苏科版九年级数学上册 第四章 等可能条件下的概率（知识清单）

第四章等可能条件下的概率

思维导图

知识点梳理01：等可能性

一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结

果出现.如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具

有等可能性.

【微点拨】

1、设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件每次试验有且只有....其中的一

个..结果出现，而且每个结果出现的机会均等....，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这试

验的结果具有等可能性。

2、无论是试验的所有可能产生结果是有限个，还是无限个，只有具备哪几个特征的试验结果才具有等可能

性？(①在试验中发生的事件都是随机事件②在每一次试验中有旦只有一个结果出现③每个结果出现机会

均等

知识点梳理02：概率

L定义：一般地，对于一个随机事件A,把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概

率，记为P(A).

(1)一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。

(2)概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。

2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事

件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)=-.

n

(1)一般地，所有情况的总概率之和为1。

(2)在一次实验中，可能出现的结果有限多个.

（3）在一次实验中，各种结果发生的可能性相等.

（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越

接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。

（5）一个事件的概率取值：OWP（A）W1

当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1,即P（必然事件）=1

不可能事件的概率为0,即P（不可能事件）=0

随机事件的概率：如果A为随机事件，则0<P（A）<1

（6）可能性与概率的关系

事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1,事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0.

知识点梳理03：求概率的方法

（1）列举法：通常在•次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，

并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用

列表法和树形图法来辅助枚举法。

（2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重

不漏地列出所有可能的结果时使用。

（3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了,

为不重不漏地列所有可能的结果时使用。

易错总结

易错点1：等可能性（核心概念回顾与易混淆点）

概念：一个随机试脸的所有可能结果出现的可能性相同。这是本章所有计算的基础假设。

错误：

忽视前提条件：不是所有随机试脸的结果都是等可能的！例如：掷一枚图钉，钉尖朝上和钉关朝下的可能

性一般不相等：比较两个人的身高，谁更高的可能性也不一定相等。关键是要能判断所给问题是否满足等

可能性条件。

主观臆断：凭感觉认为某种结果更容易出现或更不容易出现，而忽视题目中明确给出的等可能性信息。

【典例精讲1】（2024•北京•一模）学校组织学生到某工艺品加工厂参加劳动实践活动.用甲、乙两台设

备加工三件工艺品，编号分别为从〃，a加工要求如下：

①每台设备同一时间只能加工一件工艺品；

②每件工艺品须先在设备甲上加工完成后，才能进入设备乙加工；

③每件工艺品在每台设备上所需要的加工时间（单位：min）如下表所示：

（1）若要求4B,。三件工艺品全部加工完成的总时长不超过20min,请写出一种满足条件的加工方案.

（按顺序写出工艺品的编号）；

（2）A,B,C三件工艺品全部加工完成，至少需要min.

【易错点拨】本题考查了有理数的加法，概率的分析应用是解题的关键.

（1）罗列出6种情况，选择符合题意的即可；

（2）罗列出6种情况，进行比较大小即可.

【规范解答】按照A8C顺序加工，需要7+2+5+6=20min,

按照4cB顺序加工，需要7+2+〔4一2）+6+5=22min,

按照B&4顺序加工，需要2+5+6+2=15111也；

按照上4C顺序加工,需要2+5+(7—5)+2+(4—2)+6=19min；

按照CAB顺序加工,需要4+6+[7-6)+5=16min；

按照C8A顺序加工，需要4+6+5=15min.

（1）总时长不超过20min,可以按照顺序加工;

（2）通过比较发现，最短时间为15min.

易借点2：概率公式（核心概念回顾与易混淆点）

概念：事件A发生的概率P（A）=事件A包含的样本点数（k）/样本空间中总的样本点数（n）o

错误：

n和k不对应：分子中的样本点数k必须是分母中样本空间n的一部分。常见的错误是在涉及步骤或

多要索时（如放回抽样和不放回抽样），分子和分母使用了不同的样本空间或计数标准。

误用排列组合：该公式的应用前提是所有样本点是等可能且能被清晰列举或计数。如果样本空间本身不等

可能或者计数困难，直接套用公式会出错。

忽视最简形式：计算结果没有化简到最简分数形式。题目要求时没有按要求转换为小数或百分比（保留位

数也可能出错）。

【典例精讲2】（2425九年级上•广东珠海•期末）（1）解方程：x（x-2）-3=0.

（2）填空：如图是计算机中“扫雷”游戏的画面，在一个有9x9个小方格的正方形雷区中，随机埋藏着3

颗地雷，每个小方格内最多只能埋藏1颗地雷.小王在游戏开始时随机地踩中一个方格，踩中后出现了如

图所示的情况，我们把与标号3的方格相邻的方格记为力区域（划线部分），/I区域外的部分记为8区域，

数字3表示在/I区域中有3颗地雷，每个小方格中最多只能藏一颗.那么，第二步应该踩在力区域还是8

区域？

解：•・•再继续踩在力区域踩到地雷的概率为」而踩在8区域踩到地雷的概率为二

・•・第二步应该踩在〃区域.

