（艺术生）2026年高考数学一轮复习讲义+基础巩固练习 数列 第02讲 等差数列及其前n项和（教师版）

第第页第02讲等差数列及其前n项和第一部分：知识点必背1.等差数列的概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示．数学语言表示为()(或者），为常数．(2)等差中项：若，，成等差数列，则叫做和的等差中项，且.注：证明一个数列是等差数列可以使用①定义法：()(或者）②等差中项法：2.等差数列的有关公式(1)若等差数列的首项是，公差是，则其通项公式为，可推广为(*)．(2)等差数列的前项和公式(其中)．3.等差数列的常用性质已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．(1)等差数列中，当时，()．特别地，若，则()．(2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即，，，…仍是等差数列，公差为()．(3)也成等差数列，其首项与首项相同，公差为.(4)，，…也成等差数列，公差为.（5）若数列,均为等差数列且其前项和分别为,,则4.等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的关系可化为的形式．当时，是关于的一次函数；当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列．(2)等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数，表示为(，为常数)．高频考点一：等差数列基本量的运算例题1．已知等差数列的前8项和为68，，则（

）A．300 B．298 C．295 D．296【答案】C【详解】设等差数列的公差为，因为等差数列的前8项和为，可得，即，即，又由，可得，联立方程组，解得，所以.故选：C.例题2．已知等差数列{an}中，，，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？【答案】45【详解】由题意得，解得，令，得,所以153是这个数列的第45项.练透核心考点1．在数列中，，，则的值为（

）A．96 B．98 C．100 D．102【答案】D【详解】因为，可得数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以.故选：D.2．记为等差数列的前项和，若，则（

）A．30 B．28 C．26 D．13【答案】C【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，，，所以.故选：C.高频考点二：等差数列的判断与证明角度1：定义法证明或判断例题1．数列中，，且，则这个数列的前20项的和为（

）A．495 B．765 C．450 D．120【答案】C【详解】因为在数列中，，且，即所以数列是首项为，公差为3的等差数列，数列的前项和.故选：C.例题2．已知数列中，，．(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列的通项公式．【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）因为，，所以，即，所以，即数列是首项为1，公差为3的等差数列.（2）由（1）可知，数列是首项为1，公差为3的等差数列，所以，所以.角度2：等差中项法证明或判断例题1．已知数列满足：.(1)求的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）所以数列是等差数列，设其公差为，则，.所以数列的通项公式为.例题2．已知数列的前项和为，且满足，..(1)求数列的通项公式；【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，为等差数列，设公差为，又，，；角度3：前项和形如的形式例题1．已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)，【详解】（1）因为①，所以时，②，由①②相减，可得，，当时，，满足，

故的通项公式为，．例题2．设等差数列的前n项和为，且．(1)求及数列的通项公式；(2)求的最小值及对应的的值．【答案】(1)，(2)，n＝8或n＝9【详解】（1）由等差数列的前n项和公式可知，所以k＝0，即，所以，当时，．当n＝1时也符合上式，故．（2）由（1）可得，所以是关于n的二次函数，又，所以当n＝8或n＝9时，取得最小值，故．练透核心考点二1．已知，则______．【答案】100【详解】由可知是一个等差数列，且公差为，首项为19，所以，故答案为：1002．已如数列的前项和为，，当时，．(1)证明数列为等差数列，并求；(2)求数列的前项和为．【答案】(1)证明见解析，(2)【详解】（1）解：当时，由，得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列．所以，即．（2）解：由（1）知，所以，①所以，②①②得，所以．3．已知数列的前n项和为，且．(1)求的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）解：当时，．当时，，所以，因为也满足，所以通项公式为．高频考点三：等差数列的性质例题1．设等差数列的前项和为，且，．则（

）A．29 B．32 C．35 D．38【答案】B【详解】因为数列为等差数列，则，可得，设等差数列的公差为，可得，所以.故选：B.例题2．在等差数列中，是方程的根，则＝________.【答案】3【详解】由是方程的根得＝3.又数列为等差数列，∴＝＝3.故答案为：3例题3．已知为等差数列的前项和.若，，则当取最大值时，的值为___________.【答案】6【详解】因为，所以，又，所以0，所以，则，故答案为：6.练透核心考点三1．已知等差数列中，，则（

）A．30 B．15 C．5 D．10【答案】B【详解】∵数列为等差数列，，所以∴.故选：B2．若前项和为的等差数列满足，则（

）A．46 B．48 C．50 D．52【答案】C【详解】由，有，根据等差数量性质可知，所以，故，所以，所以.故选：C.高频考点四：等差数列的单调性例题1．设为等差数列的前项和，且，都有，若，则（

）A．的最小值是 B．的最小值是C．的最大值是 D．的最大值是【答案】C【详解】由得，∴数列为递减的等差数列，∵，∴，，∴当且时，，当且时，，∴有最大值，最大值为.故选：C.例题2．设为等差数列的前项和，，则___________，若，则使得不等式成立的最小整数___________.【答案】613【详解】因为，所以；因为，所以，所以为递减数列，又，，所以.故答案为：6；13．练透核心考点1．等差数列是递增数列，且公差为，满足，前项和为，下列选项错误的是（

