频率与概率+随机事件的独立性（高效培优讲义）-沪教版高中数学必修第三册（原卷版）

专题1.2频率与概率+随机事件的独立性

1/H

教学重点：

①频率与概率的关系

②频率与概率的计算

教学重难点

③利用随机模拟试验求概率

④两个事件相互独立的概念：

教学难点；与事件独立有关的概念的计算；

知识清单

知识点01频率与概率

1.1随机事件的频率

在相同的条件S卜重及〃次试验，观察某一事件力是否出现，称〃次试验中事件力出现的次数%为事件/

出现的频数，称事件月出现的比例，(力)二区为事件力出现的频率.

n

1.2频率的特点

随机事件在•次试验中是否发生具有不确定性，但是，在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频

率有以下特点.

①在某次随机试验中，事件/发生的频率是一个变量，事先是无法确定的.但在大量重复试验后，它又

具有横定性，即频率在某个“常数”附近摆动，并且随着试脸次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势.

②有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情况，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可

能性会减小.

③个别随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量试验中，它出现的次数与总试验次数

之比常常是比较稳定的.这种现象称为频率的稳定性，是随机事件内在规律性的反映.

L3频率的稳定性(用频率估计概率)

大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件力发生的频率具有随机性.一般地，随着

试验次数〃的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件4发生的频率工(力)会逐渐稳定于事件Z发生

的概率PQ).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率＜(4)估计概率P(Z).

【即学即练】抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，则事件"反面朝上"的概率和频率分别是()

A.0.5,0.5B.0.51,0.51C.0.49,0.49D.0.5,0.51

知识点02相互独立事件的概念

对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立(mutually

independent)»简称为独立.

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性质1:必然事件。、不可能事件0与任意事件相互独立

性质2：如果事件/与8相互独立，则4与豆，7与B，7与否也相互独立

则：P(疝)二尸(/)q回,尸(福二尸0P⑻，甫动=电&回

【即学即练】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，力表示事件"第一次抛掷骰子的点数为2〃，8表示事件"第一

次抛掷骰子的点数为奇数”，。表示事件"两次抛掷骰子的点数之和为7”,则()

A.4与“为相互独立事件B.4与C为互斥事件

C.5与C为相互独立事件D.5与C为互斥事件

知识点03相互独立事件的概率求法

已知两个事件/，8相互独立，它们的概率分别为P(4),Pg则有

事件表示概率

A,3同时发生ABP(AB)=P(A)P(B)

A,3都不发生ABP(AB)=P(A)P(B)=[1-P(^)][l-尸(8)]

A,8恰有一个发

AB\JABP(ABU7B)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P0P⑻

生

A,B中至少有一P(ABUUAB)=P(AB)+P(A8)+P(AB)

个发生或P(4后UU48)=1—P(AB)

A,4中至多有一P(ABU初UAB)=P(AB)+P(AB)+P(AB)

AB\JAB\JAB

个发生或P(4万U筋UAB)=1-P(AB)

22

【即学即练】唐山河头老街景区近期持续火爆出圈.甲、乙2人暑假来此地旅游的概率分别为(，假

J1

定2人的行动相互没有影响，则暑假至少有1人来此地旅游的概率为()

知识点04互斥事件与相互独立事件的区别

相互独立事件互斥事件

两个事件不可能同时发生，

判断方法一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响

即4n3=0

事件4与8互斥，

概率公式事件4与8相互独立等价于P(AB)=P(A)P(B)

则尸(ZU5)=P(/)+P(5)

［即学即练】已知尸(加」8)二||・叩)=1.p⑻=(,则事件人与8的关系是()

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A.A与A互斥不对立B.A与4对立

C.A与8相互独立D.A与8既互斥又独立

题型精讲

题型01计算频率

【典例1】袋中有10个球，有红球和黄球两种类型.小明有放回地取10000次，有6993次取到红球，有

30c7次取到黄球，那么红球最有可能有个.

【变式1】在一次抛掷硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频数为48,则"反面朝上〃的频率为（）

A.48B.0.48C.52D.0.52

【变式2】对某班60名同学的一次数学成绩进行统计，如果80~90这一组的频数是18,那么这个班的学生

这次数学测验，成绩在80-90分之间的频率是（）

A.18B.0.4C.0.35D.0.3

【变式3】某同学抛掷硬币100次，有51次出现正面.因此出现正面的频率是.

【变式4】从存放号码分别为1,2,3,的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号

码，统计结果如下:

卡片号码12345678910

取到次数15105769189129

取到号码为奇数的频率为.