【易错点拨】本题主要考查了几何概率，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

（1）运用因式分解法进行解方程，即可作答.

（2）先根据已知条件得出各个区域的地雷所占的比例，再进行比较，即可求出答案，

【规范解答】解：（1）x（x-2）-3=0,

X2-2X-3=0,

（x-3）（x4-1）=0,

/.xr=3,x2=—1>

（2）•••在一个有9x9个小方格的正方形雷区中，随机埋藏着3颗地雷，把与标号3的方格相邻的方格记为

力区域（划线部分），力区域外的部分记为8区域，数字3表示在/I区域中有3颗地雷，每个小方格中最多

只能藏一颗.

・•・再继续踩在A区域踩到地雷的概率为菖="而踩在6区域踩到地雷的概率为0,

9-18

・••第二步应该踩在8区域.

故答案为：：；0.

【变式训练2]（2425九年级上-河南驻马店-期末）不透明的袋子装有除颜色外其他都相等的小球共16

个，其中有8个黄球，6个绿球，余下的为红球，从中任取一个，则取出的是红球的概率为（）

A.—B.—C.-D.-

161085

【答案】C

【易错点拨】本题主要考查概率的计算.从袋子中随机取出1个球，共有16种等可能结果，其中是红球的

只有2种结果，利用概率公式计算可得.解题的关键是掌握随机事件的概率（A）事件=可能出现的结果数+

所有可能出现的结果数.

【规范解答】解：口袋中有红球个数为：16-8-6=2,

••・火袋子中航机取出1个球，共有16种等可能结果，具中是红球的只有2种结果，

・•・从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为：白=£

16o

故选：C.

易错点3：树状图与列表法（计算方法的易错点）

概念：用于系统列举样本空间或事件结果的工具。

错误：

选择不当：

对于涉及顺序的事件（如先后抽取、按顺序掷骰子），尤其是不放回的情况，树状图更清晰。

对干两个因素同时发生且因素结果有限的事件（如同时掷两个散子，但需注意顺序与否），列表法可能更方

便。

错误选择导致列举混乱或遗漏。

层次不清晰：使用树状图时，第一层、第二层代表的含义不明确，导致后续计数错误。

标注不清：在树状图的“树枝”上没有清晰标注每一步发生的事件（如抽取球的颜色），仅凭“路径”计

算，容易在复杂图中混淅。

路径计数错误：从树状图根到末端节点的每条路径代表一个样本点，只有“叶子节点”才被计数。可能错

误地把树枝上的中间点也算作结果点。

“等可能枝”的理解：树状图的一个前提是每个分支的发生是等可能的（如榔骰子每个点数概率1/6）。但

在实际画图时，有时为了简化会合并路径（如硬币的“正面”和“反面”各画一个分支），此时必须确保每

个分支代表的事件发生的概率总和是相等的？。不对！关键点是：每个“等可能结果”在其所在的层级有

单独的分支路径。在骰子问题中，每个点数（1到6）都应该有一条从起点出发的路径，每条路径的概率在

假设等可能时是相等的（都为1/6）。合并路径（如点数13合并为一组）会掩盖内部的等可能性差异，此时

该分支的概率不等于1/6,而是1/2（假设3个点数和另3个点数各自等可能）。除非题目明确分组且各组

等可能，否则一般不合并样本点路径。树状图的核心优势是清晰展现所有等可能的样本路径。

【典例精讲3】（2425九年级上•四川资阳•期末）某校进行九年级体能测试，测试后，将学生的体能成绩

分为儿8G〃四个等级，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图.

请你根据统计图信息，回答下列问题：

⑴参加体能测试的学生共有_____名；在扇形统计图中，表示“。等级”的扇形的圆心角的度数为_______：

图中加的值为.

（2）补全条形统计图；

(3)等级为。的学生有4名来自九年级】班，这4名学生中有两名是女生.王老师准备从这4名学生中随机

选出2名学生，清用树状图或列表格的方法求出所选的学生恰好是一男一女的概率.

【易错点拨】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联问题，以及树状图法求概率，旨在考查学生的

数据处理能力.

(1)根据8等级条形统计图和扇形统计图的数据即可求解，根据。等级所占比例即可求解：然后根据“〃

等级”的人数所占的百分比即可求出优

(2)计算出力等级的人数即可求解；

(3)画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解.

