《微积分下册》课件 第九章 无穷级数

第九章无穷级数教学内容和基本要求

理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解

无穷级数基本性质及收敛的必要条件。掌握几何级数和p—级数的收敛性。

了解交错级数的莱布尼兹定理。了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。

了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。

了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性可不作要求）。了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。会利用ex、sinx、cosx、ln(1+x)和(1+x)u的麦克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。重点与难点重点：无穷级数收敛和发散的概念;

正项级数的比值审敛法;

级数绝对收敛与收敛的关系;

幂级数的收敛半径与收敛区间;Taylor级数;

函数的幂级数展开式.难点：求幂级数的收敛半径与收敛区间.

1.计算圆的面积正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积一、问题的提出利用“割圆术”进行计算n无限增大时，和无限接近于面积。§9.1常数项级数的概念与性质(1).《庄子、天下篇》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”把每天截下的部分长度“加”起来为＝12.等比数列求和以上例子都有共同的特点：(2).它们是无穷个数相加的表达式讨论的问题：(1).以无穷数列为基础；无穷个数相加的表达式是否存在和。即：是否存在一个实数与此表达式对应。此实数为多少？由此给出下列级数等概念设有数列u1,u2,…,un,…,则式子称为一个常数项无穷级数.简称数项级数或级数.第n项un称为级数的一般项或通项.二、常数项级数的概念1,(常数项)无穷级数.级数是无穷多个数的和.它可能是一个确定的数,也可能不是一个确定的数.比如0+0+…+0+…=0,而1+1+…+1+…就不是一个数.都是常数项级数记Sn

=u1+u2+…+un.称为此级数的前n项部分和.(如S1=u1,S2

=u1+u2,…,Sn

=u1+u2+…+un.)由部分和构成的数列S1,S2,…,Sn

,…,称为此级数的部分和数列.易见.(i)un=Sn–Sn

–1(ii)从形式上看,有2.级数的部分和定义:则称此级数收敛,极限值S称为该级数的和.记作3.常数项级数的敛散性称为该级数的余和(余项,余式)性质1.(级数收敛的必要条件).证:

由于un=Sn–Sn–1三、常数项级数的基本性质注1.

性质1是级数收敛的必要条件而非充分条件.也即,

性质1的逆否命题为

这是以后我们判定一个级数发散的重要结论.注２.

例如.级数1+2+…+n+…,故级数发散.故此级数发散.性质2.

则

,

R,证

级数特别(i)取

=1,

=1.(ii)取

=0.推论:

性质3.

证:

只证在级数中去掉一项的情形.其余情形类似.u1+u2+…+uk–1+uk+1+…在级数中去掉或增加有限项.不改变级数的敛散性.由于uk是常数,其极限存在且为uk

.因此,即新级数与原来的级数有相同的敛散性.则对其任意加括号后所得到的级数仍然收敛,且其和不变.性质4.

即,若u1+u2+…+un+…=S.(收敛)则任意加括号后所成新级数.

(u1+u2)+(u3+u4+u5)+(u6+u7)+…=v1+v2+v3+…=S.(收敛)其中,v1=

(u1+u2),v2=

(u3+u4+u5),v3=

(u6+u7)…证:

用

m表示加括号后所成级数

v1+v2+v3+…=(u1+u2)+(u3+u4+u5)+(u6+u7)+…的前m项部分和.则

1=v1=(u1+u2)=S2,

2=v1+v2=S5,

3=v1+v2+v3=S7,…,一般,设

m=Sn

.其中m

n.当m

时,n.从而故加括号后所成级数收敛于S.注:比如,级数(1–1)+(1–1)+…+(1–1)+…收敛于0.但去括号的级数是发散的.或由S2n=0,性质4的逆命题不成立.即,若加括号后所成级数收敛.不能保证原来级数(即,去括号的级数)收敛.推论:

若加括号的级数发散,则原来级数发散.而S2n–1=1,都可知原级数发散.对于一般的等比级数(几何级数)

收敛

发散

发散

发散

综上证:用反证法

从而vn

=wn–un.

