第14讲：导数研究函数的单调性极值与最值（7个题型）（教师版）

【第14讲：导数研究函数的单调性，极值与最值】总览总览题型梳理一．利用导数求解函数的单调性和单调区间（共8小题）二．由函数的单调性求解函数或参数（导数法）（共7小题）三．函数在某点取得极值的条件（共5小题）四．利用导数求解函数的极值（共7小题）五．由函数的极值求解函数或参数（共4小题）六．利用导数求解函数的最值（共9小题）七．由函数的最值求解函数或参数（导数法）（共5小题）【知识点清单】1．利用导数求解函数的单调性和单调区间【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．2．由函数的单调性求解函数或参数（导数法）【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．3．函数在某点取得极值的条件【知识点的认识】极值的判断首先要求：1、该处函数值有意义，2、该处函数连续．求极值的时候F'（X）＝0是首先考虑的，但是对于F'（X）无意义的点也要讨论，只要该点有函数值且函数连续、两边导函数值异号，就可以确定该点是极值点．具备了这些条件，我们进一步判定极大值和极小值：当这个点左边的导函数大于0时，即左边单调递增，右边的导函数小于0时，即右边单调递减，此时这个点就是极大值，你可以把他理解成波峰的那个点；那么波谷的那个点就是极小值，情况相反．【解题方法点拨】这也是导数里面很重要的一个点，可以单独出题，也可以作为大题的一个小问，还可以隐含在条件中作为隐含信息，大家务必理解，并灵活运用．4．利用导数求解函数的极值【知识点的认识】1、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．2、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】﹣求导：计算函数的导数f'（x）．﹣零点分析：求解f'（x）＝0以找到可能的极值点．﹣极值判断：通过二阶导数或导数符号变化判断极值类型．5．由函数的极值求解函数或参数【知识点的认识】1、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．2、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．【解题方法点拨】﹣极值分析：利用极值点和极值性质求解函数参数．﹣参数求解：结合极值点的坐标，利用极值条件求解函数的参数．﹣应用：将极值与实际问题结合，解决涉及函数参数的复杂问题．6．利用导数求解函数的最值【知识点的认识】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）=1（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】﹣求导：计算函数的导数f'（x）．﹣极值点：求解f'（x）＝0以找到极值点．﹣边界条件：结合函数的定义域边界点计算函数值，比较得到最值．题型题型分类知识讲解与常考题型一．利用导数求解函数的单调性和单调区间（共8小题）1．如图是函数f（x）＝ex（ax﹣1）的大致图象，则不等式f（x）f′（x）＜0的解集为（）A．(−∞，12) B．(−12，【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．【分析】根据图象可得x=−12是f（x）的极小值点，求得a＝2，再根据f（x）f'（【解答】解：由题意可得f′（x）＝ex（ax+a﹣1），又由图可知a≠0，且x=−12是f（则f′（−12）＝0，即e−12（−12a所以f′（x）＝ex（2x+1），由f（x）f′（x）＜0，ex＞0，可得（2x﹣1）（2x+1）＜0，解得x∈(−1故选：D．【点评】本题考查函数的极值，属于中档题．2．若a=e，b=2A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．b＞c＞a【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．【分析】先构造函数判断出a最小，再依据函数单调性去比较b、c的大小即可解决．【解答】解；令f(x)=xlnx(x＞0)由f′（x）＞0，得x＞e，f（x）单调递增，由f′（x）＜0，得0＜x＜e，f（x）单调递减，当x＝e时f（x）取得最小值f(e)=e则有f（2）＞f（e），f（5）＞f（e），即b＞a，c＞a，又b=2综上c＞b＞a．故选：A．【点评】本题主要考查了导数与单调性关系在函数值大小比较中的应用，属于基础题．3．已知函数f（x）＝lnx+（x﹣b）2（b∈R）在[1，2]上存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（）A．[32，+∞) B．[94，+∞)【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．【分析】根据题意可知f′（x）＜0在[1，2]上有解，整理可得b＞(12x【解答】解：由题意：已知函数f（x）＝lnx+（x﹣b）2（b∈R）在[1，2]上存在单调递减区间，可知：f′(x)=1因为函数f（x）在[1，2]上存在单调递减区间，则f′（x）＜0在[1，2]上有解，可得b＞1所以b＞(令g(x)=12x+x，x∈[1，2]显然g′（x）＞0，可知函数g（x）单调递增，则g(x)即b＞32，所以实数b的取值范围是故选：C．【点评】本题考查利用导数求解函数的单调性和单调区间，属于中档题．4．已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+lnx+1（a∈R），若∀x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，f(x1)−f(A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，﹣1] C．（0，8] D．[0，8]【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．【分析】将f(x1)−f(x2)x1−x2＞−2化为f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2，由此令m（x）＝f（x）+2x，则m（x【解答】解：不妨设0＜x1＜x2，若∀x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，f(x此时f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2对一切0＜x1＜x2都成立，令m（x）＝f（x）+2x，此时m（x）＝ax2﹣ax+lnx+1，函数定义域为（0，+∞），此时问题转化成m（x）在（0，+∞）上单调递增；又m′(x)=2ax−a+1当a＝0时，m′(x)=1所以函数m（x）在（0，+∞）上单调递增；当a≠0时，此时需满足m′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即2ax2﹣ax+1≥0在（0，+∞）上恒成立，易知函数y＝2ax2﹣ax+1过定点（0，1），对称轴为x=1此时需满足a＞0且2a(解得0＜a≤8，综上所述，a的取值范围为[0，8]．