电路与电子技术-课件 第10章 逻辑代数基础

清华大学自动化系2025.08电子电路与微处理器基础叶朝辉FundamentalsofElectronicCircuitsandMicroprocessor10.1数制与码制10.2逻辑代数基础10.3逻辑函数的表示方法及变换10.4逻辑函数的化简第10章逻辑代数基础2310.1.1

数码10.1.2

数制10.1.3

不同进制之间的转换10.1.4

二进制算术运算10.1数制与码制410.1.1数码

数字信号对应的数字（数码）也可以表示不同的事物或事物的不同状态。例如，红、绿、蓝三原色可以用0、1、2三个数字表示；学生的学号也可以用数字表示。数字电路(DigitalElectronicCircuit)

用于产生或处理数字信号。数字信号：离散的电压（或电流）值，该电量通常为0或者是某个电量(Δ)的整数倍，该倍数对应不同的数字（数码）。数字信号tu(V)02431tu(V)05电压值(例如5V，3.3V)0102030403020101010101510.1.2数制多位数码中每一位的构成方法和从低位到高位的进位规则称为数制，常见的有十进制、二进制、八进制、十六进制。二进制是逢二进一八进制是逢八进一十六进制则是逢十六进一

与十进制相比，二进制在表示同一个数字时需要的位数多，但是在进行数学运算时却简单一些。此外，由于二进制中的数字只有0和1，处理起来相对简单，因而电路也简单。610.1.3不同进制之间的转换一、二进制转换为十进制

(1011)2十进制数：D=dn-1dn-2……d1d0=

di*10i(125)10=(1*102+2*101+5*100)10二进制数：=(8+0+2+1)10=(11)10

=1*23+0*22+1*21+1*20(1011.01)2=1*23+0*22+1*21+1*20+0*2-1+1*2-2=(8+0+2+1+0+0.25)10=(11.25)10

第i位代表的权重权重第i位二、十进制转换为二进制(11)10=(1011)2

(11)10=1*23+0*22+1*21+1*20

十进制数→依次除以2的余数→

二进制数=23+21+1D=bm-1*2m-1+bm-2*2m-2+……+b1*21+b0*20（1）首先将11除以2，得到商为5，余数为1，即得到二进制的第0位b0=1；（2）再用商5除以2，得到商为2，余数为1，即得到二进制的第1位b1=1；（3）再用商2除以2，得到商为1，余数为0，即得到二进制的第2位b2=0；（4）最后用商1除以2，得到商为0，余数为1，即得到二进制的第3位b3=1。8三、二进制与十六进制的转换

十六进制数H的每一位数hi的数值h的范围为0~15的整数（其中10~15分别用a、b、c、d、e表示），且hi均可表示为4位二进制数。十六进制数(ac6)16=(101011000110)2二进制数(111010110101)2=(eb5)169表10-1-14位二进制数与十进制数和十六进制数的对照表十进制数二进制十六进制0000000010001102001020300113040100405010150601106070111708100080910019101010A111011B121100C131101D141110E151111F1010.1.4二进制算术运算二、二进制正数的加法 +5（00101）+4（00100）=

9（01001）00101+

00100=01001+11=（01011）-11=（11011）一、二进制数的表示：最高位为符号位（0为正，1为负）三、二进制正数的减法和负数的加法00101+10100=1

1001错误结果00001正确结果（1）二进制正数减法用加法实现 +5(00101)2-4(00100)2=+5(00101)2+(-4)(10100)2=-9(11001)2

得到错误结果。（2）补码、反码设最高位为符号位（0为正，1为负）正数的补码和它的原码相同负数的补码=数值位逐位求反(反码BINV)+1，

符号位不变

例如+4的补码=(00100) -4的补码=(11011)+1=(11100)00101+10100=1

1001╳补码√

10100原码+11100补码=10000负数的加法用补码BCOMP的加法来实现！1负数的原码与补码之和为2n(10000=1111+1)00101+=0000100111··加上补码等于减去原码！13－10=？

+13的补码=+13的原码（01101）-10的补码=-10的反码+1

01101+10110=00011=(11010)的反码+1=

(10101)+1=（10110）

··（3）采用补码实现正数的减法和负数的加法13－10=3A×B：A根据B的非零位左移累加四、二进制乘法和除法1.二进制乘法十进制9×5即二进制1001×0101的竖式：

