人教版高中数学必修第二册题型考点讲义：解三角形中周长最大值及取值范围问题（解析版）

第14讲解三角形中周长最大值及取值范■巳问题

【知识梳理】

-:解三角形中角的最值及范围问题

0<A<乃

①利用锐角=角形，Av万，求出角的范围

0<C<7T

7，2，2

②利用余弦定理及基本不等式求角的最值：cosA=b+C-a~>2bc-a

2hc2bc

-:解三角形中周长的最值及范围问题

①利用基本不等式：cosAJ+-j3+c)-2bc-a-,再利用。十。之2痴及。+c>〃,求出

2bc2bc

b+c的取值范围

②利用三角函数思想：/?+c=2Rsin4+2RsinC=2Rsin8+2Rsin(4+5),结合辅助角公式及三角函

数求最值

题型一：三角形角的最值问题

【例1】在“8。中，内角A,3,C的对边分别为a,b,c,且sin8+sinC=2sinA,则A的最大值为

()

2n-兀_7i一冗

A.彳B.-C.-D.-

3o23

【答案】D

【分析】利用正弦定理可转化sinB+sinC=2sinA为b+c=〃，结合均值不等式以及余弦定理

.b~C~~(i~-/An

cosA=---------可r得B解

2bc

【详解】因为sin8+sinC=2sinH,由正弦定理

所以Z?+c=2z.

因为〃+/之色二£)_=2々2,bc<"+c、

2

p、iAb-+c--a~、〃一、］

所以cosA=-------------2-----N—

2bc2bc2

当且仅当〃=。时，等号成立，所以A的最大值为上.

故选：D

【例2】在“8。中，角4,8,C的对边分别为a,b,c,若*cos8+c=0,贝hanC的最大值是(

A.IB.近C.巫D.G

32

【答案】B

【分析】根据已知及余弦定理可得/+2/="再由cosC=4^自三及基本不等式求。的范围，

进而

lab

求tanC的最大值.

【详解】由余弦定理，2acosB+c="+'-"+c=(),即/+2/=〃，

c

而cosC=土“亚=3<f量皿;正当且仅当力=小时等号成立，

2ab4ab4ab2

7Fjr

又0<。<乃,^0<C<-，故,

oo

所以tanC的最大值是巫.

3

故选：B

【例3】锐角的内角A,B,C的对边分别为〃/,。.若方-a=2acosC，则()

A.C=2AB.A的取值范围是总中

的取值范围是

C.A=2CD.m(2&,2G)

【答案】ABD

【分析】由正弦定理结合三角恒等变换得出c=2A,再由锐角三角形的定义得出,再由

2c2sinC2sin2A4sin4cosA

=4cosA求解即可.

asinAsinAsinA

【详解】由正弦定理可知,sinB-sinA=2sinAcosC,sin(A+C)-sinA=2sinAcosC,

sin/AcosC+cos/lsinC-sinA=2sinAcosC,即S皿4=5出(。一勺，所以A=C-A,C=2A,因为AABC是

0<2A<-

2

锐角三角形，所以，解得"A*,

264

0<^-3A<-

2

2c2sinC2sin2A4sinAcosA

=4cosAe(2j2,2j3)

asinAsinAsinA

故选：ABD

【例4】已知在锐角"比中,皿4=焉

（1）证明：B=2A；

,、tan4-tanA

⑵求1+tanAtanB的取值范制

【答案】（1）证明见解析

⑵用］

【分析】（1）化简题干条件得到sin4=sin（B-A）,从而根据“SC是锐角三角形，得到4=,得到

B=2A;

7in

（2）先根据锐角三角形得到Aw,再逆用正切的差角公式，结合第一问的结论得到

6,4

lanB-tanA

----------------=tanAG

1+tart4-tanfi

(1)

sinAsin5

证明：由tanA=知：

cosA1+cosB

sia4(1+cosB)=sinBcosA,

即sinA+sinAcosA=sinBCosA,

所以sinA=sinBcosA-sinAcosB=sin(8-A),

因为△A8C是锐角三角形.

所以,

），=sinr在卜卦）上单调递增,

所以4=8—A,即8=2A.