故选：D．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力，属于中档题．5．若函数f(x)=12x2−2x−3lnxA．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B．（﹣1，3） C．（0，3） D．（3，+∞）【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．【分析】求出导函数，通过导函数的符号转化求解函数的单调减区间即可．【解答】解：f(x)=12x2−2x−3lnx可得f′（x）＝x﹣2−3∵x＞0⇒f′（x）＜0，解得x∈（0，3）；所以函数f（x）的单调递减区间为：（0，3）；故选：C．【点评】本题考查函数的单调性的求法，求出导函数，求解不等式组是解题的关键，是中档题．6．已知函数f(x)=alnx+12xA．（0，+∞） B．[0，+∞） C．（9，+∞） D．[9，+∞）【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．【分析】求出函数的导函数，依题意可得f′(x)=ax+x−6≥0在（0，+∞）上恒成立，参变分离可得a≥﹣x2【解答】解：由题意，f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）在定义域内单调递增，所以f′(x)=a所以a≥﹣x2+6x在（0，+∞）上恒成立，因为函数y＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，所以当x＝3时，y＝﹣x2+6x取得最大值9，所以a≥9，即a的取值范围是[9，+∞）．故选：D．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．7．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则f（x）的图象可能为（）A． B． C． D．【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；函数图象趋势与导数大小的关系．【分析】根据题意，由导函数的图象分析f（x）的单调性，分析选项可得答案．【解答】解：根据题意，由导函数的图象，在区间（﹣∞，﹣2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，在区间（﹣2，0）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，在区间（0，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，分析选项：B选项符合．故选：B．【点评】本题考查函数的导数与单调性的关系，涉及函数的图象分析，属于基础题．8．已知函数f（x）＝ex−lnxa，（a＞0）在区间（1，2）单调递增，则A．e﹣1 B．e C．e2 D．e﹣2【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．【分析】根据f′（x）≥0在（1，2）上恒成立，再根据分离参数求最值即可求出．【解答】解：因为f(x)=ex−所以f′(x)=e则函数f(x)=e即f′（x）≥0在（1，2）上恒成立，又a＞0，所以问题转化为1a设g（x）＝xex，x∈（1，2），则g'（x）＝ex+xex＝（1+x）ex＞0，所以g（x）在（1，2）上单调递增，则g（x）＞g（1）＝e，故1a≤e，即a≥e﹣1，所以a的最小值为：e故选：A．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．二．由函数的单调性求解函数或参数（导数法）（共7小题）9．若函数f（x）＝aex﹣x3在区间（1，3）上单调递增，则实数a的最小值为（）A．3e B．12e3 C．12【考点】由函数的单调性求解函数或参数（导数法）．【分析】先对函数f（x）求导，根据函数单调性与导数的关系得到a的不等式，再通过构造函数求其最大值，进而得到a的最小值．【解答】解：已知f（x）＝aex﹣x3，可得f′（x）＝aex﹣3x2．因为f（x）在区间（1，3）上单调递增，所以f′（x）≥0在区间（1，3）上恒成立，即aex﹣3x2≥0在区间（1，3）上恒成立，移项可得a≥3令g(x)=3x2ex，x∈（1，3），则a≥g对g(x)=3x2令g′（x）＝0，即3x(2−x)ex=0，因为ex＞0恒成立，所以3x（2﹣x）＝0，解得x当1＜x＜2时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当2＜x＜3时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）在x＝2处取得极大值，也是最大值，g(2)=3×因为a≥g(x)max=12e故选：C．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．10．已知函数f(x)=lnx2−x+axA．﹣4 B．﹣2 C．0 D．2【考点】由函数的单调性求解函数或参数（导数法）．【分析】求出函数f（x）的导数，利用导数不小于0建立不等式并分离参数求出最大值即可．【解答】解：由x2−x＞0，得0＜即函数f（x）的定义域为（0，2），由f（x）＝lnx﹣ln（2﹣x）+ax，则f′(x)=1由函数f（x）在（0，2）上单调递增，得∀x∈（0，2），f′(x)≥0⇔a≥−1而−1则a≥﹣2，所以实数a的最小值为﹣2．故选：B．【点评】本题考查了导数的综合应用，属中档题．11．若函数f（x）＝x−13sin2x+asinx在R上单调递增，则A．[−13，13] B．【考点】由函数的单调性求解函数或参数（导数法）．【分析】由题意可得f′（x）＝1−23cos2x+acosx≥0恒成立，利用二倍角公式及换元法可得−43t2+at+53≥0对t∈[﹣1，1]恒成立，令g（t）=−4【解答】解：因为函数f（x）＝x−13sin2x+asinx在所以f′（x）＝1−23cos2x+acos故1−23（2cos2x﹣1）+acosx≥0，即acosx−43cos令t＝cosx∈[﹣1，1]，则−43t2+at+53设g（t）=−43t2+at+53则g(−1)=13−a≥0g(1)=1即a的取值范围是[−13，故选：A．