1001×01011001乘数第1位为“1”，与被乘数相乘，得到被乘数

0000乘数第2位为“0”，与被乘数相乘为0，并左移1位

1001乘数第3位为“1”，与被乘数相乘，得到被乘数，并左移2位

0000乘数第4位为“0”，与被乘数相乘为0，并左移3位=0101101部分积相加得到结果因此乘法可以用移位和加法实现。2.二进制除法A/B：二进制除法可以用减法实现，9/3=3，用9连续三次减去3，余数为0，商为3。二进制运算的特点：加、减、乘、除

全部可以用相加和移位这两种操作实现。简化了电路结构!数字电路中普遍采用二进制算术运算！而二进制算术运算通常可以用逻辑运算实现。1610.2.1

基本概念10.2.2

三种基本逻辑运算10.2.3

几种常用的复合逻辑运算10.2.4

逻辑代数的基本公式10.2逻辑代数基础1710.2.1基本概念

逻辑：事物的因果关系

逻辑运算的数学基础：

逻辑代数

在二进制逻辑运算中的变量取值：0/1逻辑代数又称布尔代数，1847年，英国数学家乔治.布尔发表《逻辑的数学分析》，1854年发表了《思维规律》，布尔代数问世，用于集合运算和逻辑运算，为数字计算机的开关电路设计提供了重要的数学方法和理论基础。乔治.布尔1810.2.2三种基本逻辑运算

与（AND）

或（OR）

非（NOT）逻辑抽象：分析因果关系A=1表示开关A合上，A=0表示开关A断开；Y=1表示灯亮，Y=0表示灯不亮；三种电路的因果关系不同。一、三种基本逻辑运算关系19二、三种基本逻辑运算的表达式、符号和真值表与条件同时具备，结果发生Y=AANDB=A&B=A·B=ABABY0000100011真值表逻辑式20或条件之一具备，结果发生Y=AORB=A+BABY0000110111真值表逻辑图逻辑式21非(反)条件不具备，结果发生

Y=NOTA=A′AY0110真值表逻辑式逻辑图2210.2.3几种常用的复合逻辑运算与非

或非

与或非异或同或23一、与非逻辑运算

表达式为Y=(A∙B)′=(AB)′表10-2-4与非逻辑真值表ABY00101110111024二、或非逻辑运算

逻辑式为Y=(A+B)′表10-2-5或非逻辑真值表ABY00101010011025三、与或非逻辑运算

逻辑式为Y=(AB+CD)′表10-2-5与或非逻辑真值表ABCDY0000100011001010011001001010110110101110100011001110101101101100011010111001111026四、异或逻辑运算

异或逻辑运算的结果是，当两个输入信号A、B不相同时，输出结果为1，否则为0。

逻辑式为Y=A

B，可以写为Y=AB′+A′B表10-2-6异或逻辑真值表ABY00001110111027五、同或逻辑运算

同或逻辑运算的结果是，当两个输入信号A、B相同时，输出结果为1，否则为0。

逻辑式为Y=A⊙B，也可以写为Y=A′

B′+A

B表10-2-7同或逻辑真值表A

B=(A⊙B)′，(A

B)′=A⊙BABY0010101001112810.2.4逻辑代数的基本公式表10-2-8逻辑代数的基本公式序号公

式序号公

式11′

=0;0′=110

(A′)′=A20A=0110+A=A31A=A121+A=14AA=A13A+A=A5AA′=014A+A′=16AB=BA称为交换律15A+B=B+A称为交换律7A(BC)=(AB)C称为结合律16A+(B+C)=(A+B)+C称为结合律8A(B+C)=AB+AC称为分配律17A+BC=(A+B)(A+C)

称为分配律9(AB)′=A′+B′称为反演律（德·摩根定理）18(A+B)′=A′B′称为反演律（德·摩根定理）29序号公

式21A+AB=A称为吸收率22A+A′B=A+B称为吸收率23AB+AB′=A称为吸收率24A(A+B)=A称为吸收率25AB+A′C+BC=AB+A′CAB+A′C+BCD=AB+A′C26A(AB)′=AB′;A′(AB)′=A′表10-2-9逻辑代数的常用公式3010.3.1

