2026新高考数学一轮复习：概率与统计的综合问题（解析版）

新高考数学一轮复习

专题突破概率与统计的综合问题

题型一：决策问题

【典例1・1】某综艺节目，5位嘉宾轮流参与抽奖.四个一模一样的箱子，只有一个箱子有奖品.抽奖规则

为主持人请嘉宾在四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由嘉宾获得.前一位嘉宾抽奖结束后,

主持人重新布置箱子，邀请下一位嘉宾抽奖.

(I)记X为5位嘉宾中的中奖人数，求X的分布列，均值和方差；

(2)主持人宣布游戏升级，新的抽奖规则是：当嘉宾选好一个箱子后，主持人(他知道哪个箱子有奖品)会

打开一个嘉宾没有选择的空箱子给嘉宾看，此后嘉宾可以选择换一个箱子或者不换.嘉宾做出选择后，主

持人再打开嘉宾最终选中的箱子，揭晓嘉宾是否中奖.嘉宾的哪种决策会有更大可能抽中奖品？请说明理

由.

【解析】(1)由题意知，每位嘉宾中奖的概率为:，不中奖的概率为:，

44

则X服从二项分布阳》

所以P(X=0)=吗)审=忌,P(X=I)=%)审=急

P(X=2)=C冲审吟、熊,

P(X=4)=C(%白=念］3=5)=。招)号)。=焉，

所以X的分布列为:

X012345

2434052709()151

P

102410241024102410241024

数学期望为"X)5=50：,

1315

方差为D(X)=必1—p)=5w=n

4416

(2)不换箱子时中奖概率：

嘉宾第•次选择箱子时，中奖概率为1

4

换箱子时中奖概率：

设4个箱子分别为A氏。,。，有奖品的箱子为A,

当嘉宾先选A箱，主持人会在及CD箱中打开一个空箱子,

此时嘉宾换箱子后，就选不中奖品，其概率为0;

当嘉宾先选B或。或。箱子，概率为:，

4

此时主持人打开另一个空箱子，嘉宾换箱子后一定能选中有奖品的A箱，

其概率为一3X一1二3二，所以换箱子的中奖概率为0+39=3?.

42888

所以1;<35,故嘉宾换箱子会有更大可能抽中奖品.

48

题型二：道路通行问题

【典例2・1】近年来，汽车智能化自动化方向发展迅速，某地区举办了面向中学生的智能小车大赛，其中

初赛为自动循迹小车比赛，要求参赛小车能在指定赛道按规则成功到达目标地将晋级下一轮.赛道如图所示,

图中每个点表示一个路口且相邻路口的道路Khn.A点为小车的出发地，最下方五个点都是目标地，规则

为：①小车等可能的选择右下，左下或水平路线行进；②沿水平道路行驶到下一个路口后必须选择右下或

左下的路线行进.

目的地

⑴求小车行驶5m到达目标地的概率；

(2)若云槐中学代表队成功晋级，设其参赛小车行驶的距离为Jm,求J的分布列和数学期望.

【解析】(1)根据规则，小车行驶5m到达目标地，需要行驶1段水平道路，4段向下的道路,

且从A点开始第一步必定往下，再在中间三段水平路中选择一段横移，

故小车行驶5m到达目标地的概率为仕+1小&以信丫=±

U2)33⑴9

(2)根据题意4的可取值为4,5,6,7,

且从A点开始第一步必定往下，再在中间三段水平路中选择横移段数，

222

《；P（g=6）=lxC；.-=-；产e=7）=

39

lxC<Of

故《的分布列为:

2

g4567

8421

p

279927

则E（4）=4xa+5x3+6x2+7x-!-=5.

279927

题型三：概率最值问题

【典例3・1】某群体有4000人，假设携带乙肝病毒的占〃?％,某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携

带者，如果对每个人的血样逐一亿验，就需要化验4000次.为减轻化验工作量，统计专家给出了一种化验

方法:随机按照上个人进行分组，将各组女个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这k个人全

部阴性;如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对该组每个人的血样再分别化验一

次.假设每人的血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立.设每人血样单独化验一次的费用为10元，k个人混

合化验一次的费用为4+10元.

