9-8 二项分布、超几何分布与正态分布 精讲精练（解析版）

9-8二项分布、超几何分布与正态分布1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．TOC\o"1-4"\h\u9-8二项分布、超几何分布与正态分布 1一、主干知识 1考点1：二项分布 1考点2：超几何分布 2考点3：正态分布 2【常用结论总结】 2二、分类题型 3题型一二项分布 4题型二超几何分布 4题型三正态分布 5三、分层训练：课堂知识巩固 6一、主干知识考点1：二项分布1．伯努利试验只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．2．二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．考点2：超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，考点3：正态分布1．定义：若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))·，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．2．正态曲线的特点(1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(2)曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．3．3σ原则(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.4．正态分布的均值与方差若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.【常用结论总结】1．两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．2．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．3．在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．4．超几何分布有时也记为X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝eq\f(nM,N)，二、分类题型题型一二项分布将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：(1)恰好出现5次正面朝上的概率；(2)正面朝上出现的频率在内的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等，这是一个10重伯努利试验．根据正面朝上的次数服从二项分布，即可求解.（2）根据条件得到重复抛掷10次正面朝上出现的频率在得到，再结合二项分布即可求解.【解答】（1）设“抛掷一枚质地均匀的硬币正面朝上”，则,设表示事件A发生的次数，则．则恰好出现5次正面朝上即，所以，故恰好出现5次正面朝上的概率为.（2）由（1）知，抛掷一枚质地均匀的硬币正面朝上的概率为，重复抛掷10次正面朝上出现的频率在内，即．所以．为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备），已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概率都为，它们之间相互不影响，设能正常工作的设备数为X．(1)写出X的分布列；(2)求出计算机网络不会断掉的概率．【答案】(1)分布列见解析(2)0.999【分析】（1）利用二项分布的定义即可求解；（2）利用（1）的结论及离散型随机变量的分布列的性质即可求解.【解答】（1）可以看出，X服从参数为3，0.9的二项分布，即．因此，，，，从而X的分布列为X0123P0.0010.0270.2430.729（2）要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即，因此所求概率为．设服从二项分布，则.【答案】/【分析】利用二项分布的期望公式计算作答.【解答】因为服从二项分布，所以.故答案为：已知随机变量，且，则.【答案】【分析】由二项分布的均值计算公式可求出，则，化简即可得出答案.【解答】因为随机变量，且，则，解得：，.故答案为：.已知随机变量，且，则.【答案】【分析】根据二项分布的期望和方差公式计算即可.【解答】解：因为随机变量，所以，所以，所以.故答案为：.判断某随机变量是否服从二项分布的关键点(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同．(2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1到4号的四个箱子中随机放入奖品，每个箱子中放入的奖品个数满足，每个箱子中所放奖品的个数相互独立．游戏规定：当箱子中奖品的个数超过3个时，可以从该箱中取走一个奖品，否则从该箱中不取奖品．每个参与游戏的同学依次从1到4号箱子中取奖品，4个箱子都取完后该同学结束游戏．甲、乙两人依次参与该游戏．(1)求甲能从1号箱子中取走一个奖品的概率；(2)设甲游戏结束时取走的奖品个数为，求的概率分布与数学期望；(3)设乙游戏结束时取走的奖品个数为，求的数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析；期望为(3)【分析】（1）先求得，然后求得的概率分布，进而求得甲能从1号箱子中取走一个奖品的概率.（2）根据二项分布的知识求得的概率分布，进而求得数学期望.（3）根据二项分布的期望计算公式求得正确答案.