2＝0的距离是（）A．45 B．54 C．425 【考点】点到直线的距离公式．【专题】直线与圆．【答案】A【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：点（2，1）到直线3x﹣4y+2＝0的距离d=|3×2-4×1+2|故选：A．【点评】本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题．5．直线l过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+9＝0垂直，则l的方程是（）A．3x+2y﹣1＝0 B．3x+2y+7＝0 C．2x﹣3y+5＝0 D．2x﹣3y+8＝0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题．【答案】A【分析】因为直线l与已知直线垂直，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，由已知直线的斜率求出直线l的斜率，然后根据（﹣1，2）和求出的斜率写出直线l的方程即可．【解答】解：因为直线2x﹣3y+9＝0的斜率为23，所以直线l的斜率为-则直线l的方程为：y﹣2=-32（x+1），化简得3x+2y﹣故选：A．【点评】此题考查学生掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据一点和斜率写出直线的点斜式方程，是一道基础题．6．设直线l的方程为x﹣ysinθ+2＝0，则直线l的倾斜角α的范围是（）A．[0，π] B．[πC．[π4，3π【考点】直线的倾斜角．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．【答案】C【分析】直接利用直线方程的应用求出直线的斜率，进一步求出倾斜角的范围；【解答】解：直线l的方程为x﹣ysinθ+2＝0，设直线的倾斜角为α，①当sinθ＝0时，α=π②当sinθ≠0时，直线的斜率k＝tanα=1所以tanα∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），所以α∈综上所述：α∈故选：C．【点评】本题考查的知识要点：直线的斜率和倾斜角的关系，正切函数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题．7．平行于直线l：x+2y﹣3＝0，且与l的距离为25的直线的方程为（）A．x+2y+7＝0 B．x+2y﹣13＝0或x+2y+7＝0 C．x+2y+13＝0 D．x+2y+13＝0或x+2y﹣7＝0【考点】直线的一般式方程与直线的性质．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；直线与圆．【答案】B【分析】由题意设与直线l：x+2y﹣3＝0平行的直线方程为x+2y+m＝0，然后利用两平行线间的距离公式列式求得m值，则答案可求．【解答】解：设与直线l：x+2y﹣3＝0平行的直线方程为x+2y+m＝0，由|-3-m|5=25，解得：m＝﹣13或m∴所求直线方程为x+2y﹣13＝0或x+2y+7＝0．故选：B．【点评】本题考查直线的一般式方程，考查了两平行线间距离公式的应用，是基础题．8．直线l过点P（﹣1，2）且与以点M（﹣3，﹣2）、N（4，0）为端点的线段恒相交，则l的斜率取值范围是（）A．[-25，5] B．[-25，0）∪（C．（﹣∞，-25]∪[5，+∞） D．（﹣∞，-25]∪【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；直线与圆．【答案】D【分析】由题意画出图形，求出PM、PN所在直线的斜率，数形结合得答案．【解答】解：如图，∵P（﹣1，2）、M（﹣3，﹣2）、N（4，0），∴kPM=-2-2由图可知，使直线l与线段MN相交的l的斜率取值范围是（﹣∞，-25]∪[2，故选：D．【点评】本题考查直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．已知直线l的方程为ax+by﹣2＝0，下列判断正确的是（）A．若ab＞0，则l的斜率小于0 B．若b＝0，a≠0，则l的倾斜角为90° C．l可能经过坐标原点 D．若a＝0，b≠0，则l的倾斜角为0°【考点】直线的倾斜角；直线的斜率．【专题】计算题；方程思想；转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．【答案】ABD【分析】根据题意，结合直线的斜率与倾斜角的关系，依次判断选项是否正确，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次判断选项：对于A，直线l的方程为ax+by﹣2＝0，若ab＞0，则y=-bax+2a，则其斜率为对于B，若b＝0，a≠0，则直线l的方程为x=2a，其倾斜角为90°，对于C，直线l的方程为ax+by﹣2＝0，x＝0且y＝0时，等式不成立，即直线l不经过原点，C错误，对于D，若a＝0，b≠0，则直线l的方程为y=2b，其倾斜角为0°，故选：ABD．【点评】本题考查直线的方程，涉及直线的斜率与倾斜角，属于基础题．（多选）10．已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x+2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值可能为（）A．1 B．13 C．﹣2 D．﹣【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；两条直线的交点坐标．