2026人教B版高考数学复习讲义：两直线的位置关系（含答案解析）

第2节两直线的位置关系

课标要求1.能根据斜率判定两条直线的平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐

标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

知识诊断自测

【知识梳理】

1.两条直线的位置关系

直线l\：y=k\x-^b\yh：y=kix+b2,h：A\x+B\y+C\=O,/4：/2x+&y+G=0的位置关系如下表：

位置关系九/2满足的条件，3,/4满足的条件

平行左1=42且b'Wbi4182-^281=。且41c2一42。1W0

垂直丘〃2=-14142+81&=0

相交k/k?4山2一在囱W0

2.直线的交点与方程组解的关系

(1)两直线的交点

点尸的坐标既满足直线/i的方程小田劣/G=0,也满足直线/2的方程42&＞。2=0,即点P的坐标

是方程组日：?］，'的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.

142%十/2、十与一U

(2)两直线的位置关系与方程组解的关系

方程组优辑"和解

一组无数组碰

(712^十万2y十C2—U

直线/西/2的公共盅的个数一个无数个

直线八与6的位置关系相交重合平行

3.距离公式

(1)两点间的距离公式

平面上任意两点P1(X|,J;1)，P2a2,㈤间的距离公式为|产典=53二/尸士02二理民

特别地,原点0(0,0)与任一点尸(占力的距离|0尸|=。巧土上2.

(2)点到直线的距离公式

平面上任意一点Po(xo/o)到直线LAx+By^C=0的距离平等警抖.

(3)两条平行线间的距离公式

一般也两条平行直线/i：Av+^Ci=O,，2：4v+gv+C2=0(GWC2)间的距离

［常用结论与微点提醒］

1.四种常用对称关系

⑴点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y),点(x,y)关于点人)的对称点为(2〃-工,2g，).

(2)点(x,y)关于x轴的对称点为(工,一＞),关于y轴的对称点为Lx,y).

(3)点(x,y)关于直线,v=a的对称点为(2aK,y),关于直线y=力的对称点为(42力-y).

(4)点(x,y)关于直线尸的对称点为0,x),关于直线尸。的对称点为(-乂

2.若直线1\//12,则％1=饱或者h,上都不存在;若直线八J_/2,则kikz=T或者k］,乃一个为0,一个不存

在.

3.应用点到直线的距离公式与两平行直线间的距离公式中的直线的方程必须是一般式.特别地,在两

平行线的距离公式中,两直线方程的一般式中工)的系数必须对应相等.

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打或“X”)

(1)当直线/.和/2的斜率都存在时,一定有h=k2nh〃h.()

(2)如果两条直线/i与/2垂直,则它们的斜率之积一定等于T.()

(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.()

(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()

答案(1)X(2)X(3)4(4)\

解析(1)两直线八,/2有可能重合.

⑵当/」/2时，若八的斜率公=0,则，2的斜率不存在，不满足题意.

2.(人数A选修一PIO2Tl(3)改编)与直线3工-4卢5=0关于x轴对称的直线的方程为()

A.3k4广5=0B.3x+4尹5=0

C.3x-4y+5=0D.3x-4y-5=0

答案B

解析直线3尸4户5=0的斜率是

与x轴交点为(-}0),

因此它关于x轴对称的直线方程是

+J)即3x+4y+5=0.

3.（苏教选修一P27T2改编）以点A（~\,1）,8（2,-1）,C（l,4）为顶点的三角形是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.无法判断

答案B

解析由力(-1,1),以2,T),C(1,4)可得

,-1-12

,4-13

自m，

从而％MZ/ILT,

即NA为直角.

4.（人数B选修一P100T2改编）已知点6）到直线严3x+6的距离为3,则实数m的值

为.

答案±的百

解析直线化为3厂产6=0,

|3m-6+6|

7?+(-印’

解得w=±VTo.

考点聚焦突破

考点一两直线的平行与垂直

例1已知直线l\：4X+2,V+6=0和直线上:工+伍-1»+。2-1=0.

