结构力学 课件 第七章-力法

结构力学必修·学科基础课城市建设学院第七章力法7.1超静定结构概念和超静定次数的确定一、超静定结构的概念超静定结构全部反力和内力仅凭静力平衡条件是不能确定或不能完全确定的；从几何组成角度讲，超静定结构虽然也是几何不变体系，但存在多余约束。超静定结构的特点:（1）支座反力和内力只凭静力平衡方程不能确定或不能完全确定。（2）除荷载外，支座移动、温度改变等均会引起内力。（3）多余约束遭破坏后，仍能维持几何不变性。（4）局部荷载对结构影响范围大，内力分布均匀。

1、定义2、多余约束力多余约束中产生的力称为多余约束力，简称多余力。关于超静定结构的几点说明:（1）多余约束是相对保持几何不变性而言，并非真正多余。（2）内部有多余约束亦是超静定结构。（3）超静定结构去掉多余约束后,就成为静定结构。（4）超静定结构应用广泛。3、超静定结构的类型（1）超静定梁（2）超静定刚架（3）超静定拱（4）超静定桁架（5）超静定组合结构（1）超静定梁；（2）超静定刚架；（3）超静定拱；（4）超静定桁架；（5）超静定组合结构；3、超静定结构的类型

超静定梁

超静定刚架

超静定拱超静定组合结构

超静定桁架第七章力法二、超静定次数的确定：1、如何确定超静定次数：当采用力法解超静定结构时常将结构的多余约束或多余未知力的数目称为结构的超静定次数。

解除原超静定结构的多余约束，使其成为静定结构，则去掉多余约束的个数即为该结构的超静定次数。解除多余约束的方法：（1）切断一根链杆或去掉一根链杆支承相当于去掉一个约束a）超静定组合结构

b）切掉一根链杆c）超静定刚架

d）去掉一根链杆支承（2）去掉一个简单铰或去掉一个铰支座相当于去掉两个约束a）超静定刚架

b）去掉简单铰c）超静定刚架

d）去掉铰支座（3）将刚性联结切断或去掉一个固定端支座相当于去掉三个约束

a）超静定刚架

b）将刚性联结切断c）超静定刚架

d）去掉一个固定端支座（4）将刚性联结改为铰联结或将固定端支座改为铰支座，相当于去掉一个约束a）超静定拱

b）刚性联结改为铰联结c）超静定刚果

d）固定端支座改为支座3、确定超静定次数时应注意的问题（1）刚性联结的封闭框格，必须沿某一截面将其切断。（2）去掉多余约束的方法有多种，但所得到的必须是几何不变体系；几何可变、瞬变均不可以。（3）对于一个超静定结构可以采用不同的方式去掉多余约束，而得到不同的静定结构，但无论采取哪种方式，结构的超静定次数是唯一的。a）四次超静定结构

b）静定结构І

c）静定结构Ⅱ

d）静定结构Ⅲ7.2力法的基本概念和力法方程一、力法的定义计算超静定结构时，根据计算途径的不同，可以有两种不同的基本方法。当以超静定结构中的多余未知力作为基本未知数求解时，称为力法。二、力法的结构与体系1、原结构:超静定结构，称其为原结构。

2、原体系:荷载同原结构一起称为原体系。3、基本结构:原结构的多余约束去掉，则得到相对于原结构而言的基本结构。4、基本体系:当基本结构上作用有原荷载和代替原体系中多余约束的多余未知力时，可得到与原体系等价的基本体系。原体系原结构基本结构ABABqAB基本体系ABqX11．力法的结构与体系：三、力法的基本原理和方程内力和位移完全一致2．解题思路：

将超静定问题转化为静定问题求解。3．解题步骤：（1）确定超静定次数——具有一个多余约束，原结构为一次超静定结构。（2）选取基本体系和基本未知量——去掉多余约束（活动铰支座B），代之以多余约束力X1。

——X1称为力法的基本未知量。三、力法的基本原理和方程X1q

基本体系ABqABl

原体系力法：以超静定结构中的多余约束力为基本未知量求解，即称为力法。=（3）求基本未知量X1①建立变形协调方程。——基本体系与原体系在去掉多余约束处沿多余约束力方向上的位移应一致，即：Δ1

