考点三 三角函数与解三角形（选填题 11种考向）（教师版）

考点三三角函数与解三角形（选填题11种考向）考向一扇形的弧长与面积【例1-1】（24-25高三上·湖南长沙·期末）扇子发源于我国，我国的扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，历来我国有“制扇王国”之称.现有某工艺厂生产的一款优美的扇环形扇子，如图所示，其扇环面是由画有精美图案的油布构成，扇子对应的扇环外环的弧长为48cm，内环的弧长为16cm，油布径长（外环半径与内环半径之差）为24cm，则该扇子的油布面积大约为（油布与扇子骨架皱折部分忽略不计）A．1024cm2 B．768cm2C．640cm2 D．512cm2【答案】B【解析】设扇子对应的扇形的圆心角为，内环的半径为cm，外环的半径为cm，则，因为扇环外环的弧长为48cm，内环的弧长为16cm，所以，则，所以该扇子的油布面积为cm2.故选：B【例1-2】（2024·陕西汉中）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧…….以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知：每段圆弧的圆心角为，设第段圆弧的半径为，则可得，故数列是以首项，公差的等差数列，则，则“蚊香”的长度为.故选：D.【例1-3】（2025高三·全国·专题练习）某地进行老旧小区改造，有半径为、圆心角为的一块扇形空置地，如图，现欲从中规划出一块三角形绿地，其中点在上，，垂足为，垂足为，当点在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是．【答案】【解析】在中，，所以，在中，可得，由题可知，所以的面积，又，所以当，即时，的面积有最大值，即三角形绿地的最大面积是．故答案为：.【例1-4】（2024·全国·模拟预测）（多选）如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴的非负半轴为始边作锐角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，．若，则下列说法正确的是（

）

A．当时，的面积为B．当时，扇形的面积为C．当时，四边形的面积为D．四边形面积的最大值为1【答案】AC【解析】由题意，得圆的半径，，，．对于A，由，，得，则，故A正确；对于B，当时，因为，所以扇形的面积，故B错误；对于C，当时，，故C正确；对于D，，由，得，所以当，即时，取得最大值，为，故D错误．故选：AC考向二三角函数的定义与同角三角函数【例2-1】．（24-25高三下·广西·开学考试）已知过原点的直线的倾斜角为，若点在直线上，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意知，点到原点的距离为，由三角函数定义可得，所以.故选：D.【例2-2】（2025·广东肇庆·二模）已知是锐角，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由得，由得，化简得，得故选：B.【例2-3】（2025·安徽·模拟预测）若，则的值为（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以.故选：B【例2-4】（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，，所以，故选：B.【例2-5】（2025·辽宁沈阳·一模）已知锐角满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，则，可得，化简可得，由角为锐角，则，由，整理可得，分解因式可得，由角为锐角，解得.故选：B.【例2-6】（24-25高三上·山东德州·期末）（多选）已知，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】由得，，又，，所以，所以，A正确；，D正确；结合可得，，B正确；，C不正确．故选：ABD．考向三诱导公式与恒等变化【例3-1】（2025·山东日照·一模）已知是第一象限角，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，所以，左右两侧平方得，【例3-2】（2024·广东江苏·高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，而，所以，故即，从而，故，故选：A.【例3-3】（2023·全国·高考真题）已知，则（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，而，因此，则，所以.故选：B【例3-4】（2025高三·全国·专题练习）设，则．【答案】【解析】因为，，所以，所以．故答案为：.【例3-5】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则.【答案】【解析】法一：由题意得，因为，，则，，又因为，则，，则，则，联立，解得.法二：因为为第一象限角，为第三象限角，则,，，则故答案为：.【例3-6】（24-25高三下·重庆沙坪坝·开学考试）．(请用最简数值作答)【答案】【解析】.故答案为：考向四角的拼凑【例4-1】（24-25高三上·湖北·期中）已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故选：B.【例4-2】（2024·吉林长春·模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，.故选：C.【例4-3】（24-25高三上·湖北·阶段练习）若则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】故选：C【例4-4】（24-25高三上·江苏常州·期中）已知，且，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，可得，则，，则或，由于，所以，，，故选：B考向五三角函数的性质【例5-1】（24-25高三下·湖北·开学考试）（多选）已知函数，若将的图象向右平移个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法正确的是（

