第15讲　圆锥曲线的方程与性质（3大考点+强化训练）原卷版

第15讲圆锥曲线的方程与性质（3大考点+强化训练）[考情分析]高考对这部分知识的考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率以及渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题．知识导图考点分类讲解考点一:圆锥曲线的定义与标准方程1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)．(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；“计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．易错提醒求圆锥曲线的标准方程时的常见错误双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；确定圆锥曲线的方程时还要注意焦点位置．【例1】（2024·新疆·二模）设分别是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为(

)A． B． C． D．6【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左右焦点，且，为的内心，若，则的值为（

）A． B． C． D．【变式2】（23-24高三下·山东济宁·开学考试）已知椭圆的左右顶点分别为为椭圆上异于的任意一点，且，则椭圆的方程为（

）A． B．C． D．【变式3】（23-24高三上·天津和平·期末）已知双曲线的右焦点为点，过点作双曲线的其中一条渐近线的垂线，垂足为点（点在第一象限），直线与双曲线交于点，若点为线段的中点，且，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．考点二：椭圆、双曲线的几何性质1．求离心率通常有两种方法(1)求出a，c，代入公式e＝eq\f(c,a).(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．2．与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay＝0的双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．考向1椭圆、双曲线的几何性质【例2】（2024·山东聊城·一模）设，是双曲线的左、右焦点，是上的一点，若的一条渐近线的倾斜角为，且，则的焦距等于（

）A．1 B． C．2 D．4【变式1】（2024·湖北·二模）已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线的倾斜角分别为，则；当取最小值时，的面积为．【变式2】（23-24高三上·重庆·期末）已知，分别是双曲线C：（）的左、右焦点，过作一直线交C于M，N两点，若，且的周长为1．则C的焦距为．【变式3】2024高三上·全国·竞赛）设为坐标原点，椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上一点，直线的斜率为，的斜率为2，则的斜率为．考向2离心率问题【例3】（2024·全国·模拟预测）设椭圆的左，右焦点分别为，直线过点，若点关于的对称点恰好在椭圆上，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．【变式1】（2024·湖北·二模）已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2】（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）在平面直角坐标系中，设直线与双曲线的两条渐近线都相交且交点都在轴左侧，则双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式3】（2024·陕西西安·二模）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，三点共线，若直线的斜率为，直线的斜率为，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．3考点三：抛物线的几何性质及应用抛物线的焦点弦的几个常见结论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2.(2)|AB|＝x1＋x2＋p.(3)当AB⊥x轴时，弦AB的长最短为2p.规律方法利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算．【例4】（22-23高三下·河南安阳·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点A，B在抛物线上．若，则当取得最大值时，．【变式1】（2024·新疆乌鲁木齐·二模）抛物线过点，则焦点坐标为（

）A． B． C． D．【变式2】（23-24高三下·北京·阶段练习）设抛物线C的焦点为F，点E是C的准线与C的对称轴的交点，点P在C上，若，则（

）A． B． C． D．【变式3】（2023·河北沧州·模拟预测）焦点为的抛物线上有一点，为坐标原点，则满足的点的坐标为（

）A． B． C． D．强化训练一、单选题1．（2024·广东·一模）双曲线的顶点到其渐近线的距离为（

）A． B．1 C． D．2．（23-24高三上·北京西城·期末）已知双曲线C的一个焦点是，渐近线为，则C的方程是（

）A． B．C． D．3．（23-24高三下·贵州·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，点在直线上运动，则的最小值为（

）A．7 B．9 C．13 D．154．（2023·四川南充·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的焦距等于，则实数的值为（

）A．或 B．或 C． D．5．（2023·甘肃酒泉·三模）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．6．（23-24高三下·四川·期末）双曲线的左，右焦点分别是，，已知到双曲线H的一条渐近线的距离为，则为（

）A．4 B． C．6 D．87．（2024高三·全国·专题练习）过坐标原点的直线与椭圆交于两点，设椭圆的右焦点为，已知，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．8．（2024·辽宁·一模）已知为椭圆的右焦点，过原点的直线与相交于两点，且轴，若，则的长轴长为（

）A． B． C． D．二、多选题1．（2024·辽宁·一模）在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，点在抛物线的准线上，则以下命题正确的是（

）A．的最小值是2B．C．当点的纵坐标为4时，存在点，使得D．若是等边三角形，则点的横坐标是32．（2024·安徽阜阳·一模）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为两点都在上，，三点共线，（不与重合）为上顶点，则（

）A．的最小值为4 B．为定值C．存在点，使得 D．3．（2024·福建漳州·模拟预测）点在抛物线上，为其焦点，是圆上一点，，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为.B．周长的最小值为.C．当最大时，直线的方程为.D．过作圆的切线，切点分别为，则当四边形的面积最小时，的横坐标是1.三、填空题1．（2024·陕西榆林·二模）已知抛物线经过点，写出的一个标准方程：.2．（23-24高三下·上海·阶段练习）若直线经过双曲线的一个焦点，且与该双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为.3．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽，杯深，称为抛物线酒杯.在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的最大值为.四、解答题1．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知抛物线上一点的纵坐标为，点到焦点的距离为.过点做两条互相垂直的弦、，设弦、的中点分别为.(1)求抛物线的方程；(2)过焦点作，且垂足为，求的最大值.2．（2024高三下·全国·专题练习）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．(1)求双曲线C的方程；(2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由．(3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．3．（2024·北京平谷·模拟预测）已知椭圆E：过点，离心率为．(1)求椭圆E的方程；(2)过椭圆E的右焦点F作斜率为的直线l交椭圆E于点A，B，直线l交直线于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，直线AQ交x轴于C，直线BQ交x轴于D，求证：点F为线段CD的中点．4．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的长轴长为4，离心率