第22讲：等差数列及其前N项和（知识梳理+题型总结）（教师版）

【第22讲：等差数列及其前N项和】【新高考课程标准要求】1.理解等差数列的概念和通项公式的意义：明确等差数列是从第项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数的数列，掌握其通项公式，并能运用通项公式解决相关问题，理解通项公式中各参数的含义及作用。2.掌握等差数列的前项和公式，理解等差数列的通项公式与前项和公式的关系：熟练掌握等差数列前项和公式，明白通项公式与前项和公式都与首项、公差有关，可通过已知条件建立方程或方程组，求解相关量。3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题：能够从实际问题或数学问题情境中，识别出等差数列模型，将问题转化为等差数列的相关问题，如求通项、求前项和等，进而利用等差数列的知识进行求解，体现数学建模和数学应用的能力。4.体会等差数列与一元一次函数的关系：了解等差数列的通项公式是关于的一次函数（时）或常数函数（时），前项和公式是关于的二次函数（时），利用函数的性质来分析等差数列的单调性、最值等问题。【知识梳理】一、知识梳理1.核心概念 等差数列定义：从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数（记为公差），即（，为常数）。 等差中项：若，，成等差数列，则，且。2.关键公式公式类型表达式说明通项公式为首项，为公差，可推广为（）前项和公式；前者需已知首项、末项和项数；后者需已知首项、公差和项数3.性质关联 函数属性： 通项：当时，是关于的一次函数，图像为直线上的孤立点，斜率为；当时，为常数列。 前项和：当时，是关于的二次函数，图像为抛物线（或其一部分）上的孤立点，且无常数项；当时，，为关于的一次函数。 项的对称性：若（），则；特别地，当时，。二、常用结论1.前项和的衍生结论： 若等差数列的前项和为，则（利用，结合推导）。 前项和的比值：若与均为等差数列，前项和分别为与，则。2.项数与和的关系： 等差数列中，连续项的和仍成等差数列，即，，，…成等差数列，公差为。 若等差数列共有项，则，；若共有项，则，（、分别为奇数项和、偶数项和）。3.单调性与最值： 当时，数列单调递增，有最小值（可通过且求最小值对应的项数）；当时，数列单调递减，有最大值（可通过且求最大值对应的项数）。三、微点提醒1.定义理解误区：判断数列是否为等差数列时，需验证“从第2项起，每一项与前一项的差为常数”，不可仅验证前几项；若仅说“”，需补充，否则定义域不完整。2.公式使用细节： 运用通项公式时，注意和的取值范围（均为正整数），避免因下标错误导致计算失误。 前项和公式中，是第项，不可与“项数”混淆；当时，数列是常数列，，此时不可用二次函数性质分析最值（无最值，除常数本身）。3.性质适用条件：“若，则”的逆命题不成立，即若，不一定有（如常数列中，任意两项和相等，但下标和可不同）。4.与函数结合的注意点： 通项公式对应的一次函数，其定义域是正整数集（而非全体实数），因此图像是孤立点，而非连续直线。 前项和对应的二次函数，若无常数项，但其最值对应的需为正整数，若计算出的为非整数，需取其附近的正整数代入计算实际最值（如，则需比较和时的）。【课前自测】一、单选题1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）等差数列满足，若为前项和，则最大时，的值为（

）A．9或10 B．8 C．9 D．10或11【答案】A【分析】根据已知条件求出，把表示为关于n的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．【详解】，∴，关于n的二次函数，其对称轴为，∵，∴当或时，最大．故选：A．2．（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，满足，则（

）A．35 B．40 C．45 D．50【答案】C【分析】根据等差数列的性质求出，再利用等差数列前项和公式和求解即可.【详解】由等差数列的性质得，则，所以．故选:C．3．（24-25高二下·陕西榆林·期末）记为等差数列的前项和．若，则（

）A．43 B．44 C．87 D．88【答案】B【分析】先根据等差数列的性质得出；再根据等差数列前项和公式可求解.【详解】由等差数列的性质可得：则由等差数列前项和公式得：，故选：B．4．（24-25高二下·广东韶关·期末）已知等差数列的前项和为，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等差数列片段和的性质可知、、成等差数列可求得的值.【详解】由题意可得，，因为等差数列的前项和为，由等差数列片断和的性质可知、、成等差数列，所以，所以.故选：A.二、多选题5．（24-25高二下·河南驻马店·期末）设是等差数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（

