第四章 图形的相似（知识清单）-北师大版九年级数学上册（含解析）

第四章图形的相似（知识清单）数学北师大版九年级上册

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.如图，在VA8C中，A8=8cm,BC=\6cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cnVs,

动点。从点B开始沿8c边运动，速度为4cm/s,当点。与点3重合时，停止运动.如果P,

Q两点同时运动，设运动时间为/秒，当，=秒时，由P、8、Q三点连成的三角形

2.如图，等腰三角形A8C中，AB=AC=5,BC=8,点M是BC边上一动点,连接4W,

当图中存在直角三角形时（不添加其他线段），8W的长为一.

3.如图，在VA4c中，D,E分别是3C,AC上的点，连接40,BE交于点F,若而=2,

/q,则桀的值为一.

卜I）3EC

二、解答题

4.新定义：如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行

四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”,

垂足叫做“垂中点

如图1,在中，BFJ.AC于点、E,交AD于点、F,若尸为AD的中点，则是

垂中平行四边形，E是垂中点.

AD

BCBC

图3备用图1图3备用图2

(I)如图1，在垂中平行四边形ABC。中，七是垂中点.若8c=26，CE=2,则A£=____；

AB=；

(2)如图2,在垂中平行四边形A3CO中，E是垂中点.若A8=BD,试猜想A尸与CO的数量

关系，并加以证明；

(3)如图3,在V/1BC中，BEJLAC于点E,CE=2AE=\2,BE=5.

①请画出以BC为边的垂口平行四边形，使得石为垂中点，点A在垂中平行四边形的边上；

(不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母)

②将VA8C沿AC翻折得到VABC,若射线C9与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一

点〃，连接庄，请直接写出庄的长.

三、单选题

5.如图，在钝角三角形A8C中，/IB=6cm,4C=12cm,动点。从4点出发到B点止，

动点七从C点出发到4点止.点。运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒.如果

两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与VA8C相似时，运动的时间是()

试卷第2页，共10页

A.3秒或4.8秒B.3秒

C.4.5秒D.4.5秒或4.8秒

6.如图，在菱形A68中，过点A作_L8,垂足E在CD的延长线.上，过点E作EFJ.BC,

垂足为r.若AE=3,£*=4,则菱形的边长为（）

DE

8及9夜

B.2近D.3&

7.如图，正方形A8CO中，E是AO中点，连接AC,作。/_LCE交A8于F,交CE于P,

PH

交AC于，，延长。尸交CB延长线于G,则/的值为（）

G/7

京

8.如图，已知在直角梯形ABCO中，AD//BC,ABA.BC,45=11,BC=\3,AB=\2.动

点P、Q分别在边AD、BC.L，且8。=2DP.线段PQ与加相交于点E,过点E作EF//BC,

交CD丁点F,射线尸尸交6c的延长线丁点G,设。尸=人，给出下列说法：

APD

13

①当四边形PQC。为平行四边形时，X=y

③当点P运动时，四边形的面积始终等于苧；

④当-PQG是以线段P。为腰的等腰三角形时，X最多有四种结果

说法正确的个数是多少个？（）

四、填空题

9.如图，在VA8C中，。是AC的中点，点尸在8。上，连接瓶并延长交8c于点E,若

BF:FD=4:1,BC=10,则CE的长为.

10.在平面直角坐标系中，点A（-3,0）,8（0,4）,连接48,动点。从点A出发，沿线段A3

以每秒5个单位长度的速度向终点8运动，连接OP，作点A关于的对称点。，连接0。，

PD，设点P的运动时间是/秒，当直线尸。与坐标轴垂直时，，的值为.

11.如图，在矩形A8CO中，AB=4瓜BC=S6E是8c的中点，连结AE,尸是边AO

上一动点，沿过点〃的直线将矩形折叠，使点。落在AE上的点以处，当44尸。是直角三

角形时，PD=_____.

试卷第4页，共10页

12.如图，在阳ABC中，乙4=30。,8c=2,点夕、Q分别为AB8c上一动点，将一PQB

沿尸。折叠得到二PQO,点B的对应点是点。，若点。始终在边AC上，当，巩＞与4/BC相

似时，人P的长为.

