一次函数与二元一次方程（一次函数与实际问题）分层作业（解析版）-2024八年级数学上册（沪科版）

12.3一次函数与二元一次方程

（一次函数与实际问题）

A基础达标题」

题型一行程问题

1.（22-23八年级下•安徽芜湖・期末）在一条笔直的公路上有A、8两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地

步行匀速前往“地，立刻以原速度沿原路返回A地.乙从8地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均

停止运动），甲、乙二人之间的距离.V（米）与出发时间X（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象

解答下列问题：

（l）A、8两地之间的距离是米，乙的步行速度是米/分;

（2）图中。=,b=,c=；

⑶求线段MN的函数解析式.

【答案】⑴1200；60

(2)900；800；15

（3）y=-20x+1200（15<x<20）

【分析】（l）利用函数图象中的信息直接得到A、8两地之间的距离，再利用函数图象中的信息即可求得乙

的步行速度；

（2）利用（1）的结论通过计算即可得出结论；

（3）设线段的函数解析式为y=履+〃，将点例，N的坐标代入解析式，解关于3〃府二元一次方

程组即可.

【详解】（1）解：由图象知：当x=0时，7=1200,

团A、8两地之间的距离是1200米，

由图象知：乙经过20分钟到达A.

回乙的速度为1200+20=60（米/分），

故答案为：1200；60；

（2）由图象知：当工=与时，），=0,

An

团甲、乙二人的速度和为：1200+了=140（米/分），

由（1）知：乙的速度为60米/分，

回甲的速度为140-60=80（米/分），

回点”的实际意义是经过c分钟甲到达8地，

0c=12004-80=15（分钟），

团4=60x15=900（米），

回点N的实际意义是经过20分钟乙到达A地，

0/7=900-（80-60）x5=800（米），

故答案为：900；800；15；

(3)由题意得：M(15,900),2(20,800),

设线段MN的函数解析式为y=G+〃,

15k+〃=900

20&+/?=800

k=-20

解得:

〃=1200

国线段MN的函数解析式为y=-20x+1200（15<x<20）.

【点睛】本题考查一次函数的图复和性质，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，明确函数图象

上点的坐标的实际意义是解题的关键.

2.（24-25八年级上•安徽六安•阶段练习）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发

向乙地，轿车比货车晚出发L5小时，如图，线段。4表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之

间的函数关系，折线4c。表示轿车离甲地的距离千米）与时间工（小时）之间的函数关系，请根据图象

解答下列问题：

⑴轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；

⑵求线段CO对应的函数表达式；

⑶在轿车行进过程中，轿车行驶多少时间，两车相距30千米？

【答案】⑴250千米

（2）y=105x-225（3<x<5）

4569

⑶当轿车行驶正小时或亥小时时，两车相距30千米

【分析】本题考杳一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键:

（1）求出货车的速度，再用货车的速度乘以时间求出货车行驶的路程即可；

（2）待定系数法求出函数解析式即可；

（3）分两车相遇前和相遇后两种情况进行讨论求解即可.

【详解】（1）解：由图可知，货车的速度为：300+6=50knVh,

轿车在货车行驶5小时时到达乙地，

此时货车离甲地：50x5=250km：

（2）设。。段的函数解析式为：），=履+匕仅工0）,

把(3,90),(5,300)代入,得：

34+力=90()1=105

'.1"，解得：,

5k+b=3OOb=-225

0y=lO5x-225(3<x<5)；

（3）由图象可知：当xK3时，轿车的速度为：90・（3-1.5）=6（）km/h,

当3,45时,轿车的速度为：(300-90)-(5-3)=105knVh,

设轿车行驶"、时，两车相距30二米,

当工=3时，两车相距：3x50-90=60>30,

45

①当两车相遇前:90+105x(1-1.5)+30=50(1+1.5),解得：t=

22

69

②当两车相遇后：90+105x（/-1.5）=50（r+1.5）+30,解得：t=

22

答：当轿车行驶葭45小时或369小时时•，两车相距30千米.

3.：24-25八年级上•安徽阜阳•期末）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼.小明先跑，10分钟后小丽才开始跑,

小丽跑步时中间休息了两次.跑步机上。档比6档快4（）米/分、6档比A档快4（）米/分.小明与小丽的跑步

相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如图所示.