）A． B．C．时，最大 D．使的n的最大值为13【答案】AC【分析】对于AB，由题可得，由可得，，据此可判断AB；对于C，分析可得时，，时，，进而判断即可；对于D，由题可得，据此可判断选项正误.【详解】对于AB，由题意，即，又，所以，且，则，故为递减数列，即，故A正确，B错误；由于时，，时，，则时，最大，故C正确；由，所以使的的最大值为14，故D错误.故选：AC．三、填空题6．（2025高三·全国·专题练习）把数列与的所有公共项去掉，剩余的项从小到大排序得到数列，则数列的前202项和为.【答案】49609【分析】与的公共项为，两数列去掉公共项后，剩余的项从小到大排序可发现每两个被去掉的相邻的公共项之间有5项，其和构成等差数列，利用等差数列的前项和公式即可求解.【详解】与的第一个公共项为是公差为3的等差数列，是公差为4的等差数列，则两数列的公共项构成首项为8，公差为12的等差数列，即数列，两数列去掉公共项后，剩余的项从小到大排序为，且每两个被去掉的相邻的公共项之间有5项，分别求和得，,，可以看到每相邻5项的和依次构成首项为70，公差为60的等差数列.因为，所以的前202项和为.故答案为：.7．（25-26高三上·湖北·开学考试）已知等差数列的前项和分别为，且，则．【答案】/【分析】根据等差数列的求和公式，结合性质即可求解.【详解】由可得，又，故，故答案为：四、解答题8．（2025高三·全国·专题练习）设为数列的前项和．已知，且为等差数列．求证：数列为等差数列．【答案】证明见解析【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列公式和题设条件得到关于的方程求出，进而求出，接着由求出数列的通项公式即可由等差数列定义求解.【详解】证明：设等差数列的公差为，则．因为，所以可得①，又因为，则，结合可得②，联立①②解得，所以，即，当时，，又当时，，满足，所以，所以，故数列是首项为2，公差为2的等差数列．题型题型分类知识讲解与常考题型【考点一：等差数列基本量的运算】【例题】1．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）设等差数列的前n项和为，若，，则（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式进行求解.【详解】令等差数列的首项为，公差为，所以，化简得.因为，所以.所以解得.所以.故选：D.2．（2025高三·全国·专题练习）已知各项均不为零的等差数列的前n项和为，满足，，则的公差d的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意分析得，，应用等差数列的通项公式列不等式求范围.【详解】由题知，当且仅当时，取得最大值，又，故只需，即可，若数列公差为，即，，解得，则的取值范围为.故选：A【针对训练】3．（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列，的各项均不为0，记的公差为d，前n项和为，且．(1)若，求k；(2)记的前n项和为，若，且，求d的取值范围．【答案】(1)1；(2).【分析】（1）根据已知及等差数列的性质得，讨论、，结合等差数列通项公式、前n项和公式求参数；（2）由得、，判断已知不等关系是否成立，再由得，，根据已知不等关系求的范围，即可得.【详解】（1）由题知，则，，，因为为等差数列，所以，即，化简得，当时，，，所以，得，当时，故，则，所以，所以，即，得．综上，若要，则；（2）由（1）知，当时，，则，又，结合，得，即，符合题意；当时，，则，，又，故，解得，即，此时满足，综上所述，的取值范围为.4．（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根据等差数列基本量计算结合题设可求得，，进而求解判断各选项即可.【详解】设等差数列的公差为d，由，，则，解得，则，即，故AD错误；又，故C错误；而，，所以，故B正确.故选：B.5．（24-25高二下·广东江门·期末）记为等差数列的前n项和，已知，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，列式求出数列的首项和公差，进而求出通项公式和前n项和公式．【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得，所以，，ABC错误，D正确.故选：D【解题策略】一、核心解题步骤1.梳理条件与目标：明确题干给出的已知信息（如特定项的值、前项和、项数关系等），确定需求解的量（如某一项、前项和、项数、公差等）。2.选择关联公式：优先选用与、直接关联的核心公式，避免复杂推导： 通项公式：（连接“项”与基本量）； 前项和公式：（连接“和”与基本量）。3.