(1)若"?=0.5火=10,记每人血样化验的费用为X元，求X的数学期望；

(2)若〃?=0.01,求当人取何值时，每人血样化验费用的数学期望最小，并估计化验总费用.

参考公式：(1一幻”P1一比1(〃£1<,礴,次|0.01),

【解析】3)每人血样化验的费用为X元，

若混合血样呈阴性，则X=^=2,

若混合血样呈阳性，则X=2+10=12,

P(X=2)=0.995'°,P(X=12)=1-0.99510,

E(X)=2xO.99510+12x(1-0.99510)

=12-10xO.995,o=12-10x(1-0.005)'°

»12-10X(1-0.05)=2.5.

.•.X的数学期望为2.5(元).

(2)设每组Z人，每组化验总费用为丫元，

若混合血样呈阴性,则H0;

若混合血样呈阳性，则y=iM+io,

且P(y=k+10)=O99991

P(Y=114+10)=1-0.9999。

E(y)=(&+10)X0.9999*+(1U+10)(l-0.99994)

=1K-10Z：x0.9999<+10.

3

则每人血样化验的费用为

-^^=11-10x0.9999^+—=11-10x(1-0.0001/+—«1l-10x(l-0.0001A:)+—

kkkk

=1+0.00伏+詈1+2J0.00~噂=1.2,

当且仅当。00欢=与,即100时取等号,

即100个人一组,每人而样化验费川的数学期望最小.

此时化验总费用估计为4000x1.2=4800(元).

【变式3-1】某射击队员进行打靶训练，每次是否命中十环相互独立，且每次命中十环的概率为0.9,现进

行了〃次打靶射击，其中打中十环的数量为久

⑴若〃=5,求恰好打中4次十环的概率(结果保留两位有效数字)；

(2)要使/(。=10)的值最大,求〃的值；

⑶设随机变量X的数学期望E(X)及方差O(X)都存在，贝ijD6>0,P{|X-E(X)|>4<^^，

£

P{|X-E(X)|<£"I-包口，这就是著名的切比雪夫不等式.对于给定的随机变量，其方差如果存在则是

£

唯一确定的数，所以该不等式告诉我们：|X-E(x)|N£的概率必然随£的变大而缩小.为了至少有90%的

把握使命中十环的频率落在区间(0.85,0.95),请利用切比雪夫不等式估计射击队员打靶次数〃的最小值.

【解析】(1)=4)=x0.94x0.1=0.32805»0.33；

(2)夕(1=10)=C：°xO.910xO.r13,

K°x0.9,°xO.r-'0>C：X0.99xO.l^10.9(/i-9)>l

心’[c；°X0.9,°XO.r,°>C：；X0.9"X0.广”'人10.9(〃-10)“1.1'

解得?这nW岑，

由为整数，故〃=11；

(3)J~3(”,0.9),则E(4)=0.9〃，。(为=0.09〃.

由题意，0.85<£<0.95,

n

即0.85〃<^<0.95〃，-0.05〃<<-0.9〃<0.05〃,也即r-0.9w|<0.05〃.

由切比雪夫不等式，有啡-土)|<().()5〃泠1-；鲁;2,

0.09/7、

从而\2209,解得〃2360，

(0.05〃)

故估计n的最小值为360.

4

题型四：放回与不放回问题

【典例4・1】某校甲、乙两个数学兴趣班要进行扩招，经过数学兴趣班的海报宣传，共有4名数学爱好者小

〃，c,d报名参加（字母编号的排列是按照报名的先后顺序而定）.现通过一个小游戏进行分班，规则如下:

在一个不透明的箱子中放有红球和黑球各2个，红球和黑球除颜色不同之外，其余大小、形状完全相同，

按报名先后顺序，先由第一名数学爱好者从箱子中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球

各I个放入箱子中：接着由下一名数学爱好者从箱子中不放回地摸出1个小球后，再放入完全相同的红球

和黑球各1个，如此重复，直至4名数学爱好者均摸球完毕.数学爱好者若摸出红球，则被分至甲班，否

则被分至乙班.

