2026届广西柳州二中高二上数学期末学业水平测试模拟试题含解析

2026届广西柳州二中高二上数学期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知实数，，则下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.2．在空间中，“直线与没有公共点”是“直线与异面”的（）A.必要不充分条件 B.充要条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件3．已知全集，集合，，则（）A. B.C. D.4．已知向量，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（）A. B.C. D.6．在等比数列中，，则等于（）A. B.C. D.7．为比较甲、乙两地某月时的气温状况，随机选取该月中的天，将这天中时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图（十位数字为茎，个位数字为叶）.考虑以下结论：①甲地该月时的平均气温低于乙地该月时的平均气温；②甲地该月时的平均气温高于乙地该月时的平均气温；③甲地该月时的气温的标准差小于乙地该月时的气温的标准差；④甲地该月时的气温的标准差大于乙地该月时的气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（）A.①③ B.①④C.②③ D.②④8．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则一定是（）A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形9．已知函数在上可导，且，则与的大小关系为A. B.C. D.不确定10．设曲线在点处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则的面积等于（）A.1 B.2C.4 D.611．函数在（0，e]上的最大值为（）A.－1 B.1C.0 D.e12．函数的最小值为（）A. B.1C.2 D.e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．椭圆方程为椭圆内有一点，以这一点为中点的弦所在的直线方程为，则椭圆的离心率为______14．在空间直角坐标系O－xyz中，平面OAB的一个法向量为＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于__________________15．若球的大圆的面积为，则该球的表面积为___________.16．直线的倾斜角为_______________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知直线，直线，直线（1）若与的倾斜角互补，求m的值；（2）当m为何值时，三条直线能围成一个直角三角形18．（12分）已知数列是等差数列，（1）求的通项公式；（2）求的最大项19．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题的题设条件中.问题：等差数列的公差为，满足，________?（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和得到最小值时的值.20．（12分）已知直线l经过直线，的交点M（1）若直线l与直线平行，求直线l的方程；（2）若直线l与x轴，y轴分别交于A，两点，且M为线段AB的中点，求的面积（其中O为坐标原点）21．（12分）已知椭圆的左、右顶点坐标分别是，，短轴长等于焦距.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相交于两点，线段的中点为，求.22．（10分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，直线BC与平面PCD所成角的正弦值为.（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；（2）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据不等式性质和作差法判断大小依次判断每个选项得到答案.【详解】当时，不等式不成立，错误；，故错误正确；当时，不等式不成立，错误；故选：.【点睛】本题考查了不等式的性质，作差法判断大小，意在考查学生对于不等式知识的综合应用.2、A【解析】由于在空间中，若直线与没有公共点，则直线与平行或异面，再根据充分、必要条件的概念判断，即可得到结果.【详解】在空间中，若直线与没有公共点，则直线与平行或异面.故“直线与没有公共点”是“直线与异面”的必要不充分条件.故选：A.3、A【解析】先求，然后求.【详解】，，.故选：A4、A【解析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的坐标表示公式、充分性、必要性的定义进行求解判断即可.详解】当时，有，显然由，但是由不一定能推出，故选：A5、A【解析】设，计算出重心坐标后代入欧拉方程，再求出外心坐标，根据外心的性质列出关于的方程，最后联立解方程即可.【详解】设，由重心坐标公式得，三角形的重心为，，代入欧拉线方程得：，整理得：①的中点为，，的中垂线方程为，即联立，解得的外心为则，整理得：②联立①②得：，或，当，时，重合，舍去顶点的坐标是故选：A【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是求出外心，二是根据外心的性质列方程.6、C【解析】根据，然后与，可得，最后简单计算，可得结果.