(2)

由锐角AABC知：Ae（°，]）,8=2Ae（0,5）,C=兀一A—8=兀-3Ae（0,1）,

解得：Ae值*

tanB-tanA_八|V3,]

故-----------=tanl{fi-A）=tan4Ae——，1.

1+tanAtanB'）3）

【题型专练】

1.在锐角三角形ABC中，角A8.C所对的边分别为“Ac、，若b+AoS=acos3，则（）

A.A=2BB.—<B<—

64

C.怖€（1,a）D.a2=b2+bc

【答案】ABD

【分析】由正弦定理将条件转化为角的关系，判断A,结合内角和定理和条件及余弦函数的性质判断B,

C,由余弦定理将条件转化为边的关系，判断D.

【详解】因为h+AosA=acos3，由正弦定理可得

sinB+sinBcosA=sinAcosB,

所以sinB=sin（A-A）,

又AABC为锐角三角形，所以Ae（。,5）,fiefo.jj,

所以,正弦函数），=sinx在1-nJ上单调递增，

所以4一8=2,所以A=2A,A正确；

因为为锐角三角形，所以{w[0,方

Be0,-—<A+B,

l2J2

所以0<2A<C,0<B<-,-<2B+B<7r,

222

所以会正确;

因为A=28,所以sinA=sin2B=2sinbcosB,

所以a=2bcosB,

所以广28s九因为“八;

所以,C错误；

因为〃+/xosA=acosB,由余弦定理可得

.,b-+c--a~a~+c'-b~

b+b-------------=a--------------

2bc2ac

PJrW?r/?+/r+r2-a2=a2+c2-b2,

所以,D正确，

故选：ABD.

29

2.在锐角“8C中，角A,8,C的对边分别为a,"c,"SC的面积为S,若sin(4+C)=不一，则

b~-a~

⑶小而Si的取值范围为()

A.B.C.D.

【答案】C

【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出A8关系后求解

【详解】在AABC中，sin(4+C)=sin8,S=JocsinB,

故题干条件可化为从-/=改，曰余弦定理得从=42+c2—2accosb,

故c=2acos8+。，又由正弦定理化简得：

sinC=2sinAcossinA=sinAcosB+cosAsinB,

整理得sin(B-A)=sin4,故8—A=4或B—A=兀一A(舍去),得8=2A

0<A<—

2

为锐角三角形，故0<2A<、解得会"后，故gvtanAG

0<TT-3A<—

2

1_^

tanA+=tanA+e

3tan(4—A)3tanX

故选：C

题型二：三角形边周长的最值问题

【例1】已知&48C的内角A&C的对应边分别为4,"c,c=6,8=60。，则b的最小值为（）

A.3B.26C.3gD.6

【答案】C

【分析】根据正弦定理得6=辿，再结合C«0,120）求解即可.

sinC

由正弦定理会.csinB35/3

【详解】解：付b=----=---

sinCsinCsinC

因为8=60°,所以Ce（0,120）,

所以当sinC=l时，）=喀0=上叵有最小值3人.

sinCsinC

故选：C

【例2］设△,边/…所对的角分别为4,4。若的面积为器/,则以下结论中正确的是

（）

A.2+?取不到最小值2

ab

B.2+：的最大值为4

ab

C.角C的最大值为g

D.2+f一生.的最小值为_2而

ahah

【答案】BCD

【分析】根据三角形得面积公式及余弦定理化简可得4sMe+升再结合基本不等式即可判断

AB;从而可求出得范围，即可判断C;利用正弦定理化边为角，再结合三角恒等变换即可判断

D.

22

【详解】解：2低=("sin。=聆。2f.^sinC=V3(«+b-^cosC),

6sinC+2\/3cosC=

ab

4sinIC+—j=—+—

I6)ba

因为#之2唇=2,当且仅当？琮，即时，取等号，

此时C=§可取到，故A错；

当C+g=弓时，4sin1c+£)=4,...(f+2]=4,故B对；

a

62I。7mttxI「/max

v4sinfc+^>2,..q<C+g泮,/.0<C<^，即角C的最大值为名，故C对;

\oy66633

-+---=2^sinC+2cosC-6>/3sinC=2cosC-4A/3sinC

abab

=2A/13COS(C+^),其中tan/=2x/5>6,故可令告，

2兀

由0<C4可，得C+好,且。+。=兀有解，

所以[2X/HCOS(C+°“=-2>/13,

即2+：-年的最小值为_2而，故D对.

abab

故选：BCD.