时间里程分段速度档跑步里程

小明16:00〜16:50不分段/档4000米

第一段8档1800米

第一次休息

小丽16:10~16:50

第二段8档1200米

第二次休息

第三段OS1600米

⑴求ARC各档速度（单位：米/分）；

⑵求小丽两次休息时间的总和（单位：分）:

⑶小丽第二次休息后，在。分钟时两人跑步累计里程相等，求〃的值.

【答案】⑴A档速度80米/分；8档速度12（）米/分；C档速度160米/分

⑵小丽两次休息时间的总和为5分钟

⑶42.5

【分析】本题主要考查了一次函数的应用，读懂图中的数据是解题的关键.

（1）根据图中的数据求出A档速度，计算即可得到答案；

（2）根据图中数据求出小丽每段跑步所用时间，再根据总时间即可求解；

（3）根据图中数据列方程，求解即可.

【详解】（1）解：由图得A档速度为4000+50=80（米/分），

3档速度为80+40=120（米/分），

C档速度为120+40=60（米/分）,

答：A档速度80米/分：6档速度120米/分：C档速度160米/分.

（2）解：小丽第一段跑步时间为1800+120=15（分钟），

小丽第二段跑步时间为（3000—1800）+120=10（分钟），

小丽第三段跑步时间为（4600-3000）+160=10（分钟），

丽两次休息时间的总和为50-10-15-■-10=5（分钟），

答：小丽两次休息时间的总和为5分钟.

（3）解：根据题意得804=3000-160（〃—10—15—10—5）,

解得:a=42.5,

•・・。的值为42.5.

4.（24-25八年级上•安徽合肥•阶段练习）已知甲、乙两地相距480km,一辆出租车从甲地出发往返于甲、

乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时.，停下来装货物后，

2

发现此时与出租车相距120km,货车改变速度继续出发后，与出租车相遇，出租车到达乙地后立即按原

路运回，结果比货车早15分钟到达甲地，如图，这是两车距各自出发地的距离y（km）与货车行驶时间x（h）

之间的函数关系图象.

(2)求出租车从乙地返回甲地的速度.

⑶在出租车返回的过程中，货车出发多长时间与出租车相距12km?

【答案】⑴。=120

⑵128(km/h)

125」..13L

⑶五h或记"h

【分析】本题考查了一次函数的实际应用：行程问题，待定系数法解一次函数，正确掌握相关性质内容是

解题的关键.

(1)结合图象，设直线OC的表达式为)，=",把C(4,480)代入y二米，计算得&=120,然后再把点0M)

代入y=120x,进行计算，即可作答.

(2)由停卜.来装完货物后，发现此时与出租车相距120km,此时出租车距离乙地24()km,即出租车距离甲

地240km,把y=240代入)，=120x,解得x=2,即可求出点8(2,120),根据货车继续出发后，与出租

车相遇，所以相遇时货车的速度为60km/h,故可设直线8G的表达式为y=6().r+时将点8(2,120)代入，

解出y=60x,然后求出点G(8,4X0),又因为出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到

达甲地，得点《子,。卜即可求得出租车从乙地返回甲地的速度为128km/h,据此即可作答：

(3)设出租车在返回的过程中，货车出发，小时与出租车相距12km，此时货车距离乙地60fkm,出租车距

离乙地(128/-512)km,然后分两种情况：①出租车和货车第二次相遇前，相距12km时，可得

607-(1287-512)=12；②出租车和货车第二次相遇后，相距12km时，可得(128—512)-60/=12,分别求

出/的值,即可作答.

