排列组合（高效培优讲义）-2026年高考数学一轮复习原卷版

第02讲排列组合

考情探究............................................................2

知识梳理............................................................2

探究核心考点........................................................4

考点一排列与排列数......................................................................4

考点二组合与组合数......................................................................4

考点三相邻元素捆绑法...................................................................5

考点、b不相邻元素插会乐.................................................................5

考疝五特殊元素优先安加法..............................................................6

考点、六定序问题缩信法...................................................................6

考点七国挑问题直排法...................................................................7

考点八多挑问题单排东...................................................................7

老皮九元素相同问题隔技法..............................................................7

考点十分组问题...........................................................................8

考点十一分堆问题........................................................................8

考点十二多面手问题......................................................................9

考点十三染色问题-合理分类与分步......................................................9

考点十e最短路位问题..................................................................1()

三阶突破训练.......................................................11

石出于、1i

能力提升..................................................................................13

真题感知..................................................................................14

A考情探究＜

一、5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2025•上海排列无

2024•全国甲卷排列无

2023•全国乙卷排列组合综合无

2024•新课标II卷列举法无

二、命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是高考卷的常考内容，以考查基本概念和基本方法为主，涉及特殊元素与特殊位置、

两元索相邻或不相邻、分组、分配等问题.

【备考策略】（1）理解排列、组合的概念.

（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.

（3）能利用排列组合解决简单的实际问题.

【命题预测】本节内容与生活实际联系紧密，考生可适当留意常见的排列组合现象.设题稳定，难度中等

偏难，分值为5分.

＞知识梳理＜

1.排列

①排列的定义：一般地，从〃个不同元素中取出加（机《〃）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从〃个

不同元素中取出，〃个元素的一个排列.

②排列数、排列数公式：从〃个不同元素中取出〃2（〃7工〃）个元素的所有不同排列的个数叫做从〃个不同元

fl!

素中取出切个元素的排列数，用符号A：表示，其中=f〃”N.,且“。.

2.组合

①组合的定义：一般地，从〃个不同元素中取出〃?（，〃<〃）个元素合成一组，叫做从〃个不同元素中取出〃?

个元素的一个组合.

②组合数、组合数公式：从〃个不同元素中取出根（，〃《〃）个元素的所有不同组合的个数，叫做从〃个不同

元素中取出加个元素的组合数，用符号C；表示.

〃！

公式：C：=---:-其中且

inl（n-m）1

规定：C：=l

③排列与组合的关系

相司点两者都是从〃个不同元素中取出小（〃右〃）个元素

排列问题中元素有序，组合问题中元素无序

不司点

（关键是看选出的元素是否与顺序有关，若有关系，则是排列问题，若无关系，则是组合问题）

④组合数的性质

性质1：c：=C：-W；

性质2：C3=C：+C；l

3.分类

问题方法

既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁''特

“在”与“不在”的有限制条件的排列问题

殊”谁优先.

"捆绑法''：把相邻元素看作一个整体利其他元素一起

相邻问题

排列，同时要注意捆绑元素的内部排列

“插空法”：先考虑不受限制的元素的排列，再将不相

不相邻问题

邻的元素插在前面元素排列的空挡中

先不考虑J顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排

定序问题

列

正面考虑比较复杂的句题“间接法”，反面入手

平均分组问题一般先分〃堆，再除以A；.

不平均分组问题先分〃堆，其中有〃?组个数一样，再除以A：；

“隔板法”：将〃个相同的元素分成〃7份,每份至少一个

相同元素的“分配”问题元素,可以用，〃一1块隔板，插入〃个元素排成一排的

〃一1个空隙中，

A探究核心考点＜

考点一排列与排列数

典例1.用1,2,3,4,5,6可以组成N个无重复数字的六位奇数，则％=()

A.360B.400C.420D.450

典例2.(1)求3C：+gA：的值；

(2)解不等式A£V6A；2.