（1）求a,b,c三名数学爱好者均被分至同一个兴趣班的概率；

（2）记甲、乙两个兴趣班最终扩招的人数分别为/,记求七（X）.

【解析】（1）。，b,c三人均被分至同一个兴趣班，即三人同被分至甲班或乙班，

记事件A=,力被分至甲班“，事件3=»被分至甲班“，事件C=被分至甲班”，

当。即将摸球时，箱子中有2个红球和2个黑球，则a被分至甲班即〃摸出红球的概率为P（A）=g；

当。被分至甲班，人即将摸球时，箱子中有2个红球和3个黑球，则力被分至甲班即人摸出红球的概率为

P（B|A）=|；

当小）均被分至甲班，c即将摸球时，箱子中有2个红球和4个黑球，则c被分至甲班即c摸出红球的概

率为P（C|A8）=:；

121

所以尸（AB）=/（A）尸（以田=3。W=不

4JJ

P（ABC）=P（AB）P（C\AB）=gxg=',

同理可知，数学爱好者小Ac均被分至乙班的概率也为七，

所以m8，c三人均被分至同一个兴趣班的概率为尚.

（2）由题意，X的可能取值为4,2,0,

22224

X=4为4名数学爱好者被分至同一班，则「（乂=4）=2、不不$,=而，

X=2为4名数学爱好者中有3名均被分至同一班，其余1名被分至另一班，

设第左化=123,4）名数学爱好者被单独分至另•班，则

八，4，、r23339人c23339

P=P（Z:=l）=2x-x-x-x-=——,A=~（A=2）=2X-X-X-K-=——，

1'7456770■'7456770

5

所以尸(X=2)=q+E+6+8=(,

X=。为4名数学爱好者中各有2名被分至甲班和乙班,

则P（X=0）=l—P（X=2）—P（X=4）=^S2,

75?

所以上（X）=4x——+2x—+0x—=—

'）1051510535

题型五:体育比赛问题

【典例5・1】为丰富和活跃学校教师业余文化生活，提高教师身体素质，展现教师自我风采，增进教师沟

通交流，阳泉一中举办了2024年度第一届青年教师团建暨羽毛球比赛活动，已知其决赛在小胡和小张之

间进行，每场比赛均能分出胜负，已知该学校为本次决赛提供了1000元奖金，并规定:若其中一人够i的场

数先达到4场，则比赛终止，同时该人获得全部奖金;若比赛意外终止时无人先赢4场，则按照比赛继续进

行各自赢得全部奖金的概率之比给两人分配奖金.若每场比赛小胡赢的概率为;，每场比赛相互独立.

⑴在已进行的5场比赛中小胡赢了3场，若比赛继续进行到有人先赢4场，求小胡演得全部奖金的概率；

⑵若比赛进行了5场时终止(含自然终止与意外终止)，记小胡获得奖金数为X,求X的分布列和数学期

望.

【解析】(1)记小胡赢得全部奖金为事件A.则以*=1+(1-1卜1=目：

(2)若5场比赛结束，比赛自然终止，

①小胡与小张赢得比赛场数分别为4:1,小胡获1000元：

②小胡与小张赢得比赛场数分别为1:4,小胡无奖金；

若5场比赛结束，比赛意外终止，即有一人赢了3场，有一人赢了2场，

则赢了3场的人，按照比赛继续进行赢得全部奖金的概率为5+1一5卜5=公，

所以此人得到的奖金为1000x1=750元，则赢了2场的人，得到的奖金为1000x：=250元；

44

③小胡与小张赢得比赛场数分别为2:3,小胡获250元；

④小胡与小张赢得比赛场数分别为3:2,小胡获750元；

所以随机变量X的可能取值为0,250,750,I(XX)；

比赛结果共有C+C+C；+C：=28,

所以P(X=0)=q=_L,P(X=250)=^-=—,

28728M

6

P(X=750)=J=P(X=1000)=Q=1,

2814287

所以X的分布列为:

X0250750100()

55

P

7147

数学期望为K(X)—OK，十250K』十750K2十1000K一500.