【解答】（1）因为每个箱子中放入的奖品个数满足，所以，则，所以的概率分布为：12345P设事件为甲能从1号箱子中取走一个奖品，则，所以甲能从1号箱子中取走一个奖品的概率为.（2），因为甲能从每个箱子中取走一个奖品的概率为，所以，所以，，X的概率分布为：01234所以X的数学期望为．或．（3）乙能从箱子中取到奖品必须箱子中最初有5个奖品，即乙能从每个箱子中取走一个奖品的概率为，所以，所以Y的数学期望为．从一副去掉大小王牌的52张扑克牌中任取5张牌，用X表示其中黑桃的张数.求X的分布、期望与方差.【答案】答案见详解【分析】根据古典概型的概率计算公式可得从52张扑克牌中任取一张牌是黑桃的概率是，X服从二项分布，即，进而可得解.【解答】52张扑克牌中有13张黑桃，从中任取一张牌是黑桃的概率是，从中任取5张牌，用X表示其中黑桃的张数，则X服从二项分布，即，X的可能取值为0,1,2,3,4,5.，，，，，.故X的分布列为：X012345P，.一名学生每天骑车上学，从家到学校的途中经过6个路口.假设他在各个路口遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.(1)用X表示这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布；(2)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）写出随机变量X的所有可能取值，利用二项分布求出对应的概率即可列出对应的分布列；（2）利用对立事件求出学生在途中没有遇到一次红灯的概率为，即可求得结果.【解答】（1）根据题意可知，途中遇到红灯的次数服从二项分布，易知X的所有可能取值为，可知，,,,,,；所以X的分布为0123456（2）由（1）可知，这名学生在途中没有遇到一次红灯的概率为，所以途中至少遇到一次红灯的概率为.袋中有8个白球､2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.求：(1)有放回抽样时，取到黑球的个数的分布列､数学期望和方差；(2)不放回抽样时，取到黑球的个数的分布列､数学期望和方差.【答案】(1)分布列答案见解析，(2)分布列答案见解析，【解答】（1）有放回抽样时，取到的黑球数可能的取值为.又由于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则.；；；.因此，的分布列为0123.（2）不放回抽样时，取到的黑球数可能的取值为，且有：；；.因此，的分布列为012.已知随机变量，若，则．【答案】【分析】，二项分布的性质，算出，在使用即可.【解答】因为，，所以，所以，所以，所以，所以．答案为：设随机变量，满足．若，则．【答案】/1.5【分析】由题设有求出参数，再由二项分布方差公式求，最后根据方差的性质求.【解答】由，故，则，所以，则，而，则.故答案为：已知随机变量，若最大，则．【答案】24【分析】先根据解出，再根据二项分布的方差公式求出，再计算即可.【解答】由题意知：，要使最大，有，化简得，解得，故，又，故.故答案为：24.题型二超几何分布某无人机小组有3名男生，2名女生，从中任选2名同学参加科技节无人机表演，若X表示选出女生的人数，则.【答案】/【分析】由超几何分布概率公式运算即可得解.【解答】由题意，从3名男生，2名女生中任选2名同学参加科技节无人机表演，则选出女生的人数为1的概率.故答案为：.某企业生产的个产品中有个一等品、个二等品，现从这些产品中任意抽取个，则其中恰好有个二等品的概率为.【答案】【分析】由题意可知该问题属于超几何分布，代入其公式计算即可求得结果.【解答】根据题意可知，任意抽取个共有种抽法，则其中恰好有个二等品的抽法共有种，因此任意抽取个，则其中恰好有个二等品的概率为.故答案为：从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率．【答案】【分析】设X表示选出的5名学生中含甲的人数，可知X服从超几何分布，求解即可.【解答】X表示选出的5名学生中含甲的人数，X的可能取值为0或1，则X服从超几何分布，且，，．因此甲被选中的概率．袋中有10个大小与质地相同的球，其中7个是红球.从中任取5个球，求取出的球中红球个数X的分布.【答案】分布列见解析【分析】根据超几何分布的知识求得的概率分布.【解答】由题意，袋中有红球7个，其它颜色的有3个，故的可能取值为，，，所以的分布列为从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数.求：(1)X的分布；(2)X的期望与方差；(3)“所选3人中女生人数”的概率.【答案】(1)分布列见解析；(2)(3)【分析】（1）利用超几何分布可求X的分布；（2）利用超几何分布的期望与方差公式求解（3）利用互斥事件的概率公式求解即可【解答】（1）由题意可得：可取0，1，2，，所以，分布列如下：012（2）易得；（3）由（1）可知“所选3人中女生人数”的概率为.(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型．从一箱脐橙（共10个，其中7个是大果，3个是中果）中任选3个，则恰有2个中果的概率为．【答案】/0.175【分析】根据超几何分布的概率公式即可求解.【解答】恰有2个中果的概率为．故答案为：设随机变量，则.【答案】【分析】根据超几何分布计算公式可得.【解答】由随机变量服从超几何分布，可知3表示选出3个，2表示有2个供选择，总数为10，根据超几何分布公式可得.故答案为：一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球．采取不放回摸球，从中随机摸出22个球作为样本，用X表示样本中黄球的个数．当最大时，．