跟踪训练1.A：=()

A.10B.15C.20D.25

跟踪训练2.证明下列等式.

⑴]〃+l)A；：=A：j

(2)—Ar'=A：.

n-m

考点二组合与组合数

典例i.满足条件c：＞c；的正整数〃的个数是()

A.10B.9

C.4D.3

典例2证明：CC+C©二—…+—

跟踪训练1.给出下列问题：

①若集合人=｛七〃,。/｝求集合A的含有3个元素的子集的个数；

②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数;

③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数；

④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数；

⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数.

其中是组合问题的为（）

A.®©B.C.①③⑤D.①③

跟踪训练2.（多选）已知孙且〃之〃后2,则（）

A.C^=C^B.A：=C：A：

c.A;+A；T=A3D.疣；W=〃C：

考点三相邻元素捆绑法

典例1.由1,2,3,4,5,6,7,8组成一个没有重复数字的八位数，任何相邻两个数字的奇偶性不同，

且满足3和4相邻，则这样的人位数有（）个.

A.432B.257C.216D.504

典例2.现有3名男生和3名女生要与班主任站成一排合影，班主任站中间，则3名女生有且仅有2名相邻

的站法总数为.（结果用数字作答）.

跟踪训练1.二个人坐在一排5个座位上，空位相邻的坐法的种.（用数字作答）

跟踪训练2.某高中学校经过推荐和选拔，挑选6名同学（4名男生、2名女生）参加奥林匹克生物竞赛，

并进行合影留念.若女生必须相邻，则有种不同的排法.（用数字作答）

考点四不相邻元素插空法

典例1.现将2本不同的数学书、3本不同的物理书、I本化学书放在一个单层的书架上，且同类的书各不

相邻，则不同的放法有（）

A.120种B.144种C.96种D.160种

典例2.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每“艺”

安排一次讲座，共开展六次.讲座次序要求“射”和“御”必须相邻，“礼”和“书”不相邻，贝广六艺''讲座不同的

次序共有种.

跟踪训练1.一排有7个空座位，有3人各不相邻而坐，则不同的坐法共有种.

跟踪训练2.如图，有三个不同班级的各两名代表要坐在长方形桌子的6个座位（座位序号为1~6）上座谈，

要求同一班级的两名代表既不能正对面（例如：一个人坐1号座位，则同班级的另一个人不能坐6号座位）

也不能左右相邻就坐，则所有可能坐法为种.

考点五特殊元素优先安排法

典例1.3个男同学和3个女同学排成一列，进行远足拉练.要求排头和排尾必须是男同学，则不同的排法

有（）种.

A.36B.108C.120D.144

典例2.甲、乙、丙、丁、戊五人去甘肃、贵州、陕西三省旅游，每人只去一个省份，已知甲、乙都不去陕

西，丙、丁去的省份不同，则这五人不同的选择共有（）

A.36种B.72种C.60种D.96种

跟踪训练1.在2024年梧州“半程马拉松”活动中，组委会将小明等四位志愿者分配到A.B.C三个场馆执勤，

若每个场馆至少分到一人，且小明不能被分配到A场馆，则不同分配方案的种数是（）

A.24B.36C.48D.60

跟踪训练2.六名学生排成一行，则甲不在两端的排法种数为.

考点六定序问题缩倍法

典例1.12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的

相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）

A.C；A；B.C；A：C.D.C；A：

典例2.有6位同学排成一排准备拍照，拍照前加入了2位同学，如果要求他们仍站成一排，同时原来6位

同学的相对顺序保持不变，则有种不同的站法用数字作答）

跟踪训练1.城步苗族自治县“六月六山歌节''是湖南省四大节庆品牌之一，至今已举办25届.假设在即将举

办的第26届“六月六山歌节''中，组委会要在原定排好的10个“本土歌舞”节目中增加2个“歌王对唱”节目.