）A． B．C．当时最小 D．时的最小值为【答案】C【详解】对于A选项，因为等差数列是递增数列，则，A对；对于B选项，因为，即，可得，B对；对于C选项，，所以，当或时，最小，C错；对于D选项，，因为，解得，故时的最小值为，D对.故选：C.2．已知等差数列的前项和为，，，当取最大值时的值为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【详解】，所以，又，故，故公差，所以是递减数列，前9项为正，其余项为负，即时，取最大值.故选：C.高频考点五：等差数列的前项和角度1：等差数列的项和的基本量计算例题1．设等差数列的前项和为，若，则（

）A．44 B．48 C．55 D．72【答案】A【详解】设的公差为d，则，即，则，故选：A.例题2．若数列为等差数列，且，，则该数列的前项和为_________．【答案】【详解】由题意数列为等差数列，且，，设数列公差为d，则，解得，故，故答案为：角度2：含绝对值的等差数列的项和例题1．已知在前项和为的等差数列中，，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前20项和．【答案】(1)；(2).【详解】（1）由，则，由，则，所以，即，故，则.（2）由（1）知：，可得，即，故时，所以.角度3：等差数列的奇数项（偶数项）的和例题1．已知某等差数列的项数为奇数，前三项与最后三项这六项之和为，所有奇数项的和为，则这个数列的项数为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由已知，，所以，所有奇数项的和为，于是可得.故选：A.例题2．等差数列共有项，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则等于________．【答案】【详解】因为等差数列共有项，所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，所以，，解得.故答案为：.练透核心考点五1．已知数列的前项和为.若，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由得：，数列是以为首项，为公差的等差数列，.故选：C.2．记为等差数列的前n项和．若，则_______．【答案】666【详解】设等差数列的公差为，则由得，解得，又，所以，由可得，所以.故答案为：666.3．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（

）A．9B．10C．11D．12【答案】B【详解】分别设该数列奇数项和与偶数项和分别为∴，∴，∴n＝10，故选:B.4．已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设等差数列共有项，则，，中间项为，故，，故选：B.5．已知在等差数列中，，.(1)求数列的通项公式；(2)设是数列的前项和，求.【答案】(1)；(2)【详解】（1）解：设等差数列的公差为，则，解得，所以，.（2）解：.因此，.6．在等差数列中，，，求数列的前n项和．【答案】【详解】设等差数列的公差为d，则，解得，．所以．由得，即数列的前5项为正，其余各项为负．数列的前n项和．所以当时，；当时，，即．高频考点六：等差数列的前项和的性质角度1：等差数列的片段和性质例题1．等差数列前项的和为，前项的和为，则它的前项的和为（

）A．130 B．170 C．210 D．260【答案】C【详解】利用等差数列的性质：成等差数列，所以，即，解得.故选：C.例题2．设是等差数列的前项和，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由等差数列的性质可知、、、成等差数列，∵，即，，∴，，∴，，∴.故选：A.角度2：两个等差数列前项和的比的问题例题1．等差数列的前项和分别为，且，则（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【详解】∵，∴由等差数列的性质及等差数列的求和公式可得，.故选：B.例题2．已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】即，又等差数列的前项和形式满足，故.则，故.故选：A练透核心考点六1．设等差数列的前项和为，若，则等于（

）A．9 B．11 C．13 D．25【答案】B【详解】设公差为，，因为，，所以，故选:B.2．等差数列的前n项和记为，且，，则=（

）A．70 B．90 C．100 D．120【答案】D【详解】在等差数列中，成等差数列，所以，则，即.故选：D.3．若等差数列和的前项的和分别是和，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为和是等差数列,故故选:C4．已知两个等差数列{}和}的前n项和分别为和，且，则的值为（）A． B． C． D．2【答案】A【详解】因等差数列前n项和为关于n的不含常数项的二次函数，又，则可设，，则.故选：A5．已知等差数列的前n项和为，若，，则___________【答案】【详解】由题设成等差数列，所以，则，所以.故答案为：6．设等差数列，的前项和分别为，，若，则________．【答案】【详解】因为，所以.故答案为：第02讲等差数列及其前项和1．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如将一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数．如图所示，三角形数，，，……在这个自然数中三角形数的个数是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意知，，……可归纳为，则，，故在中三角形数的个数为个.故选：A．2．若一个等差数列的前7项和为21，则该等差数列的第4项为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【详解】因为第4项为该等差数列前7项的中间项，所以，故选：B.3．已知数列为等差数列，且满足，，则的值为（

）A．2033 B．2123 C．123 D．0【答案】D【详解】设等差数列的公差为，则，所以，故选：D.4．设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由等差数列的前项和公式，可得，可得，又由且，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：D.5．已知等差数列和的前项和分别为，，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，得，.故选：B.6．设等差数列，的前项和分别为，.若，则______【答案】/0.4【详解】因为，，所以,故答案为：7．记为数列的前项和，已知，．(1)求{an}的通项公式；(2)证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）当时，由，两式相减，得．所以数列从第三项起，每一项与前一项的差为，因为，所以，所以当时，，显然不适合，故；（2）因为，，数列从第三项