【详解】(1)解：由图象知，点”4,480),

设直线OC的表达式为y=履，

把点0(4,480)代入，得480=4h

解得2=120,

国直线OC的表达式为y=120x,

把点(1M)代入y=120x,

解得a=12O：

(2)解：由(1),得a=120,

因货车卸货时与乙地相距120km,

团停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km,

回此时出租车距离乙地12()+12()=240(km),

回出租车距离甲地480-240=240(km),

把y=240代入y=120x,

得240=120x,

解得x=2,

13货车装完货物时，工=2,

即点8(2,120),

根据直线OC的表达式为)，=120x(0<x<4),

可得出租车从甲地到乙地的速度为120km/h,

2

根据货车继续出发后，与出租车相遇，

2

可得］X(出租车的速度+货车的速度)=120,

2

团相遇时，货车的速度为120+§-l20=60(km/h),

故可设直线BG的表达式为y=60x+Z?,

将点8(2,120)代入y=60x+b,得120=120+力，

解得6=0,

因直线BG的表达式为），=60x,

把y=480代入y=60x,

得480=60x,解得x=8,

[3点G（8,480）：

（3出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地，

回点£传,0）,

团出租车从乙地返回甲地的速度为480+（曰-4）=128（km/h）；

（3）解：设出租车在返回的过程中，货车出发f小时与出租车相距12km,

此时货车距离乙地60/km,出租车距离乙地128（f-4）=（128—512）km,

分两种情况：

①出租车和货车第二次相遇前，相距12kHi时，

125

可得60f-（128f-512）=12,解得7=告；

②出租车和货车第二次相遇后，相距12km时，

171

可得（1281-512）-60/=12,解得/=岩,

综上所述，出租车在返回的过程中，货车出发或与出租车相距12km.

题型二工程问题

5.（23-24八年级上•安徽亳州•阶段练习）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长

度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘

的长度之和），（m）与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示.

⑴求乙组停工后），关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.

⑵当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，求乙组已停工的天数.

【答案】（l）y=3x+120（30«x«60）

（2）10天

【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可：

（2）根据函数图象得出甲的工作效率，得出前30天是甲乙合作共挖掘210m,则乙单独挖掘的长度是

210-90=120（m）,再求出甲单独挖掘120m所用的天数，即可得出答案.

【详解】（1）解：设乙组停工后J关于x的函数解析式为：），=爪+匕仁工0）,点（30,210）,（60,300）在图象

上，

302+〃=210

[60k+h=300

（

解得"k2=30，

团函数关系式为：.v=3x+120（30<x<60）,

（2）解：由题意可知，甲单独干了30天,挖掘的长度是=300-210=90,甲的工作效率是每天90+30=3（m）,

前30天是甲乙合作共挖掘了210m,则乙单独挖掘的长度是210-90=120（m）,

当甲挖掘的长度是120m时，工作天数是120+3=40（天），

乙组已停工的天数是：40-30=10（天）.

【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合求出一次函数解析

式.

6.（24-25八年级下•上海崇明・期末）某乡镇准备开展河道修建整治工程，预计修建的河道总长为9千米.根

据工程预算，当修建天数X满足60WXW100时，平均每天的修建费y（万元）与修建天数X（天）之间的关

⑴求）'关于x的函数解析式；

（2）由于相关部门加强了建设力量，预计现在每天修建量可以提升20%,那么可以提前15天完成任务，求现

在平均每天的修建费.

【答案】⑴），关于X的函数关系式为），=-不+50

⑵现计划平均每天的修建费为31.25万元.

【分析】本题考查的是一次函数的应用，分式方程的应用；

（1）设），关于x的函数关系式为＞，=依+匕，再把（60,35）,（100,25）代入计算即可；

（2）设现计划修建的时间为〃?天，则原计划修建的时间为（m+15）天.根据题意，得等=（1+20%）、3^，

再进一步解答即可.

【详解】（1）解：设），关于x的函数关系式为），=履+方，

35=602+〃

根据题意，得

25=\00k+b

解得:4,

b=50

则关于x的函数关系式为y=-二工+50；

（2）解：设现计划修建的时间为，〃天，则原计划修建的时间为（利+15）天.

根据题意，得幽=（l+20%）x普

解得：，n=”,

经检验，机=75是原方程的解，且符合实际意义,

0/71=75»

团y=——x75+50=31.25,

4

答：现计划平均每天的修建费为31.25万元.

7.（2024七年级下•四川成都・专题练习）有一项工程，若请甲工程队单独做需4个月完成，每月要耗资9万

元：若请乙工程队单独做需6个月完成，每月耗资5万元.

⑴请问甲、乙两工程队合作需几个月完成？耗资多少万元？

（2）现要求最迟5个月完成此项工程即可，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金.

【答案】⑴24个月33.6万元

⑵甲乙工程队合作52个月，乙单独做彳13个月

【分析】（1）设甲、乙两队合作需要X个月完成此项工作，根据题意得:+今=1,解答即可.

46

⑵设甲、乙两队合作x个月，剩下的乙队单独完成，总费用为卬万元，根据题意，得X+1------<5,

I46J6

KVV=9x+5x+（5-x）x5=9.r+25,解不等式，利用一次函数的性质解答即可.