714147

【变式5・1】在刚刚结束的杭州亚运会上，中国羽毛球队延续了传统优势项目，以4金3银2铜的成绩傲

视亚洲.在旧制的羽毛球赛中，只有发球方赢得这一球才可以得分，即如果发球方在此回合的争夺中输球,

则双方均不得分.但发球方输掉此回合后，卜.一回合改为对方发球.

(1)在旧制羽毛球赛中，中国队某运动员每一回合比赛赢球的概率均为：，且各回合相互独立.若第一回合

该中国队运动员发球，求第二回合比赛有运动员得分的概率；

⑵羽毛球比赛中，先获得第一分的队员往往会更加占据心理上的优势，给出以卜假设：

假设1：各回合比赛相互独立；

假设2：比赛双方运动员甲和乙的实力相当，即每回合比赛中甲获胜的概率均为:；

求第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率，并说明旧制是否合理？

【解析】(1)设事件A表示第-回合该中国队运动员赢球，犷件4表示第二回合该中国队运动员赢球，

事件3表示第二回合比赛有运动员得分，

由已知，P(4)M，P(A2)1,P(Q=；,P(Q=；,P(8|A)=P(4),P(MQ=PW),

则P(8)=P(AJP(同A)+PW)PWA)=P(A)P(4)+P^)〃(Q=；X(+%K，

即第二回合比赛有运动员得分的概率为。.

O

(2)设运动员甲先发球，记事件4表示第，•回合该运动员甲赢球，

记事件A表示运动员甲先得第一分，

则A=AupXA)u(不…，

则P(4)=g+[}j+(}J+…，

所以即则第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率大于g,

则比赛双方运动员实力相当的情况下，先发球者更大概率占据心理上的优势，所以旧制不合理.

7

题型六：几何问题

【典例6・1】如图，在正方体ABC。-A用GR的顶点处各挂一盏灯笼，每秒有且只有一个顶点处的灯笼被

点亮，下一秒被点亮的灯笼必须与上一个顶点相邻（在同一条棱上），且每个相邻顶点的灯笼被点亮的概

率相同，下一盏灯笼被点亮上一盏自动熄灭.若初始亮灯点（〃=。）位于点A处，第〃秒亮灯点在底面

A6CD上的概率为匕.

（1）求6和2的值:

⑵推测匕与2+1的关系，并求出2的表达式.

【解析】（1）依题意第一秒灯点等可能的在顶点8、D、A处，其中在底面48co上的顶点为8、D,

2

所以6=彳，

224

第一秒灯点在顶点为3、。处（概率为4=5）,第二秒灯点在底面4BCZ）上的概率为§6=3；

第一秒灯点在顶点为A处（概率为1-E=g）.第二秒灯点在底面人"。上的概率为11-幻=，

所以第二秒灯点在底面A8CO上的概率鸟=14+七I=］5；

（2）第〃秒亮灯点在底面人上的概率为2,

在底面A4GA上的概率为1-9,，

711I

所以必产3乙+”z-勺）=/,+葭

所以唠所以卜一；］是以公比为!的等比数列，

23\2/ZJZt）3

所助十x炉，

8

【变式6・1］如图，已知三棱锥P-AAC的三条侧棱小，PB,PC两两垂直，且E4=a,PB=b,PC=c,

三棱锥P-ABC的外接球半径R=2.

⑴求三棱锥夕-ABC的侧面积S的最大值；

(2)若在底面A8C上，有一个小球由顶点A处开始随机沿底边自由滚动，每次滚动一条底边，滚向顶点8的

概率为：；，滚向顶点。的概率为不；当球在顶点3处时，滚向顶点A的概率为:，滚向顶点C的概率为:;

2233

2I

当球在顶点C处时，滚向顶点A的概率为工，滚向顶点8的概率为外若小球滚动3次，记球滚到顶点8处

的次数为X,求数学期望E(x)的值.

【脩析】(I)因为三条侧棱小,PB,PC两两垂直，目.以=〃，PB=b,PC=c,且三棱锥P-ABC的

外接球半径R=2,

则以。、b、c为长、宽、高的长方体的体对角线为外接球的直径，即/+从+/=4/?2=16,

所以a?+//+02=L^2CI2+2/?2+2c2)>—(2ab+2ac+2bc)=ab+ac+be,当且仅当a=Z?=c时取等号，

22

所以三棱锥的侧面积S=g(H+ac+0c)48,当且仅当。=b=c时取等号,

即三棱锥尸-ABC的侧面积S的最大值为8.

