高二数学下册计数原理专项卷（人教版高考）

高二数学下册计数原理专项卷（人教版，高考）姓名：______班级：______学号：______得分：______（考试时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（共5题，每题4分，共20分）1.从5名男生和4名女生中选出3人组成代表队，要求至少有1名女生，则不同的选法共有（）A.84种B.80种C.74种D.70种2.已知集合A={1,2,3,4,5}，从集合A中取出3个不同的元素，这3个元素之和为偶数的取法共有（）A.10种B.11种C.12种D.13种3.将4个不同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放1个球，则不同的放法共有（）A.36种B.24种C.18种D.12种4.从1,2,3,4,5,6这6个数字中任取2个不同的数字，其和为偶数的概率是（）A.1/3B.2/5C.1/2D.3/55.某班级有40名学生，其中男生24名，女生16名。现要选出5名学生组成学习小组，要求其中至少有2名男生，则不同的选法共有（）A.658008种B.658008种C.658008种D.658008种二、填空题（共5题，每题4分，共20分）6.从6名志愿者中选出4人分别到4个不同的社区服务，不同的分配方案共有______种。7.将数字1,2,3,4,5,6排成一排，要求2和3相邻，4和5不相邻，则不同的排列共有______种。8.从5名男生和3名女生中选出4人参加比赛，要求既有男生又有女生，则不同的选法共有______种。9.某人有5件不同的上衣和4条不同的裤子，要搭配成一套服装，则不同的搭配方法共有______种。10.从1,2,3,4,5这5个数字中任取3个不同的数字组成三位数，则能组成的三位数共有______个。三、计算题（共2题，每题8分，共16分）11.计算：C(8,3)+C(8,4)+C(9,5)12.计算：P(6,4)2P(5,3)+C(7,2)四、应用题（共2题，每题12分，共24分）13.某学校组织文艺汇演，有8个节目需要安排演出顺序。如果要求某两个特定的节目不能相邻演出，问有多少种不同的安排方法？14.一个密码锁由4位数字组成，每位数字可以是09中的任意一个。如果要求密码中至少包含一个偶数数字，问可以设置多少种不同的密码？五、综合题（共2题，每题10分，共20分）15.某班级有30名学生，其中数学优秀的学生有12名，英语优秀的学生有18名，两科都优秀的学生有6名。现要选出5名学生参加竞赛，要求其中至少有2名数学优秀的学生和至少2名英语优秀的学生，问有多少种不同的选法？16.从1,2,3,4,5,6,7,8这8个数字中任取4个不同的数字：(1)求这4个数字之和为偶数的取法数；(2)求这4个数字中最大数为6的取法数。六、排列组合综合题（共3题，每题8分，共24分）17.从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取4个不同的数字组成四位数，要求这个四位数是偶数且大于3000，求满足条件的四位数的个数。18.某学校有6名教师和4名学生要排成一排照相，要求教师和学生相间排列，且两端必须是教师，求不同的排列方法数。19.从5名男生和4名女生中选出5人组成篮球队，其中必须有3名男生和2名女生，再从选出的5人中选出1名队长，求不同的选法总数。七、概率统计题（共2题，每题10分，共20分）20.一个袋子中有5个红球和3个白球，从中不放回地依次取出2个球，求第二次取出红球的概率。21.某班级有40名学生，其中数学成绩优秀的学生有15名，英语成绩优秀的学生有20名，两科都优秀的学生有8名。从班级中随机抽取1名学生，求该学生至少有一科成绩优秀的概率。八、二项式定理题（共2题，每题8分，共16分）22.求(2x3)⁶展开式中x³项的系数。23.在(1+x)ⁿ的展开式中，第3项与第5项的系数相等，求n的值。九、数学归纳法题（共1题，12分）24.用数学归纳法证明：对于任意正整数n，都有1²+2²+3²++n²=n(n+1)(2n+1)/6。十、数列计数题（共2题，每题8分，共16分）25.已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+1(n≥1)，求数列的前n项和Sₙ。26.求集合{1,2,3,4,5,6,7,8}的所有子集中，元素之和为偶数的子集个数。十一、几何计数题（共2题，每题8分，共16分）27.在平面直角坐标系中，点A(0,0)，点B(4,0)，点C(0,3)。从线段AB上取点P，从线段AC上取点Q，求△APQ的面积大于2的概率。28.正方体的8个顶点中，任取4个点构成四面体，求能构成正四面体的概率。十二、组合恒等式题（共2题，每题8分，共16分）29.证明组合恒等式：C(n,k)=C(n1,k)+C(n1,k1)30.求和：S=C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)++C(n,n)十三、实际应用题（共2题，每题10分，共20分）31.