2026年高考数学复习分类汇编（全国）立体几何初步（解析版）

专题07立体几何初步

□S

0n考点一：简单几何体的表面积和体积

1.（2024北京）小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型.他先将正方体交于同一顶点的

三条棱的中点分别记为A8,C,如图1所示，然后截去以V48C为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所

示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型.若原正方体的校长为6,则

此半正多面体模型的体积为（）

A.108B.162C.180D.189

【答案】C

【知识点】锥体体积的有关计算、求组合体的体积

【分析】正方体的体积减掉8个以VA8C为底面的正三棱锥的体积即得此半正多面体模型的体积.

【详解】设此半正多面体模型的体积为V,

则丫=乙方体一8分三枝惟=63-8xlxlx33=180.

故选：C.

2.（2024福建）圆柱的底面半径和高都是1,则该圆柱的体积为（）

A.-B.-C.-D.兀

432

【答案】D

【知识点】柱体体积的有关计算

【分析】根据给定条件，利用圆柱的体积公式计算即得.

【详解】圆柱的底面半径和高都是1,则该圆柱的体积丫=兀*2、1=兀.

故选：D

3.（2022河北）己知A是球。的球面上一点，过线段的中点。|作垂直于直线的平面，若该球被这

个平面截得的圆面的面积为9兀，则该球的表面积是（）

A.127rB.3671C.48兀D.326冗

【答案】C

【知识点】球的表面积的有关计算

【分析】本题涉及球的截面相关概念.球的截面是一个圆，根据圆的面积公式5=冗,（其中S为面积，r为

半径），可求出截面圆的半径.再利用球的截面性质，设球的半径为R,截面圆半径为「，球心到截面的距

R

离d（这里d=,通过勾股定理收=r+〃2求出球的半径进而求出球的表面积S=4TIR2.

【详解】已知截面圆的面积为9兀，根据圆的面积公式S="2,可得"2=9兀，解得r=3.

设球的半径为因为。1是。4的中点，所以球心。到截面的距离〃=

根据勾股定理七八1,将r=3,〃=与代入可得：

叱=32+（6］，则尸=9+g，则至=9,则斤=12,解得R=26.

根据球的表面积公式S=4TTN,将宠=26代入可得：

S=4兀x（2石产=471X12=487：

故选：C.

4.（2022河北）已知圆锥的母线长为2,母线与底面所成的角是60。，则该圆锥的体积是（）

A.—B.兀C.扃D.3兀

3

【答案】A

【知识点】锥体体积的有关计算

【分析】根据圆锥的性质求得圆锥的高和底面半径，再由体积公式计算.

【详解】设圆锥的高为/?,底面半径为「，又母线长为/=2,而母线与底面所成的角是601

则/•=；/=1,A=/sin600=5/3,

所以体积为V=-7Cr2/z=-7TXl2X=—71>

333

故选：A.

5.（2022北）若球。被一个平面所截，所得截面的面积为3兀，且球心。到该截面的距离为1,则球。的

表面积是（）

A.7?B.167cC.3ND.8冗

33

【答案】B

【知识点】球的截面的性质及计算、球的表面积的有关计算

【分析】先求出截面圆的半径，再利用勾股定理求得球的半径，再根据球的表面积公式即可得出答案.

【详解】因为球的一截面的面积为3兀，所以截面圆的半径为石，

又因为球心。到该截面的距离为1,

所以球的半径为/?=’1+（石丫=2,

所以球。的表面积为4TTK=4兀X4=16TT.

故选：B.

6.（2022河北）已知圆锥的底面半径为1,母线与底面所成的角是60。，则该圆锥的侧面积是（）

A.双况B.2兀C.—D.兀

33

【答案】B

【知识点】圆锥表面积的有关计算

【分析】根据给定条件，求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式计算即得.

【详解】由圆锥的母线与底面所成的角是60。，得圆锥轴截面等腰三角形且底角为60。，

所以圆锥轴截面等腰三角形是正三角形，因此圆锥母线长为2,

所以该圆锥的侧面积是71x1x2=271.

故选：B

7.（2023广西）己知圆柱的底面积为1,高为2,则该圆柱的体积为（）

A.1B.2C.4D.6

【答案】B

【知识点】柱体体积的有关计算

【分析】根据圆柱的体积公式计算可得答案.

【详解】因为圆柱的底面积为1，高为2,

所以该圆柱的体积为1x2=2.

故选：B.

