第21讲 数列通项公式的求解策略（解析版）

第21讲数列通项公式的求解策略【典型例题】例1．（2024·高三·湖北·阶段练习）画条直线，将圆的内部区域最多分割成（

）A．部分 B．部分C．部分 D．部分【答案】B【解析】设画条直线，将圆最多分割成部分，则，，因此，相加得：，所以，当，，符合上式，所以，故选：B.例2．（2024·高三·湖北·阶段练习）已知数列中，，，，则下列说法不正确的是（

）A． B．C．是等比数列 D．【答案】D【解析】由，，得，有，，，，，所以，则，故，，故，，是等比数列，，故A、B、C正确，D错误.故选：D.例3．（2024·高三·河南·阶段练习）已知数列的前项和为，且，则（

）A．1056 B．1123 C．1315 D．2627【答案】D【解析】因为，所以，所以数列是首项为1公差为1的等差数列，所以，所以，所以.故选：D例4．（2024·黑龙江·二模）某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为，从第二题开始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为；若前一题答对，则此题答对的概率为.记甲同学回答第题时答错的概率为，当时，恒成立，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为回答第题时有答对、答错两种情况，则回答第题时答错的概率，所以，由题意知，则，所以是首项为、公比为的等比数列，所以，即.显然数列递减，所以当时，，所以的最小值为.故选：D.例5．（2024·广东深圳·二模）已知正项数列的前项积为，且满足，则.【答案】【解析】由题意，且，所以，又，且，所以，则，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故，所以.故答案为：.例6．（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为．【答案】【解析】数列中，，，显然，则有，即，而，因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，即．故答案为：例7．（2024·高三·全国·专题练习）一种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为、；若前次出现绿球，则下一次出现红球，绿球的概率分别为、，记第次按下按钮后出现红的概率为．(1)求的值；(2)当，求用表示的表达式；(3)求关于的表达式．【解析】（1）若按钮第一次、第二次按下后均出现红球，则其概率为，若按钮第一次、第二次按下后依次出现绿球、红球，则其概率为，故所求概率为.（2）由题意可得第次按下按钮后出现红球的概率为，则出现绿球的概率为，若第次、第次按下按钮后均出现红球，则其概率为，若第次、第次按下按钮后依次出现绿球、红球，则其概率为，所以（其中）.（3）由（2）得（其中），又，所以构成首项为，公比为的等比数列，所以.例8．（2024·全国·模拟预测）设数列的前项和为，数列的前项和为，且.求数列的通项公式；【解析】因为，所以当时，，当时，，所以，即.（易错：利用公式时，容易忽略的情况）当时，得；当时，得.当时，，所以通项公式为.例9．（2024·河北·模拟预测）已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)证明：.【解析】（1）由，①当时，，所以，当时，，②由①②得，所以，当时，上式也成立，所以；（2），因为，所以，当时，，当时，，综上所述，.例10．（2024·陕西西安·一模）已知数列的前项和为，，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【解析】（1）根据题意，，所以，由于，则是以首项为1，公差为的等差数列，所以，所以，当时，.验证时满足通项公式，故数列的通项公式为.（2）由（1）知.设的前项和为，则当为偶数时，.当为奇数时，，设的前项和为，则.因为，所以【过关测试】一、单选题1．（2024·江苏盐城·模拟预测）凸五边形有5条对角线，那么凸边形有（

）条对角线．A． B． C． D．【答案】D【解析】凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，则得到在凸的基础上，多一个顶点，则多条对角线，设凸边形有条对角线，所以，则，，累加得，则，故选：D.2．（2024·高二·河南·阶段练习）已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，即，所以有，显然当时，，因此中最小的一项是，故选：B二、多选题3．（2024·高三·江苏·专题练习）已知是数列的前项和，且，（），则下列结论正确的是（

）A．数列为等比数列 B．数列不为等比数列C． D．【答案】BD【解析】由题意得：，，由于，故数列不是等比数列，A错误；则，，，由于，故数列不为等比数列，B正确；当时，，即，又，故为等比数列，首项为2，公比为3，故，故，，……，，以上20个式子相加得：，C错误；因为，所以，两式相减得：，当时，，，……，，以上式子相加得：，故，而也符和该式，故，令得：，当时，，，……，，以上式子相加得：，故，而也符号该式，故，令得：，综上：，D正确.故选：BD4．（2024·高三·全国·专题练习）已知数列的前项和公式为，则下列说法正确的是（）A．数列的首项为B．数列的通项公式为C．数列为递减数列D．数列为递增数列【答案】ABC【解析】对于A，因为，所以当时，，知A正确；对于B，当时，，当时，也满足上式，故数列的通项公式为，故B正确；对于CD，，所以数列为递减数列，故C正确，D错误.故选：ABC.5．（2024·湖南长沙·一模）小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进步的概率为，则下列说法正确的是（