【答案】17.8/【分析】首先分析超几何分布最大项确定的值，再通过超几何分布的期望公式求出的值，即可求出.【解答】不放回的摸球，每次实验结果不独立，为超几何分布，最大时，即最大，超几何分布最大项问题，利用比值求最大项设则令；故当时，严格增加，当时，严格下降，即时取最大值，此题中，根据超几何分布的期望公式可得，故答案为：17.8一批零件共有30个，其中有3个不合格．随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率．【答案】【分析】根据超几何分布的概率计算公式，结合对立事件的概率公式，即可求解.【解答】设抽取的10个零件中不合格品数为随机变量，则随机变量服从超几何分布，且，，，可得随机变量的分布列为，，所以则至少有1件不合格的概率为．题型三正态分布已知随机变量，若，则实数的值为.【答案】1【分析】根据正态分布的对称性即可解得实数的值；【解答】由随机变量，且，所以与关于对称，即，解得；故答案为：1一批灯泡的使用时间（单位：小时）服从正态分布，则这批灯泡使用时间在内的概率是．【答案】【分析】利用3原则即可得到概率.【解答】因为，，则故答案为：.已知随机变量服从正态分布，若，且的最小值为－3，则．【答案】0.2【分析】先根据对称性求参，再根据正态分布的对称性求概率即可.【解答】因为的最小值为－3，所以，即，又，所以，即根据正态分布的对称性，正态分布的正态密度曲线关于对称，即，而，所以，故，故答案为:0.2．若随机变量，且，则．【答案】/【分析】利用正态曲线的对称性求出的值，然后根据正态密度曲线的对称性可得出，代值计算即可得解.【解答】因为，且，则，所以，.故答案为：.某种红糖的袋装质量服从正态分布，随机抽取5000袋，则袋装质量在区间的约有袋．（质量单位：）附：若随机变量服从正态分布，则，，．【答案】4093【分析】根据正态分布的对称性，结合求解即可.【解答】由题意知，，所以，，得，所以袋装质量在区间的约有袋．故答案为：4093我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗—拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了的特殊情形.1812年，拉普拉斯对一般的进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过60次的概率为.（附：若，则，，）【答案】0.977【分析】利用二项分布的期望和方差的公式以及正态分布的原则求解即可.【解答】抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面朝上次数为,则,故，，由已知得，且,,因为，所以,解得，所以,故答案为：0.977.某校高二年级1200人，期末统测的数学成绩，则这次统测数学及格的人数约为（满分150分，不低于90分为及格）．（附：，）【答案】190【分析】由题意得，，然后根据正态分布的性质结合已知求出的概率，从而可估计出数学及格的人数.【解答】依题意，，，，，则．故答案为：190解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.已知随机变量服从正态分布，且，则【答案】0.1/【分析】根据正态分布的对称性即可求得答案.【解答】由于随机变量服从正态分布，由可得，故，故，故，故答案为：0.1随机变量服从正态分布，若，则．【答案】/【分析】根据正态分布曲线的对称性，结合，即可求解.【解答】随机变量服从正态分布，可得正态分布曲线关于对称，因为，可得，所以.故答案为：.已知，且，则的最小值为.【答案】3【分析】由正态曲线，可得，然后由基本不等式可得的最小值.【解答】因为，且，所以，得，所以，因为，即，所以，，所以，当且仅当，即时等号成立，故答案为：3设随机变量，其中，则的值为.【答案】1【分析】根据正态分布的对称性求解即可.【解答】由题意，正态曲线关于直线对称，因为，，根据对称性可得，即，故答案为：1.若，且，则.【答案】/【分析】根据正态分布的对称性，列式求解.【解答】由题意可知，正态密度曲线的对称轴为，由正态分布的对称性可得.故答案为：若随机变量，且，则.【答案】0.82【分析】根据正态分布的对称性计算．【解答】由正态分布的对称性知.故答案为：0.82.已知随机变量，，且，，则．【答案】0.2/【分析】由二项分布与正态分布的性质计算即可.【解答】因为随机变量且，所以，所以，故，由因为，所以，则.所以.故答案为：0.2已知随机变量，且，则.【答案】【分析】根据随机变量服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性即可求出概率.【解答】因为，所以正态曲线的对称轴为，因为，所以，所以.故答案为：已知，且，则.参考数据：，，.【答案】0.84【分析】根据题意可得，可得，进而由结合正态分布的对称性可得，代入运算求解．【解答】因为，所以，所以，即，所以.故答案为：0.84．三、分层训练：课堂知识巩固1．（2023•西安校级三模）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为（附：若，则，，A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014【分析】根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式，求出，，再结合正态分布的对称性，即可求解．【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面向上次数为，则，故，，由题意可得，，且，，，用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为．