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．12．已知函数f（x）＝lnx﹣ax在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围为（）A．a≥1 B．a＞1 C．a≥13 【考点】由函数的单调性求解函数或参数（导数法）．【分析】利用导数与函数的关系将问题转化为a≥1【解答】解：因为f（x）＝lnx﹣ax，所以f′(x)=1因为f（x）在区间[1，3]上单调递减，所以f′（x）≤0，即1x−a≤0，则因为y=1x在[1，3]上单调递减，所以ymax＝1，故故选：A．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．13．已知函数f(x)=alnx+12x2，在其图象上任取两个不同的点P（x1，y1）、Q（x2，y2）（x1＞x2），总能使得A．[4，+∞） B．[1，+∞） C．（4，+∞） D．（1，+∞）【考点】由函数的单调性求解函数或参数（导数法）；定义法求解函数的单调性．【分析】等价变形给定不等式，构造函数，利用导数及函数单调性求出范围．【解答】解：由已知得x1＞x2＞0，则f(x1)−f(x2)x1−x2＞4化为f（x1即f（x1）﹣4x1＞f（x2）﹣4x2，令函数g(x)=f(x)−4x=alnx+1有∀x1＞x2＞0，g（x1）＞g（x2），则函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，等价于∀x∈（0，+∞），g′(x)=ax+x−4≥0，即a≥﹣x2当x＞0时，﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4≤4，当且仅当x＝2时取等号，则a≥4，所以实数a的取值范围是[4，+∞）．故选：A．【点评】本题主要考查由函数的单调性求参数取值范围，属于中档题．14．已知a，b∈R，函数f（x）＝xex+a﹣b（x+1）2在R上单调递增，则（）A．a≥2b B．a≤2b C．2a≥b D．2a≤b【考点】由函数的单调性求解函数或参数（导数法）．【分析】借助导数将函数的单调性问题转化为恒成立问题，从而挖掘出a与b之间的等量关系．要比较2a与b，a与2b之间的大小关系，可以作差构造函数，再利用导数来判断．【解答】解：题意等价于f′（x）＝（x+1）（ex+a﹣2b）≥0对任意x∈R恒成立，因为y＝x+1和y＝ex+a﹣2b在R上都单调递增，则f′（x）有唯一零点，所以它们有相同的零点x＝﹣1，故ea﹣1＝2b，设函数ℎ(a)=2a−b=2a−1因为ℎ(1)=32＞0所以h（a）的正负不确定，即2a与b的大小关系不确定；设函数g（a）＝a﹣2b＝a﹣ea﹣1，则g′（a）＝1﹣ea﹣1，由g′（a）＜0，得a＞1，由g′（a）＞0，得a＜1，所以g（a）在区间（﹣∞，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，故g（a）≤g（1）＝0，即a≤2b．故选：B．【点评】本题主要考查由函数的单调性求参数取值范围，属于中档题．15．若函数ℎ(x)=lnx−12aA．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C．(−∞，−716]【考点】由函数的单调性求解函数或参数（导数法）．【分析】根据条件得出存在x∈[1，4]，使ℎ′(x)=1x−ax−2＞0成立，即存在x∈[1，4]，使a＜1x2−2x成立，构造函数【解答】jie：因为函数ℎ(x)=lnx−1所以存在x∈[1，4]，使ℎ′(x)=1x−ax−2＞0成立，即存在x∈令G(x)=1x2−2x因为x∈[1，4]，所以1x所以当1x=14，即所以a＜−7故选：D．【点评】本题主要考查导数知识的综合应用，考查计算能力，属于中档题．三．函数在某点取得极值的条件（共5小题）16．导函数y＝f′（x）的图象如图所示，在标记的点中，函数y＝f（x）的极大值点为（）A．x1 B．x2 C．x3 D．x4【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数求解函数的极值．【分析】根据导函数图象判断原函数的单调性即可．【解答】解：根据题中所给图象，当x∈（﹣∞，x1），（x3，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（x1，x3）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以函数f（x）的极大值点为x1．故选：A．【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件，属于基础题．17．如图是y＝f（x）的导函数f′（x）的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（）A．当x＝3时，f（x）取得极小值 B．f（x）在[﹣2，1]上是增函数 C．当x＝1时，f（x）取得极大值 D．f（x）在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】由取极值的必要条件即可判断AC，由导函数符号和函数单调性的关系可判断BD．【解答】解：如图是y＝f（x）的导函数f′（x）的图象，对于A，f′（3）≠0，不满足取极值的必要条件，故A错误；对于B，当﹣2＜x＜﹣1时，f′（x）＜0，这表明f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递增，故B错误；对于C，f′（1）≠0，不满足取极值的必要条件，故C错误；对于D，当﹣1＜x＜2时，f′（x）＞0，当2＜x＜4时，f′（x）＜0，所以f（x）在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查导函数与原函数的关系，属于基础题．18．已知f（x）＝x3﹣ax2+4x有两个极值点x1、x2，且f（x）在区间（0，1）上有极大值，无极小值，则实数a的取值范围是（）A．a＞72 B．a≥72 C．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】求导函数，利用f（x）在区间（0，1）上有极大值，无极小值，可得f′（x）＝0的两个根中：x1∈（0，1），x2＞1，由此可得结论．【解答】解：由题意，f′（x）＝3x2﹣2ax+4∵f（x）在区间（0，1）上有极大值，无极小值，∴f′（x）＝0的两个根中：x1∈（0，1），x2＞1∴f′（0）＝4＞0，f′（1）＝7﹣2a＜0，解得a＞故选：A．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，正确理解极值的含义是关键．19．