1.5三角函数的应用课件2025-2026学年北师大版九年级数学下册

5三角函数的应用学习目标准备好了吗？一起去探索吧！三角函数的应用1.正确理解方位角、仰角和坡角的概念.2.能运用解直角三角形知识解决方位角、仰角和坡角的问题.

重点难点复习回顾直角三角形中的6个元素的中，至少知道几个元素，就可以求出其它元素？（1）a2+b2=c2(勾股定理)；（2）∠A＋∠B＝90°（3）三角函数值已知两边求第三边.已知一锐角求第另一锐角.已知两边求其它元素.已知一边一锐角求其它元素.复习回顾

1．

如图，射线OA的方向是

⁠度．北偏东602．(1)如图，抬头看时，视线与水平线的夹角叫仰角，图中人眼看点A的仰角为

°；

(2)如图，低头看时，视线与水平线的夹角叫俯角，图中人眼看点B的俯角为

⁠°.3370合作探究知识点一：方向角问题我们已经知道轮船在海中航行时，可以用方位角准确描述它的航行方向.那你知道如何利用三角函数结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险吗？轮船O北东北偏东30°南北方向线与东西方向线互相垂直.同方向线或反方向线互相平行.方位角问题注意的方面：议一议20海里DABC55°25°如图，海中有一个小岛A,该岛四周10nmile内有暗礁。今有货轮由西向东航行，开始在A岛的南偏西55°的B处，往东行驶20nmile后到达该岛的南偏西25°的C处。之后，货轮继续向东航行。

你认为货轮继续向东航行途中会有触礁危险吗？北东实际问题几何图形几何问题解直角三角形合作探究解：由点

A作

AD⊥BC于点

D，若AD＞10海里，则货轮安全；反之则有触礁的危险.设

AD=x

，

则在Rt△ABD中，在Rt△ACD中，解得所以，这船继续向东航行是安全的.BACD25°55°北东由

BC=BD-

CD，得合作探究

1．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远？(结果取整数)提示：

sin25°≈0.42，

cos25°≈0.91，

sin34°≈0.56，

cos34°≈0.83.合作探究

解：由题意，得∠APC＝90°－65°＝25°，∠B＝34°，PA＝80nmile.

∴PC＝PA·

cos25°≈80×0.91＝72.8(nmile)．

答：B处距离灯塔P大约130nmile.合作探究如图1-14，小明想测量CD的高度，他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计,结果精确到1m）知识点2：仰角与俯角本章开头提出的小明测量古塔的高度问题：实际问题几何图形几何问题解直角三角形合作探究解：如图∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=50m，设塔高

DC=xm.

Rt△ADC中，.Rt△BDC中，.∴

x=

≈43(m).

∴

AB=AC－BC=.30°60°50m合作探究

合作探究合作探究

解：由题意，得α＝30°，β＝60°，AD＝120m．

答：这栋楼高约277m．合作探究某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角有45°减至30°已知原楼梯长为4m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？（结果精确到0.01）知识点3：坡度实际问题几何图形几何问题解直角三角形合作探究解:如图,根据题意可知,∠D=30°,∠ABC=45°,AB=4m(1)调整后的楼梯有多长？即求AD的长.所以调整后的楼梯AD长为4合作探究（2）新楼梯多占多长一段地面？即求BD的长.合作探究

合作探究

解：如图，过点C作CF⊥AD于点F，则CF＝BE＝9，EF＝BC＝6.

∵∠A＝45°，BE＝9，∴AE＝BE＝9.

合作探究利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：

实际问题画出平面图形生活问题数学化

数学问题（作辅助线，构造直角三角形）设未知量

建立方程（构造三角函数模型）（代入数据求解）

求解方程解答问题利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平