五、解答题

13.如图，A。是VA8C的中线，E是线段4。上的一点，且AO=3A£,连接CE并延长交AB

于点F.

⑵若AF=2cm,求AB的长.

14.如图，已知V人AC是边长为9cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分

别沿A3、8C匀速运动，其中点P运动的速度是Icm/s，点。运动的速度是2cm/s,当点。

到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为［s),解答下列问题：

⑴当，=3时，判断V8PQ的形状，并说明理由；

(2)作QR〃84交AC于点R,连接依，当f为何值时，AAPR与以P、R、Q为顶点的三角

形相似.

15.【初步尝试】

(1)如图1,在VA3c中，AZ?=AC,点E,尸分别在边AB,3c上，且砂〃4C,则相

与a的数量关系是______.

(2)如图2,将图I中的aBEF绕点8顺时针旋转a(*为锐角)，连接AE,CF.求证：

△ABES&BF.

【特例研讨】

(3)如图3,VABC和所是等腰直角三角形，ZBAC=ZBEF=90°,BC=4无，BE=2,

△BE尸绕点8顺时针旋转至点A,E,广在同一条直线上，AE与8。交于点。，连接CF.

①求N8CT的度数；

②求CO的长.

【深入探究】

(4)如图4,在四边形4BCO中，NDC8=90。，A8=8,AD=6,若NG48=/OBC=30。，

请直接写出4c的长.

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图1图2图3图4

16.小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：如图，在VABC中，点D是的中

点，点£是AC中点.连结A。，BE交于点、G,求号的值・

LJU

1s

(1)小明发现，过点D作跳;交AC于”,根据平行线分线段成比例即可得到问题的

答案.下.面是小明的部分证明过程：

解：如图1，过点。作交AC于H,

。是8c的中点，

:.BD=CD,

CDCH.

/.——=——=1,

BDEH

请你补全余下的证明过程.

【尝试应用】

(2)如图图2,在，A8CD中，E、尸分别是/W、.C。的中点，连接4C分别交。石、BF于

M、N,求证：AM=MN=NC.

【拓展提高】

(3)如图图3,点。、E分别是BC、AC边的中点，AD.BE交于F,AD=6,BE=9,

AD1BE,求四边形CD上方的面积.

17.【问题发现】矩形里的有趣“十字架”

某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在

矩形A8CO中，AD=m,AB=n,E、F、G、”分别是边48、C。、AD.8C上的点，

FFni

连接E"、G”交于点O,当时，总是会有=一.

GHn

图①图②图③图④

【模型建立】如何证明这个猜想呢？

在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探

究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移

动到顶点A、。处，如图②所示.

(1)在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？

(2)你能在图①中添加相助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的

规律吗？

试卷第8页，共10页

【模型应用】

(3)如图③，在正方形ABC。中，AA=4,E、尸分别在边C。、D4上，连接BE、CF,

若BE=5,BELCF,则人尸=_.(直接写出结果).

【拓广延伸】

(4)如图④，在直角梯形A8C。中，AD//BC,Z^=90°,AB=6,BC=8,点、M、N分别

是边A。,8c上的动点，连接MV交梯形对角线AC于点0,若NAOM=90。，则MN的长度

为一.(直接写出结果)

18.【基础巩固】

(1)如图1,在正方形4BCO中，点£在AB的延长线上，连接AE,过点。作。产JL。石交

8C的延长线于点F,求证：DE=DF；

【尝试应用】

(2)如图2,在菱形A4CO中，ZABC=60°,点七在边AO上，点尸在AB的延长线上，

EF3

以E为顶点作NFEG=/BAD,E尸交8c的延长线于点G,若不K=:，84=4,BF=2,

EG4

求CG的长；

【拓展提升】

(3)如图3,在矩形ABC。中，点尸在AB的延长线上，连接4。，EF,过点C作CG〃BD,

FF

以E为顶点作NFEG=NF3D,EG交CG于点、G,若4D=〃N3,DE=nAD,求〒(用

EG

含〃b〃的代数式表示式

图1图2图3

试卷第10页，共10页

《第四章图形的相似（知识清单）数学北师大版九年级上册》参考答案

题号5678

答案ACCD

1.2秒或0.8秒

【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形

相似.利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键.分两种情况，利用

相似三角形的判定建立方程求解即可；

【详解】解：设经过/秒时，以△Q8P与V4BC相似，BP=（8—27）厘米，

二当普=鬻时，'BPQS'BAC,即塞哈

解得：f=2,

空二些&BPQs_BCA,即"="；

BCBA1681

解得：z=0.8,

即经过2秒或0.8秒时，△Q8P与VA4C相似，

故答案为：2秒或0.8秒.

