第16题爪形三角形解题的三大魔法武器（解透一题） 教师版

第28题爪形三角形解题的三大“魔法武器“（解透一题）【2025届四川省成都三诊T8】已知在△ABC中，，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，若，则（）A．

B．

C．1

D．本题围绕△ABC展开，涉及三角形中的角度（π且AD为其角平分线）和边长关系（）．综合运用三角形内角平分线定理、正弦定理以及三角函数的相关知识来求解tan∠ABC的值．通过本题可以考查学生的数学抽象素养，将三角形中的几何关系抽象为数学等式；还考查了数学建模素养，把实际的三角形问题建立成可求解的数学模型，从而培养学生解决实际问题的能力．“多思少算”是高中数学解题的一种非常重要的策略，选择题关注选项的提示作用．方法一：动态观察+特殊值试错法解析：动态分析，过定角A和边BA，令B变化，如图，当AD垂直BC时，，显然需要增大，即，排除A;观察选项，选项C取值对应角B为特殊角，在此情况下求CD的大小．如图，在三角形ABD中，，在三角形ADC中，，所以，故答案选C．方法点评：动态分析，特殊值验证，适用于选择，如果是解答题呢？本题是与三角形角平分线有关的解三角形问题，其本质上是求解组合三角形的问题，在中，如果视DC为定值，那么一对边角确定，三角形的外接圆大小确定．问题要求，本质是求角，令，则合三角形的角都可以表示出，只需要借助建立的方程即可．方法二：三角方程"魔法公式"令，鉴于为的角平分线，且，故．为了简化运算，不妨取长度为单位1，即在里，依据正弦定理有)，即．所以．在中，根据正弦定理，其中，所以，则．或（舍去，θ是三角形内角）所以，即方法点评：借助建立的方程，得到的二次方程．本题求，题目在给出爪型图（三角形组合图象）情景下求，从高中知识板块可以联系到解析几何，直线的倾斜角与斜率则可沟通，于是建立适当坐标系，转化为解析几何问题．方法三：坐标系变身术以B为坐标原点，以BA方向为轴建立直角坐标系，不妨设，则则（其中，联立解得，同理，联立解得，又，即整理得：即，注意解得，所以方法点评：作为解答题的答题，借助直线倾斜角直接构建目标元，优化了运算．选择题优先用"动态+特殊值"：快速排除选项，减少计算量，就像用排除法做逻辑题．解答题看条件选武器：如果题目强调三角函数关系（如正弦、余弦），用三角方程法；如果图形有明显的直线或坐标关系，用坐标系变身术．画图是解题神器：无论用哪种方法，先画草图标出关键信息，让大脑和眼睛一起工作！【训练用动态观察法----图形是否有“动态元素”（旋转、滑动）】1．在正方形中，点是边的中点，点是边上一点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】不妨设正方形的边长为，证明出，求出的长，即可得解.【详解】如下图所示：不妨设正方形的边长为，因为，则，所以，又因为，故，所以，即，解得，故.故选：C.【类题训练，改线段关系为面积关系】2．在中，，的角平分线交于点D，的面积是面积的3倍，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用面积之比可得，，作边上高，垂足为，即可求.【详解】因为，即，在中，作边上高，垂足为，则，故选:A.【类题训练，爪形三角形的解答】3．中，为线段上的点，则（

）A． B．若D为中点，则线段长度为13C．若为的角平分线，则 D．若，则【答案】ACD【分析】根据向量的数量积运算可判断A，由中点的向量公式及数量积的运算性质求解可判断B，由角平分线定理可判断C，由余弦定理求出,根据直角三角形可知判断D.【详解】，所以A正确；D为中点时，，，，所以B错误；若为角的角平分线，根据内角平分线定理：，所以C正确；在三角形中由余弦定理可得，所以，故D正确.故选：ACD【类题训练，加强角平分线性质推导思想应用】4．在△ABC中，点D在边BC上，AD为∠A的角平分线，，.(1)求的值；(2)求边AB的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用余弦定理可求，再利用同角的三角函数基本关系式和倍角公式可求.（2）利用可得关于的方程，从而可求边AB的长.【详解】（1）在中，由余弦定理可得，而为三角形内角，故，因为AD为∠A的角平分线，故.（2）因为，所以，故，解得.【拓展训练，加强角平分线性质推导思想应用】5．的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值．【答案】(1)．(2)．【分析】（1）根据正余弦定理边角互化即可求解，（2）由余弦定理可得，即可利用等面积法得，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）由题设及正弦边角