第15题题焦点三角形与双曲线离心率（高三备考）教师版

第15题焦点三角形与双曲线离心率（一题多变）【2024届常德市高三模拟考试】已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点，直线与双曲线的另一交点为，若为等腰三角形，且的面积是的面积的2倍，则双曲线的离心率为______．【思路分析】根据题意可得，设，则，由是等腰三角形知，，或，根据双曲线的定义结合三角形的余弦定理建立关系式，即可求得双曲线的离心率.【详解】由题，，设，则.因为是等腰三角形，显然，可得，或，①若，则，此时，故，所以，，，，因为，所以分别在和中，由余弦定理：，，因为，所以，所以．②若，则，此时，则，，因为，所以分别在和中，由余弦定理：，，因为，所以，所以.故答案为：或.【题后反思】本题是一道以双曲线为载体，焦点三角形的面积关系及三角形的形状为条件背景，求双曲线的离心率问题.首先是要能根据为等腰三角形，判断出中相等的边；其次是要能合理利用，由余弦定理建立齐次关系式求解即可.变条件背景，求离心率【变化角度】仍以双曲线为载体，改变题中的条件背景，仍求双曲线的离心率，如下：例：（多选）已知双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过点作圆的切线，与双曲线的左、右两支分别交于两点，且，则的离心率为（

）A．

B．

C．

D．【思路分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.【详解】（1）若M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，所以，因为，所以在双曲线的左支，，，，设，由即，则，，，，故选A；（2）若M、N在双曲线的两支，如图；因为，所以在双曲线的右支，所以，，，设，由，即，则，，，所以，即，所以双曲线的离心率，故选C综上：故选A、C.【举一反三】1．已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，过原点的直线与相交于两点，，四边形的面积等于，则的离心率等于（

）A． B． C．2 D．【答案】A2．已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线与交于，两点，且，四边形的周长与面积满足，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A变求离心率为求标准方程【变换角度】改变原题中问题，变求离心率为求双曲线的标准方程，如下：例：如图，设，是双曲线的左、右焦点，过点作渐近线的平行线交另外一条渐近线于点，若的面积为，离心率满足，则双曲线的方程为（）A．

B．

C．

D．【思路分析】根据几何关系列出关于渐近线倾斜角与面积的等量关系式，求出渐近线的倾斜角，从而根据渐近线方程计算的值，确定双曲线的方程【详解】设双曲线的渐近线的倾斜角为，则，在等腰三角形中，根据正弦定理可得：，得，所以，解得或，又，，所以，从而，所以双曲的方程为，故选：B．【举一反三】3．已知是双曲线的左，右焦点，点在上，是线段上点，若，则当面积最大时，双曲线的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C4．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，过作与一条渐近线平行的直线，交另一条渐近线于点，交抛物线的准线于点，若三角形（为原点）的面积，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．【答案】D变载体为椭圆，求离心率【变换角度】将原题中的双曲线变为椭圆，仍求离心率，如下：例：已知椭圆的左、右焦点分别是，斜率为的直线经过左焦点且交于两点（点在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率______．【思路分析】由题意得，联立直线与椭圆方程得，，再利用，再代入值计算即可得答案.【详解】如图所示，由椭圆定义可得，，设的面积为，的面积为，因为，所以，即，设直线，则联立椭圆方程与直线，可得，由韦达定理得：，，又，即，化简可得，即，即时，有.故答案为：【举一反三】5．已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上，为的内心，记，的面积分别为，且满足，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】B6．已知椭圆的左、右焦点分别是，斜率为的直线l经过点且交于两点（点在第一象限），若的面积是的面积的3倍，则的离心率为．【答案】7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点.若线段与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，且的面积是的2倍，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B8．已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率为且过的直线交双曲线的渐近线于两点，若，（表示的面积），则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．或【答案】C9．过双曲线的右顶点A作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点P，的面积为（O为坐标原点），离心率为2，则双曲线C的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A10．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和．且，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D11．已知椭圆）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，P为椭圆上一点，直线与直线交于点M，的角平分线与直线交于点N．若，的面积是面积的倍，则椭圆C的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】D12．已知椭圆的左、右焦点分别为.点在上且横纵坐标均为非负数，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为9，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A13．已知是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线交