2.3确定二次函数的表达式 第2课时课件2025-2026学年北师大版数学九年级下册

3确定二次函数的表达式第2课时学习目标准备好了吗？一起去探索吧！确定二次函数的表达式1.会用待定系数法求二次函数的解析式.2.能灵活运用二次函数的不同形式求函数解析式.重点难点复习回顾在什么情况下，已知二次函数图象上两点的坐标就可以确定它的表达式?二次函数y=ax2+bx+c

可化成：y

=

a(x

-

h)2

+

k，顶点是(h，k).如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.已知二次函数

y=ax2+bx+c中一项系数，再知道图象上两点的坐标，也可以确定这个二次函数的表达式.合作探究问题1

二次函数

y=ax2+bx+c(a≠0)

中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？3个3个合作探究

例

已知二次函数的图象经过点(－1,10)，(1,4)，(2,7)

三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．

解:

设所求二次函数的表达式为

y

=

ax2+bx+c.

∵该图象经过点(－1,10),(1,4)，(2,7)，a=2，∴10=a-b+c，7=4a+2b+c，c=5.解得4=a+b+cb=-3，∴二次函数图像对称轴为直线，顶点坐标为

.∴所求二次函数表达式为

合作探究这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是：①

设函数表达式为

y

=

ax2+bx+c；②

代入后得到一个三元一次方程组；③

解方程组得到

a,b,c

的值；④

把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.归纳总结一般式法求二次函数表达式的方法练一练1.已知抛物线与x轴相交于点

A(－1，0)，B(1，0)，且过点

M(0，1)，求此函数的表达式．解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与

x轴的交点，所以设二次函数的表达式为

y＝a(x＋1)(x－1)．又因为抛物线过点

M(0，1)，所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得

a＝－1，所以所求抛物线的表达式为

y＝－(x＋1)(x－1)，即

y＝－x2＋1.合作探究已知抛物线

y＝ax2＋bx＋c

与

x

轴交于点A(

1,0

)，B(5,0

)，且过点

C(

0,-5)．求抛物线的解析式.解：C(

0,-5)代入y＝ax2＋bx＋c中得c=5，∴

y＝ax2＋bx＋5，将点A(

1,0

)，B(5,0

)代入得即y＝-x2＋6x－5.a+b+5=0，25a+5b+5=0，解得还有其他方法吗？合作探究已知抛物线

y＝ax2＋bx＋c

与

x

轴交于点A(

1,0

)，B(5,0

)，且过点

C(

0,-5)．求抛物线的解析式.A(

1,0

)，B(5,0

)图象的对称性对称轴为x=3

y=a(x-3)2+k代入A(

1,0

)，B(5,0

)求出a，k

化为一般式y＝ax2-6ax＋3代入A(

1,0

)，B(5,0

)求出a,b合作探究已知抛物线

y＝ax2＋bx＋c

与

x

轴交于点A(

1,0

)，B(5,0

)，且过点

C(

0,-5)．求抛物线的解析式.解：∵抛物线与x轴交于点A(1,0)，B(5,0)，∴可设抛物线解析式为y＝a(x－1)(x－5)，把(0,-5)代入得：5a＝-5，解得，a＝-1，故抛物线的解析式为y＝-(x－1)(x－5)，即y＝-x2＋6x－5.y＝a(x－x1)(x－x2)叫做交点式合作探究归纳总结这种通过设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，求二次函数表达式的方法叫做交点式法.其步骤是：①设函数表达式是y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)；②先代入交点坐标，得到关于a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.x1,x2表示函数与x轴交点的横坐标.练一练2.已知二次函数的图象经过点(1,0),(3,0)和(2,3)，求这个二次函数的表达式.解：设二次函数的表达式为y=a(x－1)(x－3),即y=－3x2＋12x－9.3=a(2－1)×(2－3)解得a=－3.所以二次函数的表达式为y=－3(x－1)(x－3),交点式将点(2,3)代入表达式，得议一议

一个二次函数的图象经过点

A(0，1)，B(1，2)，

C(2，1)，求这个二次函数的解析式.分析：A(0，1)，C(2，1)两点纵坐标相同，为

1，∴这个二次函数可以看作与

x

轴交于(0，0)，(2，0)两点的二次函数y

=

a(x-0)(x-2)，向上平移

1

个单位得

y

=

a(x-0)(x-2)+1.xyO45213-12314议一议1.设：解析式设这个抛物线解析式为

y

=

a(x

-

0)(x

-

2)+1.2.代：坐标代入再把点(1，2)代入上式得∴

a(1

-

0)(1

-

2)+1

=

2，3.解：方程(组)解得

a

=

-1.4.还原：写出解析式∴

二次函数的解析式是

y

=

-x(x

-

3)+1，

即

y

=

-x2

+

3x

+

1.还有其他的方法吗？议一议

将

A(0，1)代入解析式中，得解得

a=-1.顶点式方法∴

二次函数的解析式是

y

=

-x2

+

3x

+

1.xyO45213-12314ABC设抛物线为

y

=

a(x

-

1)2

+21

=

a(0

-

1)2

+2则顶点为

B(1，2).练习1.已知一个关于x的二次函数，当x分别为1,2,3时，对应函数值分别为

3,0,4，求这个二次函数的表达式.解：设该抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c,根据题意，

得a＋b＋c=3，4a＋2b＋c=0，9a＋3b＋c=4，练习2、已知：二次函数的图像的对称轴为直线x=–3，并且函数有最大值为5，图像经过点(–1,–3)，求这个函数的解析式。解：由题意可知，该函数的顶点的坐标是（－3，5），

所以设y=a(x+3)²＋5又抛物线经过点（－1，－3），得

－3=a(－1+3)²＋5

∴a=－2∴所求的函数解析式为y=–2(x+3)²＋5即y=–2x²–12x–13