逻辑函数及其表示方法10.3.2

常用的逻辑函数式及转换10.3.3

逻辑函数式的最小项之和形式10.3逻辑函数的表示方法及变换3110.3.1逻辑函数及其表示方法

逻辑函数可以用逻辑函数式（逻辑式）、真值表、逻辑图、波形图等表示，他们之间可以互相转换。图10-3-1与非逻辑函数的波形图

当已知与非逻辑函数的波形图时，可以列出其真值表，然后根据真值表写出逻辑式，最后画出逻辑图。32由真值表写出逻辑式的方法如下：1.将真值表中所有输出为1的项所对应的各输入变量的乘积项相加并化简.其中输入变量为1时用原变量表示，为0时用反变量表示；2.当输出为1的项较多而输出为0的项较少时，也可以将所有输出为0的项所对应的各输入变量的乘积项相加再取反，然后化简。3310.3.2常用的逻辑函数式及转换

常用的逻辑函数式有与-或逻辑式和与-非逻辑式等，简称为与-或式和与-非式。

与-或式为乘积项之和（积之和）的形式，例如Y=A’BC+AC’D。与-非式中的逻辑变量相与之后再取反，例如Y=(AB’C)′。

在用电路实现逻辑函数关系时，由于受到现有器件种类或类型的限制，有时需要将逻辑函数式转换为另一种形式。例如，当要求用与非门实现电路时，则需要将与-或式转换为与-非式。3410.3.3逻辑函数式的最小项之和形式一、最小项n个不同变量以原变量或者反变量的形式相与的乘积项称为最小项，n变量最多可以组成2n个最小项。表10-3-1三变量最小项的真值表及编号最小项编号最小项使最小项为1的变量取值ABCm0A’B’C’000m1A’B’C001m2A’BC’010m3A’BC011m4AB’C’100m5AB’C101m6ABC’110m7ABC11135二、最小项之和形式

将逻辑函数化为与-或式，即乘积项之和的形式，然后利用基本公式A+A’=1将乘积项中缺少的变量补全，即可得到最小项之和的标准形式。例

将Y=A’BC+AC’

化为最小项之和形式

由于第二项AC’中缺少B变量，因此利用B+B’=1补全。Y=A’BC+A(B+B’)C’=A’BC+ABC’+AB’C’

=m3+m6+m4=m3+m4+m63610.4.1化简方法简介10.4.2

公式化简法10.4.3

卡诺图化简法10.4逻辑函数的化简3710.4.1化简方法简介

常见的逻辑式的化简方法有公式化简法和卡诺图化简法。公式化简法即利用逻辑代数的基本公式和常用公式消除公式中的多余乘积项和每个乘积项中的多余变量，直至最简。卡诺图化简法利用绘图方式将最小项填入表格中，然后将逻辑相邻项进行合并化简。

当需要借助计算机进行快速化简时，可以采用奎恩—麦克拉斯基化简法（Q-M法）。

此外，也可以利用Multisim软件的“逻辑转换器”化简。3810.4.2公式化简法常用的公式化简方法有并项法、吸收法、消去法、配项法等。一、并项法

利用公式A+A′=1将两项合并，并消去一个变量。

例如：利用并项法化简Y=A′BC+ABC′+AB′C′

Y=A′BC+ABC’+AB′C′=A′BC+A(B+B′)C′=A′BC+AC′二、吸收法

利用公式A+AB=A(1+B)=A可将AB消去。

例如：利用吸收法化简Y=AB′C+BC′+A′BC′

Y=AB′C+BC′+A′BC′=AB′C+BC′(1+A′)=AB′C+BC′39三、消去法

利用公式A+A′B=A+B可将A′消去。

例如：利用消去法化简Y=ABC’+C

Y=ABC′+C=AB+C

四、配项法

利用公式A+A=A、A+A′=1可以在逻辑式中增加必要的项，然后再用其它化简方法化简，能得到更加简单的结果。

例：利用配项法化简Y=ABC+A′BC+A′BC′

Y=ABC