2.4或一或;

【分析】本题主要考查了等腰二角形的性质，相似二角形的判定和性质，解题的关键是掌握

分类讨论的数学思想.

根据题意求出等腰三角形A8C底边上的高，然后分三种情况讨论，然后利用等腰三角形的

性质和相似三角形的判定和性质进行求解即可.

【详解】解：根据题意求出等腰三角形A8C底边上的高.

如图（1）,过点A作A"_L8c于点”，

VAB=AC=5,BC=8,

BH=CH=4.

图⑴

根据直角三角形的直角不确定，分情况求解.

答案第1页，共30页

①当NAA"=90。时，点M与点，重合，此时均为直角三角形，BM=BH=4；

②当N8AA/=90。时，二ABM为直角三角形,如图(2),

/B=N8,NBA"=/BHA=90°,

:•一BAMS_BHA,

,BABM5BM

..——=---,即Hn一=——,

BHBA45

解得

图⑵图⑶

③当NC4M=9()。时，△ACM为直角三角形，如图(3),同理②可得CM二一，

4

257

.•.8M=8---=-；

44

综上所述，8W的长为4或f25或g7.

44

故答案为：4或f25或!7.

44

3.§

9

【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过点D作DH〃/正,交AC于”，根据

平行线分线段成比例定理计算即可.

【详解】解：如图，过点。作交AC于H,

设C〃=x,则E〃=2x,

EF//DH,

.AEAF4

•---=---=一,

EHFD3

AAh:hH:HC=8:6:3,

答案第2页，共30页

设Af=8x,Pl!lEH=6x,CH=3x,EC=EH+CH=9x,

.AE8

••=—，

EC9

Q

故答案为：—.

4.(1)1,V17

Q）AF=6CD.证明见解析

（3）①画图见解析；②年•的长为曲或也

42

【分析】（I）根据题意可推出得到普二券，从而推出AE，再根据勾股

BCCE

定理可求得6石，再求得A8:

4/7Annr

（2）根据题意可推出庄得到芸=黑=2=2,设BE=a,则。E=%，

AB=CD=3a,再利用勾投定珅得到A/?,从而推出AF,即可求得答案：

（3）①分情况讨论，第一种情况，作8。的平行线A。，使AO=4C,连接CO,延长BE交

A。于点尸；第二种情况，作ZA4C的平分线，取C”=CB交/A4C的平分线于点“，延

长CH交跖的延长线于点。，在射线BA上取AF=AB，连接。入第三种情况，作AD//BC,

交班的延长线于点。，连接C。，在D4延长线上取点F,使4尸=人。，连接所：

②根据①中的三种情况讨论：

第一种情况，根据题意可证得C是等腰三角形，作P"_L4C,则A〃="C,可推出

△CPHs«B'E,从而推出黑=要，计算可得P”，最后利用勾股定理即可求得PE；

BECE

第二种情况，延长C4、DF交于点、G,同理可得&尸GC是等腰三角形，连接抬，可日

GAFsCAB,结合三线合一推出抬_LAC,从而推出。9后,同第一种情况即可求

得PE；

第三种情况无交点，不符合题意.

【详解】（I）解：•••四边形ABC。是平行四边形，

AAD=BC=2x/5,AD//BC,

丁尸为4。的中点,

・•・AF=-AD=-BC=>/5,

22

•.AF/7BC,

[AEFs-CEB,

答案第3页，共30页

AEAF1

/.----=----=-9

CEBC2

・；CE=2,

AE=1,

•jBC=2AF=26,

/.BE=yjBC2-CE2=4,

/.AB=s/AE2+BE2=Vi7；

故答案为：i；JF7；

(2)解：AF=OCD，理由如下：

根据题意，在垂中平行四边形人BC。中，AF±BD,且尸为8c的中点,

AAD=BC=2BF,ZAEB=9。。；

乂AD//BC,

AEM>_FEB，

AEADDE

一=——=——=2；

EFBFEB

设=则。E=2a,

AB=BD,

/.AB=BD=BE+ED=a+2€i=3a,

・••AENAB'-BE?=J(%)2_q2=2丘a,EF=Ca，

­■­AF=AE+EF=20a+^a=3&i，

vAB=CD,

.AFAF3及a仄

••—=—=----=y2,

CDAB3a

AF=41CD;

