辽宁省部分学校2025-2026学年高二年级上册9月联考数学试题

辽宁省部分学校2025-2026学年高二上学期9月联考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

I.复数z=2Tli的虚部为（）

A.-HiB.2C.11D.T1

2.在V/8C中，cosC=—=4,贝小'48。外接圆的面积为（）

3

A.36兀B.24兀C.48兀D.144兀

3.已知向量5I满足H=2,且〈万,0=1200,则万在％上的投影的数量为（）

A.-3B.-1C.TD.1

（71

4已知tar/?—~,贝iJcos(a——/?)=()

2V15-V30DV30+V152而-屈昭-2痴

-------------O.------------

ISISISIS

5.如图，水平放置的V/8C的斜二测直观图为△48C,若48=4G=2,B，C，=2.、/2,

则8。=（）

c/y'

C.4、/2D.2-；3

6.若点P（4,—3）在角。的终边上，则。。S（2。―.）呼・叽（）

sin（7t-a）

7.若2了4+石工+g=『，S.Q,S”"分别表示△力。。，△BOC的面积，则S△的：S^80C=

（）

A.3:5B.2:3C.1:6D.1:2

8.如图，这是一副直角三角板组成的平面图形，从中抽象出四边形力88,其中上必。二600,

4B=1,ABA_BD,BC±CDtBC=CD.现将△88沿着3。折起，连接力C,得到三

棱锥。一力4。，取力。,8。的中点分别为E,尸，连接CE,CF,EF.若上CFE=300,则直线彳。

试卷第I页，共4页

与平面CE”所成的角为（）

C

A.300B.450C.600D.750

二、多选题

9.已知复数4=5-8i,z2=9i,则（）

A.马是纯虚数B.于在复平面内对应的点位于第二象限

C.z,=5+8iD.kl=81

10.下列关于向量的说法中，正确的是（

TT

A.若方,bl/c,则万/产

B.若方石=0,则方/b

C.若万,b同向，则，+人|二月+，

D.若万工不共线，则归工M

II.已知函数小）=2sin（⑦1+。）（。＞0,刨4的最小正周期为2兀，旦。6"3«/看

则（）

A.©=2

71

B.（p=-

C./（x）在（0,2兀）上恰有4个零点

D.将/«）的图象向右平移当、单位长度后得到一个偶函数的图象

三、填空题

试卷第2页，共4页

12.一扇形的圆心角为30。，半径为4,则弧长为,该扇形的面积为.

13.某圆台的上、下底面半径和高的比为1:4:4,若母线长为15,则该圆台的侧面积为.

14.如图，在圆C(。为圆心)中，弦43的长度为8,则了乙7/一二.

四、解答题

<2几、

15.已知函数/(x);sin2x+—

(1)求曲线y=/(x)的对称轴方程:

⑵求/'(x)在H上的值域.

16.如图，在直三棱柱43C—小华G中，DE分别是力氏8名的中点.

(1)证明：8G〃平面小。。.

(2)设44=力。=。4=2。彳，AB=4.

①证明：。七_1_平面小。7).

②求点O到平面小。上的距离.

Q

17.VABC的内角43,C的对边分别为。也c,已知sinC(acos3+bcosA)=2csin2—.

(1)求。.

试卷第3页，共4页

(2)已知点。在线段48上，且BC=BD=2,sinZJCD=—.

6

①求C。：

②求△4CQ的面积.

18.如图，在V48c中，D,E分别为边力反8C上的点，且4D:DB=BE:EC=2:l,4E与

CD交于前P，记二尸二力工，DP=/JCR,CA=j.CB=鼠

(1)求4和〃的值，并用，力表示6尸1SA；

⑵阳=I,b=2,d,b,求ALT与，7一夹角的余弦值.

19.如图1,在V/8C中，BC=2.s/2,上4=6()。，4C的垂直平分线OE与/C,"分别交

于点O,E,且DE二百,沿。石将△力石。折起至△/7ED的位置.，得到四棱锥"一4CDE,

如图2.

A

⑴场。=•、/6.

①证明：FD±BE.

②已知万一工二才。-丁，是否存在实数人使得。尸〃平面8E户？若存在，请求出4：若不存在,

请说明理由.

(2)若C产与平面BCQE所成的角为600，求二面角F—EC-D的余弦值.

试卷第4页，共4页

《辽宁省部分学校2025-2026学年高二上学期9月联考数学试题》参考答案

题号12345678910

答案DABCBADCACBC

题号11

答案BD

I.D

【分析】根据虚部定义求解

【详解】复数z=2—Ui的虚部为一II.