若函数y＝f（x）是定义在R上的可导函数，则f′（x0）＝0是x0为函数y＝f（x）的极值点的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】结合极值的定义可知必要性成立，而充分性中除了要求f′（x0）＝0外，还的要求在两侧有单调性的改变（或导函数有正负变化），通过反例可知充分性不成立．【解答】解：如y＝x3，y′＝3x2，y′|x＝0＝0，但x＝0不是函数的极值点．若函数在x0取得极值，由定义可知f′（x0）＝0所以f′（x0）＝0是x0为函数y＝f（x）的极值点的必要不充分条件故选：B．【点评】本题主要考查函数取得极值的条件：函数在x0处取得极值⇔f′（x0）＝0，且f′（x＜x0）•f′（x＞x0）＜020．设函数f（x）＝（x+a）（x﹣2）2，则“a＝﹣2”是“f（x）没有极值点”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】函数在某点取得极值的条件；充分条件必要条件的判断．【分析】根据函数在某点处取得极值的条件分别对充分性和必要性进行判断，得出结论．【解答】解：若a＝﹣2，则f（x）＝（x﹣2）3，f'（x）＝3（x﹣2）2，则f'（x）≥0在R上恒成立，故f（x）没有极值点，故充分性成立；若f（x）没有极值点，则f（x）＝0没有变号零点，因为f'（x）＝（x﹣2）2+2（x+a）（x﹣2）＝（x﹣2）（3x+2a﹣2），所以−2a−23=所以“a＝﹣2”是“f（x）没有极值点”的充分必要条件．故选：C．【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件和充分必要条件的判断，属于中档题．四．利用导数求解函数的极值（共7小题）21．在等比数列{an}中，a1，a5是函数f（x）＝（x2﹣7x+11）ex的极值点，则a3＝（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．1【考点】利用导数求解函数的极值．【分析】根据函数的极值点的定义求得a1a5＝4，再运用等比中项即可求得a3．【解答】解：根据题目f′（x）＝（x2﹣5x+4）ex，依题意a1，a5是方程x2﹣5x+4＝0的两根，因此a1+a5＝5＞0，a1a5＝4＞0，又数列{an}是等比数列，设公比为q，因此a1(1+q故a1＞0，a3=a1故选：A．【点评】本题考查利用导数求解函数的极值，属于中档题．22．关于x的函数f（x）＝x2+ax+blnx有两个极值点x1，x2，且f（x1）＝0．则x1的取值范围是（）A．（e，+∞） B．（e2，+∞） C．(e，e32【考点】利用导数求解函数的极值．【分析】求出f（x）的定义域，得到x1，x2均大于0．f′（x）＝0得到二次方程2x2+ax+b＝0，结合韦达定理、根的判别式得到a、b的范围．最后代入f（x1）＝0、f′（x1）＝0化简得答案．【解答】解：因为f（x）＝x2+ax+blnx，所以f′(x)=2x+a+b令f′（x）＝0，2x+a+bx=0，即2x2+ax因为f（x）的定义域为（0，+∞），且x1，x2在定义域内，因此x1f′(x因为b＞0，因此x12由2x12+ax整理得：4x14+4x因此b≠2x12，代入b=x1解得：x1≠由①②得：x1的取值范围是(e，e故选：C．【点评】本题考查利用导数求解函数的极值，属于中档题．23．若函数f（x）＝xlnx﹣（m﹣1）ln（2x）存在唯一极值点，则实数m的取值范围是（）A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．{1−1e2【考点】利用导数求解函数的极值．【分析】由极值点的定义，将问题等价于导函数求零点，利用导数与函数单调性的关系，可得答案．【解答】解：由题意可得f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=lnx+1−m−1因为函数f（x）存在唯一极值点，所以函数f′（x）存在唯一变号零点，则方程f′（x）＝0存在唯一解，即方程m﹣1＝xlnx+x存在唯一解，令g（x）＝xlnx+x，则g′（x）＝lnx+2，由g′（x）＝0，解得x=1当0＜x＜1e2时，g′（x）＜0，当1e2所以函数g（x）在(0，1e2)上单调递减，在当0＜x＜1e时，lnx+1＜0，则g（x）＜0，当x＞1e时，易知当m−1∈{−1e2}∪[0，+∞)，即m∈{1−1当m=1−1e2时，f′(x)=lnx+1+1xe2由当0＜x＜1e2时，lnx＜﹣2，1+1xe2＞2，则f′（所以此时函数f（x）无极值点，不符合题意；当m∈[1，+∞）时，m﹣1≥0，易知函数f′（x）在（0，+∞）上单调递增，符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．24．已知f(x)=aex−12A．(2e2，C．(2e2【考点】利用导数求解函数的极值．【分析】令f′（x）＝0，根据极值点可得y＝a与g(x)=xex在(12【解答】解：因为f′（x）＝aex﹣x，可知f′（x）在(1由f′（x）＝0可得a=xex，可知：y＝a与g(x)=又因为g′(x)=1−x当x∈（12，1）时，g′（x）＞0，g（x当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，则g(x)≤g(1)=1且g(12)=结合图象可得12e＜a＜1e故选：B．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．25．若函数y＝x3﹣2ax在(0，3)内无极值，则实数A．(0，92)C．(−∞，0]∪[92，+∞)【考点】利用导数求解函数的极值．【分析】求出导数，再由导函数在(0，3【解答】解：由函数y＝x3﹣2ax在(0，3)内无极值，得y′＝3x2﹣2a在即函数y′＝3x2﹣2a在(0，3)上单调递增，则﹣2a≥0或9﹣2a≤0，解得a≤0或故选：C．【点评】本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于基础题．26．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，若f（x）在x＝﹣1处取得极大值7，在x＝3处取得极小值，则a+b+c的值为（）A．﹣10 B．﹣14 C．﹣18 D．﹣20【考点】利用导数求解函数的极值．【分析】利用极值点处的导数值为0，及极值可求a，b，c，进而求a+b+c．【解答】解：f'（x）＝3x2+2ax+b，而x＝﹣1和x＝3是极值点，所以f′(−1)=3−2a+b=0f′(3)=27+6a+b=0，解之得：a＝﹣3，b又f（﹣1）＝﹣1+a﹣b+c＝﹣1﹣3+9+c＝7，故得c＝2，所以a＝﹣3，b＝﹣9，c＝2，经检验知符合题意．，所以a+b+c＝﹣10．故选：A．【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．