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数据分析．【答案】BCD【分析】由题意可得，故其中有2条直线平行，或者三线经过同一个点．再根据两条直线平行的性质，三直线共点问题，求出a的值．【解答】解：∵直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x+2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，∴故其中有2条直线平行，或者三线经过同一个点．若其中有2条直线平行，则1a=3，或1a=-12，求得a若三线经过同一个点，则直线l1：3x﹣y﹣1＝0和直线l2：x+2y﹣5＝0的交点（1，2）在l3上，故有1﹣2a﹣3＝0，求得a＝﹣1，故选：BCD．【点评】本题主要考查两条直线平行的性质，三直线共点问题，属于基础题．（多选）11．已知A（1，﹣1），B（4，1），点P满足|PB|＝2|PA|，则（）A．点P在以AB为直径的圆上 B．△PAB面积的最大值为133C．存在点P使得∠PBA=D．|PA||PB|的最小值为26【考点】两点间的距离公式．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】BCD【分析】设P（x，y），根据题意能求出点P的轨迹方程为x2+(y+53)2=(2133)2，再求出以AB为直径的圆的圆心和半径，能判断A；根据题意求出直线AB的方程，再验证圆P的圆心在直线AB的方程上，从而得到点P到直线AB的距离为圆P的半径时，△PAB的面积最大，进而求解即可判断B；根据|PB|＝2|PA|，结合在直角三角形中，π6角对应的直角边是斜边的一半，从而即可判断C；设|PA|＝x，则|PB|＝2【解答】解：设P（x，y），则|PA|=(1-x)2+(-1-y)2∵|PB|＝2|PA|，∴(4-x)化简得x2+（y+53）2∴点P的轨迹方程是x2+(y+53)对于A，以AB为直径的圆的圆心为（52，0），半径为|AB|2=对于B，依题意可得直线AB的方程为y+1=1-(-1)4-1（x﹣1），即y∴圆P的圆心（0，-53）在直线∴点P到直线AB的距离为圆P的半径时，△PAB的面积最大，∴△PAB面积的最大值为（S△PAB）max=12×|AB|×r=对于C，由|PB|＝2|PA|，在直角三角形中，π6又12+(-1+53)2=(133∴存在点P使得∠PAB=π2，此时∠PBA=对于D，设|PA|＝x，则|PB|＝2x，由余弦定理有13＝x2+4x2﹣2•x•2x•cos∠APB＝（5﹣4cos∠APB）x2，∴|PA|•|PB|＝x•2x＝2x2=26∴当cos∠APB＝﹣1，即∠APB＝π时，有（|PA|•|PB|）min=269，故故选：BCD．【点评】本题考查点的轨迹方程、圆、直线与圆的位置关系、余弦定理、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（多选）12．三条直线x+y＝0，x﹣y＝0，x+ay＝3构成三角形，则a的值不能为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【专题】计算题；转化思想；转化法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．【答案】AC【分析】若三条直线能构成三角形，则直线x+ay＝3与x+y＝0，x﹣y＝0都不平行，且不经过直线x+y＝0与x﹣y＝0的交点．【解答】解：联立x+y=0x-y=0，解得x=0y=0，解直线x+y＝0与x﹣y＝0的交点为（0，0）．显然（0，0）不在直线x+ay＝故若三条直线能构成三角形，则直线x+ay＝3与x+y＝0，x﹣y＝0都不平行，即a≠±1．故选：AC．【点评】本题考查两直线平行的应用，属于基础题．三．填空题（共4小题）13．一条光线经过点A（2，3）射到直线x+y+1＝0上，被反射后经过点B（1，1），则入射光线所在直线的方程为5x﹣4y+2＝0．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】计算题；对应思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】根据对称的性质，设点A（2，3）关于直线l的对称点为A′（x0，y0），利用斜率和中点坐标可得A′，可得反射光线所在直线的方程．联立方程组求解在x+y+1＝0上的反射点，即可求解入射光线直线的方程．【解答】解：设点A（2，3）关于直线l的对称点为A′（x0，y0），则2+x解得：A′（﹣4，﹣3），由于反射光线所在直线经过点A′（﹣4，﹣3）和B（1，1），所以反射光线所在直线的方程为y﹣1＝（x﹣1）•1+31+4，即4x﹣5y+1＝0解方程组4x-5y+1=0x+y+1=0，解得反射点P（-所以入射光线所在直线的方程为：5x﹣4y+2＝0．故答案为：5x﹣4y+2＝0．【点评】本题考查了直线关于直线的对称直线方程的求法，斜率，中点坐标的应用，属于中档题．14．已知直线l1：kx+y+3＝0，l2：x+ky+3＝0，且l1∥l2，则k的值﹣1．【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【专题】方程思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】利用直线与直线平行的性质求解．【解答】解：∵直线l1：kx+y+3＝0，l2：x+ky+3＝0，且l1∥l2，∴﹣k=-则k＝1或k＝﹣1．当k＝1时，两直线重合．