＝0由迭加原理，上式写成：

Δ1

＝Δ11＋Δ1P＝0——称为变形协调方程三、力法的基本原理和方程Δ11：由多余约束力X1单独作用时，基本结构B点

沿X1方向产生的位移。Δ1P：由荷载q单独作用时，基本结构B点沿X1方向产生的位移。qABl=

ABX1=qqABΔ1PABX1Δ11+Δ1=0由于

X1是未知的，Δ11无法求出，为此令：

Δ11=δ11×X1δ11——表示X1为单位力时，在B处沿X1方向产生的位移。式：

Δ1

＝Δ11＋Δ1P＝0可改写成：

δ11X1＋Δ1P＝0三、力法的基本原理和方程一次超静定结构的力法方程式中δ11

、Δ1P被称为系数和自由项，可用求解静定结构位移的方法求出。δ11X1qABl=

ABX1=qΔ1PABX1Δ11+Δ1=0qABδ11和Δ1P——均为静定结构在已知力作用下的位移，

故可由积分法或图乘法求得。

由图乘法，得：作、

图，M1

MP②

求系数δ11

、自由项Δ1P三、力法的基本原理和方程ABlM1

图

MP图lABX1=1

③

将δ11、Δ1P代入力法方程，求得X1由上式，得：

（4）按静定结构求解其余反力、内力、绘制内力图

亦可：δ11X1＋Δ1P＝0——迭加原理绘制ABlqM图（与假设方向一致）三、力法的基本原理和方程4．小结：力法计算过程（1）判定超静定次数；（2）选取基本体系，确定基本未知量；（3）建立变形协调方程（力法方程）；（4）求系数、自由项（，图乘法计算）；（5）解力法方程，求基本未知量（X1）；（6）叠加原理绘制弯矩图。（或由静定的基本结构求其支座反力和内力）三、力法的基本原理和方程作、图M1

MPABqX1基本体系ABq

11·X1+

1P=0=qABl

原体系练习：已知结构的EI为常数，请绘制超静定梁的弯矩图。X1q

基本体系AB解：具体步骤如下（1）选取力法基本体系和基本未知量；（2）根据变形协调条件列力法方程；（3）绘单位弯矩图、荷载弯矩图；（4）求系数与自由项，解力法方程；（5）绘制弯矩图。7.3用力法计算超静定梁和刚架一、用力法计算超静定结构的步骤：（1）去掉原体系的多余约束，选取力法基本体系。（2）根据基本体系去掉多余约束处的位移条件建立力法方程。（3）求力法方程的柔度系数和自由项。（计算超静定梁和刚架时，应绘出基本结构在单位力作用下的弯矩图和荷载作用下弯矩图，或写出弯矩表达式）（4）解力法方程，求多余未知力。（5）求出多余力后，由基本体系按静定结构的分析方法绘出原体系的内力图。例7-2:绘制图示超静定梁的内力图,EI为常数。ａ）原体系解：1、选取基本体系。

b）基本体系2、建立力法方程。

3、作单位弯矩图和荷载弯矩图。

c）基本结构受x₁=1作用d）基本结构受x₂=1作用

e）基本结构受x₃=1作用

ｆ）MP图4、（1）计算系数和自由项。（2）解出多余未知力。5、作内力图。例7-1：作图示梁的弯矩图。设B端弹簧支座的弹簧刚度系数为k，梁抗弯刚度EI为常数。a）原体系

解：1、选取基本体系。2、建立力法方程。3、作单位弯矩图和荷载弯矩图。M₁图

Mp图4、（1）计算系数和自由项。4、（2）解出多余未知力。5、作弯矩图。例7-3:分析超静定刚架,绘制其内力图。解：1、选取基本体系。2、建立力法方程。3、作单位弯矩图和荷载弯矩图。4、解出多余未知力。解力法方程组，得5、作内力图M图（kN▪m）Q图（kN）N图（kN）例7-4:绘制图示超静定刚架的内力图。解：1、选取基本体系。2、建立力法方程。3、作单位弯矩图和荷载弯矩图。基本结构受到x₁=1作用基本结构受x₂=1作用

基本结构受x₃=1作用基本结构受荷载作用4、计算系数和自由项。将以上各系数和自由项代入力法方程组，简化后得得5、作内力图。M图

Q图

N图7.4用力法计算超静定桁架和组合结构例7-5分析图示超静定桁架，绘制轴力图。解：1、选取基本体系。2、写力法方程：3、作单位轴力图和荷载轴力图。4、计算系数和自由项。解出多余未知力。5、作轴力图。基本结构受外荷载作用