(2)依题意X的可能取值为0、1、2,

山八八\1211，八小1211112

贝|JP（X=（））=—x-x-=-,P（X=2）=-x-x-+-x-x-=-

‘2326'72322339

i21I

P（X=1）=|-P（X=0）-P（X=2）=l----=-,

所以石(X)=Ox：+lx

18918

9

题型七：疾病问题

【典例7・1】某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查出某种细菌感染性疾病.抽样化验显示，当

前携带该细菌的人约占0.9%,若逐个化验需化验10000次.统计专家提出了一种化验方法：随机按〃人一

组进行分组，将各组〃个人的血液混合在一起化验，若混合血样呈阴性，则这〃个人的血样全部阴性；若

混合血样呈阳性，则说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对每个人再分别化验一次.

(1)若每人单独化验一次花费10元，〃个人混合化验一次花费〃+9元.问"为何值时，化验费用的数学期

望最小？(注：当〃<0.01时，叩)

(2)该疾病主要是通过人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是40岁以上.细菌进入人体后有潜伏

期.潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间.潜伏期越长，感染给他人的可能性越

高.现对已发现的90个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统计发现潜伏期的平均数为72方差为

2.252.如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：

年龄/人数长期潜伏非长期潜伏

40岁以上1550

40岁及40岁以下1015

①是否有95%的把握认为“长期潜伏”与年龄有关？

②假设潜伏期X服从正态分布其中〃近似为样本平均数冗4近似为样本方差s'为防止该疾

病的传播，现要求感染者的密接者居家观察14天，请用概率的知识解释其合理性.

2=----〃(ad-b»----

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010

2.7063.8416.635

若3b2),则

尸(〃一+0.6827,尸(〃-2b<《v〃+2b)®0.9545,P("-3bvJ<〃+3b)工0.9973.

【解析】(1)要使化验费用的数学期望最小，只需每个人的化验费用期望最小.

设每人的化验费用为丫元，若混合血样呈阴性，

〃、

则Y=U+9=i+9-,若混合血样是阳性，则丫=|1+9」所以0,丫9=1+一=0.991",

nnn\n)

=ll+-j=l-0.991\

每位职工的化验费用为：

10

01+枳1.991”)99

E(Y)=x0.991"+11-10x0.991"+-=11-10x(1-0.009)"+-

n)nn

99

«11-10x(1-0.009/2)+-=1+0.09»+->1+2=2.8,

n

Q

当且仅当Q09〃=N,即〃=10时取等号,

n

故〃=10时，每位职工化验费用的期望最小.

(2)(i)零假设为“：“长期潜伏”与年龄无关.

根据列联表中的数据，经计算得到,

90(15x15—50x10)22178

2«2.58<3,841=x

65x25x25x65845005

根据小概率值a=0.05的独立性椅验，没有充分证据推断H。不成立,

因此可以认为“长期潜伏”与年龄无关.

(ii)若潜伏期X~N(7.2,2.252),

1-09973

由P(XN13.95)=P(X27.2+3x2.25)=-■二=0.00135,得知潜伏期超过14天的概率很低，因此隔离

14天是合理的.

题型八：概率与数列递推问题

【典例8-1】马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其过程具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分

布只能山当前状态决定，即第〃十1次状态的概率分布只与第〃次的状态有关，与第〃一1,〃-2,〃-3,…次

的状态无关，即P(X“+JX1,X2，,XjK“)=P(Xz|X“).已知甲盒中装有1个白球和2个黑球，乙盒中装

有2个白球，现从甲、乙两个盒中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复〃次这样的操作，

记此时甲盒中白球的个数为X。，甲盒中恰有2个白球的概率为%,恰有1个白球的概率为2.

⑴求力,々和。2也.

(2)证明：为等比数列.

(3)求X”的数学期望(用〃表示).