【规范解答】(1)解：参加体能测试的学生共有：30-15%=200(名)；

表示“。等级”的扇形的圆心角的度数为：券x360°=72°；

80

m%=——x100%=40%

乙UU

/.m=40；

故答案为:200：720,40：

(2)解：A等级的人数为：200-30-40-80=50(人)

补全条形统计图如卜.：

人数

8()

70

60

50

40

3()

20

10

0

ABCD等级

(3)解：画出树状图如下:

一共有12种等可能的情况，恰好是一男一女的情况有8种，

・•・伶好是一男一女的概率是：

【变式训练3】(2425九年级上•贵州黔东南•阶段练习)贵州山川秀美，景色迷人，是中国西部的一个旅

游区.为了奖励员工，某公司计划组织一次旅游活动，有以下四个地点供选择：A.花江铁索桥；B.马岭

河峡谷；C.二十四道拐；I).万峰林.现随机调查了部分员工最想去的旅游地点，并根据调杳结果绘制了

两幅不完整的统计图.

请你根据统计图中的信息，解答下列问题：

⑴这次调查i共抽取了_______名员工;扇形统计图中，旅游地点〃所对应的扇形圆心角的度数为_________

（2）请补全条形统计图.

⑶在选择旅游地点C的员工中，甲，乙，丙，丁.4人表现最为积极，现打算从这4人中任选2人作为本次

旅游活动的策划员，请用列表或画树状图的方法求出选中的两人中一定有甲的概率.

【答案】（1）50,108°

⑵见解析

⑶]

【易错点拨】（1）先用旅游地点力的人数除以百分比得到总人数，再利用360°x旅游地点〃的百分比即可

得到其圆心角度数；

（2）求出旅游地点。的人数，补全条形统计图即可；

（3）画出树状图得到所有的等可能性的结果，然后找到选中的两人中一定有甲的结果数，最后利用概率公

式求解即可得到答案.

此题考查了条形统计图和扇形统计图的关联，树状图法或列表法求概率，熟练掌握树状图法或列表法求概

率是关键.

【规范解答】（1）解：13・26%=50（名），即这次调查一共抽取了50名员工；

360。xx100%=108。

JU

即旅游地点〃所对应的扇形圆心角的度数为108°,

故答案为：50,108°

（2）解：选择旅游地点。的员工数为50-4-13-15=18（名）

补全条形统计图如图①所示.

（3）画树状图如下:

开始

由树状图可知，可能出现的结果有12种，并且它们出现的可能性相等，其中选中的两人中•定有甲的结果

有6种，所以选中的两人中一定有甲的概率为卷=去

易错点4：分步概率的乘法规则（树状图优势）计算方法的易错点

概念：事件A并且事件B发生的概率：P（A且B）=P（A）XP（B|A）。其中P（B|A）是在事件A发

生的条件下事件B发生的概率。

错误：

混淆“放回”与“不放回”：

放回抽样：第一次抽取结果不影响第二次抽取的样本空间和概.率。即P（B|A）=P（B）o

不放回抽样：第一次抽取结果改变了第二次抽取的样本空间（减少了一个样本），概率也改变。必须重新

计算条件概率P（B|A）。这是最常犯的错误！常表现为计算第二次概率时忘记轲余总数少了一个。

顺序混涉：对于涉及时间先后或步骤顺序的问题（如抽签问题、比赛先后），在树状图或计算时要明确顺

序步骤。

【典例精讲4】（2425九年级上•江西宜春•阶段练习）今年暑假，我市各中小学试行“阳光分班”方案，

以树立教育公平为基本方向，实现机会均等，确保每个孩子享有公平而有质量的教育.某校七年级共设3

个教学班，班号依次为1、2、3,分班过程分两批完成，第一批由家长代表抽签确定各班学生，第二批抽签

确定各班学生对■应的班主任.

⑴小刚被抽到4班是事件（填“必然”“随机”“不可能”）.

（2）求小刚和正老师分到同一个班的概率（请用画树状图或列表的方法求解）.

【易错点拨】本题考查事件的分类、画树状图或列表法求概率，理解题意是解答的关键.

（1）根据事件的分类判断即可；

（2）画树状图得到所有等可能的结果数，再找出符合条件的结果数，进而利用概率公式求解即可.

【规范解答】（1）解：七年级共设3个教学班，班号依次为1、2、3,没有4班，

・•・小刚被抽到4班是不可能事件，

故答案为：不可能；

（2）解：画树状图如下图:

开始

123123I23

共有9种等可能的结果，其中，小刚和正老师分到同一个班的有3种,

・••小刚和正老师分到同一个班的概率为g

【变式训练4]（2324九年级上-广东梅州-期末）三张大小相同的硬纸片上分别写有一个代数式，分别为

4=5X-1,5=-%,。=4%现将这三张纸片背面向上，打乱顺序后在背面标上①、②、③，摆成如图所示

的式子，请你用列表法或画树状图的方法求出能使运算结果为常数的概率.