故选：D.

2.A

【分析】根据题意，求得sinC=；,设V/8C外接圆的半径为公,结合正弦定理，即可求

解.

【详解】由8$。=迎且C£（0,兀），所以sinC'=sin^-

32

设V48C外接圆的半径为R,

4B

因为44=4,所以2R=「；=12,所以〃=6,故V/18C外接圆的面积为36兀.

sinC

故选:A.

3.B

【分析】根据投影数早•的定义求解即可.

【详解】）在:上的投影的数量为Wcos（aB）=2x1-5j=-i

故选：B.

4.C

【分析】先根据6。的范围求出cosa.sinG,cos。，然后根据和差倍角的余弦公式求出结果.

【详解】由题意可知cosa=—."，sinB=—逐，cos。：一?、万，

355

所以ocs(a-/?)=cosaeo^3+珀幻如中=-^xJ毡.)包(_6)=晅出厂/.

5,I31(5,15

故选：C.

5.B

【分析】利用斜二测画法还原，再解三角形计算即可.

【详解】因为4"，=4。=2,B，C=2•、为，所以4。_1_.4心，.

答案第1页，共12页

因为上。。少=45。，所以0，。=2-J2,=2,所以（78,=4.

还原直观图得到V/14C,如图所示.

因为03=4,。。=4・、/2,所以8c=，4?+（4及『=4".

故选：B

6.A

42cos^<z—1

【分析】先由三角函数的定义，得到cosa=二，再化简原式为一，代入计算，即

scosa

可求解.

【详解】由点尸（4,一3）在角。的终边上，可得cosa=g

cos（2cr-3兀）.tan（cr—it）-cos2a.tana2cos七一17

则/\===.

sin（兀—a）sinacosa20

故选：A.

7.D

【分析】作出辅助线，得到。-FT二一2。一万，所以三点共线，根据面积关系得到

SoAOC:S&BOC=1:2.

【详解】如图，设£>,E分别是4C,4c的中点.

因粒。C0B+笫7=2（。1+。0+（。8+。0=「，所以方方+如工=6,

财丁=-2o"/3，所以。，。，七三点共线，

又OE=2OD,故Se/wc:S，EOC=1：2,

DE为VABC的中位线，故。E//AB,故S：：S：=1:2,

又SGAOC~S/DOC+S&QQA、SAB0CS*EOC+S*EOB，

所以1/"：S*BOC:2.

答案第2页，共12页

.1

故选：D

8.C

【分析】过点力作8。的平行线，并与此的延长线交于点G,进而由/G-L平面CE”得到

上力CG为直线力。与平面CM所成的角，借助余弦定理及三角函数的定义即可求出线面角.

【详解】由题意易得CF_LBF,EFJ_BR

又因为CPCEF="，且CREFL面C£F,

所以8产_L平面。

如图过点/作3。的平行线，并与FK的延长线交于点G，

所以4G_L平而CE/L

连接CG,则直线4c与平面CE厂所成的角为上力CG.

在4CFG中，CG2=CF2+FG2——2CF.FGcos±CFG,

由/G=48=l,CF=®，可得CG=!.

72

由力G=4BD=@,可得4C=1.

99

则sin上4CG=—=^~则上ziCG=600.

AC?

故选：C.

9.AC

【分析】根据复数的概念可判定A,利用复数的除法运党及几何意义可判定B,根据共挽复

答案第3页，共12页

数的定义可判定C,利用复数的模氏公式可判定D.

【详解】因为Z?是纯虚数，所以A正确；

因为三=所以三■在复平面内对应的点位于第三象限，故B不正确;

工919二2

因为马=5-8i的共/复数为5+8i,所以C正确;

囚为LI=9,所以D不正确.

故选：AC

10.BC

【分析】对于A,易知人二小时不成立：对于B,由垂直的向量表示可得：对于C,由向量

的模长的线性运算可得：对于D,易知石泊不共线，但模长可能相等.

【详解】若方,尸都是非零向量，h=0，则显然满足已知条件，但是结论不一定成立，故A

错误：

当方［二0时，若行或Z为零向量，根据规定，零向量与任意向量垂直，结论成立；

一兀T

若方和b均为非零向量，则两向量的夹角为5,即n±b»综上，B正确：

।TTTT

若3力同向，不妨设万二品（4>0）,则卜代5+b卜a+1”卜同+“，故C正确；

因为不管刁［是否共线，目，M都有可能相等，所以D错误.

故选：BC.