若保持原来10个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为（）

A.IIOB.144C.132D.156

跟踪训练2.书架上某层有6本不同的书，新买了3本不同的书要插进去，要保持原来6本书的原有顺序不

变，有多少种插法？

考点七圆排问题直排法

典例1.某次宴会，有4荤3素2汤共九道菜品在圆桌上摆成一屋，且两道汤不相邻，则不同的摆法共有（）

A.40320B.30240C.21600D.5760

典例2.圆排列最早出现在《易经》里.当A,B,。三位同学围成一个圆时，排列A3C与该排列旋转一个

或几个位置得到的排列8cA或C/tB是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为.

跟踪训练1.某学校图书室内，有io位同学围着一张圆桌坐成一圈，共有多少种不同的坐法：）

A.A；JB.A；C.|A；；；D.

跟踪训练2.6位女同学和15位男同学闱成一圈跳集体舞，要求每两名女同学之间至少有两名男同学，那

么共有多少种不同的围圈跳舞的方法？

考点八多排问题单排法

典例1.甲，乙，丙三位同学被选中参加校运会的仪仗队，现编排这三位同学分别站在队伍的前三排（每两

人均不在同一排），则甲或乙站第一排的概率为

2

A.BC.-D.

3-163

典例2.2个老师、4个女学生、12个男学生，排成三排拍照，要求第一排5人，第二排6人，第三排7人,

且老师在第一排，女学生在第二排，则不同的排法共有种.

跟踪训练1.把15人分成前、中、后三排，每排5人，则共有不同的排法种数为（）

4,5

A.B.•心父C.AsD.5-Ao

跟踪训练2.6个人站成前、中、后三排，每排2人，则不同的排法有种.

考点九元素相同问题隔板法

典例L若将（x+y+z）"）展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（）

A.33项B.44项C.55项D.66项

典例2.若方程玉+巧+玉+七=8,其中/=2,则方程的自然数解的个数为.

跟踪训练1.将8个外观相同的革果分给甲、乙、丙三人，每人至少分到1个苹果，共有不同的分法（）

A.15种B.18种C.21种D.24种

跟踪训练2.2025年5月17日进行全国高中数学联赛（江苏赛区）预赛，某校拥有11个参加预赛的名额，

现将这11个名额分配给高二的四个班级，有班级可以不分配名额，则名额分配的不同种数为（）

A.455B.364C.210D.120

考点十分组问题

典例L5个老师分配到3个班里搞活动，不同的分法有种.

典例2.将A8，。三个人随机安排到甲、乙、丙、丁这四个部门工作，已知甲部门一定有人，则不同的安排

方法种数是.

跟踪训练1.1260有个不同的正因数.（用数字作答）

跟踪训练2.有5位同学各自独立地报名课外兴趣小组，可报名的小组有中华传统文化、生物技术

（Biotechnology\数学应用共3个.如果每位同学限报一个小组，小组招收入数没有上限，那么所有可能

的不同的报名结果有种.

考点十一分堆问题

典例1.某中学要给三个班级补发8套教具，先将其分成3堆，其中一堆4套，另两堆每堆2套，则不同的

分堆方法种数为（）

C：C：C；

A.C；C：C；B.C；C；C.*出

典例2.已知有6本不同的书.

（1）分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？

（2）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？

（3）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分配方法？

跟踪训练1.已知有6本不同的书.

（1）分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法?

（2）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？

跟踪训练2.要把9本不同的课外书分别装到三个相同的手提袋里，一共有多少种不同的装法？

考点十二多面手问题

典例1.现有翻译8人，其中3人只会英语•，2人只会德语，还有3人英语•、德语都会，现从这8人中选取

3名英语翻译，2名德语翻译，有多少种不同的选法？

典例2.第三届无人机大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从

事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，每个工作至少有一人参加，若小张、小赵只能从事安保工作，其余

三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有种.