建立方程（组）：根据独立条件的数量列方程： 1个独立条件：列1个关于和的一元方程（需结合其他隐含条件，如项数）； 2个独立条件：列二元一次方程组（因2个基本量需2个方程确定，可直接解出和）。4.求解与验证：解出和后，代入目标公式计算结果；必要时验证结果是否符合隐含条件（如项数为正整数、公差符号与数列单调性一致等）。【考点二：等差数列的判定与证明】【例题】1．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前项和，令，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式．【答案】证明见解析，．【分析】由的关系可得递推关系，化简后由等差数列的定义得证；求出等差数列的通项后即可得出数列的通项公式.【详解】在中，令，可得，当时，，故，，即，即，又，所以，即当时，，又，所以数列是首项和公差均为1的等差数列，于是，所以．2．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，，．证明：数列为等差数列；【答案】证明见解析【分析】利用的关系，将转化，整理即可得证.【详解】因为，所以，等式两边同时除以得，又，所以是以3为首项，3为公差的等差数列．【针对训练】3．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）已知数列中，，.(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；(2)设，求的前项和．【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）利用已知条件转化推出是以为首项，为公差的等差数列，然后求解通项公式；（2）化简，然后利用错位相减法求和求解即可．【详解】（1）当时，，所以，，又，所以，故是以为首项，为公差的等差数列，故，所以，．（2），所以，，令，①则，②①②得：，，故，所以，．4．（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）若数列的前n项和为，且满足.(1)求证：是等差数列；(2)求数列的通项公式.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由的关系以及等差数列的定义证明即可；（2）先得到，再结合题意分和两种情况求解即可.【详解】（1）证明：当时，且，即，可得，且.故数列是以首项为2，公差为2的等差数列.（2）由（1）可知，即，当时，，当时，不符号上式，所以.【解题策略】等差数列的判定与证明的解题策略等差数列的判定与证明核心是紧扣定义或等价条件，通过代数推导验证数列是否满足“从第二项起，每一项与前一项的差为常数”，避免仅通过有限项规律（如前3项差相等）直接判定。一、核心判定依据（4类关键方法）判定或证明数列为等差数列，需从以下方法中选择，优先用定义法或等差中项法，具体如下：判定方法核心等价条件适用场景1.定义法（最根本）对任意且，有（为常数）已知数列的通项递推关系（如），或可通过变形得到相邻项差2.等差中项法对任意且，有已知数列中三项的关系，或需证明某三项成等差，或可通过前项和推导3.通项公式法数列的通项公式可表示为（、为常数，且，）已知数列的通项公式，或可求出通项公式后验证形式4.前项和公式法数列的前项和可表示为（、为常数，且，）已知数列的前项和公式，或可求出后验证形式（注意：需排除常数项，即无常数项）二、通用解题步骤1.明确已知条件：梳理题干给出的信息（如递推式、通项、前项和、特定项关系等），确定可调用的判定方法。2.选择判定方法： 若给递推关系（如的表达式），优先用定义法； 若给三项关系或需证明“成等差”，优先用等差中项法； 若已知或可求通项公式，验证是否为“”形式（通项公式法）； 若已知或可求前项和，验证是否为“”形式（前项和公式法）。3.代数推导验证： 定义法：计算（），证明其结果为与无关的常数； 等差中项法：推导，证明其结果为； 公式法：将通项或前项和整理，验证是否符合“一次函数”或“不含常数项的二次函数”形式。4.补充首项/初始条件：若推导仅从开始，需验证是否等于前述常数（定义法），或确认首项满足通项/前项和公式，确保数列整体为等差。三、常见易错点与规避策略1.忽略“任意”：仅验证前3项（如）即判定为等差，需强调“对所有成立”，必要时用数学归纳法辅助证明（针对递推复杂的数列）。2.前项和公式误用：若（），则从第二项起为等差，而非整个数列，需排除常数项的干扰。3.递推式变形错误：对含与的递推关系（如），需先通过（）消去，再用定义法判定，避免直接套用公式。【考点三：等差数列的性质及其应用】【角度1：等差数列的性质】【例题】1．（2025·陕西汉中·三模）已知等差数列的前项和为，若，则（