(3)解：①第一种情况：

作BC的平行线A。，使HO=8C,连接CO,

则四边形ABCO为平行四边形；

延长班;交A。于点、F,

BCAD,

AEFs3CEB，

答案第4页，共30页

AF__AE_

~BC~~CE

vAD=BC,CE=2AE,

箓=言j即”［山4皿

「•尸为AO的中点;

故如图1所示，四边形人BCD即为所求的垂中平行四边形:

图1

第二种情况:

作一八3c的平分线，取C"=CB交ZA6C的平分线于点H,延长C〃交跖的延长线于点。,

在射线船上取=连接。尸,

故A为防的中点:

同理可证明：AB=^-CD,

2

则尸=2A3=CQ,

则四边形BCDF是平行四边形;

故如图2所示，四边形BCDF即为所求的垂中平行四边形:

作4O〃8C,交照的延长线于点。，连接C。，在D4延长线上取点F,使A尸=八£>,连

接班

则A为。尸的中点,

同理可证明八O=g3C,从而力尸=BC,

故四边形86斤是平行四边形:

答案第5页，共30页

由题意可知，ZACB=Z4CP,

•/四边形ABCD是平行四力形，

ZACB=ZPAC,

:.APAC=APCA,

「.△PAC是等腰三角形；

过P作。〃_LAC于〃，则A〃=〃C,

vBE=5,CE=2AE=\2,

B,E=BE=5,AE=6,

AH=HC=-AC=-(AE+CE)=-(6+\2)=9,

222

:.EH=AH-AE=9-6=3；

〈PHIAC,BE工AC,

:.△CPHSACBE,

PHCHCHB'E9x515

---=----,即HrlPDHt/=-----------=------=—

BECECE124

「・PE=y/EH2+PH2=

若按照图2作图，

答案第6页，共30页

PD

Gy

BC

延长6、DF交于点G,

同理可得：PGC是等腰三角形,

连接E4,

GF〃BC,

.1GA尸sCAB,

AFAG,

——=----=1,

ABAC

AG=AC,

:.PA1AC；

同理，△CPAS^CQE,

•.AE=6,EC=12,B'E=BE=5,

B'ECEBEAC5x1815

—,即PA二

~PAACCE~12-T

若按照图3作图，则：没有交点，不存在尸石（不符合题意）

【点睛】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定

与性质，勾股定理，尺规作图，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握以上知识点，读懂题

意并作出合适的辅助线是解题的关键.

5.A

【分析】此题考查r相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要

注意运用方程思想解题.

答案第7页，共30页

根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，△ADEs/viBC和ADE^.ACB,

可求运动的时间是3秒或4.8秒.

【详解】解：根据题意得：设当以点A、。、E为顶点的三角形与VA8C相似时，运动的时

间是x秒，

ADAP

①若△ADEsAABC,IJII]—=—,

ABAC

x12—2x

612

解得：x=3；

AnAF

②若..ADEsaACB,则一=——

ACAB

,x12-2x

••=1,

126

解得：x=4.8.

，当以点4、。、石为顶点的三角形与VA8C相似时，运动的时间是3杪或4.8杪.

故选：A

6.C

【分析】由菱形的面积公式得到巾=4?=3,由勾股定理求出AG=2jL判定

EAG^ADAE,推出AE:AO=AG:AE,求出4。=迪，即可得到菱形的边长.

本题考查菱形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由菱形的面积公式推出R7=AE=3,

判定，EAG^DAE.