①-②+③

【答案】；

【易错点拨】本题主要考查了列表法或树状图求概率，

先列表得出所有可能出现的结果，再得出符合题意的结果，然后根据概率公式可得答案.

【规范解答】解：画树状图如下：

①

②

③

-^+C=5x-1-(-x)+4x=10%-1,不是常数,

A-C+B=5x-l-4x-^-（-x）=-1,是常数，

F-7l+C=-x-（5x-1）+4x=-2x+1,不是常数，

同理可知B-C+力=-1,是常数，

C—A+B=—2.x.+1»不是常数，

C-B+A=10x-l,不是常数，

•・•共有6种等可能的结果，其中计算结果为常数的有2种情况,

・•・能使运算结果为常数的概率为:=

63

易错点5：几何概型（典型应用场景的易错点）

概念：当样本点无限多，且区域具有某种均匀性（如长度、面积、体积）时，可用几何区域的测度（长度、

面积、体积）之比计算概率。即：P（A）=A的测度/总测度。

错误：

选择错误测度：混淆长度、面积、体积。例如，在一条数轴上等可能投点算区间概率，应该用长度比：在J

平面区域（如转盘）内投点，应该用面积比：在空间中投点，应该用体积比。

计算测度错误：对所求事件区域和目标区域的测度（长度、面枳）计算不准确（几何基本计算能力不足）。

忽略关键因素：例如，在圆面投点落在某个扇形内，概率等于扇形圆心角/360°（或者扇形面积/圆面积），

而不能错误地认为等于扇形弧长/圆周长（这是周长比，用于在圆周上投点）！必须搞清楚投点是落在面上!

还是线上（边界上）。

【典例精讲5】（2425九年级上•福建三明•阶段练习）如图，大小相同的46两个转盘都被分成红、蓝

两色区域，力盘红色扇形区域与“盘蓝色扇形区域的圆心角都是120°.转动两个转盘各一次进行“配紫色”

游戏，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色即可配成紫色，指针指向区域分界线时重新转动.

（1）4盘转出红色的概率为,月盘转出红色的概率为:

（2）小颖认为：两个转盘的红色区域可以拼成一个圆形，蓝色区域也可以拼成一个圆形，转动两个转盘出现

的所有可能结果为（红，红），（红，蓝），（蓝，红），（蓝，蓝），可求出配成紫色的概率为去判断小颖的

想法是否正确.若正确，说明理由；若不正确，给出正确解答.

【易错点拨】此题考查了概率公式和列表法求概率.

（1）根据相应区域的圆心角度数即可求出答案；

（2）先把转盘1蓝色区域等分成2份，分别记为“蓝1”“蓝2”；转盘8红色区域等分成2份，分别记为

“红1”“红2”，列表求出所有可能情况数，符合要求的情况数，利用概率公式进行解答即可.

【规范解答】（1）解：/盘转出红色的概率为拦丁=；,

3603

8盘转出红色的概率为36°；二I?。二2

3603

故答案为：P

（2）小颖的想法是错误的.

理由如下：先把转盘月蓝色区域等分成2份，分别记为“蓝1”“蓝2”；转盘8红色区域等分成2份，分别

记为“红1”“红2”，然后列表如下：

B盘

红1红2蓝

4盘

红（红，红1）（红,红2）（红，蓝）

蓝1（蓝1,红1）（蓝1,红2）（蓝,蓝）

JHL一（蓝2,红1）（蓝2,红2）（蓝2,蓝）

共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，

转动两个转端，能够配成紫色的结果有5种：（瞌1,红1）（蓝2,红1）（蓝1,红2）（蓝2,红2）（红，

蓝），

所以，〃（能配成紫色）=|.

所以，小颖的想法是错误的

【变式训练5】（2025•陕西西安•三模）课间，小兰用如图所示的两个可以自由转动的转盘进行“配紫色”

游戏，转盘4被分成两个扇形，分别为红色区域和蓝色区域，旦红色区域和蓝色区域所在扇形的面积之比为

1:3；转盘8被分成三个面积相等的扇形，分别为红色区域、黄色区域、蓝色区域.游戏者同时转动两个转

盘，如果两个转盘的指针分别指向蓝色区域和红色区域，那么游戏者就获胜了（指针指向区域分界线则重

新转动转盘）.

（1）转动转盘4转到红色区域的概率为______.

（2）请用画树状图或列表的方法，求游戏者获胜的概率.

【答案】（1）；（2）；

43

【易错点拨】本题主要考查了几何概率，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键.

（1）直接用红色区域的面积除以整个圆的面枳即可得到答案；

（2）通过画树状图或列表的方法，列出所有可能情况，再找到两个转盘的指针分别指向蓝色区域和红色区

域的结果数，最后依据概率计算公式求解即可.

