高二数学下册随机变量专项卷（人教版高考）

高二数学下册随机变量专项卷（人教版，高考）姓名：______班级：______学号：______得分：______（考试时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（共5题，每题4分，共20分）1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P(X=1)=P(X=2)，则λ的值为（）A.1B.2C.3D.42.已知随机变量X~N(2,σ²)，且P(X≤3)=0.8，则P(X≤1)的值为（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.53.设随机变量X的分布列为：P(X=k)=c·2^k(k=0,1,2,3)，其中c为常数，则P(X=2)的值为（）A.1/8B.1/4C.1/2D.3/44.已知随机变量X的期望E(X)=3，方差D(X)=4，则E(2X1)和D(2X1)的值分别为（）A.5,8B.5,16C.6,8D.6,165.设随机变量X服从二项分布B(n,p)，若E(X)=6，D(X)=4.8，则n和p的值分别为（）A.10,0.6B.12,0.5C.15,0.4D.20,0.3二、填空题（共5题，每题4分，共20分）6.设随机变量X的分布函数为F(x)=0(x<0)，F(x)=x²(0≤x≤1)，F(x)=1(x>1)，则P(0.5<X≤1.5)=______。7.已知随机变量X~N(μ,σ²)，且P(μσ<X<μ+σ)=0.6826，则P(|Xμ|<2σ)=______。8.设随机变量X的分布列为：P(X=1)=a，P(X=2)=2a，P(X=3)=3a，则a=______。9.已知随机变量X的期望E(X)=2，方差D(X)=3，则E(X²)=______。10.设随机变量X服从参数为λ的指数分布，且P(X>1)=e^(2)，则λ=______。三、计算题（共3题，每题10分，共30分）11.设随机变量X的分布列为：P(X=k)=k/6(k=1,2,3)，求：(1)E(X)和D(X)(2)P(X>1.5)12.已知随机变量X~N(2,9)，求：(1)P(1<X<5)(2)若P(X>a)=0.25，求a的值13.设随机变量X服从二项分布B(4,0.3)，求：(1)E(X)和D(X)(2)P(X≥2)四、证明题（共1题，10分）14.设随机变量X和Y相互独立，证明：D(X+Y)=D(X)+D(Y)五、应用题（共1题，20分）15.某工厂生产的零件长度服从正态分布N(10,0.04)，规定零件长度在9.8cm到10.2cm之间为合格品。(1)求该厂生产零件的合格率(2)若该厂每天生产1000个零件，求合格零件数的期望和方差六、选择题（共4题，每题4分，共16分）16.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，若E(X)=2，则P(X=3)的值为（）A.4/3e²B.8/3e²C.4/e²D.8/e²17.已知随机变量X的分布函数为F(x)，则下列结论正确的是（）A.F(x)是单调递减函数B.F(x)是连续函数C.lim(x→∞)F(x)=0D.lim(x→+∞)F(x)=018.设随机变量X和Y相互独立，且D(X)=3，D(Y)=2，则D(2XY)的值为（）A.8B.10C.14D.1619.已知随机变量X~N(1,4)，若P(X>a)=0.3，则a的值为（）A.1.95B.2.05C.2.15D.2.25七、填空题（共4题，每题4分，共16分）20.设随机变量X的分布列为：P(X=k)=c/k(k=1,2,3)，则c=______。21.已知随机变量X的期望E(X)=5，方差D(X)=4，则E(3X+2)=______，D(3X+2)=______。22.设随机变量X服从均匀分布U(a,b)，若E(X)=4，D(X)=3，则a=______，b=______。23.已知随机变量X~N(μ,σ²)，且P(X≤μ+σ)=0.84，则P(X≤μσ)=______。八、计算题（共3题，每题12分，共36分）24.设随机变量X的分布列为：P(X=k)=k(k+1)/12(k=1,2,3)，求：(1)常数c的值(2)E(X)和D(X)(3)P(1.5<X≤2.5)25.已知随机变量X~N(3,16)，求：(1)P(1<X<7)(2)若P(|X3|<a)=0.9，求a的值(3)求使P(X>b)=0.05的b值26.设随机变量X服从二项分布B(6,0.4)，求：(1)E(X)和D(X)(2)P(2≤X≤4)(3)P(X>3|X≥2)九、证明题（共2题，每题8分，共16分）27.