【解析】(1)若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白I黑，乙盒中的球变为1白1黑,

2

概率4=彳；

若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率4=g,

研究第2次交换球时的概率，根据第1次交换球的结果讨论如下：

11

2

①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1自I黑时，对应概率为6=§,

此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白I黑，

乙盒中的球仍为1白1黑，概率为。金?、!=)4：

326

若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为

326

若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为

若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为I白1黑，概率为

211

fl.＞：—x—=-fl.,

'323'

②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为乙=：,

此时，若甲盒取黑球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，

22

乙盒中的球变为1白1黑，概率为

若甲盒取向球，乙盒取自球，互换，则甲盒中的球仍为1向2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为

(2)依题意，经过〃次这样的操;乍，甲盒中恰畲2个门球的概率为

恰有I个白球的概率为2,则甲盒中恰有3个白球的概率为

研究第〃+1次交换球时的概率，根据第〃次交换球的结果讨论如下：

①当中盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为%，

此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，

乙盒中的球仍为1白1黑，概率为/x：x4=：a.；

若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为

111

ax-x-=—；

"326"

若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑:，乙盒中的球变为2白，概率为

2I1

x—x—=-«；

“323

若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为

12

②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为么，

此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白I黑，乙盒中的球变为1白I黑，概率

22

为=

若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为

③当甲盒中的球为3白，乙盒中的球为2黑时，对应概率为1-"“一d，

此时，甲盒只能取白球、乙盒只能取黑球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑,

乙盒中的球变为I白I黑，概率为

综上，«„+1=-«„+-«„+-bn+1-；/,,-bn=\--an--bn,bn^=-«r,+-^,

八6,11,22,611,1

贝U%.+2bz—=I—a„—b„+-a„+—b„—=—a,+-b—,

n+,rt+,52”3”3“3“56”3”5

整理得+纹出_（=：（勺+又％+2&-5=尚＞。，

565515

所以数列｛2+次-刍是公比为!的等比数列.

56

（3）由⑵知外+次-白金铲,,则4+次=\+看吗严,

随机变量X”的分布列为

X”123

Pb“%

Q?

所以七(X”)="+2a”+3-现一3%=3—(勺+次)二一运X

J1W*

13

【变式8-1]如图，单位圆上的一质点在随机外力的作用下，每一次在圆弧上等可能地逆时针或顺时针移

（1）求鸟及鸟的值:

（2）求数列｛2｝的前〃项和.

【解析】（1）如图：设起始位置为A,

移动2次|可到起始位置A,则Af4―>A；A—>C―>A；

所以4（A）二x〈+〈x，

22222

若移动3次回到起始位置A,

fCfA；AfC-

所以勺（A）、=]1><15>15+51乂31*51=1I,

（2）每次移动的时候是顺时针与逆时针移动是等可能的，

设掷骰子〃次时，棋子移动到A,B,。处的概率分别为：4（A）,月（周，4（C）,

所以2（B）=?（C）.

掷骰子〃次时，共有A,B,。三种情况，故月（A）+C（8）+C（C）=1.

,•寸（为=虫C）,即％（用=*（）,，△2,

乂匕（与二；代T（4）+2.4C）），

.•.〃N2时，K（B）=g（A）+%（C）卜飙⑷+%（叫

又VX5）+%（8）+唠（C）=1,可得2Pn（8）+%⑶=1，

14

由巴（5）-!=一；2T（8）+；-；=一；—；,

可得数列1月（3）-3是首项为!公比为-g的等比数列，

I力62

匕⑻十、•（-/即e⑻=抬（一3」，

又与（4）=l-2K（8）=l-2［；+；•一;严］=产］.

JkJ4J4

题型九：硬市问题

【典例94】到2020年全面建成小康社会，是我们党向人民、向历史作出的庄严承诺.农村黄困人口脱贫是

全面建成小康社会最艰巨的任务.习近平总书记提出的“精准扶贫’理论体系，为欠发达地区推土扶贫攻坚、

实现与全国同步全面建成小康社会提供了重要的理论依据.各地区政府采用多种渠道进行扶贫投资开发，其

中一项就是引入风险投资基金.甲、乙两家风险投资公司看中一个扶贫项目，要对其进行投资，甲、乙公司

经理决定用掷硬币的方式决定投资金额，已知每次投掷中，硬币出现正面或反面的概率都是;.由于两家公

司规模不同，每次掷硬币中，若出现正面，则甲公司增加投资2万元，乙公司不增加投资；若出现反面，

则乙公司增加投资I万元，甲公司不增加投资.