【规范解答】（1）解：•・•转盘A中，红色区域和蓝色区域所在扇形的面积之比为1:3,

・••转动转盘转到红色区域的概率为三

1+34

（2）解:把转盘A的蓝色区域等分成3份，分别记作“蓝1”“蓝2”“蓝3”.

根据题意，列表如下：

8盘A盘红黄蓝

红（红，红）（红，黄）（红，蓝）

蓝1（蓝1,红）（蓝1,黄）（蓝1,蓝）

蓝2（蓝2,红）（蓝2,黄）（蓝2,蓝）

蓝3（蓝3,红）（蓝3,黄）（蓝3,蓝）

由表格可知，共有12种等可能的结果，其中游戏者获胜的结果有4种，

.••游戏者获胜的概率为三=%

易错点6：游戏公平性判断（典型应用场景的易错点）

概念：通过比较游戏双方（或多方）获胜的概率是否相等来判断规则是否公平。

错误：

未计算概率：凭主观感觉判断是否公平，而不是严格计算各自获胜概率。

概率计算错误：由于前述各种原因（如样本空间错误、方法使用不当），导致算出的概率本身错误，进而

影响公平性判断。

结论不明或错误：计算出了概率，但比较结果后不明确写出“公平”或“不公平”的结论，或者比较错误

（如P（A）=1/3和P（B）=1/4时误判为公平）。比较的必须是获胜概率。

【典例精讲6】（2025•陕西榆林•二模）围棋是一种古老的中国传统游戏，起源于中国古代.赵婷和李海

是围棋爱好者，他们在某次对弈前约定规则来决定由谁执黑棋（围棋的第一原则：黑棋先下子，白棋后下

子，然后双方轮流下子）.将两枚白棋和三枚黑棋装入不透明的闱棋罐中，摇匀.

（1）从罐中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回罐中摇匀，不断重复这个过程，共摸棋子20次，其中有7

次摸到白棋.则这20次摸棋子中，摸出白棋的频率是：

（2）他们约定的规则如下：赵婷先从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回，摇匀，然后李海再从罐子

中随机摸出一枚棋子，记下颜色.若摸出的两枚根子颜色不同由赵婷执黑棋，若摸出的两枚根子颜色相同

由李海执黑棋.请用画树状图或列表的方法判断这个规则对双方是否公平？若不公平，他们两人中i隹执黑

棋的概率更大.

【易错点拨】此题考查了频率的计算，游戏的公平性、用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不

遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.

（1）用摸到白球的个数除以摸球的总数即可；

（2）画出树状图，分别求出李海执黑棋和李海执黑棋的概率即可求解.

【规范解答】（1）5=0.35；

（2）画树状图如下:

由树状图可知，共有25种等可能的结果，其中摸出的两枚棋子颜色不同的结果有12种，颜色相同的结果

有13种,

二尸（赵婷执黑棋）二关八李海执黑棋）=羌

•••P（赵婷执黑棋）VP（李海执黑棋），

这个规则对双方不公平，李海执黑棋的概率更大.

【变式训练6]（2526九年级上-全国-课后作业）己知一个布袋里装有3个红球、2个蓝球，这些球除颜

色外都相同，把它们充分搅匀.

（1）”从中任意摸出1个球，不是红球就是蓝球”是事件;“从中任意摸出1个球是黑球”是

事件.（填“必然”“随机”或“不可能”）

（2）从中任意摸出1个球，恰好是红球的概率是.

（3）甲、乙两名同学设计了一个游戏，规则如下：从布袋中任意摸出2个球，已知一红一蓝可配成紫色，若

“配紫色”成功，则乙获胜：否则，中获胜.你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明.

【答案】（1）必然；不可能

⑵|

（3）不公平，理由见解析

【易错点拨】本题考查了事件类型的判断、概率的计算、游戏的公平性的判断，熟知列举法求概率是解题

的关键.

（1）根据事件类型的概念即可判别：在一定条件下，必然会发生的事件是必然事件；在一定条件下，必然

不会发生的事件是不可能事件.

（2）利用概率的公式：符合条件的结果数除以总结果数即可求.

（3）列表，分别求出““两球能配成紫色”和“两球不能配成紫色””的概率，然后进行比较即可判断游

戏是否公平.

【规范解答】解：（1）•・•袋子中放有3个红球，2个蓝球，

・•・当从袋子中随机摸出1个球时，抽取的结果不是红球，就是蓝球.

・•・事件“从中任意摸出r个球，不是红球就是蓝球”是必然事件；

•・•袋子中没有黑球，

・•・事件“从中任意摸出1个球是黑球”是不可能事件.

