第05讲 二次函数与一元二次不等式（学生版）

第05讲二次函数与一元二次不等式题型梳理题型梳理易错分析易错点一忽视对二次项系数的分类讨论题型方法题型一解一元二次不等式题型二一元二次不等式恒成立（有解）求参数（范围）知识清单知识清单1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数的图象方程的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根不等式的解集{x|x<x1，或x>x2}{x|x≠－eq\f(b,2a)}R2．分式不等式与整式不等式(1)eq\f(fx,gx)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；(2)eq\f(fx,gx)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.3．简单的绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)．易错分析易错分析【易错点一】忽视对二次项系数的分类讨论【例1】（2024·陕西·二模）若，则a的取值范围为（

）A． B．C． D．【举一反三】【变式1】（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式2】（2023·上海黄浦·一模）设a、b、c、p为实数，若同时满足不等式、与的全体实数x所组成的集合等于.则关于结论：①a、b、c至少有一个为0；②.下列判断中正确的是（

）A．①和②都正确 B．①和②都错误C．①正确，②错误 D．①错误，②正确【变式3】（2025·甘肃兰州·模拟预测）若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是．题型方法题型方法【题型一】解一元二次不等式【例1】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（

）A． B． C． D．解题技巧对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．【举一反三】【变式1】（2024·浙江绍兴·二模）已知集合，，且有4个子集，则实数的最小值是.【变式2】（2021·上海闵行·模拟预测）已知，，.(1)当时，解关于的不等式；(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围.【变式3】（2023·安徽·模拟预测）已知集合，集合，全集为.(1)若，求；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.【题型二】一元二次不等式恒成立（有解）求参数（范围）【例2】（2023·辽宁鞍山·二模）已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．解题技巧恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．【举一反三】【变式1】（2024·贵州遵义·模拟预测），关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围是.【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，.(1)若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围；(2)若不等式有解，求实数m的取值范围.【变式3】（2022·河南·模拟预测）已知函数．(1)求不等式的解集；(2)若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围．好题必刷好题必刷一、单选题1．（2025·浙江绍兴·三模）设集合，则（

）A． B． C． D．2．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，，若⫋，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．4．（2025·江西上饶·二模）若不等式恒成立，则的取值集合为（

）A． B． C． D．5．（2023·福建厦门·二模）不等式（）恒成立的一个充分不必要条件是（）A． B． C． D．6．（2023·全国·模拟预测）已知函数，若不等式恒成立，则实数a的最大值为（

）A． B．2 C． D．4二、多选题7．（2024·甘肃定西·一模）设集合，则（

）A．B．的元素个数为16C．D．的子集个数为648．（2025·辽宁·三模）若关于的不等式在上恒成立，则该不等式称为单位区间不等式.下列不等式是单位区间不等式的有（

）A． B．C． D．9．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．不等式的解集是B．不等式的解集是C．若不等式恒成立，则a的取值范围是D．若关于x的不等式的解集是，则的值为三、填空题10．（2024·山东泰安·二模）设集合，集合，则.11．（2023·北京东城·二模）若，则实数的一个取值为.12．（2023·陕西榆林·三模）若不等式对恒成立，则a的取值范围是，的最小值为．四、解答题13．（2023·湖北黄冈·模拟预测）设，，函数.(1)求关于的不等式解集；(2)若在上的最小值为，求的取值范围.14．（2023·河南郑州·模拟预测）已知关于x的不等式对任意实数x恒成立.(1)求满足条件的实数a，b的所有值；(2)若对恒成立，求实数m的取值范围