【详解】解：•.・四边形ABC。是菱形，

BC〃AD,BC=CD,

VEF1BC,

:.EF1AD,

QAELCD,

••・菱形ABC。的面积=BCFG=CDAE,

..FG=AE=3,

:.EG=EF-FG=4-3=\,

AG=7AE2-EG2=2x/2，

vZAGE=ZAED=90°,ZEAG=ZDAE,

/.EAG^.DAE,

答案第8页，共30页

:.AE:AD=AG:AE,

.,.3:4力=2拒:3，

.9>/2

..AD=-----，

4

菱形的边长为还.

4

故选：C.

7.C

【分析】先证明4AW^，OCE(ASA),得==根据人。4C证明ADSRGF,

,ADHs&CGH,△DE—GCP,列比例式可求得：P//和G”的长，从而得结论.

【详解】解：•・•四边形48C。是正方形，

AAD=CD,N8AO=ZADC=90°,

/.ZA£)F+ZCDP=90°,

,/DF工CE,

JZCPD=90°,

••・NDCE+NCDP=90。,

・••ZADF=/DCE,

ADF-DCE(ASA),

：.AF=DE,

•・•点E是AD的中点,

DE=-AD

2t

・•・AF=-AB

2t

•・•四边形ABC。是正方形，

ADBC,

・•・ADF'BGF,ADH^CGH,DEP^GCP,

.AD_DF_AF

：.AD=BG,DF=GF,

.PHAD\DE_PD\

**~GH~~CG~1'CG~~PG~4，

设=则PG=4a,

答案第9页，共30页

DH=-a,GH=—a

33f

2

PH=DH-PD=-a,

3

・丝=11」

GH~\O~5,

一a

3

故选：C.

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，中点定义，相似三角形的判

定和性质等知识，解决问题的关键是弄清比例之间的数量:关系.

8.D

【分析】①由平行四边形的性质即可求值；②由平行线分线段成比例即可求解其比值；③点

P在AO上运动时，由相似三角形的判定与性质可得斯与蛇的比始终是1:3,且8Q=CG,

所以其面枳为定值，进而求出其面积即小④以线段改为腰，则可能是PQ=PG,也可能

是PQ=QG,所以分情况求解即可.

【详解】解：•・•叨=工，BQ=2DP,BC=\3,

QC=BC-BQ=\3-2x,

VAD//BC,即〃O〃QC,

••・当PZ)=QC时，四边形PQCD为平行四边形，

x=13-2x,

・・・PD=x=5，故①正确;

VAD//BC,BQ=2DP,

_PDES.QBE,

•DE—PD—1

,/EF//BC,

.DEDF

=故②正确；

CF2

,:EF〃BC,

，力EFs-DBC,

答案第10页，共30页

,EFDE\

••==-9

BCDB3

VBC=13,

.“13

..EF=—,

3

又•・,PD//CG,

,PDDF\

••----=----=-9

CGCF2

，CG=2PD.

：.CG=BQ,即2G=BC=13.

作ON_L8C,垂足为点N,过E作而_L3C于M,

/.EM//DN,DN=AB=\2,

:_BEMs_BDN,

.EMBEEM2

/.EM=8.

|/19Qg

:.$四边形£7GQ=于y+13|x8=,故③正确；

作P”_L8C,垂足为点〃，则尸”二钻=12,BH=AP=\\-Xi

3

解得x=］，

(n)当PQ=G。时，PQ=^(H-3X)2+122=13,

答案第11页，共30页

解得x=2或x若,

综上，当▲尸QG是以PQ为腰的等腰三角形时，x的值为：、2或与，故④错误，

JJ

，正确的结论有3个.

故选：D.

【点睛】本题属于几何综合题，主要考查了平行线分线段成比例的性质、相似三角形的判定

与性质、以及梯形的面积的求解、等腰三角形的性质、勾股定理、解方程等知识，能够利用

所学知识熟练求解是解答的关键.

9,3

3

【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.

过点。作三交BC于〃，根据平行线分线段成比例定理推出8石=2CE,计算即可.

【详解】解：过点D作DH〃AE交BC干H,

A

.CHCDBEBF

*'~HE~~DA'~EH~~FD'

•••。是AC的中点，BF:FD=4:1,8c=10,

：,CD=DA,BF=4FD,

,CHCDBEBF

••==t19==49

HEDAEHFD

:.CH=HE,BE=4EH.

