2026届浙江金华十校高三一模数学试卷（答案详解）

数学试题卷

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.

考生注意：

1.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写

在答题卷上.

2.选择题的答案须用2B.铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须

将原填涂处用橡皮擦净.

3.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区域内，答

案写在本试题卷上无效.

选择题部分（共58分）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共4（）分.在每小题给出的选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合〃={1,2,3,4,36,7,8},A={2,3,4},则集合Q，A=()

A.(1)B.{2,3.4}C.{5,6,7,8}D.{1,5,6,7,8|

2.已知等差数列｛凡｝满足4=2,4+4=20,则%=()

A.4B.6C.8D.10

•九2）（）

A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i

4.已知।+.一二，则〃=()

log9alog27a3

A.3B.9C.27D.81

5.已知随机变量XN（2,/），且P（X<0）=0.3,则P（（）<X<4）的值为（）

A.0.2B.0.4C.0.7D.0.35

6.若圆C:（x-l）2+（y+3）2=l上存在两点A8,直线/：3x-4y+〃?=0上存在点P,使得

N4PB=6O。，则实数，〃的取值范围为（）

A.[-25,-5]B.（TO,-

C.[-35,5]D.(^»,-35]u[5,+a))

7.设。为两个非零向量”2所成的角，已知对任意feR,|a-必|的最小值为:|。|,则e=

（）

7t「兀「兀-5兀c尤—2兀

A.-B.-C.7或hD.二或丁

636633

22

8.若双曲级5-*=l（a>0,〃>0）不存在以点（a2a）为中点的弦，则该双曲线离心率的取

值范围为（）

A-[<]B.园卜隹叫D.加

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.

9.已知圆锥的侧曲展开图是半径等;2的半圆,则圆锥的（）

A.底面半径为1B.表面积为2兀

C.体积为立兀

D.外接球与内切球半径比值为3

3

10.已知函数〃力=/5—。）在x=2处取得极小值，y=/'（x）为其导函数，则（）

A.a=3B.r(V3+i)-r(i-x/2)<o

Wx>oj[x+()>f(-X

C./G)之-4的解集为卜[,内)D.-o

11.在VA8C中，若A=cosA,5=8s(cos8),C=han(sinC),则()

A.A=BB.B<CC.C<—D.k<2

2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（l+x）s的展开式中炉项的系数为.

13.VABC的三个内角AB,C的对边分别为满足C=；，且/+/=4，则VA8C

4

的面积为.

14.平面直角坐标系中，原点。处有一只蚂蚁，每过1秒，该蚂蚁都会随机地选择上、下、

左、右四个方向之一移动一个单位长度，那么在6秒后，蚂蚁到原点。的距离等于拉的概

率为一.

试卷第2页，共4页

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤.

15.如图，长方体ABC。-44G2中，AB=BC=2,M=3,E,/三等分CC-

（1）求证：^ElAF；

（2）求直线。卢与平面A4£C所成角的大小.

16.近些年汽车市场发生了翻大覆地的变化，新能源汽车发展迅速，卜表统计了2021年到

2024年某地新能源汽车销量（单位：千辆）

年份2021202220232024

年份代号X1234

销量）,336993129

附：相关系数〃=,=|

回归方程y=/*+a中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为

力限加"）__,12

=---------------,a=y-bx,£芭升=966,£（8一），）=4896,>/170»13.04•

£（—yy-

i=l

（1）试根据样本相关系数〃的值判断该地汽车销量）'与年份代号X的线性相关性强弱

（0.75引r|G,则认为y与X的线性相关性较强，0.75,贝IJ认为丁与X的线性相关性较弱）;

（精确到0.001）

（2）建立），关于X的线性回归方程，并预测该地2025年佗新能源汽车销量.

17.已知数列｛4｝,间满足:；(〃WN)且

bll+i=-bn+~an

⑴证明：数列｛an+a｝与｛4-〃,,｝均为等比数列；

⑵求数列｛[4]｝的前25项和S”.(其中⑶表示不超过x的最大整数，如[1.2]=1)

18.已知函数/(x)=e'r—1.