27．已知函数f(x)=xA．函数f（x）存在两个不同的零点 B．函数f（x）既有极大值又有极小值 C．当﹣e＜k＜0时，方程f（x）＝k有且只有两个实根 D．若x∈[t，+∞）时，f(x)max=【考点】利用导数求解函数的极值；判定函数零点的存在性．【分析】由f（x）＝0，得到x2+x﹣1＝0，可判定A正确；求得f′(x)=−(x+1)(x−2)ex，得出函数f（x）的单调区间，可判定B正确；根据函数的最小值是f（﹣1）＝﹣e，可判定C正确；由函数的单调性和极值，可判定t＝﹣1时，f【解答】解：函数f(x)=x由f（x）＝0，可得x2+x﹣1＝0，由于Δ＝1+4＝5＞0，故f（x）＝0有两异根，即f（x）存在两个不同的零点，A正确；又f′(x)=−x令f′（x）＜0时，得x＜﹣1或x＞2，f′（x）＞0，解得﹣1＜x＜2，所以函数f（x）的单调递减区间是（﹣∞，﹣1），（2，+∞），单调递增区间是（﹣1，2），所以f（﹣1）是函数的极小值，f（2）是函数的极大值，即f（x）既有极大值又有极小值，B正确；当x→+∞时，f（x）→0，根据B可知，函数的最小值是f（﹣1）＝﹣e，可得函数的大致图象，所以当﹣e＜k＜0时，方程f（x）＝k有且只有两个实根，C正确；由B知函数f（x）的单调递减区间是（﹣∞，﹣1），（2，+∞），单调递增区间是（﹣1，2），其中f(2)=5e2，当t＝﹣1时，即在区间[﹣1，+∞）时，可得f故选：D．【点评】本题考查利用导数求解函数的极值与零点，考查数形结合思想及综合运算能力，属于中档题．五．由函数的极值求解函数或参数（共4小题）28．函数f（x）＝4x3﹣ax2﹣2bx+2在x＝1处有极值﹣3，则a﹣b的值等于（）A．0 B．6 C．3 D．2【考点】由函数的极值求解函数或参数．【分析】首先求出函数的导函数，再依题意可得f'（1）＝0，即可得到a+b＝6，再根据f（1）＝﹣3联立即可．【解答】解：∵函数f（x）＝4x3﹣ax2﹣2bx+2在x＝1处有极值，所以f'（x）＝12x2﹣2ax﹣2b，则f′（1）＝12﹣2a﹣2b＝0，即a+b＝6，又f（1）＝4﹣a﹣2b+2＝﹣3，即a+2b＝9，联立即b＝3，a＝3，故a﹣b＝0．故选：A．【点评】本题考查由函数的极值求解参数，属于中档题．29．已知f（x）＝（ax﹣a﹣1）ex+x，若0是f（x）的极小值点，则a的取值范围为（）A．[0，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，0）【考点】由函数的极值求解函数或参数．【分析】令g（x）＝f′（x），求出g′（x），要使0是f（x）的极小值点，则g′（0）＞0，由此可得a的取值范围．【解答】解：由题意，f′（x）＝aex+（ax﹣a﹣1）ex+1＝（ax﹣1）ex+1，若0是f（x）的极小值点，则x＝0的左侧，f′（x）＜0，在x＝0的右侧，f′（x）＞0，令g（x）＝f′（x）＝（ax﹣1）ex+1，则g（0）＝0，g′（x）＝（ax+a﹣1）ex，g′（0）＝a﹣1，要使0是f（x）的极小值点，则g′（0）＞0，即a﹣1＞0，a＞1，即a的取值范围为（1，+∞）．故选：B．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．30．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx在x＝1处有极值2，则f（x）的极小值点为（）A．（1，0） B．53 C．﹣2 D．【考点】由函数的极值求解函数或参数．【分析】由题意得f(1)=2f′(1)=0，从而可求得a=−4b=5，所以f（x）＝x3﹣4x2+5x，f′（x）＝3x2﹣8x+5，令f′（【解答】解：由已知可得f′（x）＝3x2+2ax+b，因为函数f（x）在x＝1处有极值2，所以f(1)=2f′(1)=0，即1+a+b=23+2a+b=0，解得所以f（x）＝x3﹣4x2+5x，则f′（x）＝3x2﹣8x+5，由f′（x）＝0，得x＝1或x=5因为当x＜1或x＞53时，f′（x）＞0，当1＜x＜53时，所以f（x）的极小值点为53故选：B．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．31．若m∈R，函数f(x)=12x2−x+mlnx有两个极值点x1，x2（x1＜A．227 B．427 C．627【考点】由函数的极值求解函数或参数．【分析】对函数求导结合导函数和韦达定理得出m(x【解答】解：函数f(x)=1对f（x）求导，可得f′(x)=x−1+m因为函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），所以方程x2﹣x+m＝0在（0，+∞）上有两个不同的正实根．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），这里a＝1，b＝﹣1，c＝m，其判别式Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4m＞0，即1﹣4m＞0，解得m＜1由韦达定理得x1+x2=−ba=1且0＜x1＜x2，又x1+x2＝1，则0＜x将x1＝1﹣x2代入x1x2＝m，可得m＝（1﹣x2）x2．则m(x=(1−x=(x设g（x）＝x2﹣x3，x∈(1对g（x）求导，g'（x）＝2x﹣3x2＝x（2﹣3x）．令g'（x）＝0，即x（2﹣3x）＝0，解得x＝0或x=2当x∈(12，23)时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈(23，1)所以g（x）在x=23处取得最大值为故选：B．【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．六．利用导数求解函数的最值（共9小题）32．已知函数f(x)=ex−ax−1，x≥0A．e B．0 C．1 D．﹣1【考点】利用导数求解函数的最值．【分析】利用导数求得x＜0时，函数f（x）的值域为（0，+∞），再分a≤1和a＞1，求出f（x）在[0，+∞）上的最小值．根据函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），即可求得a的值．【解答】解：函数f(x)=e当x＜0时，f（x）＝sinx﹣x，f′（x）＝cosx﹣1≤0，f（x）是单调减函数．∴f（x）＞f（0）＝0，f（x）的值域为（0，+∞）；当x≥0时，f（x）＝ex﹣ax﹣1，f′（x）＝ex﹣a．若a≤1，则f′（x）＝ex﹣a＞0，f（x）是单调增函数，f（x）min＝f（0）＝0，f（x）的值域为[0，+∞），不符合题意，当a＞1时，令f′（x）＝ex﹣a＜0，得0≤x＜lna，令f′（x）＝ex﹣a＞0，得x＞lna，函数f（x）在（0，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，f(x)由题意知f（x）min＝﹣1，即a﹣alna﹣1＝﹣1，解得lna＝1，所以a＝e．