：.BE=2CE,

：,\0=BC=BE+CE=2CE+CE,

10

・・・CEE=一,

3

即CE的长为

故“选4：—10.

io.：或。

55

【分析】本题主要考查了轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的性质，垂

答案第12页，共30页

直平分线的判定及性质，合理分类讨论是解题的关键.

分类讨论垂直的情况，利用相似三角形和全等三角形的性质列出方程求解即可.

【详解】①解：当轴时，延长力P交A0于点R,设OD与/W的交点于点J,如图

所示：

•••点A与点。关于。尸对称,

APA=PD,OA=OD,

XVOP=OP,

・•・PAgPDO(SSS),

/.NPAO=NPDO,

VPA=PD,ZPRA=ZPJD=90°,

JOJA.AB,

.~AOxBO3x412

(JJ=-------=----=—，

AB55

12

/.OR=OJ=—,

5

*/NPR4=/BQ4=90。，

JPR//BO,

.AR_AP

••茄一丽‘

3-ia

:.5二子,

3-5

解得：/=：.

②当轴时，连接4。，与P0交于点C,设PO与80交于点M,如图所示:

答案第13页，共30页

ZAOB=/PMB=9(r,

：.PD//AO,

，4PDC=4OAC,

丁点A,。关于PO对称，

工尸。垂直平分AO,

：•NACP=/DCP=NACO,PA=PD,

：./PAC=/PDC,

/.ZE4C=ZO4C,

又,.,4C=AC,

・•・AC%ACO(ASA),

AP=AO=3,

:.5z=3,

3

解得：

综上所述，1的值为g1或(3；

JJ

故答案为：;或］.

JJ

II.这或注石

37

【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题、勾股定理、两似三角形的判定和性质等知识点,

灵活运用相关知识成为解题的关键.

由折叠知丹)=夕〃，^PD=PC/=x,则AP=AO-PO=6N/5-X,再分Z40R=90。和

NAP。'=90。两种情况，可证二E4D与-AEB相似，利用对应边成比例列式求解即可.

【详解】解：•・•矩形人BCD中，AB=A6BC=6G，

，NWO=NO=N8=90°,AD=BC=6j3»

答案第14页，共30页

TE是BC的中点,

BE=-BC=3y/3,

2

匚AE=dAB\BE。=,（4勾+（3厨=5&,

•・•矩形43c。中，AD//BC,

，NPAD=ZAEB,

由折叠知灯）=9,设PD=PU=x,则AP=AQ—PQ=6j5—x,

*/./A。'是直角三角形时,

・••当NAOPng。。时，

ZAD'P=N8=90。，

V/PAD=ZAEB,

/."ADSAER,

.PAPD'6丛-XXAgza8G

•­=—»即——7=-=—7=，解得:X=----

AEAB5>/345/33

i当

当NAPQ'=90。时,

/.ZAPZy=Z^=90°,

VZPAiy=ZAEB,

lyPA^ABE,

24G

：坐=吗即吗^二：解得:

BEAB3G4G

:・PD*

7

故答案为：述或

37

12.g或6一2百

【分析】本题考查了相似三角形的判定,直角三角形的性质，折叠的性质，根据直角三角形

的性质可得A8=4,当△APO与VA8C相似时，设4P=x,则P8=PO=4—x,分两种情

况：①△APDs^ABC,②JAPDSACB,分别列方程求解即可.

【详解】解：VZC=90°,ZA=30°,BC=2,

答案第15页，共30页

AAB=2BC=4,"=60。，

当△AP£＞与V4BC相似时，

•・•点。始终在边AC上，

根据折叠心=也＞,

设AP=x,则08=PD=4-x,

，分两种情况：

①△APDS/VUJC,此时ZAOP=ZACA=90。，

，AP=2DP,

即x=2(4-x),

解得X、，

・•・AP=-,

3

APD^＞ACB,此时ZAP/)=ZACA=90。，

JDP=APlan300=—AP,

3

GP4-x=,

3

解得X=6-2G，

A尸=6-26，

Q

综上，AP的长为］或6—26，

故答案为：g或6-26.

13.⑴g

(2)10cm

【分析】本题考查中线定义，线段和差关系，平行线分线段成比例等知识内容，正确掌握相

关性质内容是解题的关键，.

