结构力学 课件 第八章 位移法

结构力学必修·学科基础课城市建设学院第八章位移法8.1位移法的基本概念一、位移法的提出：

从理论上讲，用力法可以分析各种（所有）超静定结构。困难是当未知量较多时，力法方程不易求解。这个困难对于计算工具落后（无电子计算机）的年代，是一个很难解决的问题。20世纪初，在力法的基础上提出了位移法，位移法最主要的研究对象是高次超静定刚架（多层多跨刚架）。二、位移法涉及的结构与体系1、原结构：超静定结构2、原体系：超静定结构+外部因素3、基本结构：单跨超静定梁4、基本体系：原结构+附加刚臂+附加链杆三、力法和位移法的区别1.力法的基本未知量是多余约束力，去掉多余约束，列位移协调方程（力法方程）求解。位移法的基本未知量是独立的结点位移，加约束，然后列力系平衡方程（位移法方程）。2.基本结构不同3.约束处理方式不同四、位移法的解题思路R11基本结构仅发生转角Z1时产生的力。R1p基本结构在荷载单独作用时产生的力。r11基本结构仅在Z1=1时产生的力，8.2（单跨超静定梁）等截面直杆的转角位移方程一、转角位移方程的定义:等截面直杆（单跨超静定梁）在杆端发生转动或移动以及外荷载、温度等外因作用下的杆端弯矩和剪力。单跨超静定梁的杆端弯距和杆端剪力的表达式。二、为何要研究等截面直杆的转角位移方程1.位移法是以等截面直杆（单跨超静定梁）为计算基础的。2.渐近法中也要用到转角位移方程。三、杆端力的表示方法和正负规定

1.弯矩：MAB表示AB杆A端的弯矩。对杆端而言，顺时针为正，逆时针为负；对结点或支座而言，顺时针为负，逆时针为正。与前面规定不同。杆端弯矩及其正负号规定

2.剪力和轴力：QAB表示AB杆A端的剪力。顺时针为正，逆时针为负。NAB表示AB杆A端的轴力。拉力为正，压力为负。与前面规定相同。PBAQBA0QAB0四、转角位移方程的三种类型1、两端为固定端（支座）的单跨超静定梁2、一端为固定端支座，另一端为可动铰支座的单跨超静定梁。3、一端为固定端支座，另一端为滑动支座的单跨超静定梁。1、两端为固定端（支座）的单跨超静定梁1.梁的一端发生角位移

如图8-4a所示两端固定的梁，A端发生顺时针方向转角

，而B端固定不动，这时用力法可求得其杆端弯矩和杆端剪力如下:五、线刚度：令i=EI/l

4iФA2iФA6i/lФA4i2i6i/l当ФA=11.支座移动单独作用产生的杆端弯矩和杆端剪力。2.梁的两端发生垂直于杆轴线方向的相对线位移如图8-5a所示为两端固定的梁，其两端在垂直于杆轴线方向发生相对线位移，用力法求得其杆端弯矩和杆端剪力如下五、线刚度：令i=EI/l

6i/l6i/l12i/l2=1五、形常数：单跨超静定梁由于支座移动产生的杆端弯矩和杆端剪力称为等截面直杆的刚度系数。六、载常数：即固端弯矩、固端剪力：单跨超静定梁由于荷载和温度变化产生的杆端弯矩称为固端弯矩，相应的剪力称为固端剪力。用MFAB、MFBA、QFAB、QFBA

表示。8.3基本未知量数目的确定一、基本未知量（结点位移）1.结点角位移2.结点线位移二、杆端力的表示方法和正负规定1.弯矩：MAB表示AB杆A端的弯矩。对杆端而言，顺时针为正，逆时针为负；对结点或支座而言，顺时针为负，逆时针为正。2.剪力和轴力：QAB表示AB杆A端的剪力。顺时针为正，逆时针为负。NAB表示AB杆A端的轴力。拉力为正，压力为负。与前面规定相同，三、如何确定基本未知量1.结点角位移:一个刚结点就有一个结点角位移。在刚结点处加上附加刚臂。2.结点线位移：在结点会发生线位移的方向上加上链杆,加入的附加链杆数就是结点线位移的个数。

3.结点角位移与结点线位移的总和即为基本未知量数目。三、确定结点线位移的方法1.利用技巧:无侧向约束的刚架，一层一个独立结点线位移。2.铰化结点、增设链杆法：将所有结点转化为铰结点，分析铰化结构的几何组成，用添加链杆的方法使其成为几何不变体系，所加链杆数即为结构的独立结点线位移数。a）原结构

b）基本结构四、确定基本未知量举例：1角1线1角2线2角1线2角2线8.4位移法的典型方程及计算步骤一、位移法典型方程建立位移法方程的条件、位移法方程及各符号的意义：1、典型方程表达式：rii:主系数rij:副系数Rip:自由项

rij=rji2、位移法典型方程说明：（1）主系数、副系数、自由项。（2）系数和自由项：附加刚臂和附加链杆处的反力矩和反力。（3）位移法的实质：以结点未知位移表示的静力平衡条件。a）原结构

b）基本结构

c）基本体系（1）选取位移法基本体系，确定基本未知量；（2）写出位移法方程；（3）绘单位弯矩图、荷载弯矩图，计算系数和自由项；（4）解出基本未知量Zi；（5）按照M=M1Z1+M2Z2+……MnZn+MP绘弯矩图；（6）绘剪力图、轴力图。3、位移法解题步骤:8.5位移法应用举例例8-2