）A．B．的图象关于点对称C．的图象关于直线对称D．的图象与的图象在内有4个交点【答案】BD【解析】的图象向右平移个单位后，可得，进而可得，故A错误，对于B，，故B正确，对于C，，故不是的对称轴，故C错误，对于D，分别作出与在内的图象，可知有4个交点，故D正确，故选：BD【例5-2】（2025·甘肃白银·模拟预测）（多选）已知函数的图象如图所示，是直线与曲线的两个交点，且，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（

）A．B．的图象关于原点对称C．在上单调递增D．若关于的方程在有两个不同的根，则实数的取值范围为【答案】AD【解析】由函数的图象知，设，由，可得，令，即，结合图象可得，则，即，得，把，即，又，所以，则，故A正确；将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，易知不是奇函数，所以的图象不关于原点对称，故B错误；当时，，由余弦函数的单调性可知在上不是单调函数，故C错误；由，得，所以，当时，，因为关于的方程在有两个不同的根，所以，解得，故D正确.故选：AD【例5-3】（2025·安徽·模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．函数在区间上单调递增C．函数的图象的一条对称轴方程为D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到【答案】AD【解析】对于A，，函数的最小正周期，故A正确；对于B，因为，∴，而函数在上不单调，故在区间上不单调，故B错误；对于C，由（），得（），不可能取到，故C错误；对于D，由的图象向左平移个单位长度，得，故D正确.故选：AD考向六w的求法【例6-1】（2025·江西九江·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（

）A．5 B．8 C．11 D．13【答案】D【解析】依题意，得为偶函数，则，即，当时，，D正确，其他选项均不正确.故选：D．【例6-2】（24-25江苏省）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，由于，则，因为在区间上单调递增，则，所以，，解得，因此，的取值范围为.故选：A.【例6-3】（24-2海南）已知函数与的部分图象如图所示，则（

）A． B． C．6 D．3【答案】D【解析】设函数的最小正周期分别为，由图象可知：，且，则，整理可得.故选：D.【例6-4】（24-25福建）已知函数在区间上有最大值，没有最小值，则的范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，时，，由于在区间上有最大值，没有最小值，故，解得.故选：A【例6-5】（24-25湖南常德）已知函数，（），若与在区间上有且仅有3个交点，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由图可知，要使与在区间上有且仅有3个交点，则，解得，即的最小值为.故选：D.【例6-6】（24-25高三下·河北·开学考试）已知函数的最小正周期T满足，且该函数的图象关于点中心对称，则的值为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，，因为，所以，计算可得，又函数的图象关于点中心对称，所以，所以，，计算可得，，因为，所以当时，.故选：C．【例6-7】（2025·山东青岛·一模）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为（

）A．13 B．11 C．9 D．7【答案】C【解析】函数，，为的零点，为图象的对称轴，，，且，，相减可得，，即，即为奇数．在单调，①若在单调递增，则，且，，即①，且，②，把①②可得：，，故有奇数的最大值为11．当时，，，，．此时在上不单调，不满足题意．当时，，，，，此时在上单调递减，不满足题意；故此时无解．②若在单调递减，则，且，，即③，且，④，把③④可得：，，故有奇数的最大值为11．当时，，，，．此时在上不单调，不满足题意．当时，由①在上单调递减，满足题意；故的最大值为9．故选：C考点七三角函数的零点【例7-1】（2025·广东佛山·一模）函数在区间上的零点个数为【答案】5【解析】令，则，故或，而，所以或或或或，故共有5个零点，故选：B.【例7-2】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是．【答案】【解析】因为，所以，令，则有3个根，令，则有3个根，其中，结合余弦函数的图像性质可得，故，故答案为：.【例7-3】（2025·湖南邵阳·一模）已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是【答案】【解析】，令，得.，.令，由的图象得：，化简得.