）A．B．C．D．小华一共前进3步的概率最大【答案】BC【解析】根据题意，小郡前进1步的概率和前进2步的概率都是，所以，，故选项A错误；当时，其前进几步是由两部分组成：先前进步，再前进1步，其概率为，或者先前进步，再前进2步，其概率为，所以，故选项B正确；因为，所以，而，所以，即，故选项C正确；因为当时，，所以，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以，所以.当n为奇数时，为偶数，则，此时数列单调递增，所以；当n为偶数时，为奇数，则，此时数列单调递减，所以；综上，当时，概率最大，即小华一共前进2步的概率最大，故选项D错误.故选：BC6．（2024·高三·甘肃·开学考试）已知数列满足，则（

）A．是等差数列B．的前项和为C．是单调递增数列D．数列的最小项为4【答案】BC【解析】由，得，因为，所以，从而，所以是首项为1，公比为的等比数列，所以，即，所以，所以，所以A错误，B正确；由，易知是单调递增数列，C正确；当时，，当时，，D错误.故选：BC.三、填空题7．（2024·高三·全国·专题练习）已知数列，的前n项和分别为，，且，，，，则；若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为．【答案】【解析】由，得，由，得，所以，，易知，，，所以是首项为2，公比为2的等比数列，是首项为2，公差为2的等差数列，所以，，则．解法一

因为对任意的，恒成立，所以对任意的恒成立，即．记，易知，所以，当时，，解得或；当时，，解得，所以在上单调递减，在，上单调递增，因为，，，所以，即实数的取值范围为．解法二

因为对任意的，恒成立，所以对任意的恒成立．记，则，令，则，故在上单调递减，在上单调递增，又，，，所以，即，故实数的取值范围为．故答案为：四、解答题8．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知是数列的前项和，满足；正项数列为等比数列，数列的前项和为，，．(1)求数列和的通项公式：(2)令，数列前项和为，求．【解析】（1）当时，，当时，也满足上式，故数列的通项公式为，设的公比为q，因为，所以，所以，所以，又数列为正项数列，所以，又，所以，所以，（2）由（1）得，则①，②①—②得：，所以.9．（2024·山东菏泽·一模）已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，，求证：．【解析】（1）由①，当时，解得，当时，②，①-②，得，数列是以首项为，公比为的等比数列，．经验证符合上式，所以．（2）由（1）知，，．则，故，所以，，，故.10．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，满足．(1)求证：数列为等比数列；(2)设的前项和为，求．【解析】（1）第一步：将已知等式递推、相减得到之间的关系式当时，由，得，解得，由递推得，两式相减得，化简得．（方法：若给出的数列关系式中既含又含，则往往利用与之间的关系将或消去，再求解）第二步：利用等比数列的定义证明数列为等比数列从而，又，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列．（2）第一步：根据等比数列的通项公式求由（1）知，所以，第二步：求所以．（点拨：由两项组成，第一项是常数，直接求和即可，第二项是等差等比的形式，故考虑利用错位相减法求和）第三步：利用分组求和法、错位相减法求所以．令，所以，两式相减，得，则，所以．11．（2024·高三·全国·专题练习）在①当时，，②数列与均为等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知正项数列满足，______．(1)求数列的通项公式；(2)设为数列的前n项和，证明：．注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．【解析】（1）方案一：选条件①．当时，，又，符合上式，因此数列的通项公式为．方案二：选条件②．由数列为等差数列，可设，则，即，因此．又数列为等差数列，因此，从而．又，所以，因此数列的通项公式为．（2）由（1）知，，因此．则，，当时，，因此，从而．综上，．12．（2024·全国·模拟预测）已知定义域为的函数满足如下条件：①对任意的，总有；②；③当，，时，恒成立．已知正项数列满足，且，，令(1)求数列，的通项公式；(2)若，求证：（）．【解析】（1）不妨设，则，，，若，即，此时有，与题设矛盾，故，，在区间上单调递减，，．又由，两边同时除以，化简可得，即，是以为首项，4为公比的等比数列，．又，，当时，．又当时，，故．（2）由（1）可得．当时，，且，，，又，，即，，，即，，．13．（2024·高三·云南·阶段练习）已知数列的前n项和为，且.在数列中，，.(1)求，的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.【解析】（1）由题知，当时，，当时，，因为，所以.因为，所以，则，时符合，故，综上，，.（2）由（1）知所以的前n项和,,①，②，①−②得，所以.,当,满足题意，故14．（2024·黑龙江·二模）如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则称这个数列为“型数列”．(1)若数列满足，判断是否为“型数列”，并说明理由；(2)已知正项数列为“型数列”，，数列满足，，是等比数列，公比为正整数，且不是“型数列”，求数列的通项公式．【解析】（1）易知当时，可得，即；而当时，，可得；此时，不满足“型数列”定义，猜想：数列不是“型数列”，证明如下：由可得，当时，，两式相减可得，可得，此时从第二项起，每一项与它前一项的比为，因此不是“型数列”；（2）设数列的公比为，易知，又因为数列不是“型数列”，可得可得，即得；又数列为“型数列”，可得；易知“型数列”为递增数列，因此当趋近于正无穷大时，趋近于，即可得；综上可得，即，可得；所以数列是以为首项，公比为的等比数列；即可得，可得；所以数列的通项公式为.15．（2024·四川成都·二模）已知数列的前n项和，且的最大值为．(1)确定常数，并求；(2)求数列的前15项和．【解析】（1）由数列的前n项和，根据二次函数的性质，可得当时，取得最大值，即，解得，所以，

