2025年《高等数学（一）》极限与积分专项卷

2025年《高等数学（一）》极限与积分专项卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.极限lim(x→2)(x^3-8)/(x^2-4)的值是()A.4B.2C.1D.不存在2.当x→0时，下列函数中为无穷小量的是()A.sin(1/x)B.e^x-1C.log(1+x)D.1/(x^2+1)3.函数f(x)=|x|在点x=0处()A.极限存在B.连续C.可导D.左右导数存在但不相等4.若f(x)=x^2+ax+b在x=1处连续且可导，则()A.a=2,b=1B.a=-2,b=2C.a=0,b=1D.a=2,b=05.若f'(x)=cos(x)，则f(x)的一个原函数是()A.sin(x)B.-sin(x)C.cos(x)D.-cos(x)二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。6.极限lim(x→∞)(3x^2-x+2)/(5x^2+1)=________.7.若f(x)=x^2+ln(x)，则f'(1)=________.8.函数f(x)=2x^3-3x^2在区间[-1,3]上的最大值是________，最小值是________.9.若f'(x)=e^x+1/x，则f(x)=________+C(C为常数).10.定积分∫[0,π/2]sin(x)dx=________.三、计算题：本大题共5小题，共60分。11.(本小题满分10分)求极限lim(x→0)(e^x-1-x)/(x^2).12.(本小题满分12分)计算不定积分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx.13.(本小题满分12分)计算定积分∫[1,2](x^2-1)/(x^2+1)dx.14.(本小题满分12分)计算不定积分∫x*sin(x)dx使用分部积分法.15.(本小题满分12分)计算定积分∫[0,1]x^2*e^xdx使用分部积分法.试卷答案一、选择题：1.B2.B3.A4.D5.B二、填空题：6.3/57.38.最大值3，最小值-29.e^x+ln|x|+C10.1三、计算题：11.解析：lim(x→0)(e^x-1-x)/(x^2)是"0/0"型未定式，使用洛必达法则。原式=lim(x→0)[e^x-1]/(2x)=lim(x→0)e^x/2=1/2.12.解析：∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫[(x+1)^2+2(x+1)+1]/(x+1)dx=∫(x+1)dx+∫2dx+∫1/(x+1)dx=∫xdx+∫1dx+∫2dx+∫dx+∫1/(x+1)dx=(x^2/2)+x+2x+x+ln|x+1|+C=x^2/2+3x+ln|x+1|+C.13.解析：∫[1,2](x^2-1)/(x^2+1)dx=∫[1,2][(x^2+1-2)/(x^2+1)]dx=∫[1,2][1-2/(x^2+1)]dx=∫[1,2]1dx-2∫[1,2]1/(x^2+1)dx=[x]_[1,2]-2[arctan(x)]_[1,2]=(2-1)-2(arctan(2)-arctan(1))=1-2(arctan(2)-π/4).14.解析：使用分部积分法，令u=x,dv=sin(x)dx，则du=dx,v=-cos(x).∫x*sin(x)dx=-x*cos(x)-∫(-cos(x))dx=-x*cos(x)+∫cos(x)dx=-x*cos(x)+sin(x)+C.15.解析：使用分部积分法，令u=x^2,dv=e^xdx，则du=2xdx,v=e^x.∫[0,1]x^2*e^xdx=[x^2*e^x]_[0,1]-∫[0,1]e^x*2xdx=(1^2*e^1)-(0^2*e^0)-2∫[0,1]x*e^xdx=e-0-2∫[0,1]x*e^xdx.再对∫[0,1]x*e^xdx使用分部积分法，令u=x,dv=e^xdx，则du=dx,v=e^x.∫[0,1]x*e^xdx=[x*e^x]_[0,1]-∫[0,1]e^xdx=(1*e^1)