11.BD

【分析】由函数的周期及最值求得②,夕，进而逐项判断即可.

【详解】因为/（》）的最小正周期为2几，所以o=M=l,A不正确.

/TT

由UGR,/（X）＜得N+°=F+2EAWZ,则0=N+2A7t£WZ.

62?

因为帆|<；，所以0=：，B正确.

：由＜几，，口717177r

所以/（X）=2sinx+J,0cx2得一＜x+一＜—

222

由2si0,

可得x+：=冗和x+1=2兀

答案第4页，共12页

得和x=q

33

则/（工）在（o,2兀）上恰有2个零点，C不正确.

71，得彳=2si«x71

由(x)=2sin=-2cos.r,是偶函数，D正确.

,X+一3J

故选：BD

4兀

12.泻L

?4

【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式计算即得.

【详解】因为圆心角为去半径为4,

所以弧长为2x4=,士由2兀.47r

,以扇形的面积内一x——x4=——.

，彳彳

故答案为：罪彳

13.2257r

【分析】设该圆台的上底面半径为「，下底面半径为/?，高为力，根据条件求出凡〃，再利

用圆台的侧面积公式，即可求解.

【详解】设该圆台的上底面半径为「，下底面半径为R,高为〃，

22

则H=h=4rt其母线长/二信=J(4r)+(3r)=5r=15,

所以〃=3,及=12,4=冗(及+尸)/=元(12+4)x15=22",

故答案为：225Tl.

14.32

【分析】取线段48的中点。，得到CQ_L4A,结合向量数量积的定义，即可求解.

【详解】如图所示，取线段48的中点。，连接CQ,则COJ_48,

所以cos/l=|>1Z）|=^卜耳,则IC.;pc[1@cos/l=32.

故答案为：32.

答案第5页，共12页

nkit,„

15.(l)x=---H—,AwZ

【分析】（1）根据题意，利用止弦型函数的图象与性质，即可求解;

’7t兀、2n

(2)由x€,得到2x+-^-w-7,结合正弦函数的性质，即可求解.

I24,3

z

【详解】(1)由函数/(x);sin2x+

令2x+—=—+knjiGZ,得x=--+—,AwZ,

32I?7

所以曲线y=/（X）的对称轴方程为x=-^+,A£Z.

,e、，（花兀、一/口2兀（兀7兀、

（2）因为xw,可得2x+—e—.

I24）3136；

令2x+—0,则。G——,——，

?136yl

因为sin。w

‘一3W上的值域为（一中』

所^/(x)在

I24J12

16.（1）证明见解析

（2）①证明见解析：②，2

【分析】（1）连接4G交小C于点尸，连接。尸，由中位线证得4G〃。尸，再利用线面平

行的判定定理即可得证；

（2）①先证得44_LCQ,CD±AB,利用线面垂直的判定定理得CQJL平面/8从小，继而

得CO±DE.再利用平面图形的性质证得。EJL小。，进而利用线面垂直的判定定理即可得证:

②设点。到平面力£上的距离为d,先由余弦定理求得cos上小CE,继而求得sin上小CE,

S“Q,%..再根据等体积法得/二9"四・。二［£"…"，即可求得小

【详解】（1）证明：连接力C交小。于点尸，连接。广，则尸为/G的中点.

因为。是48的中点，所以8c//DF.

答案第6页，共12页

因为。产l平面4C。，8G丈平面4。。，所以5G〃平面小CO.

（2）①因为48C—M/G是直三棱柱，所以44_La>.

因为力。二。8,。为48的中点，所以CQj_/18.

因为44门/8=4，441,44匚平面488/1,所以。。_|_平面488/j.

DEu平而ABB\&，・二CDDE.

因为《C=CB=2J5，48=4,所以上408=900,所以CQ=2

因为<4=2.、,2,所以">=26,DE=底,A、E=a亚.

因为从。？+。片=/不，所以。f_L4。.

因为4。门。。=。，Afi,CD平面4。。，所以。£1_!_平面4。。.

②在中，AE=^J1.4。=4,CE=可

则c=列㈣*;®

2x4x71010

因为sin上J[CE=3^^।所以S△小CE=弓x4xJT5x—=6•

设点。到平面小C£的距离为d,

由①可知。±平面/88M,

所以三梭锥。一4QE的体积”卜处.C0=3a.d

「.；x；x2\/ixAx2=fx6</.则d=j2，

即点。到平面4位的距离为.、/2，

答案第7页，共12页

17.（1）Cz—

2

（2KDcz）=巫②立

彳？

【分析】（i）利用正弦定理化边为角并结合两角和的正弦、二倍角的余弦公式得到

sinC+cosC=1,再进行两边平方利用同角的三角函数关系得到cosC=0,即可得解;

⑵①也33格结合求得8s上口,继而求得cm再利用余弦定理即可

得CD；

②在中，先由ccsA利用同角三角函数关系求得tanB,根据tan4=0求得力C,再

RC1

由三角形面积公式即可得解.

