第4章锐角三角函数单元测试2025-2026学年湘教版九年级数学上册 含答案

/湘教版九年级上册第4章锐角三角函数单元测试一、选择题1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则tanA的值为（）A.5B.12C.5D.122.在△ABC中，∠C＝90°，AB=6，BC=3，则∠A.30°B.45°C.60°D.75°3.某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于P的北偏东30°方向，且相距80千米．客轮以60千米/小时的速度沿北偏西60°方向航行1小时到达B处，那么AB＝（）千米．A.90B.100C.110D.1204.由小正方形组成的网格如图，A，B，C三点都在格点上，则∠ABC的正切值为（）A.5B.2C.1D.55.sin60°的值为（）A.3B.2C.1D.16.如图，在坡比为i＝1：2.5的山坡种树，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为5m，那么相邻两棵树间的坡面距离为（）A.2.5mB.5mC.6.25mD.297.△ABC在网格中的位置如图所示，则cos∠ACB的值为（）A.1B.2C.3D.38.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=1213，则tanA.2B.3C.3D.59.如图，已知∠a的对边OP⊥AB，直线AB的方程为y=−33A.1B.2C.3D.310.如图，直线y=34x+3与x、y轴分别交于A、A.4B.3C.4D.511.化简1−2sin

A.sin30°﹣cos30°B.cos30°﹣sin30°C.1﹣sin30°D.1﹣cos30°12.如图，小乐和小静一起从点A出发去拍摄木棉树FH．小乐沿着水平面步行17m到达点B时拍到树顶点F，仰角为63°；小静沿着坡度i＝5：12的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为45°，那么这棵木棉树的高度约（）m．（结果精确到1m）（参考数据：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，tan63°≈2.0）A.22B.21C.20D.19二、填空题13.用计算器计算：2sin46°+3cos28°52'≈_______.（结果保留小数点后两位）14.求下列正切值（精确到0.0001）．然后用“＜”把它们连接起来．tan53°49'，tan14°32'，tan89°43'22″，tan60°，tan7°．15.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝4，c＝5，则cosB＝

．16.如图，两条宽度都为l的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角α＝60°，它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是_______________．17.图1是某折叠式躺椅的实物图，图2是靠背垂直地面时的侧面展开图，此时四边形ABCD是矩形，AB＝20cm，AD＝305cm，DE＝60cm，BF＝30cm．点H在BC上，椅子的支撑杆AF、BG、CE分别绕B、H、D转动并带动AI转动，支撑杆LK、JM不动．躺椅在转动时：（1）若直线EF过点J，当∠ADE＝120°时，△AFJ的面积是_______cm2．（2）若12＜tan∠EDI＜2，EF与地面的夹角为α，则tan三、解答题18.根据下列图中所给条件分别求出∠A，∠B的正切值．19.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，求tanA和tanB．20.在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，c＝15，sinA=35，求b与tan21.如图，在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则sinA=ac，cosA=bc，tanA=ab．我们不难发现：sin260°+cos260°＝1，…试探求sin22.（1）如图中①、②，锐角的正弦值和余弦值都是随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值及余弦值的变化规律；（2）根据你探索到的规律，试分别比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．