【例7-4】（2014·河北唐山）函数所有零点的和等于【答案】9【解析】函数的零点即方程的解，即函数与函数的图象交点的横坐标．，故两函数的图象都是从原点出发，且是一个交点，由于函数的定义域为，，且两个函数的图象都关于直线对称，函数对应的曲线方程为，表示一个半圆，如图中所示：半圆在、处的切线斜率不存在，，，所以在、处的切线斜率分别为，，可见，这两个函数的图象在区间上有6个交点，且这些交点关于直线对称，而两个关于直线对称的点的横坐标之和等于3，故函数所有零点的和是9.【例7-5】（24-25高三下·山东德州·开学考试）函数在上单调递增，且在上恰有三个零点，则的取值范围为【答案】【解析】由，，，可得，所以函数的单调递增区间为，，因为函数在上单调递增，所以，所以，所以，由，，，可得，，所以函数的零点的集合为，，因为函数在上恰有三个零点，所以，，所以，所以，所以的取值范围为.【例7-6】（24-25天津河西）设函数，若函数在上恰有3个零点，则实数的取值范围是【答案】【解析】因为在上恰有3个零点，所以在上恰有3个解，因为时，，所以由正弦函数性质可得，解得，所以实数的取值范围是考向八正余弦定理【例8-1】（2024·陕西商洛·一模）（多选）设的内角的对边分别是，若，且，则下列结论正确的是（

）A． B．的外接圆的面积是C．的面积的最大值是 D．的取值范围是【答案】BCD【解析】对于A项，因为，所以，所以，又因为，所以，又因为，所以，故A项错误．对于B项，设的外接圆的半径为，由正弦定理可得，则的外接圆的面积是，故B项正确．对于C项，由余弦定理可得，即①．因为②，当且仅当时，等号成立，所以由①②得，当且仅当时，等号成立，所以的面积，则C项正确．对于D项，由正弦定理可得，则，，所以又因为，所以，所以，所以，即的取值范围是，故D项正确．故选：BCD.【例8-2】（24-25高三上·江苏苏州·期中）（多选）已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（

）A．若为锐角三角形，则B．若，，则是直角三角形C．若，则是等腰三角形D．若为钝角三角形，且，，，则的面积为【答案】AC【解析】对于A,若为锐角三角形，则即，故，故A正确；对于B，若，，则，即，故，且，故是等边三角形，故B错误；对于C，若，则即即故，是等腰三角形.故C正确；对于D，，解得或，且，当时，，为钝角，故，当时，，B为钝角，故，故D错误.故选：AC【例8-3】（2024·广东·模拟预测）（多选）已知中，角所对的边分别为的面积记为，若，则（

）A．B．的外接圆周长为C．的最大值为D．若为线段的中点，且，则【答案】AC【解析】依题意，，故A正确；记外接圆的半径为，则，则的外接圆周长为，故B错误；由余弦定理，，则，故，当且仅当时等号成立，故C正确；由C可知，当时，为等边三角形，此时，故D错误.故选：AC.【例8-4】（2024·辽宁沈阳）（多选）在中，角、、的对边分别为、、，且已知，则（

）A．若，且有两解，则的取值范围是B．若，且，则恰有一解.C．若，且为钝角三角形，则的取值范围是D．若，且为锐角三角形，则的取值范围是【答案】AD【解析】A选项：由正弦定理，，，且，则，选项A正确；选项B：，所以无解，故B错误；C选项：①为最大边：，且，此时；②为最大边：，且，此时，选项C错误；D选项：，且，所以，选项D正确；故选；AD.【例8-5】（2024·云南曲靖·模拟预测）（多选）在中，，，，为边上一动点，则（

）A．B．当为角的角平分线时，C．当为边中点时，D．若点为内任一点，的最小值为【答案】AB【解析】对于A中，在中，由余弦定理得即，所以，所以A正确；对于B中，当为角的角平分线时，由等面积法得，即，解得，所以B正确；对于C中，由为边中点时，可得，则，所以，所以C错误；对于D中，以为原点，以为轴，过A垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图，所以，设，则，，，，因为，所以，当且仅当时等号成立.所以的最小值为.所以D错误.故选：AB【例8-6】（2024·重庆·模拟预测）（多选）在锐角中，内角的对边分别为，若，则下列说法正确的是（