8.（2024浙江）一个棱长为1的正方体顶点都在同一个球上，则该球体的表面积为（）

A.3兀B.2TUC.氐D.兀

【答案】A

【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【分析】棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，球的直径是正方体的对角线，从而得到结果.

【详解】棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，

二.球的直径是正方体的对角线，

•••球的半径是「=且，

2

・••球的表面积是4X7EX（日）

=371

故选：A

9.（2023吉林）一个棱长为2#的正方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的体积是（）

A.18nB.18x/3n

C.D.36兀

【答案】D

【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【分析】由已知可得所求球是棱长为2万的正方体的外接球，代入正方体对角线公式，求出外接球的半径,

代入球的体积公式，可得答案.

【详解】若棱长为2石的正方体的八个顶点都在同一个球面上，

则该球是正方体的外接球，

球的半径R辰区可=3,

4

则球的体积卜=§兀*=36兀.

故选：D.

10.（2024天津）一个圆柱的底面直径和高都等于球。的直径，则球。与该圆柱的体积之比为（）.

【答案】D

【知识点】柱体体积的有关计算、球的体积的有关计算

【分析】设球。的半径为R（R>0）,即可求出球、圆柱的体积，从而得解.

【详解】设球。的半径为R（R>0），则％=争"

依题意圆柱的底面半径为/?,高为2R,所以％柱=兀&'2/?=2浦也

所以/_3_2.

%柱2束3

故选：D

11.（2023浙江）上、下底面圆的半径分别为「、2r,高为3r的圆台的体积为（）

A.7兀，B.2E/C.（5+2夜加③D.（5+夜卜，

【答案】A

【知识点】台体体积的有关计算

【分析】根据圆台的体积公式计算可得.

【详解】因为圆台的上、下底面圆的半径分别为「、2r,高为“，

所以V」兀[/+（2厅+2/]x3r=7兀

3

故选：A

12.（2024湖南）已知圆柱的底面半径为3cm,体积为18n1一,则该圆柱的表面积为（）

A.I27tcmB.18兀cm2C.217rcm2D.SOncm2

【答案】D

【知识点】柱体体积的有关计算、圆柱表面积的有关计算

【分析】利用圆柱体积求得圆柱的高，再利用表面积公式计算即得.

【详解】设圆柱的高为km,由题意，9汕=18兀，解得〃=2,

则圆柱的表面积为S&=2尤xT+2兀x3x2=30兀cm2.

故选：D.

13.（2024安徽）在△A8C中，AA=4,BC=3,zS4BC=120\若将△ABC绕8c所在的直线旋转一周,

则所形成的几何体的体积为.

【答案】1271

【知识点】锥体体积的有关计算、求旋转体的体积

【分析】画出旋转体的图象，根据圆锥体积公式求出几何体的体积.

【详解】如图所示，

c

旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，

所以OA=4xsin60'=2j5,O4=4xcos60'=2,

所以旋转体的体积为：V=1x7rx（2>/3）2x[（3+2）-2]=127r.

故答案为：12兀

14.（2024云南）一商场门口有个球形装饰品.若该球的半径为1米，则该球的表面积为平方米.

【答案】4兀

【知识点】球的表面积的有关计算

【分析】由球的表面积公式求解.

【详解】因为该球的半径为1米，所以该球的表面积为：4兀x『=4兀（平方米），

故答案为：4兀

15.（2024云南）若一个半径为'em的球和一个上，下底面边长分别为1cm和2cm的正四棱台的体积相同，

则正四棱台的高为cm.

▼木包、2727万

【答案】叱/元

【知识点】球的体积的有关计算、台体体积的有关计算

【分析】利用球和正四棱台的体积公式直接建立等式计算即可.

【详解】解：球的体积为匕=[兀x（|[①，

设正四棱台的高为力，则正四棱台的体积为％=：（1+4+向»=：/?②，

由乂=匕,

解得：人。.

14

故答案为：工97兀.

14

16.（2024浙江）上、下底面面积分别为1,4,高为3的圆台体积为.

【答案】7

【知识点】台体体积的有关计算

【分析】由圆台体积公式V=《x（S]+S2+百用■）即可求解.

【详解】由题意知&=1,02=4,〃=3,

J_____勺

所以1/=§X（S1+S2+V^）=§X（1+4+2）=7.

故答案为：7.

□S

□□考点二；空间点、直线、平面的位置关系

1.（2024北京）如图，在三棱柱ABC-A4G中，M，底面A4C,。是BC的中点，则直线（）

A.与直线AC相交B.与直线AC平行

C.与直线A4垂直D.与直线AA是异面直线

【答案】D

【知识点】异面直线的判定

【分析】由直二棱柱的特征逐项判断即可.