(1)求y=/(可在x=0处的切线方程；

⑵若恒成立，求实数&的取值范围；

⑶当aN1时，讨论网入)=/("-avcosx在区间卜江用上零点的个数.

19.如图，已知点。到两点片(-2,0),鸟(2,0)距离的乘积为8,点尸的轨迹记为曲线「，「

与x轴交点分别记为M，N.

⑴求曲线「的方程；

(2)求JMN的周长的取值范围：

⑶过尸作直线分别交『=小于两点AB,且AP=/IPB(4>I),若△048的面积为18,求；I的

最小值.

试卷第4页，共4页

I.D

【分析】应用集合的补运算求集合即可.

【详解】由0={123,4,5,6,7,8},A={2,3,4),则43=",5,6,7,8}.

故选：D

2.B

【分析】应用等差中项的性质得出=10,再由4+%=2%即可得出.

【详解】由题设4+缘=2生=20=%=10,而％=2,

所以4+%=24=12=。：=6.

故选：B

3.B

【分析】应用复数的乘法及除法运算求解.

【详解】工」2+i)(2-i)=2T.

2+i2+i

故选：B.

4.C

【分析】利用换底公式转化，进行求解即可.

【详解】康+彘=峭9+喝27=1。"=|,

所以》=3$，则/=(3$)=27‘，解得a=27.

故选：C.

5.B

【分析】利用正态分布曲线的对称性求概率即可.

【详解】由题设P(X<2)=0.5,且P(Xv0)=0.3,则P(0<X<2)=0.2,

由正态分布曲线关于X=2对称，则P(0<X<4)=0.4.

故选：B

6.A

【分析】将题干条件，结合几何知识转化为圆心C到直线的距离4需满足解该不等

式即可求解.

【详解】当直线与圆相交时，如图所示，若A、A离直线越近时，直至与直线和圆C的两交

答案第1页，共14页

点重合，此时44依=兀，

若人、8相距越来越近时，直至人、B两点重合，此时/49=0。，

所以一定存在小B及已使得ZAP8=60。；

当直线与圆相切时，同直线与圆相交分析可知，一定存在A、B及P,使得NAP3=60。；

当直线与圆没有公共点时，对直线上的任一点P,若A、B相距越来越近时，直至4、B两

点重合时，仍有NAP6=0。，

另一方面，若尸3与圆C相切于依出与圆C相切于A,此时/AP3必为该P点所能大到

的最大情况，如图所示，

由图可知力】/。^4=」二，ZAPB=2NCPA,CP最短时，

即等于圆心C到直线的距离乩sin/CPA最大，NCEV也最大，同时NAP4最大，

所以若圆。上存在两点A8,直线/上存在点P,使得44。8=60。=1，

则必有ENsin?=!，解得d<2r,又因为圆。的半径r=l,

d62

|3xl-4x（-3）+/w|\m+\5\

圆心C（1-3）到直线3x-4），+〃?=0的距离d=把.

所以吗电42,解得—25q〃W—5.

故选：A.

7.C

【分析】令"。儿力=。8历=OC,根据向量减法及模的几何意义得即为线段力。的

答案第2页，共14页

长度，数形结合得|a|sin®=；|a|,即可求夹角.

【详解】令〃=。八力=0氏m=0C，如下图示，I。-法I即为线段AC的氏度,

由对任意feR,|〃-必|的最小值为;1〃1，即IAC|mE=；|a|,而NAQ8=，，

乙1

-—1-

显然AC_L■时，线段AC最短，此时|AC|mE=|O4|sine=|a|sine=]|a|,

所以sin夕=:，又夕[0,汨，故e或学.