）A．B．的取值范围为C．的最小值为D．的取值范围是【答案】AB【解析】对A，由正弦定理角化边得，由余弦定理有，，因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，所以，A正确；对B，由上知，，因为为锐角三角形，，解得，所以，B正确；对C，，当时，得，因为，，所以等号不成立，C错误；对D，，因为，所以，所以，所以，即，D错误.故选：AB考向九实际应用【例9-1】（2024·四川）一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B、C两点间的距离是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】A【解析】依题意，如图，在中，，则，由正弦定理得，即，因此（海里），所以两点间的距离是海里．故选：A【例9-2】（2024·河南）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题图（2）得，圆形木板的直径为.设截得的四边形木板为，设，，，，，，如下图所示.由且可得，在中，由正弦定理得，解得.在中，由余弦定理，得，所以，，即，可得，当且仅当时等号成立.在中，，由余弦定理可得，即，即，当且仅当时等号成立，因此，这块四边形木板周长的最大值为.故选：D.考向十与其他知识的综合运用【例10-1】（2025·云南·模拟预测）已知函数在上有且仅有一个极大值点，则在下列区间中单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，当时，，因为在上有且仅有一个极大值点，所以，又，所以或，由，得，当时，解得，当时，解得，当时，符合题意.故选：B.【例10-2】（2025·陕西渭南·一模）已知则曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】因为，所以，令，得到，化简得，解得，代入回原函数得到，而，故切点为，而，，设曲线在处的切线斜率为，由导数的几何意义得，故切线方程为，化简得，令，得到，所以与轴交点为，令，得到，所以与轴交点为，且设三角形面积为，故，故A正确.故选：A【例10-3】（2025·新疆·模拟预测）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．的最小正周期为B．在区间上为增函数C．的对称中心为D．的最小值为【答案】ACD【解析】对于A：因为的最小正周期为，的最小正周期为，所以的最小正周期为，事实上，故A正确；对于C：，，所以的对称中心为，故C正确；对于D：因为的最小正周期为，所以只需考虑求在上的最小值即可.又，则，令，求得或，所以当或时，，此时，则在上单调递增，当时，，此时，但不恒为，则在上单调递减，则当时，函数取得最小值，为，故D正确；对于B：由D可知在区间上不单调，所以在区间上不单调，故B错误.故选：ACD【例10-4】（2024·安徽·三模）（多选）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，，，则（

）A．B．的外接圆面积为C．若，，则D．若，，则【答案】BCD【解析】对于A选项，依题意，，则，由正弦定理，，因为，且，故，故，因为，故，故A错误；对于B选项，由选项A可知，，故其外接圆面积为，故B正确；对于C、D选项，因为，记，所以，，，，在中，由正弦定理，，即，在中，由余弦定理，，故，解得，因为，则，，故C、D正确；故选：BCD.【例10-5】（2025·云南昆明·一模）（多选）已知函数，则（

