山东省青岛大学附属中学2025-2026学年九年级上册第十五周数学周测试卷（含解析）

/青大附中九年级第15周检测卷一、选择题（共8小题．每题4分，共32分）1.下列函数中是二次函数的有（）①y=x＋；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④．A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【详解】利用二次函数定义，①不是二次函数.②是二次函数.③y=（x＋3）2－2x2=.是二次函数.④不是二次函数.选B.2.下列函数关系中，是二次函数的是（）A.在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B.当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C.等边三角形的周长c与边长a之间的关系D.圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系【答案】D【解析】【分析】根据各选项的意思，列出个选项的函数表达式，再根据二次函数定义的条件判定则可．【详解】解：A、y=mx+b，当m≠0时（m是常数），是一次函数，错误；B、t=，当s≠0时，是反比例函数，错误；C、C=3a，是正比例函数，错误；D、S=πR2，二次函数，正确．故选D．【点睛】本题考查二次函数的定义．3.关于抛物线y＝3x2，下列说法正确的是（）A.开口向下 B.顶点坐标为（0，3） C.对称轴为y轴 D.当x＜0时，函数y随x的增大而增大【答案】C【解析】【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、增减性、顶点坐标，可求得答案．【详解】解：∵y＝3x2，∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0），∴A、B都错误，C正确，∵a＝3＞0，对称轴为x＝0，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，∴D错误，故选：C．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．用到的知识点：在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．当a＜0时，抛物线y＝开口向下，x＜h时，y随x的增大而增大；x＞h时，y随x的增大而减小；x＝h时，y取得最大值k，即顶点是抛物线的最高点．4.二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的图像与各系数的关系，熟知相关知识点是正确解答此题的关键．根据二次函数的图像特征判断的正负，再依据的正负确定一次函数的图像所经过的象限，从而对各选项进行判断．【详解】解：A、B、由二次函数的图象开口向上，，一次函数的图象应经过一、二、三象限，故A、B选项错误，不符合题意；C、D、由二次函数的图象开口向下，，一次函数的图象应经过二、三、四象限，故D选项错误，不符合题意，C选项正确，符合题意；故选：．5.如图，在中，，，，则的长为（）A. B. C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可．【详解】如下图，作于，在中，，，，，在中，，，，，故选：D．【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键．6.如图，在离铁塔200米A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高为1.5米，则铁塔的高为（）A.米 B.米C.米 D.米【答案】C【解析】【分析】过A作BC的垂线，垂足为E，先利用矩形性质得AE及CE的长，再利用三角函数的定义求出BE的长度，利用BC=BE+CE即可得答案．【详解】解：过A作BC垂线，垂足为E，如图所示，则四边形ADCE为矩形，∴AD=CE=1.5米，CD=AE=200米，在Rt△ABE中，tanα=，∴BE=200·tanα，∴BC=BE+CE=（米），故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），根据题意作出辅助线，构造直角三角形是解题关键．7.如图，在中，为上一点，且，过点作于，连结，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据，设，，则，再利用平行线分线段成比例定理求出BC和AC，再利用线段的和差求出CE即可解答【详解】解：在中，∵，∴设，则，，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，，∴，∴．故选：D.【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，平行线分线段成比例定理，解题关键是学会利用参数解决问题．8.如图，在平面直角坐标系系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接．若，，则的值是（）A.4 B.6 C.8 D.2【答案】C【解析】【分析】首先根据直线求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，求得结论．【详解】解：如图所示，过点B作BD⊥y轴于B，∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，∴点C的坐标为（0，2），∴OC＝2，∵，∴BD＝2，∵tan∠BOC，∴，∴OD＝4，∴点B的坐标为（2，4），∵反比例函数y在第一象限内的图象交于点B，∴，故选C．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，根据正切值求边长，解题的关键是仔细审题，能够求得点B的坐标．二、填空题（本大题共8小题．共32分）9.已知关于的二次函数的图象开口向下，___________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的定义以及二次函数的图象和性质，根据二次函数的定义，指数必须为2，且开口向下时二次项系数小于零，由此列出方程和不等式求解即可．【详解】解：由于函数是二次函数，故指数满足，解得，所以或．又因为图象开口向下，故二次项系数，即，故满足，故答案为：．10.抛物线上有两点、，若，则___________【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据二次函数的性质，得到函数图像开口向下，对称轴为，然后得到时，随的增大而减小，根据，即可得到与的关系．【详解】解：抛物线的二次项系数，抛物线开口向下，对称轴为，，两点均在对称轴右侧，随的增大而减小，．故答案为：．11.