数列的概念课件-高二上学期数学人教A版选择性

第四章

数列

对数列的研究源于现实生产、生活的需要.人们常用这样的一列数有序地表达一类事物，或者记录一个过程.例如，一棵树在某一时刻的高度是2m，如果在每年同一时刻都记录下这棵树的高度，并按先后顺序排列起来，就得到一列数.通过对记录下来的这列数分析，可以研究树的生长规律.本章我们将学习数列的概念和表示方法，并研究两类特殊的数列----等差数列和等比数列，探索它们的取值规律，建立它们的通项公式、

前n项和公式，并应用它们解决一些问题.

我们将把数列看成一类特殊的函数，并用函数的思想方法研究数列.章前导读数列特殊的数列概念表示方法等差数列等比数列数学归纳法基本原理简单应用通项公式前n项和公式章前导读第四章

数列4.1

数列的概念

在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象.例如：1.王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据(单位:cm)依次排成一列数:75,87,96,103,110,116,120,128,

138,145,153,158,160,162,163,165,168

①问题1：

它们之间能否交换位置？它们之间不能交换位置.所以，①是具有确定顺序的一列数.记王芳第i岁时的身高为hi，那么h2=？

h15=？hi中的

i

反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，新知探究2.在两河流域发掘的一块泥版上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数:5,10,

20,40,80,96,

112,128,144,160,176,

192,

208,224,240②问题2：

si它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？注：把满月分成240份，则从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表份数的数来表示.同样它们之间也不能交换位置.所以，②也是具有确定顺序的一列数.记第i天月亮可见部分的数为si，那么哪一天的月亮可见部分的数为208？si中的i反映了月亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的确定位置，新知探究

问题3：

你能仿照上面的叙述，说明③也是具有确定顺序的一列数吗？它们之间也不能交换位置，也是具有确定顺序的一列数.

新知探究①

75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，

158，160，162，163，165，168.②

5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，

208，224，240.一列数顺序问题4：上述例子的共同特征是什么？

新知探究

把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.首项第2项第n项数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…(n∈N*).简记作{an}.

思考1：

{an}与an的意思一样吗？

{an}表示一个数列：a1，a2，a3，…，an，….；

an

表示数列{an}中的第n项.新知探究数列的概念…思考2：1，3，5，7是一个数列，7，5，3，1也是一个数列，这两个数列是不是同一个数列？不是思考3：数列与集合有什么区别？集合：无序性、互异性、确定性，数列：有序性、可重复性、确定性.新知探究数列的概念数列与函数的关系由于数列{an}中的每一项an与它的序号n有下面的对应关系:序号项数列本质上是特殊的函数①

数列是以序号为自变量,以对应的项为函数值的函数,即

数列是自变量为离散的数的函数an＝f(n)新知探究和函数一样，数列也可以用图像、表格、解析式表示75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.列表法图像法解析法数列的图象是由一些孤立的点构成的.新知探究数列与函数的关系1、以项数来分类：（1）有穷数列：项数有限的数列（2）无穷数列：项数无限的数列数列的分类新知探究2、以各项的大小关系来分类：（1）递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列；

（2）递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列；

（3）常数列：各项都相等的数列；（4）摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，

有些项小于它的前一项的数列.对任意n∈N*，总有an+1>an(或an+1-an>0)对任意n∈N*，总有an+1<an

(或an+1-an<0)数列的分类新知探究

如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，简称通项.

例如：

数列“1，4，9，16，…”的通项公式是______.数列的通项公式就是数列的函数解析式．an=n2

数列“2，4，6，8，…”的通项公式是______.an=2n新知探究数列的通项公式

如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，简称通项.

注意：①通项公式的主要作用是“知序号可求项”

如：数列{n2}的第11项是_______

②一些数列的通项公式不是唯一的；如：数列-1，1，-1，1，…

③不是每一个数列都能写出它的通项公式.如：1，24，8，3，19121新知探究数列的通项公式例1

根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象．典例精研例1

根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象．n12345an1361015追问：你能判断（1）中数列的单调性吗？递增数列解：典例精研n12345an10-101解：例1

根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象．典例精研求函数值例2

根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：典例精研例2

根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：解：(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负,所以它的一个通项公式是(2)这个数列的奇数项是2，偶数项是0,所以它的一个通项公式是典例精研变式

根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式:变式训练常见数列通项公式：（1）正整数列：1，2，3,4,……（2）奇数列：1，3，5，7，……

或：3，5，7，……（3）偶数列：2，4，6，……（4）平方数列：1，4，9，16，……（5）符号数列：-1，1，-1，1，……

或：1，-1，1，-1，……总结提升

常见数列通项公式：总结提升例3

如果数列{an}的通项公式为an=n2+2n，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？令n2+2n=120解这个关于n的方程，得

n=10或n=－12（舍）所以，120是这个数列的项，是第10项．解：典例精研

思考：通项公式的作用有哪些？1.

通项公式能够很清楚的表示数列中序号和项的关系;2.

由通项公式可以求出数列中的每一项；3.

检验某数是否是该数列中的一项.总结提升例4

图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式．典例精研例4

图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式．解：13927

典例精研13927×3×3×3a1=1a2=3a1a3=3a2a4=3a3从第二项起，后一项是前一项的3倍3an-1，n≥21，n=1an=猜想像an=3an-1

(n≥2)这样的式子叫做这个数列的递推公式.典例精研如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.

知道了首项和递推公式，就能依次求出数列的每一项了.思考

通项公式与递推公式有什么区别和联系呢？项与序号之间的关系:项与项之间的关系：

区

别1，3，9，27，…递推公式通项公式联系两者都能确定一个数列.新知探究数列的递推公式例5

已知数列{an}的首项为a1

=1，递推公式为

写出这个数列的前5项．典例精研例5

已知数列{an}的首项为a1

=1，递推公式为

写出这个数列的前5项．典例精研变式

已知数列{an}的首项为a1

=2，递推公式为

写出这个数列的前5项．追问

求a2025

．考虑周期性变式训练

我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即如果数列{an}的前n项和

Sn

与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的前n项和公式．在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一.Sn=a1+a2+...+an．新知探究数列的前n项和公式思考：数列的前n项和公式与通项公式有何联系？=当n≥2时，当n=1时，★

Sn与an的关系式：新知探究思考：已知数列{an}的前n项和公式为Sn=n2+n，

你能求出{an}的通项公式吗？当n=1时，a1=2×1=2，a1满足上式.当n=1时，当n≥2时，综上所述，{an}的通项公式是an

=2n

.解：分段求解检验结果能否统一形式由Sn求an新知探究练习

已知数列{an}的前n项和公式为Sn=2n2－n＋1，求an.当n=1时，4×1-3=1≠a1，a1不符上式.当n=1时，当n≥2时，综上所述，{an}的通项公式是

.解：新知探究分段求解检验结果能