练习记wn

=un+vn

.设敛敛敛内容小结1.无穷级数3.收敛级数的性质(1)通项极限为0；(2)线性组合的收敛性；(3)去掉有限项仍收敛；(4)加括号收敛.2.收敛与发散则称此级数收敛,极限值S称为该级数的和.记作GoodBye正项级数的部分和数列Sn=u1+u2+…+un是单调递增数列

0

S1

S2…Sn….一、正项级数及其审敛法§9.2常数项级数的审敛法正项级数:正项级数的特点:从而Sn有界,也就有上界.于是有:定理1.正项级数收敛的充要条件是其部分和数列Sn有界(有上界).推论:

对于正项级数来说，求部分和数列是否有极限就可以转化为：估计部分和数列是有界，这可以用适当的放大或缩小部分和来达到目的例2.证:

注意不等式.若x>0.故调和级数发散.即数列{Sn}无界,定理2(比较审敛法)设且满足条件(1)若级数则级数(2)若级数则级数收敛,也收敛;发散,也发散.是两个正项级数,则有证明:故,(1)(2)分别表示和的部分和,则有

注意:在使用上述定理及推论时,必须知道一些敛散性确定的级数作为参考级数,例如几何级数,p-级数,调和级数.证明收敛.从而根据比较判别法的推论可知：

p-级数收敛.解注2.实际应用时,要判正项级数收敛.可将un逐注1.定理2中条件“un

vn”只须从某项开始以后一直成立即可.步放大,un

…vn.解定理3.

(比较审敛法的极限形式)则这两个级数有相同设两正项级数满足的敛散性.由比较审敛法的推论,得证.证明：例6.解:

常以p-级数和调和级数作为定理中的解:练１解练2解:<1故级数收敛.解因为因此级数发散.解:故级数发散.练3练4解根据比值判别法可得级数收敛.因为解:所以,用比值法无法判定其敛散性,改用比较法.练5则发散，故原级数发散.证

与上述定理的证明类似(略).

注:

上述两个定理基本通用,但当级数的通项中有随n变化的幂时,根值判别法更直接.例9.

解:敛.二、交错级数及其审敛法

判别交错级数的敛散性比较困难.下面我们对特殊的交错级数给出一个判别定理.定理5.(莱布尼兹Leibniz判别法)则级数收敛,且其和S

u1.其余项满足证:

我们来证明部分和数列Sn收敛,为此,

只须证明：(1)因S2n

=(u1

u2)+(u3

u4)+…+(u2n–1

u2n)0.且易见,S2(n+1)

S2n.以及S2n=u1(u2

u3)(u4

u5)

…

(u2n–2

u2n–1)

u2n

u1.

故数列S2,S4,S6,…S2n,…单调递增有上界.从而存在极限.(2)S2n+1

=S2n+u2n+1,=S+0=S注:

若将条件(1)改为un

un+1,（n=N,N+1,

N+2,…）,交错级数仍然收敛，其中N为固定的正整数.综合(1),(2)知,例10.

解:

此为交错级数.由莱布尼兹判别法,级数收敛.注:本题是由调和级数解原级数收敛.练6即un为任意实数.称为任意项级数.将各项取绝对值,作成一个正项级数还可为0.三、绝对收敛与条件收敛条件收敛.定理6.

即,绝对收敛的级数必为收敛级数.证:

即,当un0时,

vn=un.当un<0时,

vn=0

.设考虑的敛散性.解解故知原级数绝对收敛.

根据莱布尼兹定理,级数收敛.故原级数条件收敛.解:练7解:练8所以原级数发散.例13.解:即,原级数不是绝对收敛.综合知,原级数条件收敛.由莱布尼兹判别法,原级数收敛.内容小结2.判别正项级数敛散性的方法与步骤必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用它法判别部分和极限3.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛常数项级数的习题ABCD提交单选题1分ABCD提交单选题1分ABCD提交单选题1分ABCD提交单选题1分GoodBye定义在区间I上的一列函数则由这一列函数构成的表达式

称为定义在区间I上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数.（1）一、函数项级数的概念§9.3幂级数

对于每一个确定的值函数项级数就成为常数项级数:（1’）如果（1’）收敛，称点x0是函数项级数（1）的收敛点；如果（1’）发散，则称点x0是函数项级数（1）的发散点.此级数可能收敛可能发散.

