第03讲 平面向量的数量积 高频考点-精讲（原卷版）

第03讲平面向量的数量积(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量数量积的定义角度1：平面向量数量积的定义及辨析角度2：平面向量数量积的几何意义高频考点二：平面向量数量积的运算角度1：用定义求数量积角度2：向量模运算角度3：向量的夹角角度4：已知模求数量积角度5：已知模求参数角度6：向量的投影问题角度7：垂直问题高频考点三：平面向量的综合应用第一部分：知第一部分：知识点精准记忆1、平面向量数量积有关概念1.1向量的夹角已知两个非零向量和，如图所示，作，，则()叫做向量与的夹角，记作．(2)范围：夹角的范围是．当时，两向量，共线且同向；当时，两向量，相互垂直，记作；当时，两向量，共线但反向．1.2数量积的定义：已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，其中θ是与的夹角，记作：．规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：.1.3向量的投影①定义：在平面内任取一点，作.过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.②投影向量计算公式:当为锐角（如图（1））时，与方向相同，，所以；当为直角（如图（2））时，，所以；当为钝角（如图（3））时，与方向相反，所以，即.当时，，所以；当时，，所以综上可知，对于任意的，都有.2、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知向量，为向量和的夹角：2.1数量积2.2模：2.3夹角：2.4非零向量的充要条件：2.5三角不等式：（当且仅当时等号成立）3、平面向量数量积的运算①②③4、常用结论①②③第二部分：典型例题剖析第二部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量数量积的定义角度1：平面向量数量积的定义及辨析典型例题例题1．（2022·吉林·吉化第一高级中学校高一期中）设是任意向量，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C． D．例题2．（多选）（2022·湖南·湘潭一中高二阶段练习）已知、、均为非零向量，下列命题错误的是（

）A．， B．可能成立C．若，则 D．若，则或题型归类练1．（多选）（2022·全国·高一课时练习）(多选题)已知，，是三个非零向量，则下列命题中真命题为（

）A．B．，反向C．D．2．（2022·天津市第九十五中学益中学校高一阶段练习）已知，，向量在方向上投影向量是，则为（

）A．12 B．8 C．-8 D．2角度2：平面向量数量积的几何意义典型例题例题1．（2022·江苏·沭阳县修远中学高一期末）已知向量，在方向上的投影向量为，则（

）A．4 B．8 C． D．例题2．（2022·海南中学高三阶段练习）如图，在菱形中，若，则（

）A．8 B． C．4 D．例题3．（2022·全国·高一课时练习）已知，在上的投影的数量为，而在上的投影的数量为，求，．题型归类练1．（2022·四川省南充市白塔中学高一期中（文））已知，，向量在方向上投影是4，则为（

）A．12 B．8 C．-8 D．22．（2022·吉林·长春外国语学校高一阶段练习）已知，向量在向量上的投影向量是（是与方向相同的单位向量），则（

）A．2 B．-2 C．3 D．3．（2022·上海奉贤区致远高级中学高二开学考试）向量在向量方向上的数量投影为，且，则______．高频考点二：平面向量数量积的运算角度1：用定义求数量积典型例题例题1．（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）若的夹角为，则（

）A． B． C． D．2例题2．（2022·河南许昌·高一期末（理））已知向量，，且，，与的夹角为，则（

）A．36 B． C．54 D．例题3．（2022·广东佛山·高三阶段练习）已知中，，且，则（

）A． B． C．8 D．9题型归类练1．（2022·新疆·和硕县高级中学高一期末）已知向量，，若与的夹角为，则为（

）A． B． C． D．12．（2022·河北唐山·高一期末）已知等边三角形ABC的边长为2，则（

）A．2 B． C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）已知非零向量，，满足，，的夹角为，且，则向量，的数量积为（

）A．0 B． C． D．角度2：向量模运算典型例题例题1．（2022·辽宁营口·高二开学考试）已知向量，满足，，且，的夹角为30°，则（

）A． B．7 C． D．3例题2．（2022·黑龙江·海林市朝鲜族中学高三阶段练习（文））已知向量，，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5例题3．（2022·广东广雅中学高三阶段练习）平面向量与的夹角为，，，则__________．例题4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在中，为的中点，若，，与的夹角为，则＝____．例题5．（2022·河南信阳·高一期中）已知，，则___________．题型归类练1．（2022·云南丽江·高一期末）已知向量的夹角为，且，则___________.2．（2022·云南省楚雄天人中学高二阶段练习）已知向量的夹角为，，则_________．3．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））已知平面向量，满足，且的夹角为，则_____．4．（2022·陕西咸阳·高一期末）已知向量，，则______.5．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，，，则______．角度3：向量的夹角典型例题例题1．（2022·甘肃兰州·高一期末）已知等边三角形，则与的夹角为（