266

故选：C

8.C

【分析】先判断点（42〃）在双曲线外部或在双曲线上，得电一《《1，再结合过该中点的

crb-

直线斜率可得另一不等式，最后求解出2的范围，结合离心率等式即可求解.

ba

【详解】由题意得点（。2力在双曲线外部或在双曲线上，则至—《勺，得斗J,

crb~a~3

假设存在以卜心。）为中点的弦，设弦与双曲线交于点A（x，y）,8（孙乃），

则±=江&=2%

22

4-4=1

由点A（/y）,8（孙），2）在双曲线上，得“，”,

4-^=i

a'b~

两式作差得，+/）5-乃）=（―）（%-占）,

"a2b~

所以34=^5^=泮=/

x}-x2b（〉1一丁2）b.4a2b

因为不存在该中点弦，所以直线44与双曲线至多一个交点，

则3磊哈也即冷，

答案第3页，共14页

所以f4则e怪罔.

故选：C.

9.AC

【分析】根据已知有圆锥的母线长为2,底面周长为2兀,进而求得底面半径，再结合圆锥

的结构特征、表面积、体积的求法依次判断各项的正误.

【详解】由题意，圆锥的母线长为2,底面周长为2兀，

若底面半径为广，则27n"ZTtnxI,A对，

表面积为'兀X2?+7TXf=3兀，B错，

2

由上，圆锥的高。=先才=J5,则圆锥体积为：的，=(乂6兀=乎冗，c对，

由上，圆锥釉截面是边长为2的等边三角形，其外接圆和内切圆半径，分别为圆锥的外接球

和内切球半径，

22

所以圆锥的外接球半径为丁2'。］60。=耳内切球半径为gx2xsin6()o=9,

所以外接球与内切球半径比值为2,D错.

故选：AC

10.ACD

【分析】对于A,根据/⑴在x=2处取得极小值即可求解；对于B,根据石+1和1-&到

/'(X)对称轴的距离即可判断；对于C,对进行因式分解即可求解；对于D,因为

x>0时，x+->2.再结合/(x)的单调性以及“2)、/(-1)的函数值即可求

X

解.

【详解】对于A,r(x)=3.r-2^u-，由题意可知r(2)=0.解得a=3,此时f(x)=V(x-3),

故A正确；

对于B,由r(x)=3f_6.r,其为二次函数，开口向上，对称轴为工=*；=1,

2・3

则退+1到对称轴的距离为+1-1|=6,1-上到对称轴的距离为"血一卜&<5

结合开口向上的二次函数图像特点可知，离对称轴较远的点函数值更大，也即

r(V3+i)>r(i-V2),即r(6一夜)>(),故B错误；

答案第4页，共14页

对于C,解不等式/（力2-4,即/一3犬之-4,整理为3^+4之0,

因式分解得/一3/+4=（》+1）（工-2）220,解得xN-1,故解集为故C正确;

对于D,对于心>0,Wx+^>2^T^=2,当且仅当工=1时取等号，同时T-lv-l,

由于/'（力=3/-6工=3乩52）,当x<0或x>2时，/（.r）>0,单调递增；

当0<x<2时，/(“<0,/(X)单调递减，

所以/1+()之/(2)=-4,/(-x-l)</(-l)=-4,所以Vx>0j[+£|>/(r_l),故

D正确.

故选：ACD.

11.ABD

【分析】根据>'=x与）'=cosx在（0,兀）上的图象及己知得到A=A,结合零点存在性定理分

析得进而有Cw邑勺），再由），=：、y=tan（sinx）在区间邑当上单调性，

6423K23

兀,2兀厂

得而T<一忑,最后构造函数并应用导数证明lan二色,色，即可得.

3tan-y23

【详解】根据丁='与y=ssx在（。,冗）上的图象，如下图示，

显然y=x与）'=8^在（0㈤上有且仅有唯一交点，

即A=cosA在（0,71）上有且仅有一个根，而A=cosA,B=cos（cosB）,

由A3e(0,7t),所以A=cos3,且A=A,A对，

又N<cos^=立，—>cos—=»则=

66244264

所以。=兀一(4+8)若号)，即AvC,B对,C错,

由C呜苧，则sinCe(gl),而C=ltan(sinC)中Q0,

答案第5页，共14页

由二;在区间邑与)上单调递增，V=tan(sinx)在区间邑号)上单调递减，

k2323

71.