⑴试判断与/2是否平行；

⑵当/」/2时，求。的值.

解⑴法一由4&一428|=0,

彳导。（厂1）-1义2=0,

由4c2-42C1w0,得〃(层-1)-1X6#0,

a(a—1)—1x2=0,

所以/|〃，2=

a(a2-1)—1x6^0

a2—a—2=0,

可得〃=T,

、Q(Q2-1)w6,

故当a=~\时/i〃/2；aWT时,/i与，2不平行.

法二当a=l时,/i:x+2y+6=0,/2：x=0,1\不平行于h\

当a=0时,/i：y=-3,/2：广广1=0,

/i不平行于h；

当1且o时,两直线方程可化为/「

尸$-3,h\y=^c-(a+\\

一广有’

1-3=-(Q+1),

解得。=T,

综上,当a=~\时,/i〃，2；a#T时,八与，2不平行.

(2)法一由44+为比=0,

得a+2(〃T尸0,可得a=^.

法二当a=l时,/i:x+2y+6=0,/2：x=0,

八与A不垂直，故a=\不成立；

当。=0时,/i：y=-3,/2：x-y-l=0,

1\不垂直于h,故a=0不成立；

当aWl且时,l\：y=-^x~3,

/2：尸口一("1)，

由(-9七T,得冶

思维建模1.当含参数的直线方程为i般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的

一般节况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注位的系数不能同时为零这一隐含条

件.

2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.

训练1(1)设2WR,则以=1”是“直线3x+"T»=l与直线女+(1-冷尸2平行”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分乂小必要条件

答案A

解析若直线3x+(7T)片1与直线ZY+(1T)产2平行，则3(1-2)-z(A-l)=0,

解得i=l或>-3,

经检脸,2=1或小-3时两直线平行，

故“2=1”是“直线3x+QT»=l与直线六+(1-力尸2平行”的充分不必要条件.

(2)(2025•宁波质检)若a,b为正实数,直线2工+(2。-4»+1=0与直线2版+厂2=0互相垂直,则ah的最

大值为.

答案!

解析由两直线垂直得4h+2a-4=0,

即2=a+2b》2y!2ab,abWg,

当且仅当4=1"三时,等号成立，

故面的最大值为最

考点二两直线的交点与距离问题

例2⑴经过两直线人2「户3=0与/2：x+2厂1=0的交点,且平行于直线3/2>7=0的直线方程是

()

A.2x-3y+5=0B.2x+3yT=0

C.3x+2厂2=0D.3x+2yH=0

答案D

解析法-由｛篇汇;：解得｛淆,1'

所以直线人与/2的交点为(7,1),

设与直线3/2破7=0平行的直线为3x+2尸一〃尸0(mW7),

所以3X(T)+2X1+加=0,解得m=1,

所以所求直线方程为3x+2产1=0.

法二设所求直线方程为2x-y+3+A(x+2y-1)=0,

BP(xH-2)x+(2/l-l)y+3-/l=0,

又该直线与3X+2JH-7=0平行，

故(R2)・2-3・(22T尸0,解得见［,

故所求直线方程为(：+2AC-1卜+3-k0,即3x+2)，+l=0.

(2)(2025•九省联考)已知。为直线/:x+2尸4=0上的动点，点。满足评=(1,-3),记P的轨迹为E,则

()

A.E是一个半径为遥的圆

B.E是条与/相交的直线

C.E上的点到/的距离均为北

D.E是两条平行直线

答案C

解析设0(-1-2々,a)(a£R),P(x,y),

故QP=(x+1+2。,厂。尸(1,-3),

所以「亡L整理需二y3,

消去。可得x+2y+6=0,

所以轨迹E的方程为x+2y+6=0,

易知E为一条与直线/平行的直线，所以A,B,D错误.

直线"2尹6=0与直线x+2>1=0的距离七号=通，

因此E上的点到/的距离均为遥,故C正确.

思维建模1.求过两直线交点的直线方程的方法:①先求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出

直线方程;②利用直线系方程求解.