当时，，当时，（符合上式），所以数列的通项公式为.（2）由（1）知，可得，且当且时，可得；当且时，可得，所以数列的前15项和：．16．（2024·全国·一模）已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)给定，记集合中的元素个数为，若，试求的最小值.【解析】（1）依题意，①当时，，②.①②两式相减得，即，因为，所以，即，所以是公差为1的等差数列，又，故数列的通项公式为.（2）依题意，即，因为，所以满足不等式的正整数个数为，即，.，因为，所以单调递增，当时，，当时，，所以的最小值为11.17．（2024·四川泸州·二模）已知数列的前项和．(1)求数列的通项公式；(2)在，与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若，求数列的前项和．【解析】（1）因为，当时，解得，当时，所以，即，所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.（2）因为，，所以，所以，则，所以.18．（2024·广西柳州·三模）已知数列满足：，．(1)求数列的通项公式；(2)对任意．将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前m项和．【解析】（1）当时，由，得当时，两式相减，得当时，综上可知，（2）由题意,故，,19．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）设数列的前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)在数列的和项之间插入个数，使得这个数成等差数列，其中，将所有插入的数组成新数列，设为数列的前项和，求．【解析】（1）当时，，所以，当时，，即，所以，当时，符合，所以；（2）依题意，，，，︙．所以，即，①则，②由①②可得，，所以．20．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的首项为1，公差，且成等比数列，数列的前项和满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【解析】（1）因为成等比数列，所以.又，则，整理得，解得或，又，则，所以.因为，所以当时，有，解得.当时，有两式相减得，即，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，故.（2）由（1）得，所以，，两式相减得，故.21．（2024·四川·模拟预测）已知数列的前n项和为，，，且当时，.(1)求；(2)设数列的前n项和为，证明：.【解析】（1）由，，得，当时，，故，即，所以，，，，…，，将各等式左、右两边分别相加得，.，符合上式，所以.（2）由（1）知，所以，因为，所以，所以.得证.22．（2024·湖南·二模）已知数列的前项和为，满足；数列满足，其中.(1)求数列的通项公式；(2)对于给定的正整数，在和之间插入个数，使，成等差数列.（i）求；（ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.【解析】（1）由①，当时，②，得，当时，，是首项为1，公比为的等比数列，故，由③.由得，又④.④-③得，的所有奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列：所有偶数项构成首项为2，公差为2的等差数列.得.综上可得；（2）（i）在和之间新插入个数，使成等差数列，设公差为，则，则.⑤则⑥⑤-⑥得：，所以可得（ii）由（1），又，由已知，假设是数列或中的一项，不妨设，因为，所以，而，所以不可能是数列中的项.假设是中的项，则.当时，有，即，令，当时，；当时，，由知无解.当时，有，即.所以存在使得是数列中的第3项；又对于任意正整数均有，所以时，方程均无解；综上可知，存在正整数使得是数列中的第3项.23．（2024·甘肃兰州·一模）若一个平面多边形任意一边所在的直线都不能分割这个多边形，则称这样的多边形为凸多边形，凸多边形不相邻两个顶点的连线段称为凸多边形的对角线．用表示凸边形对角线的条数．(1)求数列的通项公式；(2)若数列的前n项和为，求数列的前n项和，并证明．【解析】（1）从个顶点中任选两个顶点共有种选法，减去凸边形的边数即为该凸边形对角线的条数，所以；（2）设数列的前n项和，则，当时，，当时满足，∴数列的通项公式为，∵，∴，.24．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知数列，______．在①数列的前项和为，；②数列的前项之积为这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选______”）(1