设随机变量X和Y相互独立，证明：E(XY)=E(X)E(Y)28.设随机变量X服从泊松分布P(λ)，证明：E(X)=λ，D(X)=λ十、应用题（共2题，每题12分，共24分）29.某商店每天的顾客人数服从参数为λ=50的泊松分布，每位顾客购买商品的概率为0.3，且各顾客是否购买商品相互独立。(1)求该商店每天购买商品的顾客人数的期望和方差(2)求某天至少有20位顾客购买商品的概率(3)若要使每天至少有15位顾客购买商品的概率达到90%，λ应至少为多少(1)求身高在160cm到180cm之间的学生所占比例(2)若要使90%的学生都能穿上校服，校服的尺寸范围应如何设计(3)若随机抽取100名学生，求身高超过175cm的学生数的期望和方差一、选择题答案：1.B2.A3.B4.B5.A16.A17.C18.C19.B二、填空题答案：6.0.757.0.95448.1/69.710.220.6/1121.17,3622.1,723.0.16三、计算题答案：11.(1)E(X)=7/3,D(X)=5/9(2)P(X>1.5)=2/312.(1)P(1<X<5)=0.4772(2)a=4.0213.(1)E(X)=1.2,D(X)=0.84(2)P(X≥2)=0.348324.(1)c=1/6(2)E(X)=7/3,D(X)=5/9(3)P(1.5<X≤2.5)=1/325.(1)P(1<X<7)=0.6826(2)a=3.29(3)b=9.2926.(1)E(X)=2.4,D(X)=1.44(2)P(2≤X≤4)=0.768(3)P(X>3|X≥2)=0.357四、证明题答案：14.证明：由于X和Y相互独立，所以E(XY)=E(X)E(Y)D(X+Y)=E[(X+Y)²][E(X+Y)]²=E(X²)+2E(XY)+E(Y²)[E(X)+E(Y)]²=E(X²)[E(X)]²+E(Y²)[E(Y)]²=D(X)+D(Y)27.证明：由于X和Y相互独立，所以f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)E(XY)=∫∫xyf(x,y)dxdy=∫xf_X(x)dx∫yf_Y(y)dy=E(X)E(Y)28.证明：对于泊松分布P(λ)，P(X=k)=λ^ke^(λ)/k!E(X)=∑kP(X=k)=λE(X²)=∑k²P(X=k)=λ²+λD(X)=E(X²)[E(X)]²=λ五、应用题答案：15.(1)合格率=0.6826(2)E=682.6,D=216.4(3)调整为9.6cm到10.4cm29.(1)E=15,D=10.5(2)P≈0.088(3)λ≥6130.(1)0.9544(2)155cm到185cm(3)E=31,D=21.7一、随机变量的基本概念1.随机变量的定义：将随机试验的结果映射到实数的函数2.离散型随机变量：取值为有限个或可列个的随机变量3.连续型随机变量：取值充满某个区间的随机变量4.分布函数：F(x)=P(X≤x)，描述随机变量的概率分布二、常见分布类型1.离散型分布：二项分布B(n,p)：n次独立重复试验中成功次数的分布泊松分布P(λ)：单位时间/空间内事件发生次数的分布均匀分布：各取值概率相等的离散分布2.连续型分布：正态分布N(μ,σ²)：自然界最常见的连续分布均匀分布U(a,b)：区间内等概率的连续分布指数分布：描述等待时间的连续分布三、数字特征1.数学期望E(X)：随机变量的平均值2.方差D(X)：随机变量偏离期望的程度3.标准差σ=√D(X)：方差的平方根4.期望和方差的性质：线性运算、独立变量性质四、概率计算方法1.离散型：求和计算2.连续型：积分计算3.正态分布标准化：Z=(Xμ)/σ4.概率不等式：切比雪夫不等式、马尔可夫不等式各题型考察知识点详解：一、选择题考察要点1.基础概念理解：分布类型识别、参数含义2.公式应用：期望、方差、概率计算公式3.性质运用：期望方差的线性性质、独立变量性质4.数值计算：具体分布的概率值计算示例：第1题考察泊松分布的概率公式P(X=k)=λ^ke^(λ)/k!和参数求解二、填空题考察要点1.分布函数应用：F(x)的性质和计算2.概率计算：各种分布的概率值求解3.参数求解：根据已知条件反推分布参数4.数字特征计算：期望、方差的直接计算示例：第6题考察分布函数的定义和区间概率计算P(a<X≤b)=F(b)F(a)三、计算题考察要点1.综合应用：多个知识点的综合运用2.分步计算：复杂问题的分解求解3.参数估计：根据统计量估计分布参数4.实际应用：将理论知识应用于实际问题示例：第11题综合考察分布列性质、期望方差计算和概率求解四、证明题考察要点1.理论推导：从