跟踪训练1.甲、乙、丙三名志愿者到某医院参加抗击新冠疫情活动，该医院有A、8两种类型的机器各一

台，其中甲只会操作A种类型的机器，乙、丙两名志愿者两种类型的机器都会操作.现从甲、乙、丙三名

志愿者中选派2人去操作该医院A、笈两种类型的机器（每人操作一台机器），则不同的选派方法一共有（）

A.2种B.4种C.6种D.8种

跟踪训练2.有11个划船运动员，其中右舷手4人，左舷手5人，还有甲、乙二人左、右都能划，现要选8

人组成一个划船队参加竞赛（左、右各4人），有多少种安排方法？

考点十三染色问题•合理分类与分步

典例1.如图所示，现要给固定位置的四棱锥P-A4C。的五个面涂上颜色，要求相邻的面涂不同的颜色，

可供选择的颜色共有5种，则不同的涂色方案共有（）

A.360B.420C.480D.660

典例2.某社区广场有一个如图所示的花坛，花坛有1,2,3,4四个区域.，现有6种不同的花卉可供选择，

要求相邻区域不能种植同一种花卉，中间圆圈区域不种植花卉.若从所有种植方案中任意选一种，则这种方

案中花坛区域1和区域3种植的是同一种花卉的概率为()

跟踪训练I.如图所示，用4种不同的颜色涂三棱台的顶点，同一线段的端点不同色，且颜色可以不用完,

则不同的涂法有种.

跟踪训练2.用五种不同的颜色给图中的A民CD,£尸六个区域涂色，要求有公共边的区域不能涂同一种

颜色且五种颜色要用完，则共有涂色方法种.

考点十四最短路径问题

典例1.如图，已知图形A3COEK内部连有线段.(列出过程，用数字作答)

E

(1)由点A沿着图中的线段到达点E的最近路线有多少条？

(2)由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有多少条？

⑶求出图中总计有多少个矩形？

典例2.如图，某地有南北街道5条、东西街道6条.一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角

的3地，且途经。地，要求所走路程最短，共有多少种不同的走法？

A

北

十东

南

跟踪训练1.（多选）如图所示，在小矩形都全等，各条线段均表示道路.某销售公司王经理从单位A处出发

到达/T处和C处两个市场调查了解销售情况，行走顺序可以是3fC,也可以是AfCf2,王经理

选择了最近路径进行两个市场的调查工作.则王经理可以选择的最近不同路线共有（）

A.31条B.36条C.210条D.315条

（1）由点A沿着图中的线段到这点E的最近路线有多少条？

（2）由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有多少条？

＞三阶突破训练＜

基础过关

一、单选题

1.盒子甲中有5个红球和3个蓝球；盒子乙中有6个红球和2个蓝球.若从甲、乙两个盒子中各随

机取出2个球，则取出的4个球中恰有1个蓝球的不同取法共有（）

A.150种B.180种C.300种D.345种

2.甲、乙、丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥、长江索道、洪崖洞民俗风貌区、重庆动

物园、仙女山、白帝城这六个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲、乙、丙三人去的景区互不相同，

则这三人的不同选择方法共有（）

A.96种B.100种C.108种D.120种

3.某公司的一个部门有6名男员工和4名女员工，从该部门选3人组成一个项目组，要求该项目组男、女

员工都有，则不同的选法种数为（）

A.84B.90C.96D.100

4.从分别标有I,2,3,4,5的5个小球中无放回地随机摸取2个，则摸到的2个小球上数字之和是2的

倍数的概率为（）

3231

A.-B.-C.—D.—

55105

5.甲、乙、丙三位教师指导六名学生。、b、c、d、e、/参加全国高中数学联赛，若每位教师至少指导一名

学生，其中甲指导三名学生，则共有（）种分配方案

A.90B.120C.150D.240

6.2025年1月7日9时5分，西藏自治区日喀则市定日县发生6.8级地震.现从各省共抽派7支抢险工作

队前往5个灾区县救援，要求每个受灾县至少有一个工作队的方法种数共有（）

A.1800B.16800C.14280D.25200

二、填空题

7.第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行，期间将3名志愿者小李、小张、

小明分配到4,B两个场馆服务，每个场馆至少分配一名，恰好小李与小明分到一个场馆的概率为一.