题型02辨析频率与概率的关系

【典例1】某人将一枚硬币连续掷了10次，6次正面朝上，若事件力表示“抛掷一枚硬币，正面朝上〃，则

事件力的（）

A.频率为］3，概率为］3B.频率为］3，概更为:1

1311

C.频率为；，概率为［D.频率为；，概率为；

2522

【变式1】下列说法中正确的是：）

A.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率

B.在〃次随机试验中，一个随机事件力发生的频率具有确定性

C.在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1

D.随着试验次数〃的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率

【变式2】某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：根据表中的数据信息，

用频率估计一次投篮命中的概率，误差较小的可能性的估计是（）

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第一组第二组第三组合计

投篮次数100200300600

命中的次数66126183375

命中的频率0.660.630.610.625

A.0.61B.0.63C.0.625D.0.66

【变式3】根据统计，某篮球运动员在1000次投篮中，命中的次数为860次，则该运动员（）

A.投篮10次至少有8次命中B.投篮命中的频率为0.86

C.投篮命中的概率为0.86D.投篮100次有86次命中

【变式4】小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了5次，每次朝上的点数都是2,则下列说法正确的

是（）

A.朝上的点数是2的概率和频率均为1

B.若抛掷30000次，则朝上的点数是2的概率为1

C.抛掷第6次，朝上的点数一定不是2

D.抛掷60000次，朝上的点数为2的次数大约为10000次

题型03用频率估计概率

【典例1］在滑翔伞定点比赛中，飞行员在降落时一般会踩中半径为16cm的电子靶，以距靶心距离的远近

作为打分依据.若某次比赛中规定：降落时距靶心的距离小于8cm,会获得"优秀飞行员”称号.现随机抽取

了100名飞行员此次比赛降落时距靶心距离（单位：cm）的数据如下表：

降落时距靶心距离（单位：

乩4)[4,8)[&12)[12,16]

cm）

人数18213922

用频率估计概率，若随机抽取1人，则此人为“优秀飞行员〃的概率为（）

A.0.18B.0.21C.0.39D.0.40

【变式I】•个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球，若干个黑球，每次摇匀后随机摸

出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.4,则袋中约有黑

球（）

A.6个B.7个C.8个D.9个

【变式2】《九章算术》中有"米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送米1805石（古代容量单位），验得米

内夹谷，抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒，则这批米内夹谷约为（）

A.361石B.341石C.314石D.360石

【答案】A

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【变式3】某学校乒乓球比赛，学生甲和学生乙比赛3局（采取三局两胜制），假设每局比赛甲获胜的概

率是0.7,乙获胜的概率是0.3,利用计算机模拟试验，计算机产生0~9之间的随机数，当出现随机数0~6

时，表示一局甲获胜，其概率是07由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，例如，产生20组随机数;

603099316696851916062107493977

329906355860375107347467822166

根据随机数估计中获胜的概率为（）

A.0.9B.0.95C.0.8D,0.85

【变式4】某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么

请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（）

A.1万件B.18万件C.19万件D.2万件

题型04独立事件的判断

【典例1】一个箱子里有6个大小颜色相同的小球，编号为1,2,345,6,从中有放回地抽取2次（每次取1

个球）•设事件A：”第一次取出的球的号码大于3”,事件8：”两次取出的球的号码之和为偶数

⑴求事件A的概率；

（2）判断事件A与事件"是否相互独立，并说明理由.

【变式1】一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1、2、3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随

机地抽取3次，每次抽取1张.

⑴若抽取是放回的，将抽取的卡片上的数字依次记为。、氏。.求“抽取的卡片上的数字。、b、c不完全相同〃

的概率；

（2）若抽取是不放回的，记事件力为第一次取出标记为1的卡片，事件8为第二次取出标记为2的卡片，判

断事件力，8是否独立.

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【变式2】质地均匀的正方体骰子，六个面上点数分别为1、2、3、4、5、6.

⑴抛掷一次骰子，求点数是偶数的概率；

⑵地掷两次骰子，设事件力为第一次的点数为4,事件4为两次点数和为6,事件C为两次点数和为7.分

别判断事件力和4是否独立？事件力和C是否独立？

题型05独立事件与互斥事件

【典例1.投掷一枚均匀的股子，事件从点数大于2；事件8：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列

关于事件描述正确的是（）

A.Z与8是互斥事件B.4与8是对立事件

C.力与C是独立事件D.8与C是独立事件

【变式1】抛掷两枚质地均匀的硬币一次，设"第一-枚硬币正面朝上"为事件/，“第二枚硬币反面朝上"为事

件B,则下述正确的是（）.