）A．图象关于轴对称 B．是的一个周期C．在单调递减 D．图象恒在轴的上方【答案】ABD【解析】函数的定义域为，又，所以为偶函数，则图象关于轴对称，故A正确；因为，所以是的一个周期，故B正确；因为，，又，所以，所以且在定义域上连续，所以在不可能单调递减，故C错误；因为，当时，且，又因为，所以，即，由在上单调递增，所以，所以；当时，且，又因为，所以，即，由在上单调递增，所以，所以；综上可得：对，恒成立，即图象恒在轴的上方，故D正确.故选：ABD考向十一新定义【例11-1】（24-25福建莆田）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，为“同族函数”．下面函数表达式中，可以用来构造“同族函数”的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知，可以用来构造“同族函数”的函数不能严格单调，A选项，在R上严格单调递增，不满足要求；B选项，在上严格单调递增，不满足要求；C选项，在R上严格单调递增，不满足要求；D选项，在R上不严格单调递增，其中，与，的值域均为，故为“同族函数”，D正确.故选：D【例11-2】（2025山东）设，定义运算，则函数的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得当时，即则，即此时当时，有最小值为当时，即则，即此时，所以的最小值为故选：B【例11-3】（2025湖北）（多选）已知角和都是任意角，若满足，则称与“广义互余”若，则下列角中，可能与角“广义互余”的有（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】若与广义互余，则，即．又由，可得．对于A，若与广义互余，则，由可得与可能广义互余，故A正确；对于B，若与广义互余，则，由可得，故B错误；对于C，综上可得，，所以，由此可得C正确，D错误．故选：AC．【例11-4】（2025高三·北京·专题练习）定义：为集合相对常数的“余弦方差”.若，则集合相对的“余弦方差”的取值不可能为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，，，可得，故，即.故选：D.单选题1．（24-25高三上·安徽黄山·期末）已知角顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则它的终边过点若将角的终边绕坐标原点顺时针旋转得到角，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，则.故选：C2．（2025高三·全国·专题练习）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，记直角三角形中较大的锐角为，且满足，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，，所以，得.故选：A.3．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，可得，又因为，可得，所以故选：C4．（24-25高三上·辽宁·期末）（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】原式.故选：C5．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）已知，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故选：A.6．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，则，，.故选：D.7．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知角满足则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由可得，所以，，所以，故选：A8．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点为角终边上一点，点为角终边上一点，四边形为正方形，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】点是角终边上的一点，，，，，，四边形为正方形，∴，∴.故选：D.9．（23-24高三上·北京·开学考试）（

）A． B． C． D．2【答案】C【解析】根据三角函数两角和公式，则.代入原式化简,将代入原式可得：.因为，，所以.则原式变为.故选：C.10．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（

）A． B． C．0 D．【答案】D【解析】因为函数的最小正周期为，则，所以，即，当时，，所以当，即时，故选：D11．（2024·广东江苏·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】因为函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，所以在上函数有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C12．（2023·全国·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因为向左平移个单位所得函数为，所以，而显然过与两点，作出与的部分大致图像如下，

考虑，即处与的大小关系，当时，，；当时，，；当时，，；所以由图可知，与的交点个数为.故选：C.13．（2025·黑龙江·模拟预测）函数图象如图所示，若函数在单调增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，∵的图象过点，∴.∴，∴．由，，得，，∴函数的单调增区间为，．若函数在单调增，则的取值范围是.故选：C.14．（2025·浙江·模拟预测）函数在区间内的零点个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】由，得，即，令，函数在内的零点个数，即函数在内的图象交点个数，在同一坐标系内作出函数在内的图象，如图：观察图象，得函数在内的图象交点个数为4，所以函数在区间内的零点个数为4.故选：C15．（2024·四川·一模）函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】函数图象向左平移个单位长度后，得的图象，由已知得，所以，所以，所以，，所以，，因为，所以的最小值为3，故选：C.15．（2025·广东佛山·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，由正弦定理得，．又因为，所以，所以，又因为，解得或（舍去）．由余弦定理可知，又，所以，故．故选：D.16．（2025·河北邯郸·二模）在锐角三角形中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，且满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，即，所以，因为，所以，所以，又，根据正弦定理可得，所以，由余弦定理得，所以，所以由正弦定理得，，所以.故选：C.17．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】B【解析】由于，，成等差数列，则，由正弦定理可得,故,，由于，因此，故，当且仅当，取等号，故选：B18．（2025·江西新余·一模）已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（