故选：A．【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于基础题．33．已知实数x，y满足ln（2x+3y﹣6）+5﹣e（x﹣y﹣2）﹣x﹣4y≥0，则x﹣2y的值为（）A．75 B．85 C．21【考点】利用导数求解函数的最值．【分析】构造函数f（m）＝lm﹣m和h（n）＝en﹣n﹣2，即可求导，得函数的最值，进而根据f（m）≥h（n），得m＝1，n＝0求解．【解答】解：由题意可得ln（2x+3y﹣6）﹣ex﹣y﹣2≥x+4y﹣6，设m＝2x+3y﹣6，n＝x﹣y﹣2，则m﹣n＝x+4y﹣4，故lnm﹣en≥m﹣n﹣2，即lnm﹣m≥en﹣n﹣2，令f（m）＝lm﹣m，则f′(m)=1当0＜m＜1时，f′（m）＞0，m＞1，f'（m）＜0，故f（m）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，所以f（m）＝f（1）＝﹣1，∴f（m）≤﹣1，令h（n）＝en﹣n﹣2，则h'（n）＝en﹣1，故n＞0，h′（n）＞0，当n＜0，h′（n）＜0，故h（n）在（﹣∞，0）单调递减，在（﹣0，+∞）单调递增，故h（n）min＝h（0）＝﹣1，∴h（n）≥﹣1，由题意可知f（m）≥h（n），故m＝1，n＝0，此时2x+3y﹣6＝1且x﹣y﹣2＝0，解得x=135，y=故选：A．【点评】本题考查利用导数求解函数的最值，属于中档题．34．若ex﹣ax≥﹣x+lnax（a＞0，x＞0），则实数a的取值范围为（）A．(0，1e) B．（0，e] C．(1【考点】利用导数求解函数的最值．【分析】由题设可得ex+x≥elnax+lnax，设g（x）＝ex+x，求导分析单调性，而g（x）≥g（lnax），则x≥lnax＝lna+lnx，只需lna≤x﹣lnx恒成立，即可得出答案．【解答】解：因为ex﹣ax≥﹣x+lnax（a＞0，x＞0），所以ex+x≥elnax+lnax，设g（x）＝ex+x，则g′（x）＝ex+1＞0，即g（x）在x＞0上单调递增，而g（x）≥g（lnax），∴x≥lnax＝lna+lnx，要使ex+x≥ax+lnax，只需lna≤x﹣lnx恒成立，令f（x）＝x﹣lnx，则f′(x)=1−1∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）≥f（1）＝1，∴只需lna≤1，即0＜a≤e．故选：B．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．35．若正实数x，y满足yln（3xy）＝e3x，则y的最小值为（）A．1 B．e C．e D．2【考点】利用导数求解函数的最值．【分析】原等式变形为ln（3xy）•eln（3xy）＝3xe3x，构造函数f（t）＝tet，t＞0，分析单调性可得ln（3xy）＝3x，等价变形为y=e3x3x【解答】解：由yln（3xy）＝e3x，得3xyln（3xy）＝3xe3x，故ln（3xy）•eln（3xy）＝3xe3x．由题意得，3x＞0，3xy＞0，eln（3xy）＞0，由ln（3xy）•eln（3xy）＝3xe3x得，ln（3xy）＞0．设f（t）＝tet，t＞0，则f′（t）＝（t+1）et＞0，∴f（t）在（0，+∞）上单调递增，∵f（ln（3xy））＝f（3x），∴ln（3xy）＝3x，∴3xy＝e3x，即y=e3x3x∴y′=(3x−1)当x∈(0，13)时，y′＜0，y=当x∈(13，+∞)时，y′＞0，y=∴当x=13时，y取极小值也是最小值，最小值为故选：C．【点评】本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，属于中档题．36．若函数f（x）＝x（ex﹣1）的图象恒在g（x）＝lnx+a图象的上方，则a的最大整数值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】利用导数求解函数的最值．【分析】根据给定条件，建立不等式并分离参数，构造函数h（x）＝xex﹣x﹣lnx，利用导数求出最小值即可．【解答】解：因为函数f（x）＝x（ex﹣1）的图象恒在g（x）＝lnx+a图象的上方，所以∀x＞0，f（x）＞g（x）⇔a＜xex﹣x﹣lnx恒成立，令h（x）＝xex﹣x﹣lnx，则ℎ′(x)=(x+1)e因为函数φ(x)=eφ(1则存在x0∈(12，1)，使得即ex当0＜x＜x0时，h′（x）＜0；当x＞x0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，x0）上递减，在（x0，+∞）上递增，由ex0=因此ℎ(x)则a＜1，所以a的最大整数值为0．故选：B．【点评】本题考查导数的应用，属于中档题．37．已知实数x，y满足ln（4x+y﹣4）+4﹣e2x﹣3y﹣2﹣2x﹣4y≥0，则2x+3y的值为（）A．207 B．257 C．135【考点】利用导数求解函数的最值．【分析】设m＝4x+y﹣4，n＝2x﹣3y﹣2，题设转化为lnm﹣m≥en﹣n﹣2，进而构造函数f（m）＝lnm﹣m和h（n）＝en﹣n﹣2，即可求导，得函数的最值，进而根据f（m）≥h（n），得m＝1，n＝0，进而求解即可．【解答】解：根据题目：已知实数x，y满足ln（4x+y﹣4）+4﹣e2x﹣3y﹣2﹣2x﹣4y≥0，可得ln（4x+y﹣4）﹣e2x﹣3y﹣2≥2x+4y﹣4，设m＝4x+y﹣4，n＝2x﹣3y﹣2，则m﹣n＝2x+4y﹣2，故lnm﹣en≥m﹣n﹣2，即lnm﹣m≥en﹣n﹣2，令f（m）＝lnm﹣m，则f′(m)=1当0＜m＜1时，f′（m）＞0，f（m）在（0，1）单调递增；当m＞1，f′（m）＜0，f（m）在（1，+∞）单调递减．所以f（m）max＝f（1）＝﹣1，所以f（m）≤﹣1，令h（n）＝en﹣n﹣2，则h′（n）＝en﹣1，当n＞0，h′（n）＞0，h（n）在（0，+∞）单调递增；当n＜0，h′（n）＜0，h（n）在（﹣∞，0）单调递减．故h（n）min＝h（0）＝﹣1，所以h（n）≥﹣1．由题意可知若f（m）≥h（n），则f（m）＝h（n）＝﹣1，故m＝1，n＝0，此时4x+y﹣4＝1且2x﹣3y﹣2＝0，解得x=1714，y=故选：A．【点评】本题考查利用导数求解函数的极值，属于中档题．38．若函数f（x）＝ex﹣x图象在点（x0，f（x0））处的切线方程为y＝kx+b，则k﹣b的最小值为（）A．1+1e B．−1−1e C．【考点】利用导数求解函数的最值；利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【分析】求出导函数，表示出切线方程，再求出k﹣b的表达式，最后借助导数即可作答．