第03讲 二项式定理（原卷版）

备战2024年高考《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考）第03讲二项式定理【考试要求】能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识点一二项式定理1.二项式定理:.2.通项公式:Tr+1=

,它表示第项.

3.二项式系数:二项展开式中各项的二项式系数为Cn0,Cn知识点二、二项式系数的性质1.当时,Cnr与Cnn-r2.二项式系数先增后减,中间项最大.当为偶数时,第项的二项式系数最大,最大值为

;当为奇数时,第项和项的二项式系数最大,最大值为

或.

知识点三、各二项式系数和1.展开式的各二项式系数和:Cn0+Cn1+Cn2+…+C2.偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn1.二项展开式的三个重要特征(1)字母的指数按降幂排列由到0.(2)字母的指数按升幂排列由0到.(3)每一项字母的指数与字母的指数的和等于.2.关注三个易错点(1)在二项式定理中,通项公式为是展开式的第项,不是第项.(2)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念,在中,是该项的二项式系数,该项的系数还与,有关.(3)二项式系数的最值与指数的奇偶性有关.当为偶数时,中间一项的二项式系数最大;当为奇数时,中间两项的二项式系数相等,且同时取得最大值.1、（多选）关于的二项展开式的下列说法正确的是（）A展开式共有n项，每一项中a、b的指数和等于nB第k+1项的通项公式C展开式的二项式系数和等于所有项系数和，都等于D展开式中最大的二项式是2、已知Ceq\o\al(0,n)＋2Ceq\o\al(1,n)＋22Ceq\o\al(2,n)＋23Ceq\o\al(3,n)＋…＋2nCeq\o\al(n,n)＝243，则Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)等于()A．31B．32C．15D．163、对于二项式(n∈N*)，以下判断正确的有()A.存在n∈N*，展开式中有常数项B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项C.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项D.存在n∈N*，展开式中有x的一次项4.若，则下列判断正确的序号是（1）；（2）展开式各项系数和为；（3）奇数项系数之和为；（4）偶数项系数之和为.考点一通项公式的应用角度1求特定项（或系数）例1．（1）（2023年新高考天津数学高考真题）在的展开式中，项的系数为．（2）（2023·河南开封·统考二模）展开式中的常数项是（

）A． B． C． D．【对点演练1】（2023·广西·校联考模拟预测）二项式的展开式中含的项的系数为（

）A．-60 B．60 C．30 D．-30【对点演练2】（2023·全国·高三专题练习）在的展开式中，第四项为（

）A．160 B． C． D．【对点演练3】（2023·全国·高三专题练习）二项式的展开式的常数项为第_____项A．17 B．18 C．19 D．20【对点演练4】在二项式(eq\r(2)＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．角度2已知特定项求参数例2（2023·全国·高三专题练习）已知的展开式中第3项是常数项，则（

）A．6 B．5 C．4 D．3【对点演练1】2023·全国·高三专题练习）若在的展开式中，第4项是常数项，则．【对点演练2】（2022·河北唐山·统考二模）（多选）已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则（

）A． B．C．常数项是672 D．展开式中所有项的系数和是-1【对点演练3】若展开式中含项的系数等于含x项的系数的8倍，则n等于（

）A．5 B．7 C．9 D．11【对点演练4】（2023·福建福州·统考二模）若二项式展开式中存在常数项，则正整数n可以是（

）A．3 B．5 C．6 D．7考点二多项展开式问题例3．（1）（2022年全国新高考I卷数学试题）的展开式中的系数为（用数字作答）．（2）(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A.10 B.20 C.30 D.60（3）在1＋（1＋x）＋（1＋x）2＋（1＋x）3＋（1＋x）4＋（1＋x）5＋（1＋x）6的展开式中，含x3项的系数是 （）A.25 B.30C.35 D.40【对点演练1】（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））的展开式中x3y3的系数为（

）A．5 B．10C．15 D．20【对点演练2】（2023·全国·高三专题练习）的展开式中的常数项为（

）A．－20 B．30 C．－10 D．10【对点演练3】（2023·四川广安·统考二模）已知的展开式中含项的系数为，则______.【对点演练4】（多选题）（2023·江苏南京·南京市宁海中学校考模拟预测）关于的展开式，下列结论正确的是（

）A．所有项的二项式系数和为32B．所有项的系数和为0C．常数项为D．系数最大的项为第3项【对点演练5】（2023·全国·高三专题练习）展开式中常数项为（

）A． B． C．1 D．481【对点演练6】（2023·全国·模拟预测）已知的展开式中含有常数项，则的值及展开式中的常数项分别为（

）A．3， B．4， C．3， D．4，【对点演练7】下列各式中，不是的展开式中的项是（

）A． B． C． D．考点三最值问题例4.（1）（2023·内蒙古赤峰·校联考模拟预测）已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且项的系数为，则的值为（