湘教版九年级上册第4章锐角三角函数单元测试（参考答案）一、选择题1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则tanA的值为（）A.5B.12C.5D.12【答案】D【解析】根据勾股定理可得：BC=AB∴tanA=BC故选：D．2.在△ABC中，∠C＝90°，AB=6，BC=3，则∠A.30°B.45°C.60°D.75°【答案】B【解析】∵∠C＝90°，AB=6，BC=∴sinA=BC∴∠A＝45°．故选：B．3.某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于P的北偏东30°方向，且相距80千米．客轮以60千米/小时的速度沿北偏西60°方向航行1小时到达B处，那么AB＝（）千米．A.90B.100C.110D.120【答案】B【解析】∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距80千米．∴AP＝80千米，∵客轮以60千米/小时的速度沿北偏西60°方向航行1小时到达B处，∴∠APB＝90°，BP＝60×1＝60，∴AB=8故选：B．4.由小正方形组成的网格如图，A，B，C三点都在格点上，则∠ABC的正切值为（）A.5B.2C.1D.5【答案】C【解析】如图，作CD⊥AB于点D，则CD=2BD=22+故tan∠ABC=CD故选：C．5.sin60°的值为（）A.3B.2C.1D.1【答案】A【解析】sin60°=3故选：A．6.如图，在坡比为i＝1：2.5的山坡种树，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为5m，那么相邻两棵树间的坡面距离为（）A.2.5mB.5mC.6.25mD.29【答案】D【解析】由题意可知：在Rt△ABC中，AC＝5m，斜坡AB的坡比为i＝1：2.5，则BC＝2m，由勾股定理得：AB=A故选：D．7.△ABC在网格中的位置如图所示，则cos∠ACB的值为（）A.1B.2C.3D.3【答案】B【解析】作AD⊥BC的延长线于点D．在Rt△ADC中，BD＝AD，则AB=2BDcos∠ACB=AD故选：B．8.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=1213，则tanA.2B.3C.3D.5【答案】D【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，sinA∴BCAB设BC＝12x，则AB＝13x，AC=∴tanB故选：D．9.如图，已知∠a的对边OP⊥AB，直线AB的方程为y=−33A.1B.2C.3D.3【答案】A【解析】根据题意：直线AB的方程为y=−33x则A点坐标为（1，0），B点坐标为（0，33故AO＝1，BO=33；AB=23由于同角的余角相等即∠α＝∠ABO，所以cosa＝cos∠ABO=1故选：A．10.如图，直线y=34x+3与x、y轴分别交于A、A.4B.3C.4D.5【答案】A【解析】当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝﹣4，∴直线y=34x+3与x、y轴的交点∴OA＝4，OB＝3，由勾股定理得，AB＝5，则cos∠BAO=OA故选：A．11.化简1−2sin

A.sin30°﹣cos30°B.cos30°﹣sin30°C.1﹣sin30°D.1﹣cos30°【答案】B【解析】∵cos2α+sin2α＝1，∴原式=sin∵sin30°=12=∴cos30°＞sin30°，∴原式＝cos30°﹣sin30°．故选：B．12.如图，小乐和小静一起从点A出发去拍摄木棉树FH．小乐沿着水平面步行17m到达点B时拍到树顶点F，仰角为63°；小静沿着坡度i＝5：12的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为45°，那么这棵木棉树的高度约（）m．（结果精确到1m）（参考数据：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，tan63°≈2.0）A.22B.21C.20D.19【答案】C【解析】过点C作CD⊥AH，垂足为D，过点C作CE⊥FH，垂足为E，由题意得：CD＝EH，CE＝DH，AB＝17米，∵斜坡AC的坡度i＝5：12，∴CDAD∴设CD＝5x米，则AD＝12x米，在Rt△ACD中，AC=CD2∵AC＝13米，∴13x＝13，解得：x＝1，∴CD＝EH＝5米，AD＝12米，设CE＝DH＝y米，∴BH＝AD+DH﹣AB＝12+y﹣17＝（y﹣5）米，在Rt△BFH中，∠FBH＝63°，∴FH＝BH•tan63°≈2（y﹣5）米，在Rt△CEF中，∠FCE＝45°，∴FE＝CE•tan45°＝y米，∵EF+EH＝FH，∴y+5＝2（y﹣5），解得：y＝15，∴FH＝FE+EH＝15+5＝20（米），∴这棵木棉树的高度约为20米，故选：C．二、填空题13.用计算器计算：2sin46°+3cos28°52'≈_______.（结果保留小数点后两位）【答案】4.07【解析】2sin46°+3cos28°52'≈2×0.719+3×0.876＝1.438+2.628＝4.066≈4.07．故答案为：4.07．14.求下列正切值（精确到0.0001）．然后用“＜”把它们连接起来．tan53°49'，tan14°32'，tan89°43'22″，tan60°，tan7°．【答案】解∵tan53°49'≈1.3672，tan14°32'≈0.2592，tan89°43'22″≈206.6765，tan60°≈1.7321，tan7°≈0.1228，∴tan7°＜tan14°32'＜tan53°49'＜tan60°＜tan89°43'22″【解析】15.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝4，c＝5，则cosB＝