某工厂生产的产品中有5%是次品，现从中随机抽取10件产品进行检验，求恰好有2件次品的概率。32.某商店有4种不同品牌的手机和3种不同品牌的电脑，现要购买2件商品（可以同品牌），求购买商品中至少有1件是手机的概率。十四、创新思维题（共2题，每题8分，共16分）33.将数字1,2,3,4,5,6排成一排，要求任意相邻两个数字的差的绝对值都不小于2，求满足条件的排列数。34.从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中选取3个不同的数字a<b<c，使得a+b+c能被3整除，求满足条件的三元组(a,b,c)的个数。十五、综合拔高题（共1题，12分）35.设集合A={1,2,3,,2n}，从集合A中选取n个不同的数，使得这n个数的和为偶数，求不同的选取方法数。试卷答案：一、选择题：1.B2.C3.A4.C5.A二、填空题：6.3607.1448.709.2010.60三、计算题：11.12612.342四、应用题：13.3024014.9375五、综合题：15.65800816.(1)28(2)15六、排列组合综合题：17.168018.40019.400七、概率统计题：20.5/821.27/40八、二项式定理题：22.4023.6九、数学归纳法题：24.证明略十、数列计数题：25.2ⁿ⁺¹n226.128十一、几何计数题：27.1/328.1/70十二、组合恒等式题：29.证明略30.2ⁿ十三、实际应用题：31.C(10,2)(0.05)²(0.95)⁸32.11/21十四、创新思维题：33.4034.84十五、综合拔高题：35.2^(2n1)C(2n1,n1)第一部分：基础计数原理1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事有n类方法，第一类有m₁种方法，第二类有m₂种方法，第n类有mₙ种方法，则完成这件事共有N=m₁+m₂++mₙ种方法。2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事需要n个步骤，第一步有m₁种方法，第二步有m₂种方法，第n步有mₙ种方法，则完成这件事共有N=m₁×m₂××mₙ种方法。第二部分：排列组合1.排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。排列数记为P(n,m)或A(n,m)。2.组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。组合数记为C(n,m)。3.排列数公式：P(n,m)=n!/(nm)!4.组合数公式：C(n,m)=n!/[m!(nm)!]5.组合数性质：C(n,m)=C(n,nm)，C(n,m)=C(n1,m)+C(n1,m1)第三部分：二项式定理1.二项式定理：(a+b)ⁿ=C(n,0)aⁿb⁰+C(n,1)aⁿ⁻¹b¹++C(n,r)aⁿ⁻ʳbʳ++C(n,n)a⁰bⁿ2.通项公式：T(r+1)=C(n,r)aⁿ⁻ʳbʳ3.二项式系数性质：各二项式系数之和为2ⁿ，奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和第四部分：概率统计1.古典概型：P(A)=事件A包含的基本事件数/基本事件总数2.条件概率：P(B|A)=P(AB)/P(A)3.独立事件：P(AB)=P(A)P(B)4.互斥事件：P(A∪B)=P(A)+P(B)各题型考察知识点详解及示例：选择题主要考察学生对基本概念的掌握和计算能力。如第1题考察组合计数，需要运用组合数公式和分类计数原理；第4题考察概率计算，需要理解古典概型的基本概念。填空题重点考察学生的计算技巧和公式的灵活运用。如第6题考察排列数计算，第7题考察排列组合的综合应用，需要同时考虑相邻和不相邻的限制条件。计算题主要考察学生对公式的熟练程度和计算准确性。如第11题考察组合数的性质和计算，第12题考察排列数和组合数的混合运算。应用题着重考察学生将实际问题转化为数学模型的能力。如第13题将节目安排问题转化为排列问题，第14题将密码设置问题转化为计数问题。综合题考察学生对多个知识点的综合运用能力。如第15题需要同时运用集合论、组合计数和分类讨论的思想，第16题需要结合数论知识和组合计数。排列组合综合题深化考察学生对复杂计数问题的分析能力。如第17题需要考虑多个约束条件，第18题考察相间排列的特殊情况，第19题考察分步计数和选择队长的复合问题。概率统计题重点考察概率模型的建立和计算。如第20题考察条件概率，第21题考察集合论在概率中的应用。二项式定理题考察二项式展开和系数计算。如第22题考察特定项系数的求法，第23题考察二项式系数的性质。数学归纳法题考察数学归纳法的应用和证明能力。第24题是经典的平方和公式证明。数列计数题结合数列和计数知识。如第25题考察递推数列的求和，第26题考察集合计数与数论的结合。几何计