【详解】易知三棱柱ABC-A4G为直三棱柱，

由图易判断。G与4C异面，AB错误；

因为AA/cc/G与CG相交但不垂直，所以OG与直线AA不垂直，C错误;

由图可判断OG与直线AA是异面直线，D正确.

故选：D

2.（2022河北）已知/是一条直线，是两个不同的平面，有以下结论：

①若/_La,a〃/?,贝/_!_/?；②若贝

③若///////夕，则々///.④若则。///.

其中正确结论的序号是（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

【答案】D

【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断

【分析】根据空间中线面、面面之间的基本关系，依次判断命题即可.

【详解】①：若0,则/上/，故①正确；

②：若///a0_L〃，贝"u"或/与夕相交或////?,故②错误；

③：若///a1//夕，则。〃/或a与夕相交，故③错误；

④：若/la,/_!_/,则1//夕，故④正确.

故选：D

3.（2024天津）若/,小是两条不同的直线，。是一个平面，/_La,则"/_L〃?”是”的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【知识点】判断命题的必要不充分条件、线面关系有关命题的判断

【分析】根据空间中线线、线面的位置关系及充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】因为/,，〃是两条不同的直线，。是一个平面，/_L。，

若/_L/〃，则〃"/a或〃故充分性不成立；

若〃〃/a,则在平面a存在直线c,使得加/c,又/la,cua,所以/_Lc,所以/_L/〃，故必要性成立,

所以”是"mlla"的必要不充分条件.

故选：B

4.（2024北京）在空间中，若两条直线，，与人没有公共点，则。与力（）

A.相交B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线

【答案】D

【知识点】异面直线的概念及辨析

【分析】根据空间直线的位置关系判断，即可得答案.

【详解】由题意知在空间中，两条直线〃与〃没有公共点，即〃与〃不相交，

则。与力可能平行，也可能是异面直线，

故选：D

5.（2023辽宁）设/,〃?，〃是三条不同的直线，a,夕，/是三个不同的平面，下列命题正确的是（）

A.若/〃"？，m//n,贝!]/〃〃B.若/〃〃z,m//a,则|/〃a

C.若a上0,6_Ly,则a_LyD.若/_!,〃?，I//at则〃

【答案】A

【知识点】线面关系有关命题的判断、平行公理、面面关系有关命题的判断、判断面面是否垂直

【分析】选项A由平行的传递性可得；BCD由长方体中的线面、面面位置关系举反例可知.

【详解】选项A,若/〃机，/〃〃〃，则由平行的传递性可知，/〃〃，故A正确；

选项B,若/〃〃2,m//af贝lj/〃a或/ua都有可能，

如图，长方体ABC。—A4GA中（以下同），

设直线8c为机，直线8C为/,底面ABC。为。，

满足/〃〃?，〃?〃a,但/ua,/与。不平行，故B错误;

选项C,若a_L〃，〃_Ly,则。与7不一定垂直,

如图，设上底面A4GA为。，下底面A3CQ为九平面380（为万,

满足。_L〃，八y,但a〃乙。与夕不垂直，故C错误;

选项D,若/_L〃z,/〃a,则〃或〃?ua或w与a相交都有可能,

如图，设直线8c为加，直线为/,设上底面为。，

满足l//af但〃?ua,“与。不平行，故D错误.

故选：A.

6.（2023黑龙江）如图，在正方体八ACD-ATTC”中，与A8平行的是（）

C.DCD.B'C

【答案】C

【知识点】异面直线的判定

【分析】根据正方体的性质结合空间中线线位置关系分析判断.

【详解】根据题意可知：A4'、4。与A3相交，DC与43平行，与A8异面，

故ABD错误，C正确.

故选：C.

7.（2022浙江温州）已知加，〃是不同的直线，。，夕是不同的平面，下列命题中，正确的是（）

A.若加//a,n/la,则m//n

B.若〃7_La,n±a,贝

C.若〃J〃ua,，〃//£,n/tp,则a//£

D.若〃z_La,n/la则，〃_Ln

【答案】D

【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断

【分析】根据空间中的直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系和符号表示，判断选项中的命

题是否正确即可.