【解答】解：由题意可得f′（x）＝ex﹣1，则f′(x函数f（x）＝ex﹣x图象在点（x0，f（x0））处的切线方程为y−(e整理得：y=(ex0−1)x+(1−x令g（x）＝xex﹣1，则g′（x）＝（x+1）ex，当x＜﹣1时，g′（x）＜0，当x＞﹣1时，g′（x）＞0，于是得g（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，则g(x)所以k﹣b的最小值为−1−1故选：B．【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．39．已知函数f(x)=12ax2−lnx−b(a＞0)，若∀x＞0，A．12 B．1e C．2【考点】利用导数求解函数的最值．【分析】由已知不等式构造函数g(x)=12a【解答】解：根据题目，若∀x＞0，f（x）≥0，即b≤1令g(x)=12a令g′（x）＝0，解得x=a当0＜x＜aa时，g′（x）＜0，g（当x＞aa时，g′（x）＞0，g（所以g(x)min=所以ba令ℎ(a)=12a+由h′（a）＝0⇒a＝1，所以当0＜a＜1时，h′（a）＞0，h（a）单调递增；当a＞1时，h′（a）＜0，h（a）单调递减；所以ℎ(a)max=ℎ(1)=12故选：A．【点评】本题考查利用导数求解函数的最值，属于中档题．40．已知alna＝beb，b＞0，则b2A．e2 B．12e C．4e2【考点】利用导数求解函数的最值．【分析】令f（x）＝xex，求导分析，结合题意可得a＝eb，再令g（x）=x2e【解答】解：令f（x）＝xex，则f′（x）＝（x+1）ex，∴当x＞﹣1时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增．∵alna＝lnaelna＝beb，∴f（lna）＝f（b），又b＞0，故lna＞0，∴lna＝b，故a＝eb，∴b2a=令g（x）=x2e则g′（x）=2当x∈（0，2）时，g′（x）＞0，当x∈（2，+∞）时，g′（x）＜0，∴当x＝2时，g（x）取得极大值，也是最大值g（2）=4e2.∴b故选：C．【点评】本题考查利用导数求解函数的单调性与极值、最值，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．七．由函数的最值求解函数或参数（导数法）（共5小题）41．若函数f(x)=13x3−x2A．（﹣3，2） B．[﹣3，2） C．[﹣1，2） D．（﹣1，2）【考点】由函数的最值求解函数或参数（导数法）．【分析】求导可知一定是在x＝2处取得最小值，由此可建立关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：令f′（x）＝x2﹣2x＝0，解得x＝0或x＝2，在开区间（a，a+5）内的最小值一定是f(2)=−4又f(−1)=f(2)=−43，故−1≤a＜2a+5＞2故选：C．【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查逻辑推理能力，属于基础题．42．已知函数f(x)=x+4x+3lnx在（a，2﹣3aA．0＜a＜13 B．0≤a＜13 C．【考点】由函数的最值求解函数或参数（导数法）．【分析】利用函数的定义域，结合区间的含义，求解a的范围；利用函数的导数求解函数的最小值点，然后求解a的范围．【解答】解：∵函数f(x)=x+4x+3lnx在（a，2﹣3a）内有最小值，所以a≥0，并且a＜2﹣3a，可得0≤∴f′（x）=(x−1)(x+4)由f′（x）＝0，得x＝1或x＝﹣4（舍去），x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（0，1）时，f′（x）＜0；∴f（x）的增区间是（1，+∞），减区间是（0，1），∴f（x）的极小值点也是最小值点为x＝1．∴a＜1＜2﹣3a，解得x＝1，x＝﹣2，∴a＜1即实数a的取值范围是0≤a＜1故选：B．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属中档题．43．已知定义在R上的函数f(x)=xe−x2+ax（a∈R），设f（x）的最大值和最小值分别为mA．(−∞，−12e] B．[−12e，0)【考点】由函数的最值求解函数或参数（导数法）．【分析】求出函数f（x）的导数，利用导数求出m，n，结合韦达定理用a的函数表示mn，再求出指数函数的值域得解．【解答】解：由f(x)=xe−x2+ax，得f'（x）=e−x2+ax+x（﹣2x+令g（x）＝﹣2x2+ax+1，显然函数g（x）的图象开口向下，且g（0）＝1＞0，则函数g（x）必有两个异号零点x1，x2，不妨设x1＜0＜x2，有x1+x而e−x2+ax＞0恒成立，则当x＜x1或x＞x2时，f′（x）＜0，当x1＜x＜x2因此函数f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增，又当x＜0时，f（x）＜0恒成立，当x＞0时，f（x）＞0恒成立，且f（0）＝0，于是f（x）的最大值m＝f（x2）=x2e−x22+ax2，最小值n则mn=x由a∈R，得a24−1∈[−1，+∞)，所以mn的取值范围是(−∞，−1故选：A．【点评】本题考查导数的综合应用，属于难题．44．已知函数f（x）＝|x|﹣aln（x+1）的最小值为0，则实数a的取值范围为[0，1]．【考点】由函数的最值求解函数或参数（导数法）；求对数函数及对数型复合函数的单调性；利用导数求解函数的单调性和单调区间．【分析】带有绝对值型函数，先从定义域进行分类，分为﹣1＜x＜0和x≥0两种情况，当﹣1＜x＜0时，又分为a≥0和a＜0两种情况，再结合复合函数的单调性讨论即可；当x≥0时，构造函数g（x），利用导数分析单调性，然后再分a≤1和a＞1两种情况讨论即可．【解答】解：函数f（x）＝|x|﹣aln（x+1）定义域为（﹣1，+∞），显然f（x）min＝0＝f（0）．①当x≥0时，f（x）＝x﹣aln（x+1）．令g（x）＝x﹣ln（x+1），g′(x)=1−11+x≥0，得x≥0，即g∀x∈[0，+∞），g（x）≥g（0）＝0，即有x≥ln（x+1）≥0．当a≤1时，x≥ln（x+1）≥aln（x+1），即f（x）＝x﹣aln（x+1）≥0，当且仅当x＝0时取等号；当a＞1时，f′(x)=1−a1+x．显然当0＜x＜a﹣1时，f′（x）＜0，函数f（x）在[0，f（a﹣1）＜f（0）＝0，不符合题意．②当﹣1＜x＜0时，f（x）＝﹣x﹣aln（x+1），当a≥0时，函数f（x）在（﹣1，0）上单调递减，f（x）＞f（0）＝0；当a＜0时，函数y＝﹣x在（﹣1，0）上单调递减，其取值集合为（0，1）．函数y＝﹣aln（x+1）在（﹣1，0）上单调递增，其取值集合为（﹣∞，0）．因此存在x0∈（﹣1，0），使得﹣aln（x0+1）＜﹣1．于是f（x0）＝﹣x0﹣aln（x0+1）＜0，不符合题意；综上，0≤a≤1，所以实数a的取值范围为[0，1]．