∴k＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查两直线平行的性质，注意验证两直线是否重合．15．（A组题）已知点P（﹣1，0），圆（x﹣1）2+y2＝9上的两个点A（x1，y1）、B（x2，y2）满足AP→=λPB→（λ∈R），则|3x1【考点】点到直线的距离公式．【专题】方程思想；转化法；直线与圆；数学抽象．【答案】见试题解答内容【分析】由题意可知，P，A，B共线，|3x1+4y1-25|5+|3x2+4y2-25|5的几何意义为A，B两点到直线3x+4y﹣【解答】解：圆（x﹣1）2+y2＝9的圆心坐标为（1，0），半径为3，A（x1，y1）、B（x2，y2）为圆上的两点，又P（﹣1，0），且AP→=λPB→（λ∈R），可得P，即A，B是过P（﹣1，0）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝9的两交点．设AB的中点为（x0，y0），|3x1+4y1-25|5+|3x2+4y2则|3x由A，B在圆（x﹣1）2+y2＝9上，得(x1-1两式作差可得y1-y又y1-y2x则AB的中点的轨迹为以原点为圆心，以1为半径的圆，则（x0，y0）到直线3x+4y﹣25＝0的距离的最大值为|-25|5∴|3x1+4y1-25|5故答案为：12．【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用，考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，属难题．16．过点P（0，3）作直线l：（m+n）x+（2n﹣4m）y﹣6n＝0的垂线，垂足为点Q，则点Q到直线x﹣2y﹣8＝0的距离的最小值为5．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；点到直线的距离公式．【专题】数形结合；方程思想；直线与圆．【答案】见试题解答内容【分析】直线l：（m+n）x+（2n﹣4m）y﹣6n＝0，化为m（x﹣4y）+n（x+2y﹣6）＝0，可得直线l经过定点M（4，1）．线段PM的中点G．根据PQ⊥l．可得点Q在以点G为圆心，以|PG|为半径的圆上．利用点到直线的距离公式可得点Q到直线x﹣2y﹣8＝0的距离的最小值．【解答】解：直线l：（m+n）x+（2n﹣4m）y﹣6n＝0，化为m（x﹣4y）+n（x+2y﹣6）＝0，联立x-4y=0x+2y-6=0，解得x＝4，y∴直线l经过定点M（4，1）．线段PM的中点G（2，2）．∵PQ⊥l．∴点Q在以点G为圆心，以|PG|=5其圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5．圆心G到直线x﹣2y﹣8＝0点距离d=|2-2×2-8|5=∴点Q到直线x﹣2y﹣8＝0的距离的最小值为5．故答案为：5．【点评】本题考查了直线系的应用、圆的方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．四．解答题（共4小题）17．已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d（P，l）（1）求点P（1，1）到线段l：x﹣y﹣3＝0（3≤x≤5）的距离d（P，l）；（2）设l是长为2的线段，求点的集合D＝{P|d（P，l）≤1}所表示的图形面积；（3）写出到两条线段l1，l2距离相等的点的集合Ω＝{P|d（P，l1）＝d（P，l2）}，其中l1＝AB，l2＝CD，A，B，C，D是下列三组点中的一组．对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分．①A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，0）．②A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，﹣2）．③A（0，1），B（0，0），C（0，0），D（2，0）．【考点】点到直线的距离公式；空间点、线、面的位置．【专题】计算题；压轴题；新定义．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据所给的是一条线段，点到线段的距离不一定使用点到直线的距离公式得到，二是需要观察过点作垂线，垂足是否落到线段上，结果不是落到线段上，所以用两点之间的距离公式．（2）由题意知集合D＝{P|d（P，l）≤1}所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，做出面积．（3）根据题意从三组点的坐标中选第一组，根据所给的四个点的坐标，写出两条直线的方程，从直线方程中看出这两条直线之间的平行关系，得到要求的结果．【解答】解：（1）点P（1，1）到线段l：x﹣y﹣3＝0（3≤x≤5）的距离d（P，l）是点P到（3，0）的距离，d（P，l）=2（2）由题意知集合D＝{P|d（P，l）≤1}所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，∴S＝22+π＝4+π（3）对于所给的三组点到坐标选第一组，A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，0）．利用两点式写出两条直线的方程，AB：x＝1，CD：x＝﹣1，到两条线段l1，l2距离相等的点的集合Ω＝{P|d（P，l1）＝d（P，l2）}，根据两条直线的方程可知两条直线之间的关系是平行，∴到两条直线距离相等的点的集合是y轴．