(1)根据题意可知3AE=AE+Z)E,继而得到本题答案：

RM

(2)过。作。MUb交月3于M点，继而得到，再利用中线定义得到=A/，

DCMF

AVAf71

再利用平行线分线段定理可得若=黑=继而得到本题答案.

DE卜M2

【详解】(1)解：VAD=5AE,AD=AE+DE,

答案第16页，共30页

，3AE=AE+DE,

，2AE=DE,

.AEI

•・=一;

DE2

(2)解：如图，过。作。MCF交AB于M点,

.BDBM

*DC-MF

•I4。是VABC的中线，

，BD=DC,

/.RM=MF.

,:DM〃EF,

.AE_AF\

,:AF-2cm,

：,™=^M=4cm,

Z."=八"+"~+8W=10cm.

14.(1)V8PQ是等边三角形，理由见解析

9

⑵当乙=不，2=3时，AAPR与以P、R、。为顶点的三角形相似

【分析】本题主要考查矩形的判定与性质、等边三角形的判定及性质、三角形相似的性质等

知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键.

(1)当，=3时，可分别计算出82、8Q的长，再对V3PQ的形状进行判断即可；

(2)先证△CRQ为等边三角形，进而得出四边形E/次。是矩形，再分△APRS^PRQ、

△APRSNRQ、PARS,QRP三种情况分别列比例式建立方程求解即可.

【详解】(1)解：VBP。是等边三角形，理由如下：

当1=3时，A尸=3x1=3,80=2x3=6,

..BP=AB-AP=9-3=6,

BQ=BP,

,/VA8C是边长为9cm的等边三角形，

答案第17页，共30页

・•・N3=60。，

・•・V8PQ是等边三角形.

(2)解：如图：过。作0E_LA8,垂足为E,

,:QR〃BA,

.•.NORC=ZA=60。，Z/?gC=ZB=60°,

，Q/?C是等边三角形，

：.QR=RC=QC=9—2I,

'：OELAB,

NBQE=30°,

：.BE=-BQ=-x2t=tt

EQNBQ2-BE2=底

:.EP=AB-AP-BE=9-t-t=9-2t,

:.EP//QRtEP=QR,

・•・西边形KPRQ是平行四力形，

/.PR=EQ=®,

又NPEQ=90。,

ZAPR=NPRQ=90。，

••.△A股与以P、R、Q为顶点的三角形相似

/.当△APRJFPRQ时,

.QRPR0ll9-2rR袱舛,9

・・丽;而‘即年"不‘解得：，=丁

,当cAPRsQR尸日寸，

・・・器噌,即“邛,解得：f

APPRtV3z

当，时，不符合题意.

答案第18页，共30页

9

综上，当乙=(也=3时，AAPR与以尸、R、。为顶点的三角形相似.

15.(I)BE=EF；(2)见解析；(3)①N8CF=30。；②CD=6人-2瓜

(4)4C=25/3+V23

【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形相似

等，熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键；

(1)利用平行线的性质和等腰三角形的性质与判定求解；

⑵先证AEMsA48C,推出铛=缓，结合旋转得NABE=NCBF,可证△ABE^^CBF；

FliCB

(3)①与(2)同理，得AABEs.CBF,推出=利用勾股定理和直角三角

形的性质推出4AE=30°,所以N8b=N8AE=30。；

②过点。作于G,设血)=Vir,利用勾股定理求出8。=2#-2&,从而可求8

的长；

(4)作Z48W=ZD8C=3(F,且器=黑，连接AM,BM,CM,依次证明〃

.MBC^ABD,

利用相似三角形的性质和直角三角形的性质，勾股定理，推出CM=36,AW=4,过点"

作MNJ.AC于点N,再利用勾股定理求解..

【详解】(1)•,AA-AC,

ZB=ZC,

QEF//AC,

NEFB=/C,

:.ZEFB=ZB,

：.BE=EF,

故答案为：BE=EF.

(2)由(1)律〃AC知，AEBFS^ABC,

EBFB

——=——,

ABCB

EBAB

由旋转得，ZABE=NCBF,

.△ABESACBF.