【例3】已知△ABC的内角A、B、。所对的边长分别为“、/八c,且

〃（2sin4-sin"）=2（c-b）（sin"+sinC）,若人方=2/）方，,口=1,求：

（1）求cos（4+4）的值；

⑵求〃+2〃的最大值.

【答案】（D-1，⑵鼠因

45

【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理求出cosC的值，再利用诱导公式可求得cos（A+8）的值;

（2）解法一：根据cosNADC+ccs/8DC=0结合余弦定理可得出4/+〃+必=9,利用基本不等式可求

得2a+匕的最大值;

解法二：由向量的线性运算可得出3而=瓦+2国，利用平面向量数量积的运算可得出4/+/+,活=9,

利用基本不等式可求得2〃十人的最大值.

【详解】(1)解：由已知和正弦定理得a(2a—»=2(c—〃)(c+〃)n/+/一/二3。^,

由余弦定理可得cosC二"士生工=，,

2ab4

所以COS(A+8)=COS(TI-C)=-COSC=一“

(2)解：法一:♦;NA/)C+NBDC=7t，贝ijcosN8£>C=cos(TT-NADC)=—cosNADC,

[2C22124c~,j

r।<ai।〃z>42

由cosZADC+cosN8DC=0得——^―+----=0=2l2+--a2+12+--Z?2=0,

2xlx-2xlx—\9)9

33

2(22)

gp3+-?-Z?2-2«2=0=>c2|2«+Z>-3,

3

又AABC中COSC=L=J±/LZ£l=c2=q2+b2一丝，

4lab2

MFo|(2a24-/?2-3)=6/2+/22-y=>4«2+Z?2+^=9,

^(b+2a)2=9+3/=9+；(2a/)49+g(^^

所以（6+2〃）2工弓=2。+/^^（当且仅当〃二为时取等号）,

故〃+2〃的最大值为迎.

5

法二：由而二2丽=比一第二2（而一丽）=3瓦=五+2而

所以，9CD=CA'+4CB+4CB-CA=b2+4a2+4«/?cosAACB,

gp9=b'+4a2+ah,

艮|](Z?+2a『=9+3H=9+3(2a/)49+3("+2"

22\2

所以s+2dq=>2a+b<^~（当且仅当〃=2«时取等号）.

故3+2〃的最大值为也.

5

[例4]AABC的内角A,3,C所对的边分别为a,b,c,已知cos24+cos28+2sinAsinB=l+cos2C.

(1)求角C；

⑵设Q为边48的中点，△ABC的面积为3百，求C。的最小值.

【答案】(1)彳；(2)3.

【分析】(1)利用三角恒等变换以及正余弦定理，化简即可；

(2)根据三角形面积公式，结合中线的向量表达形式，以及不等式，即可求得结果.

【详解】(1)cos2A+cos2/3+2sinAsin/6=l+cos2C,BPl-2sin2A+l-2sin2«+2sin4sin=2-2sin2C,

由IF弦定理可得X+〃2—产=,小结合余定理可可得co*C=Z+"二一

2ab2

又C«0/),故可得c=g.

J

(2)由三角形面积可得S=」sinC-4〃=Lx立xa/?=3\/J，解得出?=12;

222

CD=^(CA+CB),故|丽卜g+年与『+2C/(•>+〃+2abxcosg

又

即屈=3,当且仅当4=8=275时取得等号.

故C。的最小值为3.

【例5】AABC三角形的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(--b)sinA+(2b-a)sinB=2csinC

⑴求/C；

(2)已知c=6,求“IBC周长的最大值.

【答案】(1)NC=。,(2)18

【分析】(1)利用正弦定理将角化为边，整理等式，根据余弦定理，可得答案；

(2)利用换元，整理周长的函数表示，根据基本不等式，求得变量的范围，可得答案.