故答案为：必然；不可能

（2）••・从中任意摸出1个球，共有5种等可能的结果，其中是红球的有3种结果，

・・・P（红球）q.

故答案为：I

（3）设3个红球分别记为红1、红2、红3；2个蓝球分别即为蓝1、蓝2.

根据题意，列表如下：

红1红2红3蓝1蓝2

红1（红1,红2）（红1,红3）（红1,蓝1）（红1,蓝2）

红2（红2,红1）（红2,红3）（红2,蓝1）（红2,蓝2）

红3（红3,红1）（红3,红2）（红3,蓝1）（红3,蓝2）

蓝1（蓝1,红1）（蓝1,红2）（蓝1,红3）（蓝1,蓝2）

蓝2（蓝2,红1）（蓝2,红2）（蓝2,红3）（蓝2,蓝1）

由表可知，共有20种等可能的结果，其中“配紫色”不成功的结果有8种，“配紫色”成功的结果有12种，

...P（甲获胜）=5=P（乙获胜）="=也

・•・P（甲获胜）HP（乙获胜），

••・这个游戏不公平.

易错点7:组合事件（典型应用场景的易错点）

概念：“或”事件（至少一个发生）和“且”事件（同时发生）。

媾误：

未处理重叠（互斥性）：计算“或”事件的概率（P（A或B））时，如果A和B可能同时发生（不互斥），则

不能直接用P（A）+P（B）,而需要用P（A或B）=P（A）+P（B）P（A且B）。最常见的是在掷两个骰子时求

“点数之和为6”或“点数之和为7”的概率，这两个事件互斥，可以直接加：但求“至少有一个6点”或

“点数之和不小于5”等事件时，内部事件可能不互斥。

“且”事件的错误计算：对独立事件和不独立事件（如不放回抽样）不加区分，一律用P（A且B）=P（A）

*P（B）o

【典例精讲7】（2324七年级下•陕西渭南•期末）如图，图1、图2是可以自由转动的两个转盘.图1被

平均分成9等份，分别标有1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字.转动转盘，当转盘停止后，指针指

向的数字即为转出的数字；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是120。.转动转盘，当转盘停

止后，指针指向的颜色即为转出的颜色.

（1）在图1转盘中转出数字6的概率为________.

（2）小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘.若某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转.小颖认为:

小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同.小颖的观点对吗？为什么？

【易错点拨】本题考查概率的应用.熟练掌握概率公式，正确的计算是解题的关键.

（1）共有9种结果，转出数字6的结果有1种，利用概率公式计算即可；

（2）分别求出转出的数字小于7的概率和转出的颜色是红色的概率，进行比较即可得出结论.

【规范解答】（1）共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，”转出数字是6的结果有1种，

・•・〃（转出数字6）=1+9=：；

故答案为:2；

（2）小颖说法正确，理由：

小明转动图1的转盘：转出的数字共有9种等可能的结果，其中，转出的数字小于7共有6种等可能的结

果，所以小明转出的数字小于7的概率是全

小亮转动图2的转盘：红色部分所在扇形的圆心角度数是360°-120°=240°,

••/（转出红色）=粤=j

36。3

.•/（转出数字小于7）=P（转出红色），

小颖的观点是对的.

【变式训练7】（2324九年级上•福建泉州•期末）贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆

全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”

的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐.甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球

练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜

的概率均%各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判.

⑴求第4局甲当裁判的概率；

（2）求前4局中乙恰好当1次裁判的概率.

【答案】（1）；

4

⑵:

【易错点拨】（1）本题考查了概率的计算，逐局分析胜负计算概率即可解题.

（2）本题考查了用列举法求概率，考虑前4局中乙恰好当1次裁判出现的局数，逐一计算概率，即可解题.

【规范解答】（1）解•：要第4局甲当裁判，则第3局甲输，

•・•第1局甲当裁判,

.•.第2局甲为选手，

•••每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，

.••第2局甲获胜,

第4局甲当裁判的概率=ZXZ/=4

（2）解：•••第1局甲当裁判，

，乙恰好当1次裁判出现在第2、3、4局，

当在第2局时的概率=（1一x：=

\2/24

当在第3局时的概率=XX=4

当在第4局时的概率=3x：x（1-J）=%

•••乙恰好当1次裁判的概率=:+;+:=今

4488

易错训练

1.（2425九年级.1二•河南周口•期末）某学校开设了四门兴趣课程，分别为“音乐”、“网球”、“陶艺”、“口

才”.为保证学习效果，学校规定每位学生只能选择一门自己最喜欢的课程学习.琪琪与涵涵对这四门课程

都感兴趣，在没有沟通的情况下，两人选择同一门课程的概率是（）

A.-B.-C.-I）.-

4832

【答案】A

【易错点拨】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.而树状图，共有16种等可能的结果，其中琪琪

与涵涵两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，再由概率公式求解即可.