本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键.

【详解】（1）设甲、乙两队合作需要.1个月完成此项工作，根据题意得=

46

解得x=2.4,

答：甲、乙两队合作需要2.4个月完成此项工作.

费用为（9+5）x24=33.6万元

（2）解:设甲、乙两队合作x个月，剩下的乙队单独完成，总费用为卬万元，根据题意，得

\46J6

且IV=9X+5X+（5—X）X5=9X+25,

?

解小等式，得

W=9工+5x+（5-x）x5=9x+25得卬随x的增大而增大，为确保费用最低，

213

故上去最小值，此时x=§,5-x=§,

213

答：甲、乙两队合作彳个月，剩下的乙队单独;个月完成，费用最低且合题意.

«JJ

8.（24-25八年级上•浙江湖州•期末）近日，如通苏湖城际铁路湖州段顺利掘进开工.现有一条长为720米

的隧道，需甲、乙两个工程队合径完成.首先由甲工程队单独挖掘隧道“米（〃?<150）,再由甲乙两队共同

施工，剩余任务由乙工程队单独完成.已挖掘的隧道长度）'米与施工天数工天的关系如图所示.

2米（已挖掘的隧道长度）

⑴甲、乙合作时，共施工天，每天挖掘隧道米;

（2）当〃7=100时，求第20天时整个工程已完成多少米；

⑶已知乙工程队的施工效率不超过甲工程队，求完成这次任务的工期（天）范围.

【答案】（1）9；40

⑵第20天时整个工程已完成580米

⑶完成这次任务的工期范围是27天至35天

【分析】（1）根据图象信息得出甲、乙合作时，共施工的天数，再运用工作量除以时间，即可作答.

（2）先求出直线的解析式，再令20，贝力=20x20+180=580,即可作答.

（3）根据图象信息得甲施工队施工的效率为5（米/天），乙队施工的效率为（40-（米/天），因为乙工

程队的施工效率不超过甲工程队,得出解得100K〃区15（）,然后分类讨论,即当m=100时或当〃2=150时，

再求出直线8。的解析式，当丁=720时，则20x+180=720,解得x=35,即274x435,进行作答即可.

本题考查了一次函数的行程问题，求一次函数的解析式，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容

是解题的关键.

【详解】（1）解:由题意，根据图象可得，甲、乙合作时，共施工的天数为：14-5=9（天）

每天挖隧道：36。+广加=40（米），

故答案为：9,40.

（2）解：由题意，当帆=1（X）时

（3点的坐标A的坐标为（5,100）,B的坐标为（14,460）

inn

0v,F=—=20（米/天），也=40-20=20（米/天），

又设直线8c的解析式为y=20x+b,

把点B坐标代入解析式得460=20x14+），

解得力二180

团直线BC的解析式为J=20x+l80,

令工=20,则），=20x20+180=58。，

国第20天时整个工程已完成580米；

（3）解：由题意得，甲施工队施工的效率为g（米/天），乙队施工的效率为（米/天），

回乙工程队的施工效率不超过甲工程队，

一«八m,m

040---<一,

55

解得mN100,

13m4150,

01CiO</?z<15O,

当m=100时,

由（2）得直线BC的解析式为y=20x+180,

（3当y=720时,则20x+180=720,

解得％=27;

当阳=150时,

依题意,则4（5,150）,3（14,510）,

团听=早=30（米/天），以=40-30=10（米/天），

设直线BC的解析式为y=lOx+a,

把8（14,510）代入。=10%+今得519=10乂14+以

解得a一370,

团直线BC的解析式为），=lOx+370,

回当），=720时，720=1Ox+370,

由（2）得直线4c的解析式为y=20x+l80,

团当3=720时,则20x+180=720,

解得x=35,

即27<x<35

团完成这次任务的工期范围是27天至35天.

题型三调运问题

9.（22-23八年级上•安徽安庆・期口）某超市需每天从外地调运鸡蛋6（X）千克，超市决定从甲、乙两大型养

殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出400千克，乙养殖场每天最多可调出450千克，从甲、乙两养

殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表：

到超市的路程（千米）运费（元/千克•千米）

甲养殖场900.05

乙养殖场400.03

设从甲养殖场调运鸡蛋x千克，总运费为卬元.