A.A与4对立B.A与4互斥

C.P（4+B）＞P（A）+P（B）D.4与夕相互独方

【变式2】袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，如果“第一次摸得白球"记为事件4"第二次

摸得白球〃记为事件以那么事件4与心力与月间的关系是（）

A.力与8,4与方均相互独立

B.4与4相互独立，力与否互斥

C.4与B,A与否均互斥

D.A与B互斥,力与方相互独立

【变式3】某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且

每个人可以参与一个或多个项目.若参与甲项目的有30人，参与乙项FI的有10人，参与丙项目的有20人,

参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与

了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（）

A.参与甲项目与参与乙项目不互斥B.参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立

C.参与丙项目与参与丁项目不相互独立D.参与甲项目与参与丙项目相互独立

【变式4】已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为134,乙盒中有3个大小和质地相同的小球,

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标号为3,4,6,现从甲、乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件为一摸到的两个小球标号相同〃.事件3="摸

到的两个小球标号之和为奇数〃，则（）

A.事件1和8相等B.事件4和6互相对立

C.事件力和8相互独立D.事件力和8互斥

题型06独立事件的乘法公式

4

【典例1】已知甲、乙两人参加闯关活动，活动一共设置两关.甲每关闯关成功的概率均为《，乙每关闯关成

3

功的概率均为:，且甲、乙两人闯关成功与否互不影响，则甲、乙两人总共至少有三关闯关成功的概率

4

是.

【变式I】若事件A与事件3相互独立，尸（4）=0.3,P（Jn5|=0.42,则P（耳”.

【变式2】已知48两个事件相互独立，且P（力）=0.6,P⑼=0.7,则尸（48）=.

21_

【变式3］已知事件力，3相互独立，且=则尸（彳8）=________.

34

【变式4】端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来徐州旅游的概率分别是:，假定3

人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为

方法技巧P(AB)=P(A)P(B)

题型07独立事件的实际应用

【典例1】甲、乙两人进行投篮比赛，每次投篮若一方投中且另一方未投中，则投中的一方获胜，否则本

32

次平局.已知每次投篮甲、乙投中的概率分别为1和：，且每次投篮甲、乙投中与否互不影响，各次投篮也

互不影响，则3次投篮甲至少获胜2次的概率为.

【变式1】甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6,乙中靶的概率为0.7,且两人是否

中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则恰有一人中靶的概率为.

【变式2】某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案.该学生随意填

写两个答案，则两个答案都选错的概率为.

【变式3】如图，已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为则灯亮的概率为.

T卜

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【变式4】有甲、乙、丙三个开关和力，B,C三盏灯，各开关对灯的控制互不影响.当甲闭合时力，B亮,

当乙闭合时&C亮，当丙闭合时儿。亮.若甲、乙、丙闭合的概率分别为3且相互独立，则

在4亮的条件下，8也亮的概率为.

强化训练

1.在一个试验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率为40%,现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概

率：先由计算机产生出［0,9］之间整数值的随机数，指定1,2,3,4表示被感染，5,6,7,8,9,。表示

没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：

192907966925271932812458569683

257393127556488730113537989431

据此估计三只豚鼠中恰有两只被感染的概率为.

2.在用随机数(整数)模拟”有5个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率〃时,

可让计算机产生()~9的随机整数，并且0〜4代表男生，用5~9代表女生.因为是选出4个，所以每4个随

机数作为一组.通过模拟试验产生了10组随机数：

6830472570566431784045237834260463460952

由此估计“选出2个男生2个女生"的概率为

3.为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100名九年级男生进行测量，他们的身高x(cm)

统计如下表:

组别(cm).r<160160<x<170170<x<180x>180

人数1343368

根据上表，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是.

4.在如图所示的一个电路图中，.4,B,C,D,E,尸为6个开关,每个开关闭合的概率均为:，且是相互

独立的，则灯亮的概率是.

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5.在双向飞碟比赛中，运动员在一个靶位上对一个飞碟最多可以进行两次射击，如果第一次命中，直接得

分;若第一次未命中则进行第二次射击，命中也得分.已知某选手在某个靶位上第一次射击命中的概率为0.8,

第二次射击命中的概率为0.6,则该选手在这个靶位上得分的概率为.

6.某箱中有除颜色外其余完全相同的7个球，其中3个白球，4个黑球，现从该箱中任取2次球，每次取

出1个球记录颜色后放回，则最终仅取到1个黑球的概率为.

7.甲、乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.6,乙获奖的概率为0.4,甲、乙两人同时获奖的概率为0.24,

则甲、乙两人恰有一人获奖的概率为.

8.已知事件力的对立事件为/尸(1)=04,P(8)=0.3.若3口力，则尸(4U8)=,P(AB)=_

9.某工厂生产的零件需要经过两道质量检测工序合格后方可认定零件合格，第一道检测工序检测合格的概