）A．若，则对任意的都有B．若的图象关于直线对称，则C．若在上单调递增，则的取值范围是D．若方程在上恰有两个不同的实数解，则的取值范围是【答案】C【解析】因为函数的图象经过点，所以，即，又，所以，所以；对于A：当时，，则，故A错误；对于B：因为的图象关于直线对称，则，又，所以，故B错误；对于C：由，得，因为在上单调递增，所以，即，解得，即的取值范围是，故C正确；对于D，因为，所以，方程在上恰有两个不同的实数解，即在上恰有两个不同的实数解，则有，解得，即的取值范围是，故D错误．故选：C．19．（2025·江西·一模）若函数的定义域内存在，（），使得成立，则称为“完整函数”．已知（）是上的“完整函数”，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意得，，因为，所以，故在上有两个最大值点，令，则函数在区间上至少存在两个最大值点，则，解得．当，即时，显然符合题意．当时，因为，所以，因为，所以，，分以下两种情况讨论：①当，即时，，即，所以；②当，即时，，即，所以．综上，的取值范围为，故B正确.故选：B20．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】由题知，由正弦定理得，即，因为，所以，又，所以，得，所以最多有一个是钝角，所以，因为，由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3.故选：B多选题21．（2025·陕西榆林·二模）已知函数的部分图象如图所示，则（

）A．B．函数的图象关于点中心对称C．函数在上有最小值D．函数在内有3个零点【答案】ABD【解析】由图知，，所以，过点，即，所以，，因为，所以，，A正确.因为，所以函数的图象关于点中心对称，B正确.由得，因为在上单调递增，在上单调递减，所以当时，，，C错误.由得，的图象在上有3个零点，所以函数在内有3个零点，D正确.22．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知函数，则（

）A．函数的最小正周期为B．函数的单调递增区间为C．函数的图象和函数的图象关于直线对称D．若将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，可得【答案】ACD【解析】对于A选项：已知，根据余弦函数最小正周期公式得，所以函数的最小正周期为，A选项正确.对于B选项：.令，解不等式得，所以函数的单调递增区间是，B选项错误.对于C选项：，即，函数的图象和函数的图象关于直线对称，C选项正确.对于D选项：已知，又，则，即.根据两角和差公式，，整理得.因为该等式对任意都成立，所以，由得，，由得，，，又，综合可得，D选项正确.故选：ACD.23．（2024·江苏宿迁·三模）在中，角所对的边分别为．若，且边上的中线长为，则（

）A． B．的取值范围为C．面积的最大值为 D．周长的最大值为【答案】AB【解析】对于A，由，所以,所以，由正弦定理可得，因为，,可得，化简得，又，.故A正确；对于B，设，，，根据题意，，，，化简得，则，，当且仅当时等号成立，又，，，，即，故B正确；

对于C，由B，可得，故C错误；对于D，由前面选项，可得，且，，，即，令，由，得，解得，所以三角形周长，则，令，解得，又，所以在上单调递减，所以，故D错误.故选：AB.24．（2024·云南·一模）记中的内角，，所对的边分别为，，，已知，则下列说法正确的是（

）A．B．若，的周长为，则一定为等边三角形C．若是锐角三角形，且，则面积的取值范围是D．若，则内切圆周长的最大值为【答案】ABD【解析】对于A，在中，由及正弦定理，得，因为，所以，又因为，所以，则，即，故A正确；对于B，由及余弦定理，得，因为的周长为，即，解得，所以为等边三角形，故B正确；对于C，由正弦定理：，得和，则，因为是锐角三角形，所以，故，则，即，故，即面积的取值范围为，故C错误.对于D，由，及正弦定理：，可得，，因为面积，周长，所以内切圆半径，由，得，所以，即内切圆半径的取值范围为，则内切圆周长的最大值为，故D正确；故选:ABD25．（2024江苏连云港·期中）中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且，则（

）A．外接圆的半径为B．若的平分线与交于，则的长为C．若为的中点，则的长为D．若为的外心，则【答案】BD【解析】根据题意由，利用正弦定理可得，不妨设，利用余弦定理可得，又，可得；又面积为，解得，所以，对于选项A，设外接圆的半径为，由正弦定理可得，所以，即A错误；对于B，分别作垂直于，垂足为，如下图所示：

易知的面积为，可得，即B正确；对于C，若为的中点，易知，如下图所示：

所以可得，可得，即C错误；对于D，