答案第19页，共30页

(3)①-V/WC和△5EF是等腰直角三角形，NBAC=NBEF=900

:'/\ABCsABEF,

与(2)同理，得△ABEFCBF,

/./BCF=NBAE,

・・・NB4C=90。，AB=AC,BC=442,

AB2+AC2=BC\

••.24夕=(4及。解得AB=4,

ZBEF=90°,点A,E,尸在同一条直线上，

.-.Z4EB=l8(r-ZflEF=900,

又BE=2,满足8E=1AB,

/.ZfiAE=30°,

ZBCF=ZBAE=30°.

②如图3,过点D作/X7J.AB于G,则4GO=ZAGO=99°,

CABC为等腰直角三角形，NBAC=90。,

ZGBD=45°,

:.ZBDG=/GBD=45。,

:.BG=DG,

设BD=&,由勾股定理可求得4G=0G=x,

又/BA£>=30。，

22

AD—2DG—2x♦AG-VAD—DG—X/JA,»

rhAG+BG=AB可得6x+x=4»解得x=2G-2»

:.BD=y/2x=246-2y[2,

;.CD=BC-BD=4丘-口舟2峪=6尺2«.

PibfAR

(4)如图4,作/48必=的。=30°,且=连接4W,BM,CM,

BCBD

答案第20页，共30页

:.ZAMB=ZBCD=9(r,ZMAB=ZBDC=Of,

ZABD=ZAHM+ZMBD=300+N/WH),

ZMBC=ZDBC+ZMBD=3(F+ZMBD,

:.ZABD=ZMBC,

,BMABzBMBC

|J：|--=--得H---=---9

BCBDABRD

.LMBCs的。

.CMBC

~AD~~BD'

由NDC8=90°,ZDBC=30°,

可得80=2cO,由勾股定理得5C=xMc2—a>=&D,

...詈咚解得CM=35

vZAMfi=90°,NMR4=3O°,

AM=-AB=4

2t

过点/作MNJ_AC于点M则Z/WV4=4PVC=90°,

又ZMA/V=ZMAB-ZCAB=6O°-3O°=3O°,

MN=-AM=2,AN=JAM，-MN。=2G,

：.CN=>JCM2-MN2=A/27-4=4,

/.AC=AN+CN=2y/5+423.

16.(1)见解析；(2)见解析；(3)12

【分析】此题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例等知识，

(1)根据平行线分线段成比例定理和中点的定义进行解答即可；

(2)连接3。交AC于点。，则点。为5。的中点，点0为人C的中点.根据(1)问可得

黑4，V/=2.同理可得C4N=2,由点。为AC的中点得到AO=OC,即可证明结论成立；

MONO

答案第21页，共30页

（3）求出SMMnlBEY/nlxgxdnlS，得到S人碗=5八枷=18=：S“《•=S

乙乙乙

SREF=；A尸•M=；x4x3=6.根据S四边形=S^ADC-SfEF即可得到答案.

【详解】（1）解：如图1,过点。作O〃〃8E交AC于"，

。是BC的中点,

:BD=CD,

CDCH।

，——=——=1,

BDEH

E是AC的中点

...AE=EC

AE今

，一=2.

EH

又DH//GE

AGAEc

*.---=---=2

GDEH

（2）证明：连接4。交AC于点。，则点。为8。的中点，点。为4c的中点.

E为AB的中点，根据（1）问可得

图2

，色=2.

MO

同理可得C三N=2

NO

,♦点。为人C的中点

/.AO=OC

.•.AM=MN=NC.

（3）由第（1）问可知百=2

卜D

/.AF=4,FD=2

答案第22页，共30页

同理可得8b=6,EF=3

S,△iytir.=—2BE-AF=2—x9x4=18

•*-S4BEC=S^ABE=18=-5ABC=Sw

SzAxf.\£r.fr=-2AFEF=-2x4x3=6.

S四边形CDFE~SMDC-SMET

=18-6

=12

17.（1）能，过程见详解（2）见详解（3）1（4）y

［分析】（1）结合矩形的性质，以及直角三角形两个锐角互余得Z3=Z1,证明—BHA,

anFD

把AD=〃z,A8=〃代入二;二，即可作答.

ABAU

（2）分别过F,G作AD,GWAB,结合矩形的性质证明四边形AMFD是矩形，四边

形A4WG是矩形，再根据直角三角形两个锐角互余，证