2026年高考数学第一次模拟考试提分卷04（全国一卷）（试卷及全解全析）

1/22026年高考第一次模拟考试数学（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．2．若复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则（

）A．5 B． C．3 D．3．已知向量，．若，则（

）A．1 B． C．12 D．4．已知，，则的值为（

）A． B． C． D．5．已知一个圆柱与一个圆锥的轴截面分别为正方形与正三角形，且正方形与正三角形的边长相等，则该圆柱的体积与圆锥的体积的比值为（

）A． B． C． D．6．函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．7．已知函数的零点为轴上的所有整数，则函数的图象与函数的图象的交点个数为（

）A． B． C． D．8．已知定义域为R的函数满足：为偶函数，，且，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某社区医院工作人员在社区内开展了“如何护理患有黄疸的新生儿”的知识讲座，并向参与讲座的每人发放了一份相关的知识问卷．该讲座结束后，共收回问卷100份．据统计，这100份问卷的得分（满分为100分）近似服从正态分布，下列说法正确的是（

）附：若，则，，．A．这100份问卷得分数据的期望是80，标准差是25B．这100份问卷中得分超过85分的约有16份C．D．若在其他社区开展该知识讲座并发放知识问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布10．已知函数，则下列说法正确的有（

）A．f（x）无最大值 B．f（x）有唯一零点C．f（x）在（0，＋∞）单调递增 D．f（0）为f（x）的一个极小值11．在平面直角坐标系中，已知曲线，点为曲线C上一点，则（）A．曲线C关于y轴对称B．曲线C关于原点对称C．点P的横坐标x0的取值范围为D．直线y＝x+1与曲线C有且仅有两个公共点第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.小明的爸爸是个“健步走”运动爱好者，他用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数，并将记录结果整理成了如下的统计表：步数/万步1.11.21.31.41.5天数375123在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是．13．若圆与椭圆外切，则．14．某班有A，B两个学习小组，其中A组有2位男生，1位女生，B组有2位男生，2位女生.为了促进小组之间的交流，需要从A，B两组中随机各选一位同学交换，则交换后A组中男生人数的数学期望为.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．(本小题满分13分）在中，角所对的边分别为．(1)若，求的值；(2)求面积的最大值．16．（本小题满分15分）已知函数（）.(1)求在区间上的最大值与最小值；(2)当时，求证：.17．(本小题满分15分）已知四棱柱中，平面，在底面四边形中，，点是的中点.

(1)若平面平面，求三棱锥的体积；(2)设且，若直线与平面所成角等于，求的值.18．(本小题满分17分）已知双曲线，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线交于，两点.(1)若直线经过坐标原点，且直线，的斜率，均存在，求；(2)设直线与直线的交点为，且，证明：直线与直线的斜率之和为0.19．(本小题满分17分）混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，比如天气预测、种群数量变化和天体运动等等，其中一维线段上的抛物线映射是混沌动力学中最基础应用最广泛的模型之一，假设在一个混沌系统中，用来表示系统在第个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态满足，，其中.(1)当时，若满足对，有，求的通项公式；(2)证明：当时，中不存在连续的三项构成等比数列；(3)若，，记，证明：.

2026年高考第一次模拟考试数学·全解全析（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，，所以，故选B2．若复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则（

）A．5 B． C．3 D．【答案】B【解析】由复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，得，所以.故选：B3．已知向量，．若，则（

）A．1 B． C．12 D．【答案】C【解析】（方法一）由，，得．由，得，即，解得．故选：C．（方法二）由，得，即，将代入得，，解得．故选：C．4．已知，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，所以，解得，所以，故选：C5．已知一个圆柱与一个圆锥的轴截面分别为正方形与正三角形，且正方形与正三角形的边长相等，则该圆柱的体积与圆锥的体积的比值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设正方形与正三角形的边长为2，则圆柱的体积为，圆锥的体积为，所以圆柱的体积与圆锥的体积的比值为.故选：C6．函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于函数有意义，可得，即，解得.设，则函数在上单调递增，在上单调递减，又函数在定义域上单调递增，故函数的单调递减区间为.故选：D.7．已知函数的零点为轴上的所有整数，则函数的图象与函数的图象的交点个数为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数的零点为轴上的所有整数，所以函数的最小正周期，所以，且，结合，可得，所以．作出函数与函数的图象，如下图所示，可知函数的图象与函数的图象有个交点，故选：D．

8．已知定义域为R的函数满足：为偶函数，，且，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】由题意知定为域为R的函数满足：为偶函数，即，即，结合，得，即，故，即，则，故8为函数的一个周期，由于，，故令，则，结合，令，得，对于，令，则，故，故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某社区医院工作人员在社区内开展了“如何护理患有黄疸的新生儿”的知识讲座，并向参与讲座的每人发放了一份相关的知识问卷．该讲座结束后，共收回问卷100份．据统计，这100份问卷的得分（满分为100分）近似服从正态分布，下列说法正确的是（

）附：若，则，，．A．这100份问卷得分数据的期望是80，标准差是25B．这100份问卷中得分超过85分的约有16份C．D．若在其他社区开展该知识讲座并发放知识问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布【答案】BC【解析】由题意得，该问卷得分数据服从正态分布，可得数据的期望是，方差是，标准差是，所以A错误；由，可得，所以该问卷中得分超过85分的约有16份，所以B正确；由正态分布概率密度曲线的对称性，可得，所以C正确；由同一份问卷发放到不同社区，得到的数据不一定相同，所以D错误．故选BC.10．已知函数，则下列说法正确的有（

