考点三 三角函数与解三角形（选填题 11种考向）（学生版）

考点三三角函数与解三角形（选填题11种考向）考向一扇形的弧长与面积【例1-1】（24-25高三上·湖南长沙·期末）扇子发源于我国，我国的扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，历来我国有“制扇王国”之称.现有某工艺厂生产的一款优美的扇环形扇子，如图所示，其扇环面是由画有精美图案的油布构成，扇子对应的扇环外环的弧长为48cm，内环的弧长为16cm，油布径长（外环半径与内环半径之差）为24cm，则该扇子的油布面积大约为（油布与扇子骨架皱折部分忽略不计）A．1024cm2 B．768cm2C．640cm2 D．512cm2【例1-2】（2024·陕西汉中）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧…….以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（

）A． B． C． D．【例1-3】（2025高三·全国·专题练习）某地进行老旧小区改造，有半径为、圆心角为的一块扇形空置地，如图，现欲从中规划出一块三角形绿地，其中点在上，，垂足为，垂足为，当点在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是．【例1-4】（2024·全国·模拟预测）（多选）如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴的非负半轴为始边作锐角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，．若，则下列说法正确的是（

）

A．当时，的面积为B．当时，扇形的面积为C．当时，四边形的面积为D．四边形面积的最大值为1考向二三角函数的定义与同角三角函数【例2-1】．（24-25高三下·广西·开学考试）已知过原点的直线的倾斜角为，若点在直线上，则（

）A． B． C． D．【例2-2】（2025·广东肇庆·二模）已知是锐角，，则（

）A． B． C． D．【例2-3】（2025·安徽·模拟预测）若，则的值为（

）A．1 B． C． D．【例2-4】（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．【例2-5】（2025·辽宁沈阳·一模）已知锐角满足，则（

）A． B． C． D．【例2-6】（24-25高三上·山东德州·期末）（多选）已知，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．考向三诱导公式与恒等变化【例3-1】（2025·山东日照·一模）已知是第一象限角，且，则的值为（

）A． B． C． D．【例3-2】（2024·广东江苏·高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．【例3-3】（2023·全国·高考真题）已知，则（

）．A． B． C． D．【例3-4】（2025高三·全国·专题练习）设，则．【例3-5】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则.【例3-6】（24-25高三下·重庆沙坪坝·开学考试）．(请用最简数值作答)考向四角的拼凑【例4-1】（24-25高三上·湖北·期中）已知，则的值为（

）A． B． C． D．【例4-2】（2024·吉林长春·模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．【例4-3】（24-25高三上·湖北·阶段练习）若则（

）A． B． C． D．【例4-4】（24-25高三上·江苏常州·期中）已知，且，则（）A． B． C． D．考向五三角函数的性质【例5-1】（24-25高三下·湖北·开学考试）（多选）已知函数，若将的图象向右平移个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法正确的是（

）A．B．的图象关于点对称C．的图象关于直线对称D．的图象与的图象在内有4个交点【例5-2】（2025·甘肃白银·模拟预测）（多选）已知函数的图象如图所示，是直线与曲线的两个交点，且，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（

）A．B．的图象关于原点对称C．在上单调递增D．若关于的方程在有两个不同的根，则实数的取值范围为【例5-3】（2025·安徽·模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．函数在区间上单调递增C．函数的图象的一条对称轴方程为D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到考向六w的求法【例6-1】（2025·江西九江·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（

）A．5 B．8 C．11 D．13【例6-2】（24-25江苏省）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【例6-3】（24-2海南）已知函数与的部分图象如图所示，则（

）A． B． C．6 D．3【例6-4】（24-25福建）已知函数在区间上有最大值，没有最小值，则的范围是（

）A． B． C． D．【例6-5】（24-25湖南常德）已知函数，（），若与在区间上有且仅有3个交点，则的最小值是（

）A． B． C． D．【例6-6】（24-25高三下·河北·开学考试）已知函数的最小正周期T满足，且该函数的图象关于点中心对称，则的值为（

）A．1 B． C． D．【例6-7】（2025·山东青岛·一模）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为（

）A．13 B．11 C．9 D．7考点七三角函数的零点【例7-1】（2025·广东佛山·一模）函数在区间上的零点个数为【例7-2】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是．【例7-3】（2025·湖南邵阳·一模）已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是

【例7-4】（2014·河北唐山）函数所有零点的和等于【例7-5】（24-25高三下·山东德州·开学考试）函数在上单调递增，且在上恰有三个零点，则的取值范围为【例7-6】（24-25天津河西）设函数，若函数在上恰有3个零点，则实数的取值范围是考向八正余弦定理【例8-1】（2024·陕西商洛·一模）（多选）设的内角的对边分别是，若，且，则下列结论正确的是（

）A． B．的外接圆的面积是C．的面积的最大值是 D．的取值范围是【例8-2】（24-25高三上·江苏苏州·期中）（多选）已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（