【详解】(1)由(加一Z^sinA+QZj-GsinBuZcsinC,根据正弦定理,可得(2a-〃)a+(3-a)0=2uc,整

理可得〃2+〃2_。2=,力

由余弦定理，cosC==W=!，由Ce(°，")，则C=I

2ab2ab23

(2)由(1)可知,a2+b2-36=ab,(a+b)2=3ab+36,

由/+〃N2时,当且仅当。=b时，等号成立，贝I]仍+36之皿，即H”36,

故SBC周长a+Z?+c=J3ab+36+6KJ3x36+36+6=]8.当a=〃=6时等号成立

【题型专练】

cb

1.在“IBC中，内角A,B,。所对的边分别为〃，力，c,满足sinA=2sin8sinC，则工+-的最大值为

bc

,此时内角4的值为

【答案】2拒:

【分析】由TF弦定理可得〃2=筋个g人,结合余弦定理和辅助角公式、正弦函数的最值,可得所求角.

【详解】解：由sinA=2sin8sinC，根据正弦定理'三二二二二不，可得合二功八足人，再由余弦定理

sinAsinBsinC

得cosA="』‘二",贝|Jb2+c2=3c(cosA+sinA),

2bc

所以£+”-J网cosA+fnA)A+C0S4)=2衣4人+0,

bebebeI4J'

又Ae(0,兀)，当时，sin(A+f)取得最大值1,则+取得最大值2a.

44cb

故答案为：2&；£

4

2.在平面四边形48CO中，AB=AD=20,^BAD=^,/BCD娱.

JJ

(2)求四边形A8CO周长的最大值.

【答案】⑴4绡;⑵40+竽

【分析】（1）分析可知为等边三角形，求出8D的长，以及NBDC,利用正弦定理可求得4c的

长；

（2）利用余弦定理结合基本不等式可求得8C+CD的最大值，进而可求得四边形A8CD周长的最大值.

【详解】（1）解：连接班），

因为A8=AO=20,ZBAD=-，故△A83为等边三角形，80=20,

3

ZCBD=ZABC-ZABD=—--=—，典］NBDC=兀一NBCD—NCBD=N,

1231214'

Z^Dsin-

BDBC420几

由正弦定理得,所以，BC-

2花亍

sinZBCDsinNBDCsin

3

(2)解：由余弦定理可得400=8。？=4C2+C/y-2BCCOcosw=AC2+C/>+BCC。

=(BC+CDY-BC.CDZ(BC+CD”BC+：Df=3(BC：CDf

所以，BC+CD<^^,当且仅当8C=CO=3史时，等号成立.

33

因此，四边形A8CO周长的最大值为40+必3.

3

3.在条件：①2/?sin4-岛=0,②a=®sinA-acosB,③2a=2Z?cosC+c中任选一个，补充在下列

问题中，然后解答补充完整的题目.

已知。”，。分别为锐角△ABC的三个内角人，B，。的对边，〃=2百,而且

（1）求角6的大小：

(2)求aABC周长的最大值.

【答案】(D?；(2)673

【分析】(1)利用正弦定理进行边角互换，再利用三角函数的公式进行整理，最后根据△A8C为锐角三角

形得到8；

(2)利用余弦定理得到〃，。的关系式，再利用基本不等式求最值即可.

(1)

选©：2〃sinA-Jia=0=2sinBsinA-GsinA=0,因为A为锐角，所以sinAwO,上式可以整理为

sinB=^,又5为锐角，所以8=f.

23

诜②：<7=>/ihs;in4—r/cos/?^>sinA=V3«;in/?sin4—sin4cos/?,因为A为锐角，所以sinA#0,上式可以

整理为I=6sin8—cos4=2sin(8q),又8为锐角，所以解得B=g.

选③：2a=2/?cosC+c=>2sinA=2sinBcosC+sinC=>2sin(5+C)=2sinBcosC+sinC

=>2cosBsinC=sinC,因为。为锐角，所以sinCwO,cosB=；,又8为锐角，所以B=g.

4J

(2)

由；1)得cosB」J+C-T2,整理得：a2+c2-n=ac,gl(«+c)2-12=3«c<3f—>l,解得

2lac'，I2J

a+c"6,当且仅当〃=c=2石时，“=”成立，此时，△48C为等边三角形，满足题意，

由于AABC的周长为n+b+c,所以周长的最大值为6G.

4.AABC中,sin2A-sin5-sin2C=sinfisinC.