各杆轴力值例7-6：分析图所示超静定组合结构解：1、选取基本体系。2、写力法方程：3、作单位弯矩图和单位轴力图。作荷载弯矩图和荷载轴力图。4、计算系数和自由项。代入力法方程解得5、作内力图。二、超静定排架的计算1、排架由三部分组成，是工程中单层厂房的简化。2、排架的近似计算方法。3、用力法计算排架时，一般将排架的一根链杆作为多余约束。7.5两铰拱及系杆拱一、两铰拱(不带拉杆的两铰拱)的计算：计算两铰拱时，通常去掉一个支座的水平约束，并以多余力X1代替。如图所示为一两铰拱和相应的基本体系。由原体系在支座B处的水平位移等于零的条件，可以建立力法方程

原体系

基本体系力法方程：不带拉杆的两铰拱计算公式：代入力法方程，得：二、系杆拱的计算：示意图

计算简图

基本体系力法方程：代入力法方程，得：7.6

最后内力图的校核一、正确内力图应满足条件

1.静力平衡条件2.位移条件二、校核方法：1.选取结点或截取结构的一部分，验算是否满足

M=0、X=0、Y=0，校核静力平衡条件。2.验算沿任一多余力方向的位移，看其是否与原已知位移相符，校核位移条件。原体系M图Q图

N图C点受力图D结点受力图CDE杆受力图图

图7.7温度变化时和支座移动时超静定结构的（内力）计算温度变化、支座移动等因素引起的超静定结构的内力，用力法计算时，计算步骤与荷载作用下的步骤基本相同，不同的是：力法方程表达式及自由项的计算。一、温度变化时超静定结构的内力计算：1、计算公式：

力法方程的自由项由2、计算步骤：（1）确定超静定次数,选取基本体系。（2）建立力法方程。（3）作基本结构的单位弯矩图和单位轴力图。（4）(图乘法)计算系数,根据6-6节公式计算自由项，解出多余未知力。（5）按分析静定结构的方法作内力图。例7-8：图示刚架外侧温度升高了25℃，内侧温度升高了15℃，试绘制其弯矩图并计算横梁中点K的竖向位移。刚架EI等于常数，截面为矩形，其高度h=0.6m，材料线膨胀系数为α。原体系解：1、选取基本体系。2、写出力法方程。3、作基本结构的单位弯矩图和单位轴力图基本结构受

作用

图基本结构受

作用

图4、（1）计算系数和自由项。（2）解出多余未知力。5、作弯矩图。二、支座移动时超静定结构的内力计算1、计算公式：

力法方程的自由项由2、计算步骤：（1）确定超静定次数,选取基本体系。（2）建立力法方程。（3）作基本结构的单位弯矩图,求出支座反力。（4）(图乘法)计算系数,根据6-7节公式计算自由项,解出多余未知力。（5）按分析静定结构的方法作内力图。例7-9：图示单跨超静定梁，固定支座A处发生转角

A

。求梁的内力和支座反力。解：1.选取基本体系2.写出力法方程:3.作基本结构的单位弯矩图，求出支座反力。4.（1）计算系数和自由项。（2）解出多余未知力。5.绘内力图并求支座反力。M图Q图7.8对称性的利用一、基本概念1、对称结构：结构的几何形状、支承情况、杆件的截面尺寸和弹性模量均对称于某一几何轴线的结构。kkkkkk2、对称荷载：荷载绕对称轴对折后，左右两部分的荷载彼此重合，具有相同的作用点、相同的数值和相同的方向。kkkkppppkkq3、反对称荷载：荷载绕对称轴对折后，左右两部分的荷载彼此重合，具有相同的作用点、相同的数值和相反的方向。ppkkkkkkqppq二、对称结构承受对称荷载kqkq原体系基本体系qq力法方程:M1图Mp图M3图M2图分析:原方程变为：解方程，得:结论：对称结构在对称荷载作用下，只存在对称多余力，反对称多余力等于零；其变形是对称的。三、对称结构承受反对称荷载原体系基本体系qkkqqq力法方程:Mp图M3图M2图M1图分析:原方程变为：解方程，得:

结论：对称结构在反对称荷载作用下，只存在反对称多余力，对称多余力等于零；其变形是反对称的。四、中柱位于对称轴的情况：7.9超静定结构的位移计算一、超静定结构的位移计算1、原理：先求出超静定结构的多余未知力，将多余力当作外荷载与原荷载同时加在基本结构上,则基本结构在上述总因素作用下的位移就是该超静定结构的位移。2、超静定结构位移的计算步骤:（1）选取基本体