⑴从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为,从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式

表不为:

(2)求出W与x的函数关系式；

⑶怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？

【答案】⑴4.54元,(600-力千克

(2)IV=3.3x4-720

⑶从甲养殖场调运130斤鸡蛋，从乙养殖场调运450斤鸡蛋

【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的

函数关系式和不等式组，利用一次函数的性质解答.

(1)根据题意直接得出结论；

(2)根据题意和表格中的数据，可以得到W与x的函数关系式：

(3)根据(2)中的函数关系式和x的取值范围，利用♦次函数的性质，即可得到怎样安排调运方案才能使

每天的总运费最省.

【详解】(1)解：从甲养殖场调运鸡蛋x干克，则从乙养殖场调运鸡蛋(600-力千克，

则从甲养殖场调运鸡蛋的运费为：90xx0.05=4.5x,

故答案为:4.5%元,(600-司千克；

(2)解：根据题意得：W=4.5x+(600-x)x40x0.03=4.5x+720-1.2x=3.3x+720,

.•.W与x的函数关系式为：W=3.3x+72()；

(3)解：由(2)知，IV=3.3x4-720,

3.3>0,

二.W随工的增大而增大，

0<x<400,0<600-x<450,

.•.150KXK400,

...当x=150时，W取得最小值，

此时600—x=600—150=450,

答：当从甲养殖场调运150斤鸡蛋，从乙养殖场调运45()斤鸡蛋时，每天的总运费最省.

10.(23-24八年级上•安徽六安•阶段练习)计划将甲、乙两厂的生产设备运往A,B两地，甲厂设备有60台，

乙厂设备有40台，4地需70台，8地需30台，每台设备的运输费(单位：元)如表格所示，设从甲厂运

往A地的有x台设备(x为整数).

A地8地

甲厂7001000

乙厂10001500

⑴用含X的式子直接填空：甲厂运往8地_台，乙厂运往4地_台，乙厂运往8地_台；

⑵请你设计一种调运的运输方案，使总裁用最低，并求出最低费用为多少？

⑶因客观原因，从甲到4的运输费用每台增加了〃?元，从乙到8的运输费用每台减小了2加元，其它不变，

若要使费用最低的调运方案不变，请直接写出/〃的取值范围.

【答案】⑴60-x；70-x：x-30；

（2）甲厂运往4地30台、运往8地往台,乙厂将40台都运往A地使总费用最低,最低费用为91000元

（3）0</n<2

【分析】本题考壹一次函数及一元一次不等式组的应用，正确理解题意，找出合适的数量关系得到一次函

数的解析式是解题的关键.

（1）根据题意列代数式即可；

（2）设运输费用为〃百元，根据题意列出关于x的一次函数，求出x的取值范围，根据一次函数的性质解

答即可；

（3）设运输费用为8百元，根据题意，在。的基础上列出关于x的•次函数，整理后根据费用最低的调运

方案不变可得2-〃?>0,进而可求得/〃的取值范围.

【详解】（1）解：团甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费

（单位：元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有％台设备（x为整数）.

回甲厂运往4地（60-同台，乙厂运往A地（70-力台，

则40_（70-力=工_30

乙厂运往4地（1-30）台.

故答案为：60—x,70—x—30.

（2）解：设运输费用为。百元.

根据题意，«=7x+10（60-x）+10（70-x）+l5（x-30）=2x+850.

60-x>0

0-70-x>0,

lx-30>()

解得3OWx《6O,

0«=2x+85O(3O<x<6O).

回。随x的减小而减小，

回当x=30时，〃最小，.=2x30+850=910.

囿甲厂运往A地30台、运往8地30台，乙厂将40台都运往A地使总费用最低，最低费用为91000元.

(3)解：设部分运输费用变动后运输费用为〃，由题意得Z?="〃u-2m(x-3O)=(2-〃?)x+85O+6O〃2.

M随x的减小而减小，

02-，〃>0且〃7>0,

解得0<〃]v2.

团若要使费用最低的调运方案不变，有0<m<2.

11.(23-24七年级下•河南周口•单元测试)某市A,B两个蔬菜基地得知四川C,。两个灾民安置点分别急需

蔬菜2401和2601的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜2(X)t,9蔬菜基地有蔬菜3(X)t,

现将这些蔬菜全部调运G。两个灾民安置点，从A地运往C,。两处的费用分别为每吨20元和25元，从8

地运往C,。两处的费用分别为每吨15元和18元.设从8地运往。处的蔬菜为x吨.