）A． B． C． D．例题2．（2022·全国·高一课时练习）已知向量满足，则与的夹角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°例题3．（2022·黑龙江·佳木斯一中三模（理））已知，，则与的夹角等于（

）A．150° B．90° C．60° D．30°例题4．（2022·全国·高三专题练习）设向量，，则与的夹角等于（

）A． B． C． D．例题5．（2022·广西·桂林市奎光学校高一期末）已知向量，，则向量的夹角为（

）A． B． C． D．例题6．（2022·上海市南洋模范中学高二开学考试）已知向量满足，则的夹角为___________.题型归类练1．（2022·四川眉山·高一期末（理））向量，满足，，，则向量，的夹角是（

）A． B． C． D．2．（2022·甘肃酒泉·高二期末（理））已知，，，则与的夹角是（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高一课时练习）已知向量，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．4．（2022·四川乐山·高一期末）已知向量，则（

）A． B． C． D．5．（2022·陕西西安·高一期末）已知向量，，则向量的夹角为（

）A． B． C． D．6．（2022·新疆·新和县实验中学高一期末）已知向量，，，则与的夹角为________．角度4：已知模求数量积典型例题例题1．（2022·辽宁抚顺·高一期末）已知向量满足，则（

）A．2 B． C．1 D．例题2．（2022·全国·高一课时练习）已知，向量的夹角为，则（

）A． B．1 C．2 D．题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）已知向量满足，则_________．2．（2022·北京十五中高一期中）若向量满足，则_____.角度5：已知模求参数典型例题例题1．（2022·青海·模拟预测（理））已知，向量，若，则实数（

）A． B． C．-2 D．2例题2．（2022·全国·高三专题练习）向量，满足，．若的最小值为，则（

）A．0 B．4 C．8 D．16例题3．（2022·四川·石室中学模拟预测（文））已知向量，，且，则_______．题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，且，则（

）A． B． C．1 D．2．（2022·全国·高三专题练习）在中，，且，则取最小值时的值为（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）已知向量满足，，若与的夹角为，则m的值为（

）A．2 B． C．1 D．4．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（文））已知向量,,若,则______．角度6：向量的投影问题典型例题例题1．（2022·湖南永州·一模）已知平面向量满足，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．例题2．（2022·辽宁·东北育才双语学校一模）已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量的坐标为（

）A． B．C． D．例题3．（2022·湖南衡阳·高一期末）若，，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为（

）A． B． C．2 D．4例题4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一阶段练习）已知向量，，则在上的投影向量的模为______．题型归类练1．（2022·辽宁朝阳·高一阶段练习）已知向量，，则在上的投影的数量为（

）A． B．- C． D．-2．（2022·山东·汶上县第一中学高二阶段练习）己知空间向量，且，则在上的投影向量为________．3．（2022·上海市洋泾中学高三开学考试）已知向量，，则向量在向量的方向上的投影向量为______4．（2022·甘肃武威·高一期末）已知向量，，则在上的投影向量的坐标为__________.角度7：垂直问题典型例题例题1．（2022·江苏·盐城市大丰区南阳中学高二阶段练习）已知平面向量，满足，，则（

）A． B． C． D．例题2．（2022·山东·高三开学考试）已知向量、为单位向量，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知向量满足,，与的夹角为，，则_______．例题4．（2022·全国·高三专题练习）若单位向量满足，且，则实数k的值为___________.例题5．（2022·安徽省岳西县汤池中学高一阶段练习）已知向量，满足，，．(1)求；(2)若，求实数的值．题型归类练1．（2022·湖北武汉·高二期末）已知单位向量的夹角为，与垂直，则＝（

）A． B． C． D．2．（2022·河南开封·高一期末）已知单位向量，的夹角为60°，若，则（

）A．－2 B． C． D．23．（2022·广西·模拟预测（文））已知非零向量满足，且，则与的夹角为___________.4．（2022·江苏·淮海中学高二开学考试）已知，与的夹角是.(1)求的值及的值；(2)当为何值时，？5．（2022·陕西西安·高一期末）已知，且向量的夹角是．(1)若，求k的值；(2)求的值．高频考点三：平面向量的综合应用典型例题例题1．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（参考数据：取重力加速度大小为）（

）A． B．61 C．75 D．60例题2．（多选）（2022·甘肃兰州·高一期末）已知P是边长为2的正六边形内的一点，则的最小值与最大值分别