(1)求4；

(2)若8c=3,求△/WC周长的最大值.

【答案】(1)蔓；(2)3+26

【分析】【详解】

(I)由正弦定理可得：BC2-AC2-Af32=ACA8

AC?+.-BC?]_

cosA=

2ACAB2

•・•Aw(O,万)

3

(2)由余弦定理得：BC2=AC2+AB2-2AC-ABcosA=AC2+AB2+ACAB=9,

即(4C+A8『-ACAB=9.

-,-ACAB<(当且仅当AC=A5时取等号)，

I2,

9=(AC+AB)2-ACAB>(AC+AB)2=^(AC+AB)2,

解得：AC+AB<2>/3(当且仅当AC=A3时取等号)，

「.△ABC周长L=AC+A8+3CW3+2G,「.△ABC周长的最大值为3+2JL

5.已知a,h,c分别为△A8C三个内角A,B,C的对边，«(cosC+V3sinC)=/?+c.

(1)求角A；

(2)若a=5,求的周长的最大值.

解析:(1)由题意知a(cosC+GsinC)=/〉+c=sinA(cosC+>/^sinC)=sinB+sinC,所以

sinA(cosC+>/5sincj=sin(A+C)+sinC,即sinAcosC+>/5sinAsinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC

即石sinAsinC=cosAsinC+sinC,因sinCVO，所以V^sin4-cosA=1,即2sin(A—=1

又〈OvA〈乃,,所以A-1=]，所以4=g

663

22122

(2)由余弦定理得：a=b+C-2bccosA=b+c-be=25，即p+c)?-3Z?・c=25.

・.・〃.c(警)(当且仅当人=c时取等号)，

25=(Z?+c)2-3Z?c>(Z?+c)2-3=；(/?+「『，

解得：h+c<U)(当且仅当〃=c时取等号)，5c周长L=a+〃+c<5+10=15,.•.△ABC周长的

最大值为15.

题型三：三角形边周长的最值范围问题

【例1】在锐角中，内角4.丛C所对的边分别为.若c=l,B=,则。的取值范围为

；sinAsinC的最大值为.

【答案】佟21]##0.75

U)4

【分析】利用正弦定理可得〃=剪金，结合三角恒等变换知识及C的范围可化简得到。=,+且•」一,

sinC22tanC

由C的范围可求得tanC的范围，进而得到"的范围;利用两角和差正弦公式、二倍角和辅助角公式可化简

得到sinAsinC=Esin[2C-‘+-根据正弦型函数最值的求法可求得结果.

1

sin(兀一(8+C))sin(4+C)上cosC+^sinC]&osC;

【详解】由正弦定理得：csinAC

a=-----

sinCsinCsinCsinC22sinC

小，2兀「兀

0<A=----C<—

32

=g,AABC为锐角三角形，7,，

0<C<^62

2

...〜八.1Gl

22tanC

,/tanCe——,-KO,.\0<―!—<、口，.二<”2,即〃的取值范围为R,21；

IJJtanCz㈠7

,/sini4sinC=sin(B+C)sinC=(gcosC+；sinC)sinC=1与1

—sinCcosC+—sin2C

22

石.l-cos2C_^.__1,、^厂J_1、.TT]1

sin2C+sin2Ccos2C+sin2C——；

144442I6yl4

v-<C<-,：.-<2C--<—，二:<sin(2C—g]«l,

62666,216)

[九、3

.,.当sin2C--=1时，sinAsinC取得最大值二.

I614

故答案为：fl2^；

U；4

【例2】设“IBC的内角A,B,C的对边分别为〃，b,c已知。=6,b=2,要使为钝角三角

形，贝ijc的大小可取（取整数值，答案不唯一）.

【答案】5（填7也对，答案不唯一）

【分析】利用三角形两边和与差点关系，求出4vcv8,再分别讨论〃和c为钝角时，边。的取值范围，根

据题意即可得到答案.

【详解】首先由〃，b,c构成三角形有4=a-Z?vcva+〃=8,

若c为钝角所对边，有>a2+b2=40,c>>/40,

若“为钝角所对边，有36=">从+c?=4+/,c<>/32,

由〃<a,人不可能为钝角所对功,

综上，c的取值范围是卜，病）U（屈，8）,

由题意，。取整数值，故c的大小可取5或7.