（1）求掷硬币3次后，投资资金总和X的分布列与数学期望；

（2）求投资资金总和恰好为100万元的概率.

【解析】（1）由题意可知，随机变量X的所有可能取值为3、4、5、6,

则P（X=3）=（：）3=P（X=4）=C；X（1）3=1,

2o2o

1311

P（X=5）=C；x《）3=P（X=6）=（-）3=-,

2o23

••.随机变量X的分布列为：

X3456

\_33\_

P

8888

]33I9

・••随机变量X的数学期望E(X)=3XW+4X：+5X：+6XW=3；

ooo82

（2）设投资资金总和恰好为〃万元的概率为q,

15

则投资资金总和恰好为(〃+1)万元的概率为匕7=ge+;匕7,

・•力.L4=-：匕+：41=-；(匕-匕7)(〃21)，

•••数列｛2+「£｝是首项为鸟-匕=5,公比为-；的等比数歹U,

・,.Aoo=耳+(4-()+(《一()+…+(4_&)+(4()-/)

=:+(-4)2+(-》+•••+(-!产+(二产

22222

•••投资资金总和恰好为100万元的概率是：(2+击).

【变式9-1】某商场周年庆进行大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动

期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏，游戏规则如下：在一个盒子里放着六枚硬币，其中有三

枚正常的硬币，一面印着字，一面印着花；另外三枚硬币是特制的，有两枚双面都印着字，一枚双面都印

着花，规定印着字的面为正面，臼着花的面为反面.游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一枚硬币并连续投

掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是正面，则进入最终挑战，否则游戏结束，

不获得任何礼券.最终挑战的方式是进行第三次投掷，有两个方案可供选择：方案一，继续投掷之前抽取

的那枚硬币，如果掷出向上的面为正面，则获得200元礼券，方案二，不使用之前抽取的硬币，从盒子里

剩余的五枚硬币中再次随机抽取一枚投掷，如果掷出向上的面为正面，则获得300元礼券，不管选择方案

一还是方案二，如果掷出向上的面为反面，则获得100元礼券.

⑴求第一次投掷后，向上的面为正面的概率.

(2)若已知某顾客抽取一枚硬币后连续两次投掷，向上的面均为正面，求该硬币是正常硬币的概率.

(3)在已知某顾客进入了最线挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种抽奖方案最线获得的礼券的数学期

望，并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适.

【解析】(1)设第•次抽到正常硬币为事件A,抽到双面都印着字的硬币为事件3,抽到双面都印着花的

硬币为事件C,

第一次投掷出正面向上为事件第二次投掷出正面向上为事件M2,选择方案一进行第三次投掷并正面

向上事件M3,选择方案二进行第三次投掷并证明向上为事件N.,,

由全概率公式可得，P（M1）=P（M,|/!）P（A）+P（MI|B）P（^）+P（Ml|C）P（C）=lxl+lxl+lxO=-^,

223012

16

（2）连续两次都是正面的概率?（必％）=尸（"附2同「（4）+尸（必”2⑻P（8）+P（M|M2|C）P（C）,

=lxlxl+lxl+lxO=H

2223624

所以许心箫皓嗡呼号k

24

（3）（-）若选择方案一，设第三次投掷后最终获得的礼券为＞元，第三次投掷出正面向上为事件S,则

。（必%%）_2（陷私%|4）2（4）+?（1%%加3忸）2（8）+2（必%%|。）?（。）

产（历3MM2）=

P(MM)P(M%)

lill1II八

—X_X_X--1--X1H--X0

_222236」9

一H-22'