8.现有10本不同的书，分给甲、乙、丙等六人，其中一人得3本、两人得2本、三人得1本，则不同分

法的种数是.（用排列数、组合数表示）

9.有一-摸球游戏，规则如下：在盒子里放大小、质地完全相同的5个红球和10个白球，不放回地依次随

机取出，每次取出1个球，直到剩下只有一种颜色的球时结束.则最后只剩红球的概率为.

10.在平面直角坐标系*Qy中，横坐标与纵坐标都是整数的点叫做整点，从整点（尤力到整点（1+1,严1）或

（x+l,y-1）的有向线段叫做一个7步，从整点4到整点B的一条r路是指由若干个r步组成的起点为4、终

点为B的有向折线.则整点M（l,2）到整点N（7,4）的「步的条数为.（结果用数字表示）

II.（1）某校准备组建一个由12人组成的篮球队，这12人由8个班的学生组成，每班至少1人，名额分

配方案共有一种.

（2）某校准备组建一个由12人组成的篮球队，这12人由8个班的学生组成，名额分配方案共有一种.

12.已知数列｛q｝共10项，4=。90=2。且｛〃山〃=%句一生1＜上＜9#€用=｛123｝.若满足4“一%=1的攵

共有奇数个，则满足条件的不同数列的个数为.

13.盒子中有5个小球，分别标有数字为1,2,3,4,5,这些小球除数字外完全相同，现从中依次随机抽

取2个小球（不放回），记取出的两个小球数字分别为加和〃，使得关于x的一元二次方程/+〃a+〃=（）有

实数根的概率为.

14.现有6个形状、大小完全相同但颜色均不相同的小球，甲、乙两人采用不同方式分别从中拿取3个球：

甲从所有球中一次性随机抽取3个；乙将小球平均分为4B两堆后，先从A堆中一次性取，・个，再从8堆

中一次性取3T个（0WiW3）,则乙的不同取法种数比甲多种.

15.学校开展班级轮值活动，高二某班有AB,C,。四个轮值小组负责甲、乙、丙三个地点的站岗值班任

务，每个小组负责一个地点，每个地点至少有一个小组负责，且A小组不去甲地点，则不同的任务分配方

法种数为.（用数字作答）

能力提升

I.某班5名学生负责校内3个不同地段的卫生工作.每名学生都要参与且只负责某个地段的卫生工作，

每个地段至少有1名学生的分配方案共有（）

A.300种B.90种C.240种D.150种

2.某校的教学楼每层楼有13级台阶，一名教师从一楼到二楼，每次可以选择跨1级、2级、3级台阶，但

固定最后一步不能跨3级台阶（避免台阶过高摔倒），那么该教师一共有（）种不同的走法.

A.1049B.1144C.1431D.1705

3.（多选）将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少分得I本，则下列说法正确的是（）

A.若甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则有60种方案

B.若每人分得2本，则有90种方案

C.若三人分得书本数互不相同，则有360种方案

D.共有450种分配方案

4.（多选）现有4个编号为1,2,3,4的盒子和4个编号为1,2,3,4的小球，要求把4个小球全部放

进盒子中，则下列结论不正确的有（）

A.没有空盒子的方法共有16种

B.有空盒子的方法共有256种

C.恰有1个盒子不放球的方法共有144种

D.没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种

5.在一个不透明的袋子中装有4个形状大小相同、颜色互不相同的小球，某人先后两次任意摸取小球（每

次至少摸取1个小球），第一次摸取后记下摸到的小球颜色，再洛摸到的小球放回袋中；第二次摸取后，也

记下摸到的小球颜色，则“两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下”的概率

为.

6.（多选）某校安排甲、乙、丙、丁