故答案为：5（填7也对，答案不唯一）.

【例3】在锐角中，内角A,B,C所对的边分别是且Wm=cosC.

2b

（1）求角〃的大小；

（2）求色的取值范围.

c

【答案】（1）8=9

⑵加

【分析】（1）利用正弦定理的边角互化即可求解；（2）结合（1）中条件，利用正弦定理的边角互化以及三角恒

等变换即可求解.

【详解】（1）由正弦定理可得，“阮11A_s,11。=cosC,

2smB

即2sinA=2sin3cosc+sinC.

因为sinA=sin（^+C）=sin^cosC+cosBsinC

所以2sinAcosC+2cosBsinC=2sinBcosC+sinC,

即2cosBsinC=sinC.

因为Ce（0,乃）,所以sinCwO,则cos/3=g.

因为8£（0,不），所以B=

（2）由（1）中可知，A+C=n-B=y,则人=争一。,

由正弦定理可知，jsinAj唁.）_*osC+料C&j,

csinCsinCsinC2tanC2

0<C<-,

因为AABC为锐角三角形，所以;，则gvc<g,

0<A3—C<&,62

32

所以tanC>包,

3

,,_1a一

从而「〈一<2.

2c

故［的取值范围为2.

【例4】平面四边形ABC。中，NA=/8=NC=75,AB=2,则A。长度的取值范围________.

【答案】（。，水十女）

【分析】平行移动C。,当。与。重合于£点时，AO最长；当人与。重合时（即图中人尸位置），A。最

短.

如图所示，延长4。，BC交于E,

平行移动CO,当。与/）重合于E点时，AO最长，

ARAK

在中，NA=NB=75：Z£=30,AB=2,由正弦定理可得./匚

sinZEsinNB

24石居+6

即------=——,sin75°=sin(45°+30°)=sin45"cos30"+cos45"sin300=--

sin31rsin750v)4

解得="+;

平行移动co,到图中AP位置，即当A与。重合时，A。最短，为（）.

综上可得，长度的取值范围为仅，#+应）

故答案为：倒,而+行）.

【例5】某公园有一块等腰直角三角形的空地4BC,其中斜边的长度为400米，现欲在边界BC上选

择一点P,修建观赏小径PM,PA/,其中M,N分别在边界AB,AC上，小径PM,PN与边界的夹角

都是60。，区域和区域PNC内部种郁金香，区域4MPN底种植月季花.

⑴探究：观赏小径PM,PN的长度之和是否为定值？请说明理由；

（2）为深度体验观赏，准备在月季花区城内修建小径MN,当点尸在何处时，三条小径（PM,PN,MN）的

长度之和最少？

【答案】（1）为定值，理由见解析

（2）P为8c中点，600（73-1）

【分析】（1）在和△OW中分别利用正弦定理即可求得尸M与PN的长度之和；

⑵在△尸MN中利用MN边的余弦定理，再根据两边的积与和的基本不等式求解即可；

【详解】（1）在4BPM中，NBMP~1800-60°-45。-75°,

PMPB

由正弦定理可得：

sinNB-sin/BMP

即尸M=sm45o.P8=2pB=4_\以

sin75°a+丁

同理可得尸N=（V5-I）PC,

所以PM+PN=(6-1)(PC+PB)=(石-l)BC=400(石-1)为定值;

(2)解：在△PMN中，由余弦定理可得：

MN2=PM1+PN?-2PM•PNO。,

即MN?=(PM+PN)2-3PMPN>{PM+呐产—3x(尸知1,

4

…，2(PM+PN?+PN

所以---------,MNN--------,

42

又由(1)有2M+PN=400(6—1),

故WN2200(G-l),当且仅当PM=PN=200(6-1)时等号成立.

故当。点是MN的中点时，三条小径(PM,PN,MN)的长度之和最小，最小为600(6-1)

【例6】请从下面三个条件中任诜一个，补充在下面的横线上，并解答.

①(a+c)(sinA-sinC)+(/?-6/)sin3=0;

②25/5sinCcosC=1+2cos2c；

@2sinB-sinA=2sinCcosA.

在zkABC中，内角A,A,C的对边分别是a,b,c,若.