2.利用距离公式应注意:⑴点Pg次)到直线X=Q的距离内|3-。|,到直线产力的距离公从r砥2)两

平行线间的距离公式要把两直线方程中的系数化为相等.

训练2(1)(2020•全国1H卷)点(0,-1)到直线严任什1)距离的最大值为()

A.lB.V2

C.V3D.2

答案B

解析设点4(0,T),直线/:产毋+1),

由/恒过定点5(T,0),

当43_L/时,点4(0,T倒直线产攵(x+1)的距离最大,最大值为企.

(2)若两平行直线3x-2y~\=0,6e@+c=0之间的距离为等,则c的值是______.

答案2或-6

解析由题意得产工匚，

6ac

a=-4,cW-2,

则6x+ay+c=0可化为3x-2y+^=0.

由两平行线间的距离公式得1号书，

V1313

即L+1卜2,解得c=2或c=~6.

■直线系方程微点突破

1.所谓直线系方程,是指满足某种特征的直线方程的全体.在求与已知直线平行或垂直的直线方程,

或过两已知直线交点的直线方程时,利用相应的直线系方程能简化解题过程,提高解题效率.

2.直线系方程的设法

(1)过点(xo,/)的直线系方程为4(x-xo)+4(厂则)=0(其中4B不全为零)；

(2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程4Y+8)，+CO=O(CWCO)；

(3)垂直于直线/x+8v+C=0的直线系方程5x-74^+Co=O;

(4)过两条已知直线/I：J,X+5IJH-CI=0和/2：/加+&尹。2=0交点的直线系方程为

4x+8iy+C+4/2x+8少+。2)=0.

(这个直线系不包括直线/2：力次+历尹C2=0,解题时注意检验，2是否满足题意)

典例⑴过点4(1,-4)且与直线2x+3八5=0平行的直线方程为.

答案2x+3yH0=0

解析设所求直线方程为2%+3>c=0(cW5),

由题意知2X1+3X(-4)+c=0,解得c=10,

故所求直线方程为2x+3yH0=0.

(2)经过点4(2,1)且与直线2x+y-\0=0垂直的直线/的方程为.

答案x-2y=0

解析因为所求直线与直线2田旷10=0垂直,所以设该直线方程为厂2>c=0.

又直线过点力(2,1),

所以有2-2Xl+c=0,解得c=0,

故所求直线方程为x-2j-0.

(3)已知两条直线/i：x-2yM=0和/2：.什'-2=0的交点为P,过点P且与直线/3:3X-4JH-5=0垂直的直线/

的方程为.

答案4x+3厂6=0

解析设所求直线/的方程为x-2jH-4+A(x+y-2)=0,

SP(1+X)X+(A-2)>H-4-2/1=0.

因为直线/与A垂直，

所以3(1+幻-4(/1-2尸0,所以2=11:

所以直线/的方程为4x+3y6=0.

考点三对称问题

角度1关于点对称

例3(1)(2025•宁德质检)直线厂2y3=0关于定点〃(-2,1)对称的直线方程是.

答案x-2y+l1=0

解析设所求直线上任意一点的坐标为(•%y),则其关于％-2,1)的对称点(-4…2-)，)在已知直线上,

・・・所求直线方程为(-4。)-2(2-)，)-3=0,

即1=0.

(2)过点P(0,1)作直线/,使它被直线/|&+广8=0和/2：k3尹10=0截得的线段被点尸平分，则直线I

的方程为.

答案x+4厂4=0

解析设八与/的交点为力伍,8-2琦

由题意知,点A关于点P的对称点4(-〃,2〃-6)在A上，

代入h的方程得-。-3(24-6)+10=0,

解得a=4,即点力(4,0)在直线/上，

所以直线/的方程为x+4厂4=0.

角度2关于线对称

例4(1)(2025・大庆模拟)直线广咚工关于直线的对称直线为/，则直线/的方程是()

A.V3x+y-2=0B.V3x+y+2=0

C.x+V3j^-2=0D.X+V3)H-2=0

答案C

解析直线尸圣与直线口交于点力(1片)，

所以直线/的斜率为一日且过点幺(1,F),

所以直线I的方程为厂导一条1),

即x+何厂2=0.