【详解】在等比数列中，由所以，又，所以所以故选：C【点睛】本题考查等比数列的性质，重在计算，当，在等差数列中有，在等比数列中，灵活应用，属基础题.7、B【解析】根据茎叶图数据求出平均数及标准差即可【详解】由茎叶图知甲地该月时的平均气温为，标准差为由茎叶图知乙地该月时的平均气温为，标准差为则甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温，故①正确，乙平均气温的标准差小于甲的标准差，故④正确，故正确的是①④，故选：B8、B【解析】利用余弦定理化角为边，从而可得出答案.【详解】解：因为，所以，则，所以，所以是等腰三角形.故选：B.9、B【解析】由,所以.10、C【解析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，写出切线方程，分别求得切线在两坐标轴上的坐标，再由三角形面积公式求解【详解】由，得，，又切线过点，曲线在点处的切线方程为，取，得，取，得的面积等于故选：C11、A【解析】对函数求导，然后求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值【详解】由，得，当时，，当，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，故选：A12、B【解析】先化简为，然后通过换元，再研究外层函数单调性，进而求得的最小值【详解】化简可得：令，故的最小值即为的最小值，是关于的单调递增函数，易知对求导可得：当时，单调递减；当时，单调递增则有：故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设，利用“点差法”得到，即可求出离心率.【详解】设直线与椭圆交于，则.因为AB中点,则.又，相减得：.所以所以所以，所以，即离心率.故答案为：.14、2【解析】O是平面OAB上一个点，设点P到平面OAB的距离为d,则d=∵=(-1,3,2)．(2,-2,1)=-6,∴d==2即点P到平面OAB的距离为2考点：空间向量在立体几何中的运用15、【解析】设球的半径为，则球的大圆的半径为，根据圆的面积公式列方程求出，再由球的表面积公式即可求解.【详解】设球的半径为，则球的大圆的半径为，所以球的大圆的面积为，可得，所以该球的表面积为.故答案为：.16、【解析】由直线的斜率为，得到，即可求解.【详解】由题意，可知直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，解得，即换线的倾斜角为.【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）0，，.【解析】（1）根据题意得，进而求解得答案；（2）根据题意，分别讨论与垂直，与垂直，与垂直求解，并检验即可得答案【小问1详解】解：因为与的倾斜角互补，所以，直线变形为，故所以，解得【小问2详解】解：由题意，若和垂直可得：，解得，因为当时，，，，构不成三角形，当时，经验证符合题意；故；同理，若和垂直可得：，解得，舍去；若和垂直可得：，解得或，经验证符合题意；故m的值为：0，，.18、（1）；（2）.【解析】（1）利用等差数列的通项公式进行求解即可；（2）运用二次函数的性质进行求解即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，所以有，所以；【小问2详解】由（1）可知：，当时，有最大项，最大项为：.19、（1）选择条件见解析，（2）【解析】（1）设等差数列的公差为，由，得到，选①，联立求解；选②，联立求解；选③，联立求解；（2）由（1）知，令求解.【小问1详解】解：设等差数列的公差为，得，选①，得，故，∴.选②，得，得，故，∴.选③，，得，故，∴；【小问2详解】由（1）知，，，∴数列是递增等差数列.由，得，∴时，，时，，∴时，得到最小值.20、（1）（2）4【解析】（1）求出两直线的交点M的坐标，设直线l的方程为代入点M的坐标可得答案；（2）设，，因为为线段AB的中点，可得，由的面积为可得答案.【小问1详解】由，得，所以点M坐标为，因为，则设直线l的方程为，又l过点，代入得，故直线l方程为.【小问2详解】设，，因为为线段AB的中点，则，所以，故，，则的面积为.21、（1）；（2）.【解析】（1）由椭圆顶点可知，又短轴长等于焦距可知，求出，即可写出椭圆方程（2）根据“点差法”可求直线的斜率，写出直线方程，联立椭圆方程可得，，代入弦长公式即可求解.【详解】（1）依题意，解得.故椭圆方程为.（2）设的坐标分别为，，直线的斜率显然存在，设斜率为，则，两式相减得，整理得.因为线段的中点为，所以，所以直线的方程为，联立，得，则，，故.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单几何性质，“点差法”，弦长公式，属于中档题.22、（1）证明见解析（2）【解析】（1）取的中点，连接，证明，由线面垂直的判定定理可证明平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论，（2）过点作于，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设，先根据直线BC与平面PCD所成角的正弦值为，求出，然后再求出平面PAB的法向量，利用向量的夹角公式可求得结果【小问1详解】证明：取的中点，连接，因为AD//BC，