(1)求角C；

(2)若c=4,求△AAC周长的取值范围.

【答案】⑴C=?,(2)(8,12].

【分析】(1)(D利用正弦定理进行边角互换，得至，然后利用余弦定理求C即可；

②利用二倍角公式和辅助角公式进行化简得到sin(2C-^]=l,然后根据0<C<万解方程即可；

③根据内角和、诱导公式和和差公式得到sin5=sin(4+C)=sinAcosC+cos4sinC，代入原式得到

cosC=^,即可得到C;

(2)利用余弦定理和基本不等式得到。+人48,再根据三角形三边关系得到〃+力>。=4,即可得到周长的

范围.

［详解］(］)选①,由(a+c)(sinA_sinC)+(Z?-a)sin8=0得：

(a+c)(«-c)+/?(/?-«)=0,

fiPa2+h2-c2=ab,

:22

P、I八cz+b-cI

所以cosC=-------------=-,

2ab2

因为0<C〈乃,

故角C=?；

选②,由2石sinC8sC=l+2cos2c得:

Cc.ct^C=2+cos?C,

-cos2C+V3sin2C=2sinf2C--l=2,

k6)

所以sin(2C-高=1,

因为0<。<4，-gv2C-J<当，

666

所以2C-g=1,

o2

解得：C=j;

选③，因为2sin3-sinA=2sinCcosA,

又因为sin8=sin［乃一(A+C)］=sin(A+C)=sinAcosC+sinCeos4,

所以2(sinCeos人+cosCsin/l)-sinA=2sinCeosA,

2coscsinA-sinA=0,

••0<Av万,

•••sinAwO,

:.cosC=—,

因为Cc(O,万)，

所以c=9.

(2)根据(1)可知：C=y,

又因为C=4,

由余弦定理得：c2=a2+b2-2cibcosC=(a+b)2-3ab=\6,

所以3"=(a+〃)2—16W3(°；b),

即〃+,当且仅当“=〃=4时取得等号，

又因为根据三角形的三边关系有:a+b>c=4

所以8va+c+bW12,

所以AABC周长的取值范围为(8,12].

【例7】在△ABC中为角AB,C所对的边，且上丝=/一.

cosc2a-c

(1)求角8的值；

(2)若。=石，求为-c•的取值范闻

【答案】⑴8=，⑵(一瓜2省).

【分析】(1)由正弦定理化简已知等式可得2cosBsin/l=sin(B+C),由三角形内角和定理即sinAxO,可

得cos3=；,又8为三角形的内角，即可解得8的值.

(2)由〃=逐,8=三，结合正弦定理得〃=2sinA,c=2sinC，且。=会—A，将2cLe转化为关于角A的

正弦型函数，利用正弦型函数求取值范围即可.

【详解】(1)解：由正弦定理啖二号二*:,可得：岑、.s”,

sinAsin8smCcosC2sinA—sinC

可得2cosAsinA-cosAsinC=sin8cosc，即2cosBsinA=sin(B+C),

vA+B+C=n,/.sin(8+C)=sin(7t-A)=sinA

/.2cosBsinA=sinA,又4E(0,兀),则sinA/0

二.cos8=1,

2，

v5e(0,7i),.•.8=：.

J

abc6

(2)解：b=6,8=鼻,正弦定理得：sinAsinBsinCJ5

2

GO(OTT\

.•.a=2sinA,c=2sinC，其中A+C=7t—B=』,：.C=--A，且Aw0,--

33\3/

・••加-c的取值范围是卜石,2石).

【例8】在△48C中，内角A,B,C的对边分别为4〃,c,H«sinA=c(sinC-2sinB)+/?(sinC+sinB).

(1)求角A;

(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围.

2a

【答案】(1)A=?;

⑵卜器)

【解析】

【分析】

(1)角换边，在利用余弦定理求解；

(2)边换角，将待求表达式表示成关于8的三角函数，利用锐角三角形条件求出4的范围，最后再求表达

式的范围即可.

(1)

因为asinA=c(sinC-2sin8)+〃(sinC+sin8),所以由正弦定理得片二c(c-2Z?)+〃(c+〃)，整理得

b2^c2-a2=bc,由余弦定理得cosA==(.因为0＜八〈万,所以A=g.