）A．若为锐角三角形，则B．若，，则是直角三角形C．若，则是等腰三角形D．若为钝角三角形，且，，，则的面积为【例8-3】（2024·广东·模拟预测）（多选）已知中，角所对的边分别为的面积记为，若，则（

）A．B．的外接圆周长为C．的最大值为D．若为线段的中点，且，则【例8-4】（2024·辽宁沈阳）（多选）在中，角、、的对边分别为、、，且已知，则（

）A．若，且有两解，则的取值范围是B．若，且，则恰有一解.C．若，且为钝角三角形，则的取值范围是D．若，且为锐角三角形，则的取值范围是【例8-5】（2024·云南曲靖·模拟预测）（多选）在中，，，，为边上一动点，则（

）A．B．当为角的角平分线时，C．当为边中点时，D．若点为内任一点，的最小值为【例8-6】（2024·重庆·模拟预测）（多选）在锐角中，内角的对边分别为，若，则下列说法正确的是（

）A．B．的取值范围为C．的最小值为D．的取值范围是考向九实际应用【例9-1】（2024·四川）一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B、C两点间的距离是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【例9-2】（2024·河南）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（

）A． B． C． D．考向十与其他知识的综合运用【例10-1】（2025·云南·模拟预测）已知函数在上有且仅有一个极大值点，则在下列区间中单调递增的是（

）A． B． C． D．【例10-2】（2025·陕西渭南·一模）已知则曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．2【例10-3】（2025·新疆·模拟预测）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．的最小正周期为B．在区间上为增函数C．的对称中心为D．的最小值为【例10-4】（2024·安徽·三模）（多选）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，，，则（

）A．B．的外接圆面积为C．若，，则D．若，，则【例10-5】（2025·云南昆明·一模）（多选）已知函数，则（

）A．图象关于轴对称 B．是的一个周期C．在单调递减 D．图象恒在轴的上方考向十一新定义【例11-1】（24-25福建莆田）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，为“同族函数”．下面函数表达式中，可以用来构造“同族函数”的是（

）A． B． C． D．【例11-2】（2025山东）设，定义运算，则函数的最小值为（

）A． B． C． D．【例11-3】（2025湖北）（多选）已知角和都是任意角，若满足，则称与“广义互余”若，则下列角中，可能与角“广义互余”的有（

）A． B． C． D．【例11-4】（2025高三·北京·专题练习）定义：为集合相对常数的“余弦方差”.若，则集合相对的“余弦方差”的取值不可能为（）A． B． C． D．单选题1．（24-25高三上·安徽黄山·期末）已知角顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则它的终边过点若将角的终边绕坐标原点顺时针旋转得到角，则（

）A． B． C． D．2．（2025高三·全国·专题练习）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，记直角三角形中较大的锐角为，且满足，则的值为（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）若，则（

）A． B． C． D．4．（24-25高三上·辽宁·期末）（

）A． B． C．1 D．25．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）已知，则（）A． B． C． D．6．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知，则（

）A． B． C． D．7．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知角满足则（

）A． B． C． D．8．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点为角终边上一点，点为角终边上一点，四边形为正方形，则（

）A． B． C． D．9．（23-24高三上·北京·开学考试）（

）A． B． C． D．210．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（

）A． B． C．0 D．11．（2024·广东江苏·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（

）A．3 B．4 C．6 D．812．（2023·全国·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．413．（2025·黑龙江·模拟预测）函数图象如图所示，若函数在单调增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．14．（2025·浙江·模拟预测）函数在区间内的零点个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．515．（2024·四川·一模）函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（

）．A．1 B．2 C．3 D．415．（2025·广东佛山·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（

）A． B． C． D．16．（2025·河北邯郸·二模）在锐角三角形中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，且满足，，则（

）A． B． C． D．17．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为（

）A．2 B．3 C． D．418．（2025·江西新余·一模）已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（

）A．若，则对任意的都有B．若的图象关于直线对称，则C．若在上单调递增，则的取值范围是D．若方程在上恰有两个不同的实数解，则的取值范围是19．（2025·江西·一模）若函数的定义域内存在，（），使得成立，则称为“完整函数”．已知（）是上的“完整函数”，则的取值范围为（

）A． B．C． D．20．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5多选题21．（2025·陕西榆林·二模）已知函数的部分图象如图所示，则（

）A．B．函数的图象关于点中心对称C．函数在上有最小值D．函数在内有3个零点22．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知函数，则（

）A．函数的最小正周期为B．函数的单调递增区间为C．函数的图象和函数的图象关于直线对称D．若将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，可得23．（2024·江苏宿迁·三模）在中，角所对的边分别为．若，且边上的中线长为，则（

）A． B．的取值范围为C．面积的最大值为 D．周长的最大值为24．（2024·云南·一模）记中的内角，，所对的边分别为，，，已知，则下列说法正确的是（

）A．B．若，的周长为，则一定为等边三角形C．若是锐角三角形，且，则面积的取值范围是D．若，则内切圆周长的最大值为25．（2024江苏连云港·期中）中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》