）A．30 B．40 C．60 D．120【答案】C【分析】利用等差数列的性质可求.【详解】因为为等差数列，故，故选：C.2．（2025·江西·二模）已知为等差数列，其前项和为，若，则下列各式的值不能确定的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等差数列前项和公式，结合等差数列的性质及通项公式逐项求解判断.【详解】对于A，，则，A不是；对于B，设等差数列的公差为，，B不是；对于D，，则，D不是；对于C，，而值不确定，因此不确定，C是.故选：C【针对训练】3．（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，当为定值时，也是定值，则.【答案】13【分析】根据等差数列通项公式和求和公式基本量计算得到，求出答案.【详解】因为，当为定值时，为定值，即为定值，则为定值，所以，解得.故答案为：13.4．（2025·安徽·三模）已知等差数列的前n项和为，，若，，则．【答案】30【分析】由等差数列下标性质得到，结合前n项和公式即可求出k.【详解】解析

由等差数列的性质可得，再由，，可得，所以，则，解得．故答案为：30.【角度2：等差数列的前N项和的性质】【例题】1．（24-25高二下·陕西榆林·阶段练习）在等差数列中，为其前项和，若，，则的值为．【答案】30【分析】由等差数列前项和性质可得，，也是等差数列，运算即可．【详解】由题意，得，，也是等差数列，即，又，，所以，解得．故答案为：302．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）设等差数列的前项和分别是，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等差数列的前项和公式可得答案.【详解】因为等差数列，的前n项和分别是，所以.故选：A.【针对训练】3．（24-25高二下·四川成都·期中）两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等差中项及等差数列的前项公式变形求值即可.【详解】由等差数列的性质可得，，故选：C．4．（2025高二·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，且，，则，.【答案】【分析】先确定公差，再利用等差数列性质求，最后得到.【详解】由于，.故的公差满足从而，得，所以，得.这意味着，所以.从而，代入得.故答案为：；【角度3：等差数列的前N项的最值】【例题】1．（22-23高二下·广东佛山·期中）已知等差数列前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】由等差数列的通项公式、前项和公式列方程组求得和公差，写出前项和，由二次函数性质得结论．【详解】设等差数列公差为，由，则，，∴，解得，．∴，∴当时，取得最大值．故选：B．多选题2．（23-24高二上·福建漳州·阶段练习）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（

）A．是递增数列 B．C．当时取最大值 D．满足的最大的正整数为10【答案】BCD【分析】利用与的关系及数列的单调性的定义，根据数列的通项公式及二次函数的性质，结合数列的性质及一元二次不等式的解法即可求解.【详解】当时，，当时，，取时，此式也满足，故的通项公式为.对于A，由，得，所以是递减数列，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，由二次函数的性质知，当或时，取最大值，故C正确；对于D，令，即，解得，又，所以的最大值为.故D正确.故选：BCD.【针对训练】多选题3．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）等差数列的前项和为，已知，则（

）A． B．的前项和中最小C．使时的最大值为9 D．的最大值为0【答案】BC【分析】根据等差数列前和基本量的计算求出通项公式和前和公式，代入计算判断A，结合二次函数求解的最小值判断B，解不等式判断C，求出的通项公式，利用数列的单调性求解最值判断D.【详解】设等差数列的首项为，公差为，因为，所以，所以，.对于A，，错误；对于B，因为，所以当时，有最小值，正确；对于C，若，则，又，所以的最大值为9，正确；对于D，因为，所以数列为关于的单调递增数列，所以没有最大值，错误.故选：BC.【多选题】4．（22-23高二下·江苏扬州·开学考试）等差数列的前n项和为，且，，，则下列说法中正确的有（

