第03讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（原卷版）

第03讲两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ一．两角和与差的三角函数公式例1．（1）已知，且，则的值为（

）A． B． C． D．（2）已知，则（

）A． B． C． D．（3）已知α∈,cosα=,则tan等于（

）A．7 B． C．- D．-7（4）若，，则________.（5）________．【复习指导】：两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．二．两角和与差的三角函数公式的逆用与变形例2．（1）的值是（

）A． B． C． D．（2）已知，则（

）A． B． C． D．【复习指导】：两角和（差）的正/余弦公式常见题型及解法(1)两特殊角之和/差的正/余弦值，利用公式直接展开求解．(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角和/差的正/余弦公式求解．（3）已知，则（

）A． B． C． D．（4）中已知且，则（

）A．-2 B．2 C．-1 D．1（5）（多选）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．（6）____________．【复习指导】：利用公式T(α±β)化简求值的两点说明=1\*GB4㈠分析式子结构，正确选用公式形式：T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．(1)整体意识：若化简的式子中出现了“tanα±tanβ”及“tanα·tanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．(2)熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形：①tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；②1－tanαtanβ＝eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)；③tanα＋tanβ＋tanα·tanβ·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；④tanα·tanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β).提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．=2\*GB4㈡化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“eq\r(3)”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan

eq\f(π,4)”，“eq\r(3)＝tan

eq\f(π,3)”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．三．角的变换问题例3．（1）已知，则（

）A． B． C． D．（2）若，，且，，则的值是（

）A．B．C．或D．或（3）已知，，则的值为（

）A． B．或 C． D．【复习指导】：已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数．(3)结合三角函数值及角的范围求角．提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案．（4）已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0))，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－sinα＝eq\f(4\r(3),5)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))的值是()A．－eq\f(2\r(3),5)B．－eq\f(\r(2),10)C.eq\f(2\r(3),5)D．－eq\f(4,5)【复习指导】：解决给值(式)求角问题的方法解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，选取求正弦值．（5）已知，则的值为______．（6）若为锐角，且，，则________，________.（7）已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(24,25)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝.【复习指导】：给值求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．=1\*GB3①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．=2\*GB3②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α＝(α－β)＋β；②α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．1．已知，且，则（

）A．7 B． C． D．2．已知，则（）A． B． C． D．3．（

）A． B． C． D．4．若为锐角，＝，则（

）A． B． C． D．5．已知，，则（

）A． B． C． D．6．已知，则（

）A． B．1 C． D．27．已知，则（

）A． B． C． D．38．（

）A． B．1 C． D．9．已知，均为锐角，且，则（

）A． B． C． D．10．的值为（

）A． B． C．1 D．11．在△ABC中，cosAcosB>sinAsinB，则△ABC的形状是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形12．在△ABC中，若sin(B＋C)＝2sinBcosC，则△ABC是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形13．已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，tanα，tanβ是方程x2＋12x＋10＝0的两根，则tan(α＋β)等于()A.eq\f(4,3)B．－2或eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D．－214．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝－eq\f(\r(3),3)，则cosx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的值是()A．－eq\f(2\r(3),3)B．±eq\f(2\r(3),3)C．－1D．±115．若cos2α－cos2β＝a，则sin(α＋β)sin(α－β)等于()A．－eq\f(a,2)B.eq\f(a,2)C．－aD．a16．已知α－β＝eq\f(π,6)，tanα－tanβ＝3，则cos(α＋β)的值为()A.eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),3) B.eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,3)＋eq\f(\r(3),2) D.eq\f(1,3)－eq\f(\r(3),2)17．已知sinα＝eq\f(2\r(5),5)，sin(β－α)＝－eq\f(\r(10),10)，α，β均为锐角，则β等于()A.eq\f(5π,12)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)18．已知则（

）A． B． C． D．19．已知，为第二象限角，则（

）A． B． C． D．20．已知且，则=（

）A．B．C．D．或21．设，且，，则（

）A． B． C． D．或22．（多选）已知，则的可能取值为（

）A．0 B． C． D．23．（多选）下列选项中正确的有（

）A．若是第二象限角，则B．C．D．24．已知，tanα=2，则cos(α−π4)25．已知，则__________．26．已知，则______．27．函数

是奇函数，则______；28．的值是_____.29．求值________.30．_________.31．式子的值为__________32．在中，若，则_________.33．tan25°－tan70°＋tan70°tan25°＝________.34．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝.35．cos75°－cos15°的值等于．36．已知sinα－cosβ＝eq\f(1,2)，cosα－sinβ＝eq\f(1,3)，则sin(α＋β)＝.37．形如eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))的式子叫做行列式，其运算法则为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc，则行列式eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)sin\f(π,6),sin\f(π,3)cos\f(π,6)))的值是．38．化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝.39．已知3cosα－eq\r(3)sinα＝2eq\r(3)cos(α＋φ)，其中－π<φ<π，则φ＝.40．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝eq\f(1,2)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(α,2)))＝－eq\f(1,3)，则taneq\f(α＋β,2)＝________.41．化简：tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值等于________．42．在中，，，则的形状为______．43．已知，，若，则________．44．已知，．(1)证明：；(2)计算：的值．45．已知为锐角，(1)求；(2)求.46．已知，，其中.（1）求的值；（2）求.47．已知α，β均为锐角，且sinα＝eq\f(3,5)，tan(α－β)＝－eq\f(1,3).(1)求sin(α－β)的值；(2)求cosβ的值．48．已知sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，sin(α－β)＝eq\f(1,3)，求eq\f(tanα,tanβ)的值．49．已知函数f(x)＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，x∈R，且f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π