元<tanl_2^<女<2兀

所以，只需《可得2tanl百，

27rx/33lan・

—>tan——2

13k2

r3nl,

令/。)=[2111%—工一二且0<.1<77,则/'。)=——；1-X2=l+tan2x-I-x2=tan2x-x2,

32cos-x

对于g(x)=tanx-x且0<”3则/*)=1一>0,故g*)在(0《)上单调递增，

2cos-X2

所以g(x)>g(O)=Ontanx>x,即taYxA/,则广*)>。，

所以/(x)在(0,£)上单调递增，故以")>〃0)=0,即/(近)=tan近-立-正>0,

2八2228

所以tan立,述，而(156)2=675>64兀2=(8兀>，则156>8兀，即逑〉色，

2883

「2丸<2

所以lan9>Z,故^一石<,即攵<2,D对.

233tan-^-

2

故选：ABD

12.10

【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.

【详解】(1+X)5的展开式中V项的系数为C；=10.

故答案为：10

13.1

【分析】由余弦定理结合三角形面积公式求解即可.

【详解】由余弦定理可得：/=/+〃—2"cosf,又/+/?2一。2=4，

4

得。2=/+4-缶。，解得必=2近，所以VA8C的面积为g"sinC=l；

故答案为：1

14至

・256

【分析】设蚂蚁右移。次、左移〃次，上移C次、下移d次，则蚂蚁终点的坐标(X,A满足

x=a-b,y=c-dta+b+c+d=6,根据题意有f+产=2,由于都是非负整数，

可推卜|=1,»1=1，再设左右移动总次数〃7=。+人上下移动总次数〃=C+",则根据

答案第6页，共14页

a=",b=丝包a1需为整数可推，〃、,i为奇数，据此根据小、〃可分为三种情况：

22

/〃=1,〃=5、〃7=3,〃=3、/〃=5,〃=1,此时在每种情况中，依据分步乘法计数原理，算出

每种情况下的总路径数，最后相加即可得到最终的概率.

【详解】蚂蚁每一秒有4种移动方向，共移动6秒，根据分步乘法计数原理，总路径数为取，

若蚂蚁到原点0的距离为拉，原点（（）,（））到该点的距离满足/+V=2,

设蚂蚁右移〃次、左移〃次，则x=a-b,上移c次、下移d次，则尸c-d,总步数

a+b+c+d=6，

要满足/+）2=2,即（a-3?+（c—4）2=2,由于都是非负整数，可能的组合必须

满足|人|=1,卜'1=1，此时，a-b=±\,c-d=±\,且（a+Z?）+（c+d）=6,

设左右移动总次数为加=。+从上下移动总次数为〃=c+d,则〃什〃=6,

由于a=〃-（；_〃）,0="'_（；_"）需为整数,则加与|。-可同奇偶，所以机为奇数，同理，

〃也为奇数，

又"?+〃=6,可能的组合有〃?=L，?=5、6=3,〃=3、根=5,〃=1,

当m=1,〃=5时，左右移动I次，满足国=1的方式有2种，即左或右，

上下移动5次，满足|，|=1的方式有。=3,4=2或c=2,4=3,共2xC；种，即选3次上

移，剩下2次下移，或选2次上移，剩下3次下移，

其次，在6步中选1步用于左右移动，其余5步用于上下移动，C：种，因此，此情况的路

径数为C：x2x2xC；=240；

当〃?=3,〃=3时，左右移动3次，满足区=1的方式有。=2,。=1或a=l,/?=2,共2xC；

种，上下移动3次，满足3=1的方式同理，共2xC；种，

此外，6步中选择3步左右移动，剩余上下移动，共C：种，

因此，此情况的路径数为C：x2xC：x2xC；=20x2x3x2x3=720；

当〃?=5,〃=1时，与m=l,"=5对称，路径数为240：

175

满足条件的总路径数有240+720+240=1200,概率为半=弓.