故答案为：[0，1]．【点评】本题考查函数综合应用，属于中档题．45．已知函数f（x）＝（2﹣a）xlnx﹣2ax2﹣（a2﹣4a）x，若存在x∈（0，+∞），使得f（x）≥1，则实数a的取值范围是（﹣∞，2]．【考点】由函数的最值求解函数或参数（导数法）．【分析】由题意，分别讨论当a≤0，0＜a≤2和a＞2这三种情况进行讨论，进而可解．【解答】解：设h（t）＝（t﹣2）lnt﹣t2+3t，函数定义域为（0，+∞），可得ℎ′(t)=lnt+1−2t−2t+3当0＜t＜1+174时，h″（t）＞0，h当t＞1+174时，h″（t）＜0，h又ℎ′(1)=ln1+1−21−2+3=0，h′（1+174所以存在u∈(1+174，2)，使得当t∈（0，1）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减；当t∈（1，u）时，h′（t）＞0，h（t）单调递增；当t∈（u，+∞）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减，所以当0＜t≤u时，h（t）≥h（1）＝2，当u＜t≤2时，h（t）≥h（2）＝2，当t＞2时，h（t）＜h（2）＝2，则对任意0＜t≤2，都有h（t）≥2，所以对任意t＞2，都有h（t）＜2，下面对a进行分类讨论：若a≤0，当x＞|a2−4a|−2a+e时，所以−2ax又xlnx≥1，所以f（x）＝（2﹣a）xlnx﹣2ax2﹣（a2﹣4a）x≥（2﹣a）xlnx≥2xlnx≥2＞1，符合条件；若0＜a≤2，此时f(1若a＞2，设g(x)=(2−a)lnx−2ax−(a可得g′(x)=2−a当0＜x＜1a时，g′（x）＞0，g（当x＞1a时，g′（x）＜0，g（所以g(x)≤g(1则对任意x＞0，都有f(x)=(2−a)xlnx−2ax综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，2]．故答案为：（﹣∞，2]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题．课后针对训练课后针对训练一、单选题1．如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的是（

）A．在区间上是增函数B．在区间上是减函数，在区间上是增函数C．是的极大值点D．是的极小值点2．若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．3．设函数，若恒成立，则的最小值是（

）A． B． C．1 D．4．当时，取得最大值，则（

）A． B． C． D．5．已知函数在处取得极小值，是的导函数，则（

）A． B． C． D．6．若函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．二、填空题8．若函数在处取得极值4，则．9．函数的最小值为．10．已知函数，其中，若函数在区间内恰有一个极大值和一个极小值，则实数的取值范围是．11．函数的极小值为．12．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是．13．若函数在单调递减，则a的取值范围是．14．已知和分别是函数的极大值点和极小值点，且，则a的取值范围是．三、解答题15．已知函数的最小值和的最大值相同，求a．16．已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若是的极小值点，求实数m的取值范围．17．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围．18．已知函数在处的切线方程为，讨论的单调性．19．已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)讨论的单调性．20．求函数在区间的最大值.参考答案题号1234567答案AAADCAB1．A【分析】根据导函数图象得出各区间导函数的符号，进而得出函数的单调性，再结合函数的极值的定义即可求解.【详解】根据图象知，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，故A错误，故B正确；当时，取得极大值，是的极大值点，故C正确；当时，取得极小值，是的极小值点，故D正确.故选：A.2．A【分析】分离参数，可转化为直线与曲线交点个数，数形结合可得参数范围.【详解】由已知有两个解，即有两个解，设，则直线与函数有两个公共点，又，可知当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，且当时，，，作出函数图象如图所示，所以当直线与函数有两个公共点，则，故选：A.3．A【分析】根据题意分析得出，构造新函数利用函数导数求解即可.【详解】因为函数的定义域为，当时，，由恒成立，则有恒成立，因为的值域为，所以不一定恒成立，故不成立，当时，由，，由，，所以要使得恒成立，则即，所以，设，则，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递减，所以有最小值，所以的最小值是，故选：A.4．D【分析】根据题意利用导数先求，再验证在处取得最大值，进而求解.【详解】由题得，故，，则，故，即，因此，且，当时，单调递增；当时，单调递减，故在处取得极大值，也是最大值，满足题设，所以．故选：D.5．C【分析】根据给定条件，利用导数确定的范围，再逐项分析判断.【详解】对于A，函数，求导得，函数在R上单调递增，由，，得，，，A错误；对于B，由，得，则，B错误；对于C，，，C正确：对于D，由，得，则，D错误.故选：C6．A【分析】先由题意得在上有解，进而得到在上有解，再利用导数工具求出函数的最小值即可得解.【详解】由题得在上有解，即在上有解，因为，所以当时，时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以实数的取值范围是.故选：A7．B【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性即可求解不等式.【详解】即，即令，则，依题意，，即，因此，，可得在上单调递减，又因为，所以等价于，由单调性可得，即.故答案为：B.8．【分析】利用导数和极值点的关系列出方程组即可求解.【详解】因为在处取得极值4，所以且.又，所以①，又②，联立①②，解得，经验证符合题意，所以.故答案为：.9．【分析】对利用导数判断函数单调性进而求得函数的最小值，构造函数，结合导数判断函数单调性，比较大小求得最小值.【详解】定义域为，当时，，，则在上单调递减，此时；当时，，，则在上单调递减，在上单调递增，此时．由于与的大小难以直接比较，但可转化为与的大小关系，从而构造函数利用单调性解决．设，，则，则在上单调递增，在上单调递减，故，即，即，综上的最小值为．故答案为：.1