故选：．【点评】本题主要考查二项分布的期望与方差公式，以及正态分布的对称性，属于基础题．2．（2023•一模拟）已知随机变量，且，则A．0.84 B．0.68 C．0.34 D．0.16【分析】根据正态分布的定义，先求出，再结合即可得到答案．【解答】解：由，知，故．故选：．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．3．（2023•涟源市模拟）设随机变量服从正态分布，若，则的值为A．9 B．7 C．5 D．4【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．【解答】解：随机变量服从正态分布，若，，解得．故选：．【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．4．（2023•巴宜区校级四模）据统计，在某次联考中，考生数学单科分数服从正态分布，，考生共50000人，估计数学单科分数在分的学生人数约为（附：若随机变量服从正态分布，则，，A．1070 B．2140 C．4280 D．6795【分析】利用区间上的概率及正态分布的对称性求，进而估计区间人数．【解答】解：由题设，所以数学单科分数在（分的学生人数约为人．故选：．【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．5．（2023•江宁区校级二模）新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点，近年来备受青睐．某新能源汽车制造企业为调查其旗下型号新能源汽车的耗电量（单位：情况，随机调查得到了1200个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若，则样本中耗电量不小于的汽车大约有A．180辆 B．360辆 C．600辆 D．840辆【分析】根据正态分布的性质，求出，再由样本容量求频数．【解答】解：因为，且，所以，所以样本中耗电量不小于的汽车大约有（辆．故选：．【点评】本题考查了正态分布的概率计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．6．（2023•深圳模拟）某班学生的一次的数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布：，且，，A．0.14 B．0.18 C．0.23 D．0.26【分析】根据题意，由正态分布的性质可得，又由，计算可得答案．【解答】解：根据题意，，且，则，又由，则．故选：．【点评】本题考查正态分布的性质，涉及互斥事件概率的计算，属于基础题．7．（2023•深圳模拟）设随机变量，，若，则的值为A． B． C．3 D．5【分析】根据正态分布的对称性可解．【解答】解：因为随机变量，，，则根据正态分布的对称性，，．故选：．【点评】本题考查正态分布的对称性，属于中档题．8．（2023•吉州区校级一模）已知随机变量服从正态分布，且，则A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.1【分析】根据随机变量服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得．【解答】解：随机变量服从正态分布，正态曲线的对称轴是．又，，则．故选：．【点评】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．9．（2023•保定三模）已知随机变量服从正态分布，且，则等于A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.3【分析】根据正态分布的对称性即可计算．【解答】解：因为服从正态分布，且，所以，所以．故选：．【点评】本题考查正态分布的性质，属于基础题．10．（2023•佛山模拟）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，，，，．和的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是A． B． C． D．【分析】根据正态分布曲线的定义及对称性逐一求解即可．【解答】解：由，，得，错误；由正态密度曲线图像可知，，，，错误；由正态密度曲线图像可知，，所以，正确；由正态密度曲线图像可知，，，所以，错误．故选：．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．11．（2023•盐城一模）某种品牌手机的电池使用寿命（单位：年）服从正态分布，，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为A．0.9 B．0.7 C．0.3 D．0.1【分析】根据正态分布的对称性求解即可．【解答】解：由题得：，故，因为，所以根据对称性得：．故选：．【点评】本题主要考查正态分布的对称性，考查运算求解能力，属于基础题．12．（2023•宁波二模）设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为A． B． C． D．【分析】根据题意和正态曲线即可求得，又根据正态曲线可得，，进而即可求得．【解答】解：根据题意，且，则，由正态曲线得，，所以．故选：．【点评】本题考查正态分布的应用，属于基础题．13．（2023•琼山区校级模拟）某市一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩近似服从正态分布，且．现从该市参加此次考试的考生中随机抽取700人作进一步分析，则这700人中此次检测数学成绩不低于99分的人数约为A．