(2)已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l-.x-y+3=0反射,反射光线经过点NQ,6),则反射光线所在

直线的方程为.

答案6x-y-6=0

解析设点M(-3,4)关于直线/:x-y+3=0的对称点为M\ayb),则反射光线所在直线过点M1

(-^•1=一1,

所以二：3)解得听i,b=o.

手—竽+3=0,

又反射光线经过点M2,6),

所以所求直线的方程为冷兵，

o—UZ—1

即6厂厂6=0.

思维建模对称问题的类型和处理方法

(1)点关于点对称

利用中点坐标公式找关系求解.

(2)直线关于点对称

①在三知直线上任取两点,利用点关于点对称,求出对称点坐标,利用两点式求出直线方程；

②在三知直线上任取一点,求其对称点,利用关于一点对称的两条直线平行,求出直线方程.

(3)直线关于直线对称

①若直线与对称轴平行,则可在直线上任取一点,求出该点关于对称轴的对称点,然后用点斜式求出

直线方程.

②若直线与对称轴相交,则先求出交点,然后取直线上除交点外一点,求该点关于对称釉的对称点，

最后利用两点式求出直线方程.

训练3已知直线/:2xTyH=0,点力(T,-2).求：

(1)点力关于直线/的对称点⑷的坐标；

(2)直线tn.3x-2y-6=Q关于直线/的对称直线”的方程；

⑶直线/关于点4对称的直线/的方程.

(y+zx|=-l>

解(1)设，8刃,贝!1|不

2x--3x^+1=0,

22

33

运’即，

(2)在直线〃?上取一点,如M(2,0),

则M：2,0)关于直线/的对称点必在"上.

设对祢点为M(a,b),

(2x手cb+04八

2-3x—+1=0,

叫…2

=-1,

解得忙，即呜乱

(13，

设〃?与/的交点为N,则由：^6=0；

得N(4,3).又小经过点M4,3),

・•・由两点式得直线用的方程为

9x-46y4-102=0.

⑶法一在/:2x-3jH-l=0上任取两点，

如尸(1,1),N(4,3),

则P,N关于点A的对称点PlN均在直线/上

易知夕(-3,-5),从(-6,-7),

由两点式可得/的方程为2广3广9=0.

法二设Q(x,y)为/上任意一点，

则Q(x,y)关于点力(T,-2)的对称点为

0'(-2-工,-4-丁).

•・・。在直线/上，

/.2(-2-x)-3(-4-y)+l=0,

即直线/的方程为2x-3y-9=0.

课时对点精练

一、单选题

1.两条直线/i：x=2和/2：3x+2yT2=0的交点坐标是()

A.(2,3)B.(-2,3)

C.(3,-2)D.(-3,2)

答案A

解析联立｛嘉K一12=0,得［二：

所以两条直线的交点坐标为(2,3).

2.(2025•兰州模拟)若直线Zi：x-2>+l=0与直线l2:x+ay~\=Q平行，则h与h间的距离为()

A空B竿

4D.|

答案B

解析易知直线人的斜率为最

则直线/2的斜率为右，即。=-2,

故直线，2：厂2y1=0,

所以/)和72间的距离为

C+(一/)45

3.若直线4b的斜率分别为方程/-4厂1=0的两个根,则。与b的位置关系为()

A.互相平行B.互相重合

C.互用垂直D.无法确定

答案C

解析由根与系数的关系得儿分=7,

则。与6互相垂直.

4.已知点3,2)(〃>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则。等于()

A.V2B.2-V2

C.V2-1D.V2+1

答案C

解析依题意得与等=1,

V1+1

解得a=~\十&（。=-1-夜舍去）.

5.（2025•成都诊断）已知4（1,-1）,8（2,2）,C（3,0）三点,且有一点。满足CO_L43,CB//AD,则。点的

坐标为（）

A.(-l,0)B.(0,-l)

C.(l,0)D.(0,1)

答案D

解析设刃,则如若匕7,葛。答.