）．A． B．C．当或6时，取最小值 D．【答案】ACD【分析】由可判断A；由作差可判断B；先由和可得，则可判断C；由可得，利用等差数列的性质可判断D.【详解】因为，所以，故A正确；因为，，所以，故B错误；因为，，所以，所以，因为，所以当或6时，取最小值，故C正确；由得，，所以，所以，故D正确.故选：ACD5．（24-25高二下·湖北·期中）若数列满足，，，设数列的前项和为，则当取最大值时，.【答案】5或6【分析】利用等差中项可得数列为等差数列，进而求出公差、、，结合的函数特性可得或的正负性也可行.【详解】因为，所以数列为等差数列，设公差为d因，，则公差，法一：所以，因函数的对称轴为，所以当取最大值时，或6法二：，则时，；时，；时，所以当取最大值时，或6.故答案为：5或6【解题策略】等差数列的性质及其应用的解题策略等差数列的性质是基于定义和公式推导的“简化工具”，核心是利用性质减少运算量，避免反复套用基本公式（、），尤其适用于求特定项、前项和或判断项的关系。一、核心性质分类与应用场景1.项的下标规律性质（高频考点）此类性质围绕“下标和相等”展开，是解决“项的和”“对称项关系”的核心，需牢记： 性质1：若（），则。 特殊情况：当时，，即（为与的等差中项）。 应用场景：已知某几项的值，求另外几项的和（如已知，求或）。 性质2：数列是等差，则下标成等差数列的子数列仍为等差（如，公差为）。 应用场景：求周期性间隔项的关系（如已知，求，利用子数列公差）。2.前项和的特殊性质此类性质聚焦前项和的“局部与整体”关系，简化求和计算： 性质1：等差数列前项和，则仍为等差数列（公差为）。 应用场景：已知，，求（利用成等差，即，得）。 性质2：若项数为（偶数），则，且（为偶数项和，为奇数项和）；若项数为（奇数），则，且（为中间项）。 应用场景：已知项数为5（奇数），，直接得中间项，进而求。 性质3：前项和公式的“比值转化”：若两等差数列、的前项和分别为、，则。 应用场景：已知，求（直接得）。3.通项与前项和的关联性质 性质1：通项公式与前项和的关系：（），且；若，则（直接由二次函数推导一次通项）。 应用场景：已知求，或验证与的一致性。 性质2：前项和的“一次函数特征”：，即数列是公差为的等差数列。 应用场景：已知，，求（利用成等差，得）。二、通用解题步骤1.识别问题类型：判断题目是求“特定项”“项的和”“前项和”还是“两数列比值”，匹配对应的性质（如下标和问题用性质1，前项和的局部关系用性质2）。2.优先调用性质：避免直接设、列方程（虽通用但运算量大），先观察下标是否有“和相等”“成等差”等特征，或前项和是否有“局部间隔”（如）。3.补充基本量运算：若性质无法直接求解（如缺少关键项或和），再设、（或、，利用中间项简化），结合性质列方程，减少未知数个数。4.验证结果合理性：利用性质反向验证（如用验证求得的项是否满足和的关系），避免下标对应错误。三、常见易错点与规避策略1.下标对应错误：应用“”时，混淆下标和（如误将等同于，需确保而非），规避：先计算两边下标和，确认相等后再用性质。2.前项和的局部性质误用：忽略“成等差”的前提是“等差数列”，且公差为（非），规避：记忆公差推导过程（），避免记混系数。3.项数奇偶性混淆：应用“项数为奇/偶时的、关系”时，误将“项数为”的中间项记为（实际为），规避：明确“项数为时，中间项下标为（奇数项）”。课后针对训练课后针对训练一、单选题1．（24-25高二下·江西上饶·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A．36 B．48 C．60 D．1202．（2025·湖北黄冈·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则（

）A．8 B．7 C．6 D．53．（2025·广西柳州·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则的公差为（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2025·四川成都·一模）在等差数列中，，，则（

）A． B． C．1 D．25．（2025·江苏泰州·模拟预测）设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（

）A．49 B．50 C．51 D．526．（2025·河北唐山·三模）已知等差数列的前项和为，，，若，则（

）A．27 B．28 C．54 D．557．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知是等差数列，公差，且，，成等比数列，则等于（

）A． B． C． D．8．（2025·山东泰安·模拟预测）公差不为的等差数列的前项和为，若，成等比数列，则满足的的最大值为（

）A． B． C． D．9．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，则公差为（

）A． B． C． D．110．（2025·海南海口·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，，则（

）A．25 B．26 C．27 D．2811．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知等差数列中，，则数列的前2026项的和为（

）A．1013 B．1014 C．2026 D．2028二、填空题12．（2024·上海·三模）设是等差数列，其前项和为．若，，则．13．（2025·陕西咸阳·模拟预测）等差数列，的前n项和分别为，，已知，则的值为．14．（2025·湖北荆州·模拟预测）已知数列的前n项和为，，且为等差数列，若，则.三、解答题15．（2024·全国·模拟预测）设等差数列的前项和为，已知．(1)若，求的通项公式；(2)若对于任意，都有，求公差的取值范围参考答案题号12345678910答案BCABCACDCA题号11答案C1．B【分析】根据等差数列片段和的性质及等差中项的性质求.【详解】由等差数列片段和的性质，，，，成等差数列，故，则.故选：B2．C【分析】方法一：先利用关系式，求出公差，进而用等差数列求和公式即可求出答案.方法二：利用等差数列的性质即为等差数列求解.【详解】方法一：由题意得：，，则等差数列的公差，则，，所以.方法二：因为等差数列的性质即为等差数列，