4256

答案第7页，共14页

故答案为：之75.

15.(1)证明见解析

(2)30°

【分析】(1)根据题意，建立空间直角坐标系，通过向量的数量积为零，可证明.

(2)求解出平面AAC。的法向量，再根据空间线面角公式求解即可.

【详解】(1)根据题意，六面体A8c。-A岗GA为长方体，所以

AQ_L44,

如图，以A为坐标原点，以A4，A。，A4分别为X，)'，z轴正方向建立空间直角坐标

系,

因为4?=8C=2,e=3,E,”为CC1的三等分点,

得各点坐标4（2,0,0）,4（020）,4（0,0,3）,£（2,2,2）,*2,2,1）,

则*=（2,0,2）,AF=（2,2,-2）,所以0£"=0,即RE_LA尸.

(2)因为M_L平面A4GR,4RU平面ABGA，所以4A_LAA，因为4〃_LAG，

AC//AC,,所以HQ_L4C,

又因为4CGM=4,所以平面MGC,所以AR=(—2,2,0)为平面A4.GC的法向

量，*=（2,0,2）,

|耳分£)国|T|1

设直线与平面所成角为凡贝ijsin。=-n-L=II=因为直线与平面所成角

区间.|"q2V2x2V22

的范围为。，］,

答案第8页，共14页

所以直线QE与平面A4.CC所成角为30".

16.（1）），与x具有较强的线性相关关系

⑵§，=312i+3,159（千辆）

22

【分析】（1）根据题干所给数据算出£（菁-可（K-方，S（xf.-x）,Z（z-y）,代入相

1=1f=l4

关系数计算公式计算即可；

（2）根据（1）算出的结果进一步算出几再根据线性回归方程经过（工方计算4,最后把x=5

代入回归直线方程即可求解.

【详解】（1）己知〃=4,%=1,%=2,项=3,%=4,则亍=1+2：3+4=2.5,

4

y=33,y,=69,/=9c3,,y=1o2n9,则mily-=-3-3-+--6-9-+--9-3-+-1-2-9-=81,

44

x；=I2+22+32+42=14-4+9+16=30,4x2=4x2,52=25»所以

/=!

之（x,-可2=£x；_4/=30-25=5,

1=1r=l

已知Z$y=966,故

r=l

t（R-f）（y-9）=f>/-4a9=tx/-4H3=966—4x2.5x81=156,

r=l/=l/=1

又一方:4896,代入相关系数公式，

/=!

因为M=0.997>0.75,所以y与x具有较强的线性相关关系.

（?）根据刃=-----------,a=y-bx,

£（一『

r=1

由⑴可知fa-可（其一为=156,^（X,.-X）2=5,所以占=粤=31.2,

r-1i-15

由。=予-原，已知元=2.5,7=81,6=31.2,则3=81-31.2x2.5=81—78=3,

所以）'关于x的线性回归方程为亍=31.2》+3,将x=5代入线性回归方程

$=31.2x5+3=159（千辆）.

答案第9页，共14页

17.(1)证明见解析;

⑵225-14.

a„..+b..=2(a„+b)

【分析】(1)根据已知得丁n结合等比数列的定义判断证明即可;

口+1-“7=一(凡一切)

(2)由(1)得2+"=2。，/一2=(_炉，进而有>=2'+；-】)”,根据新定义及分组求和、

等比数列前〃项和公式求Su.

13.

=”+/为“+"+1=2七+々)

【详解】(1)由<j；，可得，

4“+1-2+1=一(%_>)'

%=/+/%

又eq+4=2工(),〃］一,二T00,

所以｛4+2｝与｛q—2｝均为等比数列；

(2)由(1)知—",所以q=2"+(-1)”,

则包』==22"\=2^-1=2*2—1,

123222324(12)25

S25=(2°-14-2)4-(2-1+2)+...+(2-1+2)+2-1=~2-13=2-14.