⑴请填写卜表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值：

CD总计八

A—一200

X

B一300

总计/I240260500

⑵设4,8两个蔬菜基地的总运费为W元，求出卬与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；

⑶经过抢修，从4地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少，〃元(相>0),其余

线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案.

【答案】(1)填表见解析，两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时大的值为200；

(2)H/=2x+9200,调运方案见解析；

⑶周运方案见解析.

【分析】（1）根据题意，用240减x可得需要从A处调运的数量，用200减去（240-力可得从A调研往。处

的数量，用300减去x即为从B调运往。处的数量：

（2）根据调运总费用等于四种调运单价分别乘以对应的吨数，易得w与x的函数关系，列不等式组可解；

（3）本题根据x的取值范围不同而有不同的解,分0<m<2、〃?=2和2<拉<15三情况解答即可；

本题考查了一次函数在实际问题中的应用，根据题意，正确得出一次函数解析式是解题的关键.

【详解】（1）解：（1）填表如下：

CD总计/t

A（240-x）（x-40）200

BX（300-x）300

总计八240260500

依趣意得：20（240-x）+25（x-40）=15x+18（300-x）,

解得戈=200,

田两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时，%的值为2（X）；

（2）解：M，与x之间的函数关系为：vv=20（240-x）+25（x-4Ci）+15x+18（300-x）=2x+920Ci

240-x>0

x-40>0

由题意得：，

x>0

300-x>0

国40W240,

回在卬=2x+9200中，2>0,

回卬随x的增大而增大，

（3当工=40时，总运费最小，

此时调运方案为：

CD总计/t

A2000200

B40260300

总计八240260500

(3)解：由题意得卬=(2-m)x+9200,

自当0〈机＜2时，(2)中调运方案总费用最小；

当加=2时，在40KXK240的前提下调运方案的总费用不变;

当2＜加＜15时，*=240总费用最小，其调运方案如卜.：

CD总计/I

A0200200

B24060300

总计八240260500

12.(24-25七年级上•山东淄博•期末)今年某县由于前期连续降雨，后期乂连续干旱，造成了多数果农的苹

果大幅减产，但某镇有甲、乙两村生产苹果，甲村产苹果200吨，乙村产苹果3()()吨.先准备将这些苹果运

到A,8两个冷风库储藏.已知A冷风库可储存240吨，K冷风库可储存260吨.从甲村运往A,A两个冷

风库的费用分别为每吨4()元和45元；从乙村运往A,8两个冷风库的费用分别为每吨25元和32元.设从

甲村运往A冷风库的苹果为x吨，甲、乙两村往两个冷风库运苹果的运费分别为即(元)、”(元).

⑴填写下表:

(2)求小、乙与x之间的函数表达式：

⑶当x为何值时，甲村的运费最少？

⑷请问怎样调运，才能使两村的运费之和最少？求出最少运费.

【答案】⑴(200-力吨，(240-耳吨，(60+力吨

(2)刖=9000-5x,九=7920+7x

(3)当x=200时，甲村的运费最少

⑷甲村运往A冷风库的苹果为0吨，则从甲村运往8冷风库200吨，从乙村运往A冷风库240吨，从乙村运

往8冷风库6（）吨，才能使两村的运费之和最少，求出最少运费为16920元

【分析】本题考查了一次函数的运用，理解题意，正确找出等量关系是解题的关键.

（1）设设从甲村运往A冷风库的苹果为x吨，则从甲村运往B冷风库（2（X）7）吨，从乙村运往A冷风库

（240-力吨，从乙村运往8冷风库［300-（240-切=（60+力吨，就可以得出结论：

（2）根据（1）结论由甲、乙两村分别运往两冷风库的数量与运费之间的关系就可以求出结论；

（3）根据即的解析，结合一次函数的性质即可求解；

（4）设总运费为卬无，根据总运费等于运往A,8两地的费用之和建立关系，然后由解析式的性质求出结

论.

【详解】（1）解：设从甲村运往A冷风库的苹果为工吨，

则从甲村运往8冷风库（200-x）吨.

从乙村运往A冷风库（240-力吨，

从乙村运往B冷风库［300-（240-x）］=（60+x）吨.