选第二组点来计算：A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，﹣2），根据第一组做出的结果，观察第二组数据的特点，连接得到线段以后，可以得到两条线段距离相等的点是y轴非负半轴，抛物线x=14y2(y≤0，0≤x≤1)，直线y＝﹣x选第三组来求解到两条线段距离相等的点，A（0，1），B（0，0），C（0，0），D（2，0），根据两条线段分别在横轴和纵轴上，知到两条线段距离相等的点在一三象限的角平分线上，方程是y＝x，不是这条直线上的所有的点都合题意，根据所给的点到直线的距离知（1，1）点左下方的符合题意，所以所求的点的集合是y＝x（0＜x≤1），y=12x2+12（1＜x＜2），2x-32（x≥【点评】本题考查点到直线的距离公式，考查两点之间的距离公式，考查利用两点式写直线的方程，考查点到线段的距离，本题是一个综合题目．18．已知直线l的方程为2x﹣y+1＝0（Ⅰ）求过点A（3，2），且与l垂直的直线的方程；（Ⅱ）求与l平行，且到点P（3，0）的距离为5的直线的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；点到直线的距离公式．【专题】转化思想；转化法；直线与圆．【答案】（Ⅰ）x+2y﹣7＝0；（Ⅱ）2x﹣y﹣1＝0或2x﹣y﹣11＝0．【分析】（Ⅰ）设与直线l：2x﹣y+1＝0垂直的直线l1的方程为：x+2y+m＝0，把点A（3，2）代入解得m即可；（Ⅱ）设与直线l：2x﹣y+1＝0平行的直线l2的方程为：2x﹣y+c＝0，由于点P（3，0）到直线l2的距离为5．可得|6+c|5=5【解答】解：（Ⅰ）设与直线l：2x﹣y+1＝0垂直的直线l1的方程为：x+2y+m＝0，把点A（3，2）代入可得，3+2×2+m＝0，解得m＝﹣7．∴过点A（3，2），且与直线l垂直的直线l1方程为：x+2y﹣7＝0；（Ⅱ）设与直线l：2x﹣y+1＝0平行的直线l2的方程为：2x﹣y+c＝0，∵点P（3，0）到直线l2的距离为5．∴|6+c|5解得c＝﹣1或﹣11．∴直线l2方程为：2x﹣y﹣1＝0或2x﹣y﹣11＝0【点评】本题考查了相互平行与垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19．设已知三条直线l1：mx﹣y+m＝0，l2：x+my﹣m（m+1）＝0，l3：（m+1）x﹣y+（m+1）＝0，它们围成△ABC．（1）求证：不论m为何值，△ABC有一个顶点为定点；（2）当m为何值时，△ABC面积有最大值和最小值，并求此最大值与最小值．【考点】恒过定点的直线；简单线性规划．【专题】综合题；直线与圆．【答案】（1）证明：根据题意得l1，l3交于A（﹣1，0）l2，l3交于B（0，m+1），∴不论m取何值时，△ABC中总有一个顶点为定点（﹣1，0）；（2）34，1【分析】（1）联立方程得出l1，l3交于A（﹣1，0），l2，l3交于B（0，m+1）从而可以证明结论．（2）首先根据条件得出角C为直角，从而得出S=12|AC|•|BC|，再利用点到直线的距离公式得出BC，AC，然后利用均值不等式求出，【解答】解：（1）证明：根据题意得l1，l3交于A（﹣1，0）l2，l3交于B（0，m+1），∴不论m取何值时，△ABC中总有一个顶点为定点（﹣1，0）．（2）从条件中可以看出l1、l2垂直，∴角C为直角，∴S=12|AC|•|BC|BC|等于点（0，m+1）到l1的距离d=|-m-1+m||AC|等于（﹣1，0）到l2的距离d=mS=12×m当m＞0时，1m+1m同理，当m＜0时，1m+1m∴m＝1时S取最大值为34，m＝﹣1时S取最小值1【点评】本题考查了两条直线的交点坐标以及基本不等式的最值问题，此题有一定难度，属于中档题．20．已知三角形△ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，8）．（1）求BC边上的高所在直线的方程；（2）求BC边上的中线所在直线的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的性质．【专题】直线与圆．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据B与C的坐标求出直线BC的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1，求出BC边上的高所在直线的斜率，然后由A的坐标和求出的斜率写出高所在直线的方程即可；（2）由B和C的坐标，利用中点坐标公式求出线段BC的中点坐标，然后利用中点坐标和A的坐标写出直线的两点式方程即可．【解答】解：（1）BC边所在直线的斜率为kBC=7-8则BC边上的高所在直线的斜率为kAD=-1由直线的点斜式方程可知直线AD的方程为：y﹣0＝6（x﹣4）化简得：y＝6x﹣24…（5分）（2）设BC的中点E（x0，y0），由中点坐标公式得x0即点E(3，15由直线的两点式方程可知直线AE的方程为：y-0x-4=15化简得：y=-152【点评】此题考查学生掌握两直线垂直时斜率所满足的条件，灵活运用中点坐标公式化简求值，是一道综合题．