【规范解答】解：设“音乐”、“网球”、“陶艺”、“口才”这四种课程分别为小B、aD.

画树状图如下：

开始

CD

ABCDABCDABCDABCD

共有16种等可能的结果，其中琪琪与涵涵两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，即A4、BB、CC、DD,

，两人选择同一门课程的概率猊/

故选：A.

2.（2425九年级上•贵州黔东南,阶段练习）如图，电路图上有四个开关儿B,C,〃和一个小灯泡，闭合

开关〃或同时闭合开关4都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（）

【答案】A

【易错点拨】本题考查了列表法与树状图法，能够根据题意画树状图是解题的关键.首先根据题意画出树

状图，然后由树状图求得所有等川能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即川求得答案.

【规范解答】解：画树状图得：

BCDACDARDARC

•・•共有12种等可能的结果，任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，

，小灯泡发光的概率为：=

故选：A.

3.（2425九年级上-贵州黔东南・阶段练习）将分别标有“我”“爱”“贵”“州”汉字的四个小球装在一个

不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，然后放回；再随

机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成词语“贵州”的概率是（）

【答案】C

【易错点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果m再从中选出

符合事件4或8的结果数目然后利用概率公式计算事件4或事件8的概率.画树状图展示所有16种等可能

的结果数，再找出两次摸出的球上的汉字组成“贵州”的结果数，然后根据概率公式求解.

【规范解答】解：画树状图：

开始

我爱贵州爱我贵州贵我爱州州我爱贵

共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球上的汉字组成“贵州”的结果数为2,

所以两次摸出的球上的汉字组成“贵州”的概率=告="

168

故选：C.

A-IB-I"D.1

【答案】A

【易错点拨】本题考查列表法或树状图法求概率及概率公式，熟练掌握列表法或树状图法得出所有的等可

能的结果数是解题的关键.画树状图得出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再根据概率公式

求解即可.

【规范解答】解：画树状图如卜：

开始

第一个正方形黑白

第二个正方形黑白黑三

共有4种等可能的结果，恰好是一个黑色小正方形和一个白色小正方形的结果有2种，

・••伶好是一个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为：；=p

故选：A.

5.（2425九年级上•贵州黔东南•阶段练习）从T,-1,2,3四个数中随机选取两个不同的数，分别记为

a,c,则关于*的方程。/+轨+。=0有两个不相等的实数根的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

6323

【答案】I）

【易错点拨】本题考查树状图法求概率，根的判别式，先画出树状图，求出ac的值的个数，再求出方程有

两个不等的实数根的情况，利用概率公式进行计算即可.

【规范解答】解：由题意，画出树状图如下：

共有12种等可能的结果，当△=42-4QC=16-4QC>0时，关于x的方程a/+4x+c=0有两个不等

的实数根，

・•・符合题意的情况有8种，

故选：I）.

6.（2425九年级上•广东梅州•期末）如图，小李与小陈做“石头，剪刀，布”的猜拳游戏，规定当两人

出拳的手指数之和为奇数时小李获胜，则小李获胜的概率为（）

燧）。9

A.-B.-C.-D.-

9933

【答案】B

【易错点拨】本题考杳了列表法与树状图法以及概率公式；根据题意列出表格是解题的关键.

【规范解答】解：将小李与小陈的出拳情况的手指数之和列为下表：

石头剪刀布

石头025

剪刀247

布5710

则共有9种情况，其中两人出拳的手指数之和为奇数的情况有4种，

•••小李获胜的概率为;.

故选:B.

7.（2425九年级上•四川成都•阶段练习）为了认真学习贯彻党的二十精神，蕖校开展了以“喜迎二十大,

奋进新征程”为主题的党史知识竞赛活动，答题后随机抽取了名学生答卷，统计他们的得分情况如下:

得分x<7070<%<8080<x<9090<%<100

人数（人）23n87

据此估计，若随机抽取一名学生答卷，得分不低于80分的概率为.

【答案】0.95/^

20

【易错点拨】本题考查了根据概率公式求概率，掌握概率公式求概率是解题的关键.根据概率公式直接计

算即可求解.

【规范解答】解：得分低于80分的为2+3=5人，总人数为100人，

，不低于80分的有95人，

・••随机抽取一名学生答卷，得分不低于80分的概率为粉=0.95,

故答案为：0.95.

8.（2425九年级上•河南开封•期末）一个不透明的盒子中装有若干个红球和15个黑球，这些球除颜色外

均相同.经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为.

【答案】45

【易错点拨】本题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握求概率公式是解此题的关键.设袋子中红球有x

个，根据摸到黑球的频率稳定在0.25左右，可列出关于x的方程，求出x的值，从而得出结果.