试用位移法计算如图8-18a所示的刚架，并绘出结构的弯矩图。各杆件EI为常数。解：1.确定基本未知量数目，加上附加约束得到基本结构。2.写出位移法方程

图

图

图3（1）查表绘单位弯矩图,荷载弯矩图。CD杆查表8-1的1图，MCD=4iMDC=2iBC杆查表8-1的3图，MCB=3iMBC=0

图

CD杆查表8-1的2图，MCD=-6i/l=-3i/2MDC=-6i/l=-3i/2绘图时可参考图8-5。AB杆查表8-1的4图，MAB=-3i/l=-3i/4MBA=0AB杆查表8-2的11图，MABF=-ql2/8=-40MBAF=0绘图时考虑叠加法。3（2）由平衡条件计算系数和自由项。角标1表示反力所属的附加约束（基本未知量），角标2表示引起该反力的原因。附加刚臂处合力矩=0，附加链杆处合力=0求r11，r12，R1p：分析Z1处，以结点C为隔离体，1求r11，分析

图由根据结点C的力矩

平衡得：根据结点C的力矩

平衡得：

、

、

都是附加链杆中产生的反力，分别是附加刚臂、附加链杆发生单位位移以及外荷载作用下所产生的，可以截取刚架的某一部分为隔离体，利用力的投影方程求得。从

图中取横梁为隔离体，如下图a所示，

得：从

图中取横梁为隔离体，如下图b所示，

得：从

图中取横梁为隔离体，如下图c所示，

得：a）求

隔离体图

b）求

隔离体图c）求

隔离体图

将求得的刚度系数和自由项数值代入位移法方程得：解方程得：根据叠加原理绘出该刚架的弯矩图例：用位移法计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆EI为常数。解：1、选取位移法基本体系，确定基本未知量数目。2、写出位移法方程3.（1）查表绘单位弯矩图、荷载弯矩图。AB和BC杆查表8-1的1图。MBA=4i=2EI/3

MBC=4i=2EI/3

MAB=2i=EI/3

MCB=2i=EI/33.（1）查表绘单位弯矩图、荷载弯矩图。BC杆查表8-1的1图，CD杆查表8-1的3图。MCB=4i=2EI/3MCD=3i=EI/2MBC=2i=EI/3MDC=03.（1）查表绘单位弯矩图、荷载弯矩图。AB杆查表8-2的2图。MABF=-pl/8=-22.5MBAF

=pl/8=22.5集中荷载作用处弯矩有突变,突变值为

pl/4。CD杆查表8-2的11图，绘图采用叠加法。MCDF=-ql2/8=-45MDCF=04、求出各基本未知量3、（2）计算系数和自由项，利用合力矩=05、按M=M1Z1+M2Z2+MP绘弯矩图8.6直接利用平衡条件建立位移法方程一、“新法”与“老法”的区别1、新法：不通过基本体系，直接依据“转角位移方程”，由原结构取隔离体，利用静力平衡条件直接建立位移法方程的方法。2、老法：通过位移法典型方程和基本未知量的数目列位移法方程，进而求解结点未知位移的方法。二、新法的解题步骤1.确定基本未知量数目；（同老法）2.查表写出杆端弯矩和杆端剪力的表达式；3.根据静力平衡条件列位移法方程；4.解出基本未知量Zi；（同老法）5.将求得的Zi代回杆端弯矩表达式，求各杆端弯矩值，绘弯矩图。6.绘剪力图、轴力图。例8-2:求图示刚架，绘弯矩图。各杆EI相同。解：该刚架有一个角位移未知量

和一个线位移未知量

，取基本体系如图b所示。

b）基本体系根据基本体系附加刚臂和附加链杆上的反力矩和反力为零的条件，可建立位移法的典型方程：分别绘制出

图、

图和

图

a）

图b）

图

c）

图

在a图中根据结点C的力矩平衡得：在b图中根据结点C的力矩平衡得：在c图中根据结点C的力矩平衡得：a）求

隔离体图b）求

隔离体图c）求

隔离体图从

图中取横梁为隔离体，如图a所示，

得：

从

图中取横梁为隔离体，如图b所示，

得：

从

图中取横梁为隔离体，如图c所示，

得：

将求得的刚度系数和自由项数值代入位移法方程得：解方程得：根据叠加原理,按绘出该刚架的弯矩图:8.7对称性的利用一、半刚架法：

用半个刚架的计算简图代替原结构对刚架进行分析的方法。二、奇数跨对称结构1、对称荷载作用：用带有定向支座的半刚架代