．【答案】【解析】由题意可知，a＝4，c＝5，∠C＝90°，∴cosB=ac故答案为：．16.如图，两条宽度都为l的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角α＝60°，它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是_______________．【答案】2【解析】∵AC=1∴它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为：233×故答案为：2317.图1是某折叠式躺椅的实物图，图2是靠背垂直地面时的侧面展开图，此时四边形ABCD是矩形，AB＝20cm，AD＝305cm，DE＝60cm，BF＝30cm．点H在BC上，椅子的支撑杆AF、BG、CE分别绕B、H、D转动并带动AI转动，支撑杆LK、JM不动．躺椅在转动时：（1）若直线EF过点J，当∠ADE＝120°时，△AFJ的面积是_______cm2．（2）若12＜tan∠EDI＜2，EF与地面的夹角为α，则tan【答案】（1）18751511cm2（2）1137【解析】（1）若直线EF过点J，当∠ADE＝120°时，如图1所示，由题意可知，AB∥CD，∴∠F＝∠E，∠FAJ＝∠ADE＝120°，∴△FAJ∽△EDJ，∴AFDE∵AF＝AB+BF＝50cm，DE＝60cm，∴AFDE∴AJ=511AD过点F作FN⊥DA交DA的延长线于点N，则∠ANF＝90°，在Rt△AFN中，∠FAN＝180°﹣∠FAJ＝60°，AF＝50cm，∴FN＝AFsin∠FAN＝50×sin60°＝253，∴△AFJ的面积=12×AJ×FN=（2）当tan∠EDI=12时，如图2所示，作EP⊥DI于点P，则∠EPD＝90°，设EF交AD于点由题意可知，AB∥CD，∴∠F＝∠QED，∠FAQ＝∠QDE，∴△FAQ∽△EDQ，∴AFDE∵AF＝AB+BF＝50cm，DE＝60cm，∴AFDE∴DQ=611AD设EP＝x，则DP＝2x，由勾股定理得：EP2+DP2＝DE2，∴x2+（2x）2＝602，解得x＝125cm，∴EP＝125cm，DP＝245cm，PQ＝DP+DQ=444∴tanα＝tan∠EQP=EP当tan∠EDI＝2时，如图3所示，同理可求得DQ=180511cm，DP＝125cm，EP∴PQ＝DP+DQ=312∴tanα＝tan∠EQP=EP∵EF与地面的夹角α随着∠EDI的增大而增大，∴当12＜tan∠EDI＜2时，tanα的取值范围是1137＜故答案为：18751511cm2；1137＜三、解答题18.根据下列图中所给条件分别求出∠A，∠B的正切值．【答案】解①中tanA=BCAC=2②中tanA=BCAC=119【解析】19.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，求tanA和tanB．【答案】解∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴tanA=BCAC=3【解析】20.在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，c＝15，sinA=35，求b与tan【答案】解如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵sinA=BC即BC＝9，根据勾股定理AC=AB2∴tanB=AC总上所述，b的值为12，tanB=4【解析】21.如图，在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则sinA=ac，cosA=bc，tanA=ab．我们不难发现：sin260°+cos260°＝1，…试探求sin【答案】解存在的一般关系有：（1）sin2A+cos2A＝1；（2）tanA=sin证明：（1）∵sinA=ac，cosAa2+b2＝c2，∴sin2A+cos2A=a（2）∵sinA=ac，cosA∴tanA=a=sin

【解析】22.（1）如图中①、②，锐角的正弦值和余弦值都是随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值及余弦值的变化规律；（2）根据你探索到的规律，试分别比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．【答案】解（1）由图①，知sin∠B1AC1=B1C1AB1sin∠B3AC3=B∵AB1＝AB2＝AB3且B1C1＞B2C2＞B3C3，∴B