幂函数考试答题及答案

幂函数考试答题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.幂函数\(y=x^{\alpha}\)的图象过点\((2,8)\)，则\(\alpha\)的值为（）A.1B.2C.3D.42.幂函数\(y=x^{\frac{1}{2}}\)的定义域是（）A.\(\{x|x\geq0\}\)B.\(\{x|x\gt0\}\)C.\(R\)D.\(\{x|x\neq0\}\)3.下列函数中，是幂函数的是（）A.\(y=2x\)B.\(y=x^{2}+1\)C.\(y=\frac{1}{x^{2}}\)D.\(y=2^{x}\)4.幂函数\(y=x^{-3}\)的图象关于（）对称A.\(x\)轴B.\(y\)轴C.原点D.直线\(y=x\)5.若幂函数\(y=x^{m}\)在\((0,+\infty)\)上单调递减，则\(m\)的取值范围是（）A.\(m\gt0\)B.\(m\lt0\)C.\(m\geq0\)D.\(m\leq0\)6.幂函数\(y=x^{\alpha}\)，当\(\alpha=-1\)时，在区间\((0,+\infty)\)上（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增7.已知幂函数\(y=x^{a}\)的图象经过点\((4,2)\)，则\(a\)的值为（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(-\frac{1}{2}\)C.2D.\(-2\)8.幂函数\(y=x^{4}\)的奇偶性是（）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数9.幂函数\(y=x^{\frac{2}{3}}\)的图象大致是（）A.第一象限内递增的曲线B.第一、二象限内关于\(y\)轴对称的曲线C.第一、三象限内关于原点对称的曲线D.第二、四象限内关于原点对称的曲线10.幂函数\(y=x^{m-1}\)的图象在\((0,+\infty)\)上是上升的，则\(m\)的取值范围是（）A.\(m\gt1\)B.\(m\lt1\)C.\(m\geq1\)D.\(m\leq1\)答案：1.C2.A3.C4.C5.B6.B7.A8.B9.B10.A二、多项选择题（每题2分，共20分）1.下列幂函数中，是偶函数的有（）A.\(y=x^{2}\)B.\(y=x^{\frac{2}{3}}\)C.\(y=x^{-2}\)D.\(y=x^{\frac{1}{2}}\)2.幂函数\(y=x^{\alpha}\)在\((0,+\infty)\)上单调递增的\(\alpha\)值可以是（）A.1B.2C.\(\frac{1}{2}\)D.33.以下幂函数中，定义域为\(R\)的有（）A.\(y=x\)B.\(y=x^{2}\)C.\(y=x^{\frac{1}{3}}\)D.\(y=x^{3}\)4.幂函数\(y=x^{-1}\)与幂函数\(y=x\)的图象（）A.都经过点\((1,1)\)B.都经过点\((-1,-1)\)C.关于原点对称D.有一个交点5.对于幂函数\(y=x^{\alpha}\)，当\(\alpha\)满足（）时，函数在\((0,+\infty)\)上单调递减且为偶函数。A.\(\alpha=-2\)B.\(\alpha=-\frac{2}{3}\)C.\(\alpha=-\frac{1}{2}\)D.\(\alpha=2\)6.幂函数\(y=x^{n}\)（\(n\)为整数）的图象不可能经过（）A.第二象限且\(x\)轴下方B.第四象限且\(x\)轴上方C.第二象限且\(y\)轴左侧D.第四象限且\(y\)轴右侧7.已知幂函数\(y=x^{a}\)的图象过点\((9,3)\)，则下列说法正确的是（）A.\(a=\frac{1}{2}\)B.\(y=x^{a}\)是偶函数C.\(y=x^{a}\)在\((0,+\infty)\)上单调递增D.\(y=x^{a}\)的值域是\([0,+\infty)\)8.下列幂函数中，与函数\(y=x\)单调性和奇偶性都相同的有（）A.\(y=x^{3}\)B.\(y=x^{\frac{1}{3}}\)C.\(y=x^{\frac{5}{3}}\)D.\(y=x^{-1}\)9.幂函数\(y=x^{\alpha}\)（\(\alpha\)为常数）的图象可能是（）A.直线B.