OAOXA

由题意得女.杀3,kB--2,

/-IC/-J

9：CDLAB,CB〃AD,

.（kcD'kAB=一1,.信'3=-1,

•小=3,.•生=一2,

1

喉系:解得宿:即。。D.

6.（2025•绍兴模拟）若三条直线片2x,x+尸3,mx+ny+5=0相交于同一点，则点（加,〃）到原点的距离的最

小值为（）

A.V5B.V6

C.2V3D.2V5

答案A

解析联立：笃解得尸1,产2.

把（1,2）代入加工+〃歹+5=0可得〃?+2〃+5=0,所以〃?=-5-2〃.

所以点（加,〃）到原点的距离

d=y/rriz+712=>/(5+2n)2+n2

=。5(几+2)2+526,

当〃=-2,m=-1时取等号.

所以点（〃?,〃）到原点的距离的最小值为遥.

7.光线沿着直线尸-3x+b射到直线声产0上,经反射后沿着直线尸奴+2射出，则有（）

A.Q',b=6

C.Q=3,b=qD.6f=-1,b=-6

答案D

解析由题意,直线y=-3x+h与直线y=ax+2关于直线尸p对称，

所以直线)=ox+2上的点(0,2)关于直线尸-X的对称点(-2,0)在直线产-3x+b上，

所以(-3)X(-2)+40,

所以b=~6,所以直线y=~3x~6上的点(0,-6)关于直线严-工的对称点(6,0)在直线y=or+2上，

所以6。+2=0,所以

8.(2025•宁波模拟)唐代诗人李欣的诗《古从军行》的开头两句是“白口登山望烽火,黄昏饮马傍交

河诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某

处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在

的位置为4(1,1),若将军从山脚下的点8(4,4)处出发,河岸线所在直线/的方程为x-厂1=0,则“将

军饮马”的最短总路程是()

A.3>/6B.V34

C.V5D.2V5

答案D

解析如图,设8(4,4)关于直线厂)+1=0对称的点为C(a,b).

a+4L1八

-----b+-4+i=o,

J,

{a-4'

解得［Z*即c(3.5).

依题意可得“将军饮马”的最短总路程为MCI，|/C|=J(1-3)2+(1-5)2=2通.

二、多选题

9.与(3,-2)关于坐标轴对称的点为()

A.(-3,-2)B.(-3,2)

C.(3,2)D.(-2,3)

答案AC

解析(3,-2)关于x轴对称的点为(3,2),

关于y轴对称的点为(-3,-2).

10.已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点尸使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”，下列直线

中是“切割型直线”的是()

A.尸+1B.y=2

4

C.y=rxD.y=2r+1

答案BC

解析由题意知,当点用到直线的距离不超过4时,符合要求.

对于A,点M(5,0)到直线尸+1的距离为累3企＞4,故不符合:

对于B,点M(5,0)到直线尸2的距离为2-0=2＜4,故符合；

/4

对于C,点历(5,0)到直线)\丫的距离为点干4,故符合;

J1+G)

对于D,点/(5,0)到直线产2%+1的距离为港等＞4,故不符合.

11.(2025•合肥质检)已知直线/i：4x-3尸4=0,72:(7n+2)x-(w+l>+2w+5=0(weR),则()

A.直线A过定点(-3,-1)

B.当m=\时，/i±/2

C.当加=2时,八〃，2

D.当/]〃/2时，两直线八之间的距离为1

答案ACD

解析对于A,l2：(in+2)x~(ni+1))升2〃2+5=0(加WR)变形为m(x-y+2)+2x-y+5=0,

^(x-y+2=0,(x=-3,

vJ

l2x-y+5=0/(y=-l/

因此直线/2过定点(3,1),故AIL确；

对于B,当"T时,/i：4x-3^+4=0,

，2：3x~2y+7=0,

因为4X3+(-3)X52)W0,

所以两直线不垂直，故B错误；

对于C,当