如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④，则的大小关系为________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二次函数性质，解决问题的关键是采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小．设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．【详解】解：直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，，，故答案为：．12.赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为．当水面离桥拱顶的高度为时，水面宽度为____．【答案】20【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．根据题意可得的纵坐标为，把代入解析式确定的坐标，进而求得的长即可解答．【详解】解：根据题意的纵坐标为，把代入，得，，，．即水面宽度．故答案为：．13.如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，若连接格点，，与交于点，则___________．【答案】【解析】【分析】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，求解锐角的正切，熟练构建需要的直角三角形是解本题的关键．连接，由正方形的性质可得：，，，再求解的正切即可．【详解】解：如图，连接，由正方形的性质可得：，，，∴，故答案为：．14.如图是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为6m，则自动扶梯的垂直高度BD=_________m．（结果保留根号）．【答案】【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到BC＝AC＝6cm，根据三角函数定义即可求解．【详解】解：∵∠BAC＋∠ABC＝∠BCD＝60°，又∠BAC＝30°，∴∠ABC＝30°，∴BC＝AC＝6cm，在Rt△BCD中，cm故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-俯角仰角问题，坡度坡角问题、含30°角的直角三角形，解题的关键是掌握仰俯角的定义，求得BC＝AC＝6cm．15.如图，在某监测点处望见一艘正在作业的渔船在南偏西方向的处，若渔船沿北偏西方向以60海里/小时的速度航行，航行半小时后到达处，在处观测到在的北偏东方向上，则、之间的距离为________海里.【答案】【解析】【分析】由题意可求得∠CAB=90º，∠ABC=45º，则△ABC为等腰直角三角形，再由路程=时间×速度求得AC，再通过解该直角三角即可求得BC．【详解】由题意知，∠CAB=75º+15º=90º，∠ABC=60º-15º=45º，AC=60×0.5=30海里，则有△ABC为等腰直角三角形，∴BC=，故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——方向角，解答的关键是推知△ABC为等腰直角三角形．16.如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从相距米的1号楼和2号楼的地面正中间点垂直起飞到点处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为．已知1号楼的高度为20米，那么2号楼的高度为________米（结果保留根号）．【答案】【解析】【分析】本题考查了解直角三角形．过点E作于，于，先利用正切三角函数可求出的值，在中，求出的值，然后根据线段的和差即可得出答案．【详解】解：如图，过点E作于，于，则四边形和四边形均为矩形，，由题意得：米，米，米，，，在中，，即，解得（米），米，在中，，，，米，（米），答：2号楼的高度是米．故答案为：．三、计算题（其2小题，每题6分）17.计算（1）；（2）【答案】（１）（2）【解析】【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．熟练掌握特殊角的三角函数值，是解题的关键．（1）利用的三角函数值，二次根式的乘方、乘法、加法法则计算；（2）利用的三角函数值，完全平方公式分解因式，算术平方根性质，二次根式的加法法则计算．【小问1详解】解：．【小问2详解】解：．四、解答题18.如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22º时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45º时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上)．(1)求教学楼AB的高度；(2)学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离(结果保留整数)．(参考数据：sin22º≈，cos22º≈，tan22º≈)【答案】（1）12m（2）27m【解析】【分析】（1）首先构造直角三角形△AEM，利用，求出即可．（2）利用Rt△AME中，，求出AE即可．【详解】解：（1）过点E作EM⊥AB，垂足为M．设AB为x．在Rt△ABF中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF＋FC=x＋13．在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB－BM=AB－CE=x－2，又∵∴，解得：x≈12．∴教学楼的高12m．（2）由（1）可得ME=BC=x+13≈12+13=25．在Rt△AME中，，∴AE=．∴A、E之间的距离约为27m．19.如图，点在函数的图像上．已知的横坐标分别为－2、4，直线与轴交于点，连接．（1）求直线的函数表达式；（2）求的面积；（3）若函数的图像上存在点，使得的面积等于的面积的一半，则这样的点共有___________个．【答案】（1）直线AB的解析式为：；（2）6；（3）4【解析】【分析】（1）将的横坐标分别代入求出生意人y的值，得到A，B点坐标，再运用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（2）求出OC的长，根据“”求解即可；（3）分点P在直线AB的上方和下方两种情况根据分割法求解即可．【详解】解：（1）∵A，B是抛物线上的两点，∴当时，；当时，∴点A的坐标为（-2，1），点B的坐标为（4，4）设直线AB的解析式为，把A，B点坐标代入得解得，所以，直线AB的解析式为：；（2）对于直线AB：当时，∴∴==6（3）设点P的坐标为（，）∵的面积等于的面积的一半，∴的面积等于=3，①当点P在直线AB的下方时，过点A作AD⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，垂足分别为D，F，