由所有的收敛点构成的集合称为函数项级数的收敛域，由所有的发散点构成的集合称为函数项级数的发散域.

显然，在收敛域上，函数项级数的和是x的函数，记作称为函数项级数的和函数，即和函数的定义域就是级数的收敛域.函数项级数（1）的前n项和称为它的部分和函数，易知在收敛域上有

称为函数项级数的余项，在收敛域上有形如的级数称为幂级数，其中的常数称为幂级数的系数.

一个幂级数的和是定义在它们的收敛域内的一个函数，即和函数.二、幂级数及其收敛域1.幂级数定义如幂级数的收敛域是(-1,1)，当时有即当时,收敛；当时,发散.收敛域发散域定理1(阿贝尔Abel定理)(1)如果级数在处收敛,

则它在满足不等式的一切处绝对收敛；(2)如果级数在处发散,则它在满足不等式的一切处发散.使得当时,等比级数收敛,

收敛,即级数收敛.

证明收敛,假设当时发散,而有一点适合使级数收敛.由(1)结论,则级数当时应收敛,这与所设矛盾.推论如果幂级数不是仅在一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数存在,使得当时,幂级数绝对收敛；当时,幂级数发散；当与时,幂级数可能收敛也可能发散

正数R称为幂级数的收敛半径.开区间(-R,R)称为收敛区间.从而决定了收敛域为以下四个区间之一:2.收敛半径几何意义收敛区域发散区域发散区域规定收敛域(1)幂级数只在处收敛,收敛域(2)幂级数对一切都收敛,幂级数收敛域举例(先不证明):证明对级数应用比值判别法()或定理2

如果幂级数的所有系数,设(1)则当时,(2)则当时,(3)则当时,如果存在由比值审敛法,当时,级数收敛,从而级数绝对收敛.当时,级数发散,并且从某个n开始从而级数发散,收敛半径由比值判别法知，对任意的x≠0，级数必发散.从而级数绝对收敛.收敛半径如果有级数收敛,级数必发散.如果故收敛半径当时，级数为，发散.例1

求幂级数的收敛域.解因为又当时，级数为，发散；所以这个幂级数的收敛域为

.解解令t=x–1,则级数变为解

求下列幂级数的收敛区间:该级数发散；当时,级数为该级数收敛；当时,级数为故收敛域是练1故收敛域是级数只在处收敛.当即时,原级数收敛.

求幂级数的收敛域.解级数缺少偶次幂的项,对级数用比值判别法练2当即时,原级数发散.当级数为,收敛.故原级数的收敛域为

求幂级数的收敛域.练3解令,原级数化为当时,,级数发散,当时,,级数收敛,原级数的收敛域为

的收敛域为ABCD提交练4单选题1分1.幂级数的四则运算(1)加（减）法(其中设和的收敛半径分别为三、幂级数的运算与性质(2)

乘法(其中注：

相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多.(3)除法在收敛域内2.幂级数的分析运算性质(2)幂级数的和函数在收敛区间内可积,且对可逐项积分.幂级数的和函数在收敛区间内连续,如在端点收敛,则在端点单侧连续.即收敛半径不变.收敛半径不变.即(3)幂级数的和函数在收敛区间内可导,且对可逐项求导任意次.

两边积分得例7

求下列幂级数的和函数.解易求得的收敛域为设显然又时,收敛.即易求得的收敛域为两边从到积分,得设两边求导得易求得的收敛域为设两式相减,得

求的收敛域及和函数.解易求得与的收敛域分别为收敛域为设练习5则故原级数的和函数为

求的收敛域及和函数.解练习6故收敛域为令积分求导令求导两边同时积分得所以内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,2.幂级数的性质两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与也可通过换元化为标准型再求