【详解】在A中，若/〃//a,〃//。，则用与〃相交、平行或异面，故A错误；

在B中，若〃/_La,〃_La,贝！!〃?〃〃，故B错误；

在C中，必须平面内有两条相交直线分别与平面平行，此时两平面才平行，故C错误；

在D中，〃//a时，过〃作平面yca=/,所以〃〃/,且〃?_!_/,所以〃?_L〃，故D正确.

故选：D.

8.（2023天津）已知空间三条直线“，b,J若g,〃_Lc,贝！1（）

A.人与c平行B.〃与。相交

C.〃与（•异面D.匕与。平行、相交、异面都有可能

【答案】D

【知识点】异面直线的判定

【分析】根据线线关系举例可得答案.

【详解】如图，在长方体中，alhta_Lc,则〃与c平行、相交、异面都有可能.

故选：D.

9.（2023广东）已知“和/?是两个不同平面，A：aI/0,生。和夕没有公共点，则A是〃的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D,既不充分也不必要条件

【答案】C

【知识点】充要条件的证明、面面关系有关命题的判断

【分析】根据面面平行的定义判断.

【详解】两个平面平行的定义是：两个平面没有公共点，则这两个平面平行，因此A是4的充要条件.

故选：C.

10.（2023江苏）已知直线/〃平面a,直线mu平面a,贝心与力不可能（）

A.平行B.相交C.异面D.垂直

【答案】B

【知识点】线面关系有关命题的判断

【分析】若/与〃，相交，得到/与。有交点，这与题设矛盾，得到答案.

【详解】直线/〃平面直线，〃u平面a,贝!!/与:"可能平行，异面和垂直，

若/与小相交，l［｝m=A,则Aw!,Aem,直线”?u平面a,故

即/与。有交点，这与题设矛盾.

故选：B

HO

□□考点三：异面直线所成角

1.（2024浙江）在正四面体A3c。中，E是A8的中点，户在的延长线上，b=6C,则异面直线防

和DE所成角的正弦值为（）

A.1B.辿C.1D.巫

3355

【答案】B

【知识点】求异面直线所成的角

［分析］连接EC,“即或其补角为异面直线AF和DE所成角,在^CDE中由余弦定理求得cos/CEO及AF

和DE所成角的正弦值.

【详解】连接EC,因为b=8C,E是A8的中点，所以EC//AF,

所以Z.CED或其补角为异面直线"'和DE所成角，

设正四面体48co的棱长为2,贝"。=疯/。=6,

在,CDE中由余弦定理得cos/CED==JAA=I，

2Cn-IJ1L2x，3>\/33

所以"和OE所成角的正弦值为Jl-=半，

故选：B

2.（2022河北）如图，在正方体ABC。-4司GR中，E是棱4A的中点，则异面直线DE和C4所成角的

A,&B.巫C.叵D.我

52105

【答案】C

【知识点】求异面直线所成的角

【分析】设尸为的中点，连接EEOF，A8,可证/。所或其补角即为异面直线和CR所成的角，故

可求它的余弦值.

设尸为48的中点，连接EEOF，A8,

由正方体的性质可得则四边形为平行四边形,

故A&/RC,而民尸为所在棱的中点，散EFHN，

故EFHD.C,故所或其补角即为异面直线DE和CD,所成的角，

设正方体的棱长为2,则DE=DF=«,EF=>/i,

5/2r—

故c/,）尸尸_三—W，故异面直线DE和8所成的角的余弦值为",

COSZ-LJtLr=―T=-=--1n

x/510IU

故选：c.

3.（2024云南）如图，在正方体中，异面直线BG与8Q所成的角等于（）

【答案】C

【知识点】求异面直线所成的角

【分析】连接AR.ABI，分析可知异面直线BG与8a所成的角为（或其补角），结合正方体的性

质分析求解.

【详解】连接AR,A修，

因为ABIlGQ,A8=G2,可知A8GA为平行四边形，

则ARIIBC、,可知异面直线8G与8A所成的角为乙4。与（或其补角），

由正方体可知A"=A4=42,即为正三角形，可知乙4。蜴二1,

所以异面直线BC与BQ所成的角等于

故选：C.

4.（2024湖南）如图，在正方体人BCO-ABGQ中，异面直线与优。所成的角为（）

【答案】C

【知识点】求异面直线所成的角、棱柱的结构特征和分类

【分析】根据给定条件，利用几何法求出异面直线所成的角.

【详解】在正方体ABC。-A"3c2中，连接四边形4BCQ是其对角面，

则四边形ABCQI是矩形，BCJ5D、,于是44力内是异面直线"G与所成的角,

而AB、=AD】=BQ=OAB,即△从耳乌为正三角形，/.AD^=,

所以异面直线BQ与4。所成的角为g.