）A．40 B． C． D．12（2）（2023·山东·山东省实验中学校考二模）展开式中二项式系数最大的项的系数为．【对点演练1】（2023·浙江温州·统考二模）展开式中二项式系数最大的是，则不可能是（

）A．8 B．9 C．10 D．11【对点演练2】（2023·河南安阳·统考二模）的展开式中各项系数的最大值为（

）．A．112 B．448 C．896 D．1792【对点演练3】（2023·上海·高三专题练习）已知，若数列是个单调递增数列，则的最大值为_____【对点演练4】（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知的展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中第5项是.【对点演练5】在x-1xn的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为A.－126 B.－70C.－56 D.－28考点四求系数（或二项式系数）的和例5若(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则下列结论中正确的是()A.a0＝1B.a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2C.a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35D.a0－|a1|＋a2－|a3|＋a4－|a5|＝－1【对点演练1】（2022·浙江高考）已知多项式（x＋2）（x－1）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝.

【对点演练2】已知（1＋2x）11＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10＋a11x11，求a1－2a2＋…－10a10＋11a11的值.【对点演练3】若（1－x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则｜a0｜－｜a1｜＋｜a2｜－｜a3｜＋｜a4｜－｜a5｜＝ （）A.0 B.1C.32 D.－1【对点演练4】已知－Ceq\o\al(1,100)(2－x)＋Ceq\o\al(2,100)(2－x)2－Ceq\o\al(3,100)(2－x)3＋…＋Ceq\o\al(100,100)(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，则a1＋a2＋a3＋…＋a99＝()A.－1 B.－2 C.299－1 D.eq\f(299－1,2)【对点演练5】（2023·广东江门·统考一模）已知多项式，则（

）A．－960 B．960 C．－480 D．480【对点演练6】（多选）对任意实数x，有则下列结论成立的是（

）A． B．C． D．考点五整除问题例6.（2023·山西·统考模拟预测）除以5的余数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【对点演练1】（2022·全国·高三专题练习）除以78的余数是（

）A． B．1 C． D．87【对点演练2】设，且，若能被13整除，则（

）A．0 B．1 C．11 D．12【对点演练3】（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）若是9的倍数，则自然数n为（

）A．4的倍数 B．3的倍数 C．奇数 D．偶数考点六杨辉三角例7（2023春·安徽滁州·高二统考期末）习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（

）

A．B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等C．记第n行的第个数为，则D．第20行中第8个数与第9个数之比为【对点演练1】（多选）（2023春·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果，那么下面关于莱布尼茨三角形的结论正确的是（

）

A．当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值B．第8行第2个数是C．（，）D．（，）【对点演练2】（多选）（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲发现早年左右.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第行的为第行中两个的和.则下列命题中正确的是（

）A．在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是B．由“第行所有数之和为”猜想：C．D．存在，使得为等差数列【对点演练3】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里给出了杨辉三角，书中是用汉字来表示的，如图1.研究发现，杨辉三角可以由组合数来表示，如图2.

杨辉三角有很多有趣的性质，如杨辉三角的两个腰上的数字都是1，用组合数表示为.请写出一条其他的性质，用组合数表示为：.从杨辉三角蕴含的规律可知：.一、单选题1．（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）二项式展开式的常数项为（）A． B．60 C．120 D．2402．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）在的展开式中，含项的系数为（

）A． B．20 C． D．153．（2023秋·江西宜春·高二统考期末）若二项式的展开式中的各项系数之和为，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．4．（2021春·江苏常州·高二统考期中）在二项式的展开式中，有理项的项数为（

）．A．4 B．3 C．2 D．15．（2023·全国·高二专题练习）已知，若，则（

）A． B． C． D．6．（2023春·河南周口·高二校联考期中）的展开式中的系数为（

）A． B．60 C． D．1207．（2023春·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）设，且，若能被13整除，则等于（

）A．0 B．1 C．11 D．128．（2023秋·四川成都·高一四川省蒲江县蒲江中学校考开学考试）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律.当代数式的值为1时，则x的值为（

）A．2或4 B．2或 C．2 D．二、多选题9．（2023秋·湖南·高三邵阳市第二中学校联考阶段练习）设，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．10．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（

）A．常数项是 B．各项系数和为C．第5项二项式系数最大 D．奇数项二项式系数和为3211．（2022春·广东河源·高二和平县和平中学校考阶段练习）对任意实数x，有．则下列结论成立的是（

）A．B．C．D．12．（2020春·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）“杨辉三角(如图所示)”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.下列结论正确的是（

）

A．第行的首尾两项均为B．前行的数字之和为C．第行从左向右的第项为D．去除所有为的项，依此构成数列，则此数列的前项和为三、填空题13．（2023秋·天津北辰·高三校考阶段练习）若展开式的二项式