18.(i)y=o；

⑵(-利；

(3)3个.

【分析】(I)应用导数的几何意义求切线方程；

(2)法一：应用分离参数法有&Kl+hu-也，再应用导数研究右侧的单调性求最小佳，即

X

可得参数范围；法二：应用必要性探路，问题化为〃(力="-1)加+(1-左)工20,令

/2(1)>O=>Z:<1,再证明人1,%>0时，刈工)之0恒成立，确保充分性成立，即可得；

(3)由题设得x=0是函数/(x)的一个零点，讨论1],0、xe(0,；)、xe,兀「之，

并利用导数研究函数的零点个数，即可得.

【详解】(1)由/(x)=e「x—l,则r(x)=e；l,显然/(0)=/(0)=0,所以切线方程为

y=0；

(2)/(x)=eA-x-1,jlLH/(lrtv)>hr-xlav-l<=>x-lnr-l>^r-xlnx-l,

答案第10页，共14页

法一：分离参数法，从而"K(x-l)lnx+x=>ZWl+lnx——

X

人，/、,.\rvcEI,/\11-hirx+ln.r-1

令〃(x)=l+lnx--则"(x)=------=——-一，

XXXX

所以“(x)>Onx>1,/?(x)<O=>O<x<1,

所以〃(x)在(0,1)单调递减，在(1,+。)单调递增，

因此力(X)由=理)=1，故我的取值范围为(-85；

法二：必要性探路，x-liLC-l>^-xlnv-l<=>(x-l)liir+(l-Z:)^>0,

令〃(x)=(x-l)hu+(l-kjx,〃⑴=1-420=kWl,

下证：&<1,x>0时,力(1)之0恒成立,

由一次函数加信)=(xT)lnx+x-履在(f1］上递减,

则〃?(k)N/〃⑴=(x-l)lm;+x-HN(x-l)lnx,

在xe(O,l)和xe(l,4<o)上(x-1)lnx>0恒成立，且汇=1时(x-l)Inx=0,

所以g(x)N0恒成立，故k的取值范围为(―』；

(3)g(x)在区间一儿5上有3个零点，理由如下:

乙)

由于"0)=0,所以x=0是函数f(1)的一个零点，(x)=ev+a(xsinx-cos,v)-1,

当xe-时，此时一atcosu¥>0恒成立，又由(1)知c'一工一1>0恒成立,

\7

从而g(x)>0恒成立，所以g(x)在区间工《一夕0)上没有零点;

当xe0彳时，此时/(0)=-4<0,

\乙)

若gYx)是炉(丫)的导数.则g"(x)=c'4-a(2siar+.rcosA),

由于2sinx+xcosx>0恒成立，所以g"(x)>0,即g'(x)在(。卷)上单调递增，

/X

从而存在占£。，3使得g'(xj=。，且g'(x)>0nX]<x<,g'(x)<0=()<x<“，

即g(x)在区间(00)上递减，区间,弓)上递增，从而g(xj<g(o)=o,

又同-尸>0,所以g(x)在卜局有唯一零点，即在画)上有唯一零点;

答案第11页，共14页

当xe卜江，一/时，此时」tsinx-cosx>0,从而

g'(x)=e'+a(Asinx-cosA)-lNe'4-xsinx-cosjr-l,

由于xe卜冗,一令时，xvsinx,所以

e'+xsinv-cosx-1>el+sin2x-cosx-1=eA-(cos、+cosx),

又cos2x+COST=COST"(cosx+1)<0,从而e'+xsinv-COS.V-1>e1-(cos、+COSA)>0恒成立,

即g'(x)〉。在工《一兀,—5上恒成立，所以g")在区间》《一兀，一3上单调递增，

因为g(_])=e+y-l>0,g(—7l)=eX-67K+71-1<eR-1<0,

因此g(x)在区间-，)上有唯一零点，

Z\

综上所述，函数g