抛物线C.双曲线D.只在第一象限的曲线10.幂函数\(y=x^{\alpha}\)，若\(\alpha\)满足\(0\lt\alpha\lt1\)，则该幂函数（）A.图象过点\((0,0)\)和\((1,1)\)B.在\((0,+\infty)\)上单调递增C.图象是上凸的D.图象是下凸的答案：1.ABC2.ABCD3.ABCD4.ABD5.AB6.AB7.ACD8.ABC9.ABCD10.ABC三、判断题（每题2分，共20分）1.幂函数\(y=x^{\frac{1}{3}}\)的定义域为\(R\)。（）2.幂函数\(y=x^{-2}\)在\((0,+\infty)\)上单调递增。（）3.函数\(y=3x^{2}\)是幂函数。（）4.幂函数\(y=x^{\alpha}\)（\(\alpha\lt0\)）的图象一定不过原点。（）5.幂函数\(y=x^{\frac{3}{2}}\)是奇函数。（）6.若幂函数\(y=x^{m}\)在\((0,+\infty)\)上单调递增，则\(m\gt0\)。（）7.幂函数\(y=x^{\alpha}\)的图象与坐标轴最多有一个交点。（）8.幂函数\(y=x^{4}\)的图象比\(y=x^{2}\)的图象在\((0,+\infty)\)上增长得快。（）9.幂函数\(y=x^{-\frac{1}{2}}\)的定义域是\(\{x|x\gt0\}\)。（）10.所有幂函数在\((0,+\infty)\)上都有定义。（）答案：1.√2.×3.×4.√5.×6.√7.×8.√9.√10.√四、简答题（每题5分，共20分）1.简述幂函数\(y=x^{n}\)（\(n\)为正整数）的奇偶性规律。答案：当\(n\)为偶数时，幂函数\(y=x^{n}\)是偶函数；当\(n\)为奇数时，幂函数\(y=x^{n}\)是奇函数。2.幂函数\(y=x^{\alpha}\)的图象过点\((3,\frac{1}{9})\)，求\(\alpha\)的值及函数的单调区间。答案：将点\((3,\frac{1}{9})\)代入\(y=x^{\alpha}\)，得\(3^{\alpha}=\frac{1}{9}=3^{-2}\)，所以\(\alpha=-2\)。函数\(y=x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}\)，在\((-\infty,0)\)上单调递增，在\((0,+\infty)\)上单调递减。3.比较\(2^{\frac{1}{2}}\)与\(3^{\frac{1}{3}}\)的大小。答案：对\(2^{\frac{1}{2}}\)与\(3^{\frac{1}{3}}\)分别进行\(6\)次方运算，\((2^{\frac{1}{2}})^6=2^{3}=8\)，\((3^{\frac{1}{3}})^6=3^{2}=9\)，因为\(8\lt9\)，所以\(2^{\frac{1}{2}}\lt3^{\frac{1}{3}}\)。4.说明幂函数\(y=x^{0}\)的定义域、值域及图象特征。答案：定义域为\(\{x|x\neq0\}\)，值域为\(\{1\}\)。图象是直线\(y=1\)去掉点\((0,1)\)。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论幂函数\(y=x^{\alpha}\)在\(\alpha\gt0\)和\(\alpha\lt0\)时，函数图象在第一象限的变化趋势有何不同？答案：当\(\alpha\gt0\)时，在第一象限内函数图象单调递增，且\(\alpha\)越大，图象上升速度越快；当\(\alpha\lt0\)时，在第一象限内函数图象单调递减，且向两坐标轴无限趋近。2.结合幂函数的性质，讨论如何根据幂函数\(y=x^{\alpha}\)中\(\alpha\)的值快速画出函数在第一象限的大致图象？答案：先看\(\alpha\)正负，\(\alpha\gt0\)图象上升，\(\alpha\lt0\)图象下降。再看\(\alpha\)与\(1\)的大小关系，\(\alpha\gt1\)图象下凸上升快，\(0\lt\alpha\lt1\)图象上凸上升慢，根据这些特点可画出大致图象。3.讨论幂函数与指数函数在形式和性质上的主要区别。答案：形式上，幂函数\(y=x^{\alpha}\)（\(x\)是自变量，\(\alpha\)是常数），指数函数\(y=a^{x}\)（\(a\)是常数且\(a\gt0,a\neq1\)