24

%)卷，＞P(s)V，

19.八341002050

E(X)=—x200+—x!00=----=-----

22222211

（二）如选择方案二，设第三次投掷后最终获得礼券为丫元，第三次投掷出正面向上为事件7，

①如果第一次抽到的是正常硬币，设第二次抽到正常硬币为事件”…第二次抽到两面都是字的硬币为事

件”人第二次抽到两面都是花的硬币为事件则

R=P（MMJ4）P（A）［P（M|%）P（%）+P（ME）P（%）+P（M|"C）P（%）］

1II

=­x—x—xJ。

222(5255

②如果第一次抽到的两面都是字的硬币，设第二次抽到正常硬币为事件，第二次抽到两面都是字的硬

币为事件Ks，第二次抽到两面都是花的硬币为事件K-则

右尸（MM?⑻P（此尸（乂河）网区）+尸（叼勺）尸（端）+尸也|儿）尸（儿）］

l21ll1_

=3xlx5X2+5xl+5x06

29

所以久根%华）"+鸟=义+：=焉，*乂|焰%）=产（弧场外）_而一29

4UoIZUp(M%)H55

24

P(r)=|1,1-⑺=||,

2926I13002260

七位）=X300+X1()0==

555555II

综上（一）（二）可得，E（X）＜E（Y）,所以选择方案二的收益更高.

17

题型十：高尔顿板问题

【典例10-1】高尔顿板又称豆机、梅花机等，是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模

型.如图所示的高尔顿板为一块木板自上而下钉着6层圆柱形小木块，最顶层有2个小木块，以下各层小

木块的个数依次递增，各层小木块互相平行但相互错开，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有

一块透明玻璃.让小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向

左或者向右滚下，最后落入高尔顿板下方从左至右编号为1,2....6的球槽内.

c1前的

123456

（1）某商店将该高尔顿板改良成游戏机，针对■某商品推出促销活动.凡是入店购买该商品一件，就可以获得

一次游戏机会.若小球落入x号球槽，该商品可立减y元，其中y二|2o-5x].若该商品的成本价是io元,

从期望的角度考虑，为保证该商品总体能盈利，求该商品的最低定价.（结果取整数）

⑵洛79个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问3号球槽中落入多少个小球的概率最大？

附：设随机变量4~8（几〃），则《的分布列为Pe=A）=C>/（l-p）i,2=0,1,

P/=k）=C：p""〃尸=i+5+Dp-k

夕6=々-1）一（27pi（l-〃厂小一,

【解析】（1）X的取值可能为1,2,3,4,5,6.

p（X=l）=p（X=6）=f-l=—,P（X=2）=P（X=5）=C；x,xfn=—,

5

P(X=3)=P(X=4)=xl-Ix

16

因为Y=20—5X1,所以Y的取值可能为0,5,10,15.

P(y=10)=P(X=2)+P(X=6)=『，P(F=15)=P(X=1)=—.

18

y的分布列为

Y051015

51531

P

16321632

F(X)=0x—+5x—+10x—+15x—=—«4.7

1632163216

则顾客玩一次游戏，立减金额的均值约为4.7元，又该商品成本价是10元,

所以该商品的最低定价约为15元.

(2)由(1)得P(X=3)=二

16

进行79次试验，设小球落入3号球槽的个数为线则一(7嘘.

Pq=k)_1H(79+1"得一21125—女

――“亮厂"

当2<25时，pRCjl,即尸4=k)>PC=k—l)；

当2=25时，£可\=1，即。(4=幻=尸(4=4-1)；

P^=k-\)

当上>25时，/匚4<1,即”4=6<尸(4=2-1).

P[^=k-\)

所以当A-25时，P(^-25)-P(^-24),此时这两项概率均为最大值.

故3号球槽中落入24或25个小球的概率最大.

题型十一：自主招生问题

【典例11-1】某高中在招高一新生时，有统一考试招生和自主招生两种方式.参加自主招生的同学必须依

次进行“语文”“数学”“科学”三科的考试，若语文达到优秀，则得1分，若数学达到优秀，则得2分，若科

学达到优秀，则得3分，若各科未达到优秀，则不得分.已知小明三科考试都达到优秀的概率为卷，至少

一科考试优秀的概率为:，数学考试达到优秀的概率为:，语文考试达到优秀的概率大于科学考试达到优

4