5.（2023湖南）如图，在正方体ABC。-4与GR中，异面直线AC与8a所成的角为（）

【答案】D

【知识点】求异面直线所成的角

【分析】由异面直线所成角的概念求解,

【详解】由题意，正方体中得故异面直线AC与所成的角，即正方形对角线AC与8。的夹

角7

故选：D

6.（2023云南）在正方体A8CQ-A8cA中，异面直线AC与A。所成角的大小为（）

乃

D2L

64・2

【答案】C

【知识点】求异面直线所成的角

【分析】把4。平移到4C,连结A8C构成等边三角形，异面直线AC与4。所成角即为

【详解】连结8。、ABlt如下图:

••,在正方体ABCD-ABGR中，且A由=£>C；

••・四边形AM。。为平行四边形，则AO〃BC；

又•:在正方体ABC。-ABCA中，△ABC为等边三角形,

NA*就是异面直线AC与所成角，乙4C4

••・异面直线AC与A。所成角的大小为%

故选：C.

7.（2023安徽）如图，在正方体ABC。-A用GR中，直线。。与8a所成的角是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【知识点】求异面直线所成的角

【分析】连接AR,4C,证明ADJ/AC,则/人。。即为直线C。与BG所成的角或其补角，根据正三角

形即可求解.

【详解】连接A，，4C,在正方体4BCO-A8G。中，

因为AB//D£,且AB=〃G，所以四边形为平行四边形，所以A〃//4C,则NA〃C即为直线CR

与BG所成的角或其补角，由正方体的性质可得：△人RC为正三角形，所以NARC=6()。，则直线C。与8G

所成的角是60。，

故选：C.

8.(2023河北)如图，在正方体八BCD-ABCQ中，点此尸分别是棱4O,CG的中点，则异面直线AE与BF

所成角的大小为.

【答案】y

【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析、求异面直线所成的角

【分析】先取A。中点为G,连接AG,G/,记AE与AG交点为M,根据平行可知4E与8尸所成角即为AE与

AG所成角，通过正方体性质可得△A4E岂△AOG,即ZAA.E=/D4G,根据ZDAG+AG=4相石=］可

知乙ME+幺AG=即乙4MA=5即可知AE与5尸所成角为:

乙乙乙

【详解】取。Q中点为G,连接AG,G%记AE与AG交点为例，如图所示:

因为G,F分别是棱。。,CG的中点，

所以GF//AB，且G/=A3,故四边形ABGF为平行四边形，

所以AG〃△尸，所以4万与B厂所成角即为AE与AG所成角,

因为正方体ABCD-A片GA,E,G是棱AD,A。的中点，

所以AA=A。,AE=GD、ZA.AD=NADG=],

所以△4人石主△AOG,即/A4,E=NO4G,

jrjr

因为/36+/446=//14,£1=上,所以/例£：+/446=上,

所以/AMA】=7i_(N/V\E+NAAG)=二，

故.与AG所成角为宗即AE与3户所成角为名

故答案为彳

□S

0n考点四：直线与平面所成角

1.（2024湖南）如图，人8为圆柱底面直径，BC为母线，若AB=BC,则AC与圆柱底面所成角的大小

为（）

【答案】B

【知识点】求线面角、线面垂直证明线线垂直

【分析】根据线面角定义得为所求的角，再利用等腰直角三角形性质即可得到答案.

【详解】因为母线4CJ■底面，

则AC与圆柱底面所成角即为NCA8,又因为人8为圆柱底面直径，则8CJ.A8,

因为所以NCA8=45、.

故选：B.

2.（2023江苏）如图，正方体/1BCO-ABGR中，直线8。与平面ABC拉所成角的正切值为（）

A.1B.且C.显D.B

223

【答案】C

【知识点】求线面角

【分析】连接80,平面ABC。，故N。的是叫与平面A8CD所成角，计算得到答案.