【规范解答】解：由题意，摸到黑球的概率为0.25.

设袋子中红球有x个，

根据题意，得煞=0.25

X+15

解得：x=45,

经检验，％=45是所列方程的解，且符合题意，

・••盒子中红球的个数约为45个，

故答案为：45.

9.（2425九年级上•四川资阳•期末）互联网的进步，改变着人们的生活方式，购物支付也有着巨大变化.在

一次购物中，小明和小红都想从微信、支付宝、云闪付三种支付方式中选一种方式进行支付，则两人恰好

选择同一种支付方式的概率为.

【答案】［

【易错点拨】本题考查了树状图的问题，掌握树状图的性质、概率公式是解题的关键.

根据题意画出树状图，再根据树状图求出概率即可.

【规范解答】解：根据题意画图如下：

共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同支付方式的有3种，

所以两人恰好选择同一种支付方式的概率为；=

故答案为：

10.（2425九年级上•甘肃嘉峪关­期末）在英语单词teac猊r中任意选出一个字母，选出的字母为e的概

率是.

【答案】；

【易错点拨】本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比.熟记概率公式是解题的关键.直

接由概率公式求解即可.

【规范解答】解：•・・在英语单词teac/er中任意选出一个字母，共有7种等可能的结果，其中选出的字母为

e的结果有2种，

・•・选出的字母为。的概率是泉

故答案为：*

11.（2025•安徽合肥•二模）如图，一张圆桌配有4个党子，甲、乙、丙三人随机选择一个凳子坐下，恰

好甲、乙两人坐在相邻的位置的概率是.

【答案】|

【易错点拨】本题考杳运用画树状图或图表法的概率的计算，解题关键是运用树状图法或图表法准确列举

出所有库位安排情况，讲而确定甲、乙相邻的情况数，再利用概率公式求解.

设出四个凳子编号，用树状图列出甲、乙、丙三人所有可能的座位安排情况，依据相邻位置组合，从所有

情况中找出甲、乙相邻的情况，

根据概率公式，计算出甲、乙相邻的概率.

【规范解答】设四个凳子依次为1号、2号、3号、4号.用甲，乙，丙，和空表示三人的座位安排情况.

共有24种不同做法，其中两人坐在相邻的位置为在1和2或2和3或3和4或4和1的共有16种，

；・甲、乙两人坐在相邻位置的概率为学=

243

故答案为：

12.（2425九年级上•黑龙江哈尔滨•期中）一个不透明的袋子中装有7个小球，其中4个红球、2个蓝球，

1个白球，这些小球除颜色外无其他差别，小明同学从袋子中随机摸M1个小球，则摸出的小球是红球的概

率是.

【答案】:

【易错点拨】本题主要考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键.根据概率公式进行计算即可.

【规范解答】解：从袋子中随机摸出1个小球，共有7种等可能的情况，其中是红球的有4种情况，

故P=4

故答案为：三.

13.（2025•安徽合肥•一模）将如图摆放的三个正方形，分别随机涂成黑色成白色，则相邻正方形（两个

正方形有公共边)，颜色不同的概率是

【答案】:

4

【易错点拨】本题考查了利用概率公式求概率.设白色和黑色分别为1和2,得到所有可能的结果数和颜色

不同的结果数，再利用概率公式即可求解.

【规范解答】解：设白色和黑色分别为1和2,

则共有111,112,121,211,221,212,122,222,共8种等可能的结果数，其中相邻正方形(两个正方

形有公共边)，颜色不同的结果数有121,212,共2种，

所求概率是?=%

故答案为：

4

14.(2425九年级上-甘肃天水・期末)一个不透明的口袋里装有分别标着汉字“我”“爱”“中”“国”的

四个小球，四个小球除所标汉字不同外其他都相同.将口袋中的小球摇匀，随机摸出一个小球，记录小球

上所标的汉字，记为一次试验.

(1)小尹从中随机摸出一个小球，摸到的球上所标汉字恰好是“爱”的概率是；

(2)若小户从中随机摸出一个小球，不放回，再从剩下的三个小球中随机摸出•个小球，请用树状图或列表

法求摸到的两个小球上所标汉字能组成“中国”的概率.

【答案】(1)；4

(2)摸出的两个球上的汉字能组成“中国”的概率为:

6

【易错点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果小再从中选出

符合事件4或8的结果数目然后利用概率公式计算事件力或事件8的概率.

(1)直接利用概率公式求解；

(2)列表展示所有12种等可能的结果数，再找出取出的两个球上的汉字能组成“中国”的结果数，然后

根据概率公式求解.

【规范解答】(1)解：从中摸出一个球，球上的汉字恰好是“爱”的概率为:，

4

故答案为：:；

4

(2)解：列表如下:

我