热点1-2 不等式与复数8大题型：题型8 复数的几何意义及应用（解析版）

高中数学精选资源热点1-2不等式与复数8大题型题型8复数的几何意义及应用1、不等式不等式的性质、求解、证明以及应用时每年高考的必考内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主，主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值问题。但不等式的相关知识往往可以渗透到高考的各个知识领域，作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档，其中在解析几何中利用不等式求解、范围或解决导数问题时利用不等式进行求解，难度偏高。2、复数复数是高考数学的必考题，常见考查复数的四则运算、共轭复数、实部、虚部、模等概念，偶尔考查几何意义-复数与平面内的点对应，基本出现在前2题的位置，难度不大，属于容易题。一、解一元二次不等式的步骤第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；第二步：写出相应的方程，计算判别式：①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；②时，求根；③时，方程无解第三步：根据不等式，写出解集.二、含参数的一元二次不等式讨论依据1、对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论；2、当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论；3、当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集。三、分式、高次、绝对值不等式的解法1、分式不等式的解法：解分式不等式的实质就是讲分式不等式转化为整式不等式。设A、B均为含x的多项式（1）（2）（3）（4）【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母。2、高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：（1）标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式；（2）分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正；（3）求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）（4）穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧）（5）得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间3、绝对值不等式：（1）的解集是，如图1．（2）的解集是，如图2．（3）．（4）或四、利用基本不等式求最值1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等.①一正：各项均为正数；②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：含变数的各项均相等，取得最值.2、积定和最小，和定积最大（1）设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为eq\f(s2,4).（2）设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2eq\r(p).【例8】（2022·江苏南通·高三期中）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限；故选：D【变式8-1】（2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习）设，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】复数，所以的共轭复数，所以在复平面内的共轭复数对应的点位于第四象限.故选：D.【变式8-2】（2022·全国·高三专题练习）若复数z在复平面对应的点为Z，则下列说法正确的有（）A．若，则B．若，则Z在复平面内的轨迹为圆C．若，满足，则的取值范围为D．若，则的取值范围为【答案】ABD【解析】对于A，若，则，，，依次循环，所以，故A正确；对于B，设，，则有，可知在复平面内的轨迹为圆，故B正确；对于C，因为复数z满足，故点轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，设，即，当此直线与圆相切时有，解得，所以的取值范围为，故C不正确；对于D，设，，若，则有，令，则.令，可得，所以，于是得，故D正确.故选：ABD【变式8-3】（2022·全国·高三专题练习）已知为虚数单位，则取到最小值时，的值为___________．【答案】【解析】设复数，则，得，表示以为圆心，为半径的圆，，表示圆C上的点到定点的距离，当点、、三点共线时，到的距离最小，即取到最小值，此时，所以.【变式8-4】（2022·全国·高三专题练习）已知复数，满足，，（其中i是虚数单位），则的最大值为（）A．3B．5C．D．【答案】B【解析】复