【详解】如图所示：连接身），因为。RJL平面ABC。，故明线8。与平面A8CZ）所成角，设正方体棱

长为1,则0A=1,。3=血，

AB

故选：c

3.（2023河北）如图，在三棱柱A8C-AMG中，所有的棱长都相等，侧棱底面相C,则直线的

与平面6CG4所成角的正弦值为（）

叵

L.-----

45

【答案】A

【知识点】证明线面垂直、求线面角、线面垂直证明线线垂直

【分析】取4c的中点。，连接人。与。，根据题意，先得到AO_L平面8CC石，则所求直线与平面所成的

角为N4B。，通过几何关系求其正弦值即可

【详解】取8c的中点。，连接AO，M。，易得5C_LAO

因为侧棱AAJ_底面侧棱M〃侧棱网,

所以侧棱84，底面ABC,AOu底面

所以881_LA。,

因为34nBe=3,Z?q,4Cu平面BCCg,

故AOJL平面8CC4,

所以所求直线与平面所成的角为“4。,

由AO_L平面BCC.B、,B&U平面BCC,B、可得AO±B0,

因为所有的棱长都相等，不妨假设棱长为2,贝IJAO=G,O4=X/5,AB、=2后,

则sinZAB.O=^==—.

2724

4.（2023安徽）如图，在直三棱柱ABC-A中，AB/AC.若A8=AC=1,A4,=e，则4。与平面MGC

所成的角的大小为.

【答案】1/30

O

【知识点】求线面角、线面垂直证明线线垂直

【分析】根据线面垂直可得线面角的几何角，即可利用三角形的边角关系求解.

【详解】连接A。，

由于直三棱柱A6C—A4G中，平面ABC,A8u平面ABC,

故AA_L/W,又人8工人。,44八4。=4,/141，4。匚平面446。，

故A3_L平面AAG。，

由于AB//%跖所以ABJ平面AAGC,

故ZB.CA,为B©与平面AACC所成的角，

由于/V7—AC-1，M-0，所以二JA」'十AC-,

tanWA假=9邛’

由于/用觥为锐角，所以

6

故答案为：7

6

S.（2024浙江）已知一个各棱均相等的四面体成A-ACD,则棱AB与平面区。）的夹角的余弦值为

【答案】^/iV3

【知识点】求线面角

【分析】作AO_L平面AC。，由480即为所求的角，然后利用正棱锥的性质结合条件即得.

【详解】

在四面体成A-BCD中，作AOJ_平面8c。，连接80,

则乙"。即为棱A3与平面8C、。的夹角，令AB=2,

由四面体的棱长均相等，则。为ABC。的中心，

所以6。=父2。»

33

亚r

cosZA^O=—=^-=—,

AB23

故答案为：B.

3

6.（2023四川）如图，在正方体ABC。-AqGR中，直线8%与平面ABC。所成角的正切值为.

【答案】李

【知识点】求线面角

【分析】根据正方体性质及线面角定义求解.

【详解】设正方体的棱长为1,

在正方体中，平面A8C。，

故。山在平面A8C。上的射影为BD,

所以NR8。为直线与平面八8。。所成角，

如anRBI）=端=也=当.

故答案为：4

2

7.（2023湖南）如图，在正方体人BCD-AeGR中，E是。。的中点，则直线BE与平面力〃。。所成角

的正弦值为.

【答案w

【知识点】求线面角

【分析】根据线面角的知识求得正确答案.

【详解】连接80,由于OEJ_平面48C。，

所以/E8。是直线BE与平面A8CD所成角，

设正方体的边长为2,则。七=1,8。=2夜,8£=3,

所以sinZEBD=1,

所以直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为1.

故答案为：g

DxC,

小

c

AB

考点五：二面角

1.(2023河北)如图，在四棱锥P-ABC。中，底面A3CQ为矩形，△PC。是等边三角形，平面28_1底

面A4CO,4)=3,四棱锥尸-9。的体积为186，E为尸C的中点.平面PA3与平面AAC。所成二面

角的正切值是()

【答案】B

【知识点】面面垂直证线面垂直

【分析】由PG1底面43。。得出8=6,进而由外'_LA8,AGIAA得出平面Q48与平面/WC。所成二

面角的正切值.

【详解】分别取的中点为G,尸，连接PF,/GQG,八G8G,

设。力=%,(〃>0),贝l」PG=>/5a.

因为△PC。是等边三角形，所以PG_LC。，

又因为平面PC。_L平面48c。，平面"C£)n平面48CD=CD,PGu平面PCQ,

尸G_L底面ABC。，

因为四棱锥P-ABCD的体积为,

所以:(3x2a)xGa=18G,解得a=3.

则PGL/G,PG工AG,PG人BG,所以。4=9，PFLAB,

又因为底面ABC。为矩形，所以尸G_ZA8,

所以ZPFG为平面幺6与平面45C。所成二面角的平面角，

tanZPFG=—=—=V3.