100 B．125 C．150 D．175【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解．【解答】解：绩近似服从正态分布，且，则，故，现从该市参加此次考试的考生中随机抽取700人作进一步分析，则这700人中此次检测数学成绩不低于99分的人数约为．故选：．【点评】本题主要考查正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，属于基础题．14．（2023•市中区校级二模）已知随机变量，且，则的最大值为A． B． C． D．【分析】根据正态分布的性质求出的值，则，令，，则，利用基本不等式求出的最小值，即可得解．【解答】解：因为随机变量，且，所以，即，所以，所以，令，，所以，又，当且仅当，即时取等号，所以，即的最大值为．故选：．【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了基本不等式的应用，属于中档题．15．（2023•山东模拟）设随机变量，且，，则A．0.25 B．0.3 C．0.5 D．0.75【分析】由题知，，进而根据正态分布的对称性求解即可．【解答】解：因为随机变量，所以，因为，，所以，，所以根据正态分布的对称性，．故选：．【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．16．（2023•枣庄二模）某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩近似服从正态分布，，则数学成绩位于，的人数约为参考数据：，，．A．455 B．2718 C．6346 D．9545【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解．【解答】解：，则数学成绩位于，的人数约为．故选：．【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．17．（2023•温州模拟）已知随机变量服从正态分布，且，则A． B． C． D．【分析】根据正态曲线的对称性直接求出概率值．【解答】解：因为随机变量服从正态分布，且，由于正态曲线的对称轴是，所以．故选：．【点评】本题考查了正态分布曲线中概率计算问题，注意正态曲线的对称性应用，是基础题．18．（2023•雨花区校级一模）若，则当，1，2，，100时A． B． C． D．【分析】根据题意可知，，得到，又为整数，求出值，逐项判断即可．【解答】解：根据题意可知，，即，解得，又为整数，故，即．故选：．【点评】本题考查二项分布求概率最值，属于基础题．二．填空题（共4小题）19．（2023•南京三模）设随机变量，2，，则．【分析】根据超几何分布分布列计算公式，计算出．【解答】解：由于符合超几何分布，所以．故答案为：．【点评】本小题主要考查超几何分布的概率公式，属于基础题．20．（2023•济南三模）已知随机变量，，其中，，，，则0.2．【分析】根据已知条件，结合二项分布的期望公式，求出，再结合正态分布的对称性，即可求解．【解答】解：，，，则，，则，故，所以．故答案为：0.2．【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．21．（2023•湖北模拟）已知随机变量服从，则当5或6时，概率最大．【分析】根据已知条件，结合二项分布的概率公式，即可求解．【解答】解：随机变量服从，则，概率最大，则且，即且，即且，解得，，或．故答案为：5或6．【点评】本题主要考查二项分布的概率公式，属于基础题．22．（2023•曲靖模拟）已知随机变量，若，则．【分析】由可得，进而可求解答案．【解答】解：已知，则，，解得或（因为，故舍去）．故答案为：．【点评】本题主要考查二项分布的概率公式，属于基础题．三．解答题（共4小题）23．（2022•锦江区校级模拟）惠州市某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答．甲乙两个小组分别从6个问题中随机抽取3个问题进行回答，答对题目多者为胜．已知这6个问题中，甲组能正确回答其中4个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为．甲、乙两个小组的选题以及对每题的回答都是相互独立，互不影响的．（1）求甲小组至少答对2个问题的概率；（2）若从甲乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请分析说明选择哪个小组更好？【分析】（1）根据已知条件，结合超几何分布的概率公式，即可求解．（2）结合超几何分布的概率公式，二项分布的概率公式求出概率，再分别求出两种情况的期望与方差，通过比较大小，即可求解．【解答】解：（1）这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，甲至少答对两个问题的概率．（2）设甲答对题数为，所有可能取值为1，2，3，则，，，故，．设乙答对题数为，由题意可得，随机变量，故，，，，甲与乙的平均水平相当，但甲比乙的成绩更稳定，故选择学生甲．【点评】本题主要考查了超几何分布和二项分布，数学期望与方差公式，属于中档题．24．（2017•启东市校级模拟）设有3个投球手，其中一人命中率为，剩下的两人水平相当且命中率均为，，每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为．（1）当时，求数学期望及方差；（2）当时，将的数学期望用表示．【分析】（1）每位投球手均独立投球一次，每次试验事件发生的概率相等，判断符合二项分布，由二项分布的期望和方差公式进行求解即可；（2）由题意知每位投球手均独立投球一次，记投球命中的