故答案为:（200T）吨，（240T）吨，（60+力吨;

（2）由题意得：）M=40X+45（2C0—X）=9000—5X,），乙=25（240-X）+32（60+X）=7920+7X；

（3）.1卅=9000-5x,

「♦k=-5<0,

:•即随工的增大而减小，

-0<x<200,

•••1=2（X）时，用最小=9000—5x200=8000：

（4）设总运费为w元，

由超意得：w=9000-5x+7920+7.r=2x+16920,

A=2>0,

w随x的增大而增大，

・•.当x=0时，W最小=16920.

・・•日村运往A冷风库的苹果为0吨，则从甲村运往4冷风库200】屯，从乙村运往A冷风库240吨，从乙村运

往8冷风库60吨，才能使两村的运费之和最少，求出最少运费为1692（）元.

题型四计时问题

13.（2025•辽宁铁岭•模拟预测）如图，铜壶漏刻是我国古代的一种计时工具，小明同学依据漏刻的原理制

作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位丁（cm）与时间x（min）满足一次函数关系，下表

（1）求〉'与x的函数关系式;

（2）求y=9cm时，对应的时间是多少.

【答案】（l）y=0.4x+l

(2)20分

【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值是解题的关键.

（1）根据水位》（cm）与时间不⑺血）（min）满足•次函数关系式，设水位y（cm）与时间x（min）的•次函

数关系式为），=履+",再用待定系数法求解析式即可;

（2）利用（1）的关系式令y=9,求解，值即可.

【详解】（1）解：设一次函数关系式为），=履+）,

k+b=\A

将（1,1.4）,（2,1.8）代入），=依+〃得.

22+b=1.8'

4=0.4

解得

b=\

.J=0.4A+1；

（2）解：；），=9,

.-.9=0.4x+1,解得x=20,

答：y=9cm时，对应的时间是20分钟.

14.（2025•陕西西安•二模）《卜算子•黄州定慈院寓居作》

宋・苏轼

缺月挂疏桐，漏断人初静.谁见幽人独往来，缥缈孤鸿影.

惊起却回头，有恨无人省.拣尽寒枝不肯栖，寂寞沙洲冷.

《卜算子•黄州定慧院寓居作》中的“漏”字指古人计时用的漏壶.某学习小组在了解漏壶的过程中，按照其

原理制作了如图1所示的液体漏壶，该漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥

容器中匀速漏到圆柱容器中，研究开始时圆柱容器中已有一部分液体.下表是研究过程中记录的圆柱容器

液面高度）’（单位：cm）与时间x（单位：h）的数据.

时间x/h12345

圆柱容器液面高

68101214

度y/cm

根据上述的实践活动，解决以下问题.

【探索发现】

（1）①请你根据表中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，并判断了与X之间是我们学过的（填“一

次"或"反比例"）函数.

②确定了与X之间的函数关系式.

【结论应用】

（2）当圆柱容器液面高度达到20cm时，所需的时间是多少h?

【答案】（1）①图见解析；・次：②丁=2x+4

（2）所需的时间是8h

【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键.

（1）根据题意描出各点，然后连线即可；由图象可知该函数为一次函数，设该函数的表达式为），=履+》,

然后利用待定系数法求解即可;

（2）把），=20代入（1）中解析式进行求解即可.

【详解】解：（1）①描点、连线如图所示.

）'与x之间是我们学过的一次函数.

故答案为：一次

②设函数关系式为丁=履+〃.

将工=1,y=6和x=2,y=8代入,

S=2k+b,

得

6=k+b,

k=2,

解得

b=4,

与x之间的函数关系式为y=2K+4.

(2)当)，=20。〃时，20=2x+4.

解得x=8,

当圆柱容器液面高度达到20o〃时，所需的时间是8h.

15.（24-25八年级上•河南郑州•期中）“水钟”是我国古代原始的计时工具，如图1,水从上面的多个贮水壶

中慢慢流入下方的受水壶，受水壶中的浮子上竖直放置一根标尺（称为“漏箭"），漏箭上标有表示时间的刻

度，随着漏水量的增加，受水壶,I的浮子会均匀升高.某数学实践小组仿制了如图2所示的•个类似“水钟”

的实验装置进行模拟实验，实验开始前圆柱容器中有一定高度的水.