Q

【详解】（1）因为sinC（或OsB+ZJCOSJ）=2csin2—,

Q

由正弦定理得，sinC（sitvlcos5+sin5cos/l）=2sinCsin2—.

所以sinCsin（A+B）=2sinC（l-cosC）,

因为4+8+C=77,：sin（J+8）=sin（77-C）=sinC>0,

所以sinC=1-cosC»即sinC+cosC=1,

两边平方可得2sinCcosC=0,

所以cosC=0»C=y

71

（2）®cos_b?CQ=cosZ.ACD=sin_tJCZ）=,

6

因为3。=BD=2,所以上4co=±BDC,

2

cos8=cos（n-上BCD-上8OC）=-cos2上8CQ=-2cos?上BCD+1=-.

2g

在△8CQ中，CD2=BC2+BDr-2BC.BDcosB=22+22-2x2x2x-=-

所以CD=迫.

3

答案第8页，共12页

②在Rt△48c中，：cosB=2,：sin8=Jl-[1=--,tang二,山'二—

4V1(3,?cn^R9

JC=BCtanB=2x—二石.

9

c-1Ar广f/Arr,1丘2/6J6J5

^^ACD~—AC-CDs\nZ.ACD=—yJ5--------=—.

7246a

18.(I)*二9，〃=・9,BP=-a-—b,CP=—a+^b

'777777

⑵-小

13

【分析】⑴利用基鲂工表示工p,结合「丁=7万+。一万以及平面向量基本定理求

出入〃即可表示；

(2)利用第一问求出=,PB=--a+-b再利用数量积的运算律以及向量夹

7777

角公式即可.

【详解】(1)因为己7=方，C~B,AD:DB=BE:EC=2:T,

则无=;而二：晨而=:以=](,-$),

—.—•*_*]-_—_।—«―12"<

所中F二CF.C«=?一]c八=。"+80=鼻”+鼻6,

所以4P==DP=uCD=-ua+^b,

2T<1

2-浸

可

万

一-n

.方

二

产oop

因为4P=An+D3A?-3-a?;

k

,6

4=—

所以《解得47

221,4

—+—〃=-%U=~-

333

―—一_T一一一T1TT1.T

所以Bb=AP-AB=-/ib-Za+n-b,

S77

1T1L

CP-CA+JP=5+—心-26=-2+4；

?77

(2)因为月=1,F卜2,5,6=p

TTc—yr

所以了二目二八b2=|/)|=4,a.b=lx2xcos^=l,

——一——*62T——_—_।5T

因为PA--AP,PB=-BP=--r)+-b,

7777

答案第9页，共12页

32.r10r2

H-----ab----b2

49497

_2

因〃为cos国、网/=耳陷幺陷2a二x，回厂-半13.

7X7

所以产力与PB夹角的余弦值为一不

19.（1）①证明见解析；②存在，A=1

【分析】（1）①用正弦定理求得各边长发，再用勾股定理逆定理判定垂直：②构造平行四边

形，进而求得人;Q）构造出二面角的平面角，再通过解三角形求解角的余弦值

【详解】（1）①证明：如图，在V48C中，记的中点为G,连接GO.

由题意，GD是V/I8C的中位线,

因为BC=2-2,上6=60°,所以GZ)=-2,上成加=1200,

GDED

在胆小中.由正弦定理生^5而;而2「G。.

,解得sin上GED=正

即5

sin/GED<；in17009

因为上/GQ=1200,且EQ>GD,所以上G切=450.

因为。E是/1C的垂直平分线，所以V4）七是等腰直角三角形，所以。£=/。=。。=.\/3

在翻折后，DE_LFD,DEA.DC.

因此=、几，有FD+DC=FC2,所以△FDC是等腰直角三角形

答案第10页，共12页

故广。_LEQ,FD_LDC,EQ与。。相交于。，且EDDCl平面8CQE,所以尸O_L平面

BCDE.

因为平面8CQE,BEr~平面BCDE,所以FDJ_BE.

②解：由①知在四棱锥/-8CQE中，DE,DF,。。两两垂直,