考点卡片1．简单线性规划【知识点的认识】线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．【解题方法点拨】1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．在通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距zb取最大值时，z也取最大值；截距zb取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距zb取最大值时，z取最小值；截距【命题方向】例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件x+2y≥（1）试确定可行域的面积；（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），则可行域的面积S=1（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最小，此时z最小为z＝2+3＝5，当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最大，此时z最大为z＝4+3＝7，故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k的值是（）A．73B．37C．43分析：画出平面区域，显然点（0，43）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，4解答：不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y＝kx+43过定点（0，43）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（12，5当y＝kx+43过点（12，52）时，5答案：A．点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．题型二：求线性目标函数的最值典例2：设x，y满足约束条件：，求z＝x+y的最大值与最小值．分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x+y达到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．题型三：实际生活中的线性规划问题典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（）A．50，0B．30，20C．20，30D．0，50分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．解析设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知x+y求目标函数z＝x+0.9y的最大值，根据题意画可行域如图阴影所示．当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．题型四：求非线性目标函数的最值典例4：（1）设实数x，y满足，则yx的最大值为．（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|OA→+OM→|的最小值是分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．解答：（1）yx表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，3（2）依题意得，OA→+OM→=（x+1，y），|OA→+OM→|=(x+1)2+y2可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直线x故答案为：（1）32（2）3点评：常见代数式的几何意义有（1）x2+y2表示点（x，y）与原点（（2）(x-a)2+(y-b)2表示点（x（3）yx表示点（x，y）与原点（0，0（4）y-bx-a表示点（x，y）与点（a，b2．空间点、线、面的位置【知识点的认识】空间点、直线、平面的位置关系：1、平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2、直线与直线的位置关系（1）位置关系的分类（2）异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）．②范围：（0，π2]3、直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．4、平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5、公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行．6、定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．【解题方法点拨】1、主要题型的解题方法（1）要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内（即“纳入法”）．（2）要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．2、判定空间两条直线是异面直线的方法（1）判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．（2）反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．3、求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上（线面的端点或中点）利用三角形求解．4、注意事项：（1）全面考虑点、线、面位置关系的情形，可以借助常见几何模型．（2）异面直线所成的角范围是（0°，90°]．3．直线的倾斜角【知识点的认识】1．定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．2．范围：[0，π）（特别地：当直线l和x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0°）3．