FG3

故二选：B

P

8c

2.（2024浙江）如图，在底面边长为2的菱形的四棱锥P-A3CD中，44=28=2,平面FABJ_平面A8CD,

Z4BC=60°,设E是棱心上一点，三棱锥E-ACD的体积为;.

DC

⑴证明：PCA.AB；

⑵求BE；

⑶求二面角E-CD-A的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

[2}BE=\

【知识点】线面垂直证明线线垂直、求二面角、证明线面垂直、锥体体积的有关计算

【分析】（1）取中点〃，连结PH,CH,证明A3_L平面CHP,再根据线面垂直的性质即可得证；

（2）作KM_L/\A于M,根据面面垂直的性质证明平面ABCD,再根据三棱锥的体积公式即可得解；

（3）作MN_LCD交于OC的延长线于点N,连接EN,证明CDJ"平面则CO_L£7V,则即

为二面角E-C7）-A的平面角，再解AENM即可.

【详解】（1）取人8中点〃，连结PH,CH,

因为24二28=2,所以PHLAB,

在菱形A5C。中，NA3c=60。，则VA4C是等边三角形，

所以C7/_LAB,

又PHf）CH=H,PH,CHu平面CHP,

故A/3_L平面C”P,

又C?u平面所以A8_LCP；

(2)作EMJ.A3于M,

因为平面243_L平面ABC。，平面P4Ac平面/WCO=/W,EWu平面98,

所以日WJ■平面ABC。，

所以喔.Ae=；SAA“3=；x；x2xG.£M=；,所以EM=乌,

所以班;=1;

(3)作MNJ_C。交于OC的延长线于点N,连接EN,

由EM_L平面/WC。，COu平面八AC。，得EM_LC力,

又WNnEM=M,MMEMu平面EMN,

所以CO_L平面EMN,

又ENu平面EMN,所以COJ_EN,

所以ZENM即为二面角E-CD-A的平面角,

3.(2024浙江)如图，在四棱锥户-A8CZ)中，底面A8CO为正方形，侧面B4O_L底面A8CD,点M在

线段PD上且AD=2DM=2,ZADP=60.

(1)求证：/WJ_平面PCQ；

⑵求三棱锥M-ABD的体积；

(3)求一面角的M-3C-A正切值.

【答案】(1)证明见解析

【知识点】面面垂直证线面垂直、求二面角、证明线面垂直、锥体体积的有关计算

【分析】(1)利用面面垂直的性质证明CO_L平面则有C7)_LA何，再利用勾股定理证明A/WJ.W3

再根据线面垂直的判定定理即可得证；

(2)过M作MN/4。，交4。于点N,利用面面垂直的性质证明MNJ_平面A8。，再根据棱锥的体积公

式即可得解；

(3)过N作NHtBC交BC于点H,则即为二面角M-BC-4的平面角，再解RtZXMN”即可.

【详解】(1);CO_LA。，平面"4O_L平面ABC。，COu平面A8CO,

平面PADc平面ABCD=AD,

\CD八平面E4。，

又AMu平面BA。，vCD±AM,

又AD=2DM=2,ZADP=60°,

由余弦定理得AM2=AD2+DM2-2ADDMcos60°=3,

则心+4”=。〃2,..AMLPD,

又POcCD=O,PD,COu平面PCDt

•.•4W_L平面PCD；

(2)过〃作MN1AD,交4)干点N,

因为平面以。，平面ABC。，平面/%Oc平面A8CD=AO,AWu平面尸A。，

所以MN_L平面A3O,则MN=迫，

2

所以Vw-A8,)=gxgx2x2x*=9；

(3)过N作M7_L8C交8C于点〃，连接4M,

因为MNJL平面A8O,4Cu平面A8O,

所以MNA.RC,

则/MHN即为二面角M-8C-A的平面角，

在RlZXMN"中，MN=—,NH=2f所以tan/MHN=@,

24

所以二面角的M-BC-A正切值为立.

4.(2023浙汀)如图，在二棱锥~一/WC中，PAJL平面AAC,AC1.BC,PA=AC=\,BC=&.

⑴求三棱锥P-ABC的体积；

（2）求证：平面PAC_L平面P8C；

⑶设点。在棱柱上，AD=CDt求二面角。-AC-B的正弦值.

【答案】（1）立

6

⑵证明见解析

喈

【知识点】锥体体积的有关计算、求二面角、证明面面垂直

【分析】（1）先求出底面积，再利用体积公式求解体积即可.

（2）先利用线面垂直判定定理得到BC_L平面幺C,再利用面面垂直定理判定面面垂直即可.