2y（厘米）

1

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1•i—II•

-I二

O2345678O/z时\

91x(ZJ

表格记录了圆柱容器内水面高度）’（厘米）与时间/（时）的一些变化情况:

时间/（时）—12345・・・

圆柱容器内水面高度）’（厘

•••357911•••

米）

⑴圆柱容器内水面的高度每小时二升厘米，刚开始容器内水面的高度是厘米；

⑵请在如图所示的平面直角坐标系中描出表格的各点，作出与，的函数图象，并判断容器内水面高度）'（厘

米）与时间/（时）符合一次函数关系吗？

⑶己知圆柱容器内壁深50匣米，实验小组早上8时开启装置进行计时熨验，第二天早上8时水是否会溢出

容器？请通过计算说明.

【答案】⑴2,1

⑵作图见解析，符合

⑶水不会溢出容器

【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；

（1）根据表格数据即可求解；

（2）根据题意描出各点，然后连线即可，从图象可知这些点在同一直线上，故符合题意一次函数关系；

（3）求出函数解析式为），=2/+1,把"24代入求出的值，与圆柱容器内壁深50厘米比较即可.

【详解】（1）解•：由表格可知每小时上升（5—3）+（2—l）=2cm,

圄刚开始容器内水面的高度为3-2=1cm,

故答案为：2,1；

(2)解：如图:

(3)解：设解析式为丁=力+6，当r=Ly=3；r=2,y=5,

k+b=3

2k+b=5"

k=2

解得：

b=\

团解析式为y=z+i,

团从早上8时到第二天早上8时经过了24小时,

0y=2x24+1=49cm,

049cm<50cm,

同水不会溢出.

16.(23-24八年级下•福建厦门•期中)【问题背景】〃刻漏〃是我国古代的一种利用水流计时的工具.综合实

践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀(控制水的流速大小)的软管制作简易计

时装置.

【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm,开始放水后

每隔lOmin观察•次甲容器中的水面高度，获得的数据大致如表所示：

流水时间t/min010203040

水面高度h/cm(观察值)3029282726

任务1：分别计算表中每隔lOmin水面高度观察值的变化量，你能得出什么结论.

【建立模型】小组讨论发现：、=0,0=30〃是初始状态下的准确数据，接着水面高度随着流水时间而变化.

任务2：请利用表格中的数据求水面高度/?与流水时间，的函数解析式；

【模型应用】综合实践小组利用建立的模型，预测了后续的水面高度.

任务3当流水时间为2h时，求水面高度/?的值.

【设计刻度】综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间.

任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案.

【答案】任务L水面高度观察值的变化量为结论是水面高度观察值的变化量为定值，-1;

任务2：力=-05+30：任务3：18cm；任务4：在容器外壁每隔1cm标记一次刻度，这样水面每降低一个

刻度，就代表时间经过了lOmin

【分析】任务L根据表中的数据进行解答即可；

任务2：根据每隔lOmin水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度〃与流水时间，是一次函数关系，

利用L0时，/?=30；f=10时，/?=29,由待定系数法求解；

任务3：把，=120代入函数解析式，求出〃的值即可；

任务4：根据高度随时间变化规律，在容器外壁每隔1c机标记一次刻度即可.

【详解】解：任务1：根据表格中的数据可知：每隔lOmin水面高度观察值的变化量为：

29-30=-1,28-29=-1,27-28=-1,26-27=-1,

结论：水面高度观察值的变化量为定值-1;

任务2：设水面高度〃与流水时同/的闲数解析式为/?=k+〃，

团z=0时，//=30>/=10时fA=29；

[。=30

幽，

[\0k+b=29

代=-0.1

解得:"=30，

团水面高度力与流水时间/的函数解析式为h=-0,U+30：

任务3：把/=12()代入〃=-0.1/+30得：

/z=-O.lxl2O+3O=18,

答：当流水时间为2h时，求水面高度为18cm；

任务4：在容器外壁每隔1cm标记•次刻度，这样水面每降低•个刻度，就代表时间经过了lOmin.

题型五分配问题

17.(23-24八年级上•安徽合肥•期末)学校有3名教师准备带领部分学生(不少于3人)参观野生动物园.经

洽谈，门票价格为教师票每张36元，学生票每张18元，且有两种购票优惠方案.方案一：购买一张教师

票赠送一张学生票；方案二：按全部师生门票总价的80%付款，只能选用其中一种方案购买.设学生人数

为工(人)，师生门票总金额为)7元).

⑴分别求出两种优惠方案中)，与