）A．f（x）无最大值 B．f（x）有唯一零点C．f（x）在（0，＋∞）单调递增 D．f（0）为f（x）的一个极小值【答案】ACD【解析】，记因为，且，在区间上显然递增，所以记为的零点，则有所以当时，，在上单调递增，又因为，所以当时，，当时，，所以当时，有极小值，D正确；由上可知，在上单调递增，且当x趋近于正无穷时，也趋于正无穷，故AC正确；易知，故B错误故选：ACD11．在平面直角坐标系中，已知曲线，点为曲线C上一点，则（）A．曲线C关于y轴对称B．曲线C关于原点对称C．点P的横坐标x0的取值范围为D．直线y＝x+1与曲线C有且仅有两个公共点【答案】BCD【解析】因为曲线，点为曲线C上一点，所以.将点代入曲线C的方程左端中，可得：.因为不一定成立，所以曲线C不关于y轴对称，故选项A错误；将点代入曲线C的方程中，可得：，所以曲线C关于原点对称，故选项B正确；由曲线，整理得：.因为，所以，解得：，故选项C正确；联立，消去y并整理得：，此时，所以直线与曲线C有且仅有两个公共点，故选项D正确．故选：BCD．第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.小明的爸爸是个“健步走”运动爱好者，他用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数，并将记录结果整理成了如下的统计表：步数/万步1.11.21.31.41.5天数375123在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是．【答案】、【解析】由众数的定义，根据表格知走万步共有12天，即众数为，由中位数的定义，根据表格知第15、16个数据分别为、，即中位数为.13．若圆与椭圆外切，则．【答案】【解析】圆的圆心，半径为1，椭圆的左、右顶点分别为，，由圆与椭圆外切，得圆与椭圆外切于点或点，因此或，所以.14．某班有A，B两个学习小组，其中A组有2位男生，1位女生，B组有2位男生，2位女生.为了促进小组之间的交流，需要从A，B两组中随机各选一位同学交换，则交换后A组中男生人数的数学期望为.【答案】/【解析】设组出男生为事件，组出女生为事件，组出男生为事件，组出男生为事件，根据已知条件有：，，，；两组各自出哪个人相互独立，设交换后组中男生的人数为，则的可能取值为，，；，，；所以.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．(本小题满分13分）在中，角所对的边分别为．(1)若，求的值；(2)求面积的最大值．【解】（1由正弦定理，…………2分可得，…………5分（2）第一步：利用基本不等式与余弦定理求的取值范围，，…………6分由余弦定理可得，…………8分，…………9分第二步：利用同角三角函数的基本关系求sinC的取值范，，…………11分第三步：根据三角形的面积公式求面积的最大值，………12分当且仅当时，等号成立，此时面积取得最大值…………13分16．（本小题满分15分）已知函数（）.(1)求在区间上的最大值与最小值；(2)当时，求证：.【解】（1）第一步：求导，判断导函数的单调性，求出导函数的零点（）（），令，则，…………1分第二步：求时函数的最值当时，，所以在区间上恒成立，在区间上单调递增，所以，…………3分第三步：求时函数的最值当时，，则当时，，在区间上单调递减；当时，，在区间上单调递增，所以，而，.所以………6分第四步：总结综上所述，当时，，；当时，所以，.………7分（2）第一步：放缩，将问题转化为证明因为，，所以，欲证，只需证明，…………8分第二步：构造函数，求导设，（），，……9分第三步：构造函数，确定的零点令，易知在上单调递增，而，，所以由零点的存在性定理可知，存在唯一的使得，即，…………11分第四步：判断函数的单调性，求出的最值因此，，当时，，，在上单调递减；当时，，，在上单调递增；……13分所以第五步：得出结论所以，因此.…………15分17．(本小题满分15分）已知四棱柱中，平面，在底面四边形中，，点是的中点.

(1)若平面平面，求三棱锥的体积；(2)设且，若直线与平面所成角等于，求的值.【解】（1）第一步：作于点，得出过作于点，由平面平面，平面平面，平面，则平面，又平面，则，………………2分

第二步：证明平面，得出在四棱柱中，平面，即平面，而平面，于是，又平面，则平面，又平面，则，…………4分第三步：利用三角形的边角关系计算体积在底面四边形中，，即，又，则，即，且，………6分又有，则在等腰直角中，，即，又，则，，又，所以.…………8分（2）第一步：建立空间直角坐标系由四棱柱中，平面，以点为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，

第二步：写出相关点的坐标设，则，，，…………10分第三步：求平面的法向量在平面中，，设平面的一个法向量为，则，令，得，…………12分第四步：直线与平面所成角等于列式求则，………14分即，整理得，而解得，所以.…………15分18．(本小题满分17分）已知双曲线，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线交于，两点.(1)若直线经过坐标原点，且直线，的斜率，均存在，求；(2)设直线与直线的交点为，且，证明：直线与直线的斜率之和为0.【解】（1）第一步：设点的坐标，并表示出两直线的斜率当直线经过坐标原点时，，两点关于原点对称.设，，，于是，.…………2分第二步：将点的坐标代入双曲线方程，并作差因为，，三点都在双曲线，所以，两式作差，，…………4分第三步：求出所以.…………6分（2）第一步：设直线的方程及点的坐标，表示出和已知，由题意可知均有斜率，可设直线，直线，，，，.，.…………9分第二步：联立方程，消去，写出根与系数的关系联立直线方程与双曲线的方程：.整理得，，当时，.，.…………12分第三步：用，分别表示出，于是，同理可得，.………