意义：体现了直线对x轴正方向的倾斜程度．4．斜率与倾斜角的区别和联系（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率．②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．（2）联系：①当a≠π2时，k＝tanα；当α②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，π2）时，k＞0且tanα随α的增大而增大，当α∈（π2，π）时，k＜0且tanα随【解题方法点拨】直线的倾斜角常结合直线的斜率进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题．【命题方向】（1）直接根据直线斜率求倾斜角例：直线3x+y﹣1＝0的倾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°分析：求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．解答：因为直线3x+y﹣1＝0的斜率为：-3直线的倾斜角为：α．所以tanα=-α＝120°故选C．点评：本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用．（2）通过条件转换求直线倾斜角例：若直线经过A（0，1），B（3，4）两点，则直线AB的倾斜角为（）A．30°B.45°C．60°D．120°分析：由直线经过A（0，1），B（3，4）两点，能求出直线AB的斜率，从而能求出直线AB的倾斜角．解答：∵直线经过A（0，1），B（3，4）两点，∴直线AB的斜率k=4-13-0∴直线AB的倾斜角α＝45°．故选B．点评：本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．4．直线的斜率【知识点的认识】1．定义：当直线倾斜角α≠π2时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．用小写字母k表示，即k＝tan2．斜率的求法（1）定义：k＝tanα（α≠π（2）斜率公式：k=y3．斜率与倾斜角的区别和联系（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率．②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．（2）联系：①当α≠π2时，k＝tanα；当α②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，π2）时，k＞0且随α的增大而增大，当α∈（π2，π）时，k＜0且随【解题方法点拨】直线的斜率常结合直线的倾斜角进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题．【命题方向】（1）已知倾斜角范围求斜率的范围；（2）已知斜率求倾斜角的问题．（3）斜率在数形结合中的应用．5．两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【知识点的认识】两直线平行与倾斜角、斜率的关系：①如果两条直线的斜率存在，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则有：两直线平行⇔倾斜角α1＝α2⇔斜率k1＝k2②如果两条直线的斜率都不存在，那么这两条直线的倾斜角都为90°，这两条直线平行．6．两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【知识点的认识】在同一个平面中，直线的关系可能是相交、平行、重合；这个知识点中我们探讨的是相交直线的一个特例，直线垂直．顾名思义，直线垂直就是两条直线的夹角为90°．两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系：①当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，这两条直线互相垂直；②当两条直线的斜率都存在时，设斜率分别为k1，k2，若两条直线互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，若两条直线的斜率互为负倒数，则它们互相垂直．l1⊥l2⇔k2=-1k1⇔k1•k【解题方法点拨】例：设A、B为x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x﹣2y+1＝0，则直线PB的方程是．解：根据|PA|＝|PB|得到点P一定在线段AB的垂直平分线上，根据x﹣2y+1＝0求出点A的坐标为（﹣1，0），由P的横坐标是2代入x﹣2y+1＝0求得纵坐标为32，则P（2，32），P在x轴上的投影为Q（2，0），又因为Q为A与B的中点，所以得到B（5，0），所以直线PB的方程为：y﹣0=32-02-5（x﹣5）化简后为x故答案为：x+2y﹣5＝0．7．直线的一般式方程与直线的性质【知识点的认识】直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的一般方程的表达式是ay+bx+c＝0．1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y=-ABx-CB，表示斜率为-（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔A1A2=B1B2≠C1C2；l1与l28．直线的一般式方程与直线的平行关系【知