（3）合理作图，找到二面角的平面角，利用三角函数的定义求解即可.

【详解】（1）因为ACJ.8cAe=1,8C=血,

所以S^BC=；AC,BC=gxlxg=与,

因为PA_L平面ABC,

所以三棱锥P-A8C的体积V=』xlx^二立.

326

(2)因为尸A_L平面ABC,/3Cu平面P8C,

所以％_LBC,又AC_L8C,E4c4C=A,

PAACu平面FAC,所以Z?C_L平面FAC,

因为ACu平面PBC,所以平面PAC±平面PBC.

(3)

过点。作于E,取AC的中点广，连接石£

因为。A_L平面A8C/Au平面04B,所以平面/<46_L平面ABC,

又平面PABc平面48C=A8,£)£u平面PAB,

所以OE_L平面/WCJ无：IIPA,

因为40=CD且尸是AU的中点，

所以。产_1,4。,4。，。£。尸门。£=。4。_1_平面。£/，

EF±AC,所以/DFE是二面角D—AC—8的平面角，

因为£尸_14。)。_18。,尸是4。的中点，所以E是AA的中点,

又DEHPA,所以。是尸A的中点，

在RlZXO所中，DF=dDE?+EF2=，]，=与

V442

[_

所以$皿/。尸£：=照=条=半，即二面角D一AC一8的正弦值为更.

DF型33

T

5.（2023浙江）如图，在三棱柱A8C—/V8'C'中，已知C8_L平面AETA,A4=2,且A3_LAC_LAZT.

⑴求AY的长；

⑵若。为线段AC的中点，求二面角人-夕仁-。的余弦值.

【答案】(1)2

⑵西

10

【知识点】求二面角、证明线面垂直

【分析】

（1）根据题意可得A9_L平面A8C,进而分析可知A39A正方形，即可得结果；

（2）根据题意利用补形法分析可得二面角的平面角为449。，利用余弦定理运算求解.

【详解】（1）连接48,

因为C8_L平面A防W,A9u平面A防W,则C8_LA3',

又因为A'C_LA8',4clCB=C,ACCBu平面A8C,

所以A"'J_平面ABC,

且A'Bu平面ABC,可得

因为ABBW为平行四边形，且A5_L88',则A8&A为矩形，

所以A3H4'正方形，可得AA'=4B=2.

（2）根据题意将三棱柱转化为正四棱柱ABCE-A'BCE,

取CE,4B的中点P,Q,连接PQCP/'Q,则RDQ三点共线，且PQ//BC,

因为b'C'〃6C,可得FQ〃⑶C,

所以平面BCD即为平面PQB'C',

同理平面ABC即为平面A&CE,

因为"C7/KC，C8JL平面ABB'A',则8'C'_L平面/WUA,

且B'Qu平面ABSA',则B'C1ABf,B'C±B'Q,

所以二面角A-B'C-D的平面角为ZAB'Q,

可得B'A=20,4Q=1,"Q=6，

8+5-13M

在AAB。中，则cosZAEQ=B与:岩

2x272x75-10

所以二面角A-ZTC-。的余弦值为噜.

6.（2023湖南）如图所示，平面A3庄_L平面A3c。，四边形AEF8为矩形，I3C//ADfABLADt

AE=AD=2AB=4fBC=2.

E

⑴求多面体ABCDEF的体积；

（2）求二面角厂一8-A的余弦值.

【答案】⑴方40

*

【知识点】面面垂直证线面垂直、证明线面垂直、求组合体的体积、求二面角

【分析】（1）通过割补法，结合锥体体积计算公式求得正确答案.

（2）作出二面角尸-8-A的平面角，进而计算出其余弦值.

【详解】（1）如图，连接3，

四边形为矩形，

二AELAB,

平面尸平面ABCDf平面48E/c平面ABCD=AB,

AEu平面B/u平面

..AE_L平面A8CD,〃产_L平面A"CO,

AOu平面ABCDf

AE1AD,

又ADLAB,ABnAE=At48,AEu平面

AOJ_平面AE尸8,

I|32

%枝加=§S矩形但8-AD=-x4x2x4=—,

BC〃AD,ABLAD,

：.ABLBC.

]118

匕梭惟F-8S=§SA8C/5.8尸=§X3><2x2x4=§，

••・多面体ABCOE尸的体积为

_32840

卜多3体八8C的=V四极傍D-AEF8+V三枝铀尸-38=+=*

(2)如图，过8作8G_LCD交DC的延长线于