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一阶线性微分方程第四节一、一阶线性微分方程*二、伯努利方程

第七章一.一阶线性微分方程的定义在微分方程中,若未知函数和未知函数的导数都是一次(幂)的,则称其为一阶线性微分方程.一.一阶线性微分方程的定义在微分方程中,若未知函数和未知函数的导数都是一次(幂)的,则称其为一阶线性微分方程.一阶线性微分方程的标准形式:方程称为齐次的.方程称为非齐次的.这里“齐次”是指方程中每一项关于未知函数y及其导数y'的次数都是相等的（都是一次），方程中没有自由项（不包含y及其导数的项），二、一阶线性微分方程的解法1.一阶线性齐次方程使用分离变量法：通解公式：两端积分分离变量得出通解0x0x解:两端积分分离变量得出通解解微分方程

解:根据通解公式得出通解解微分方程

解例则通解非齐次方程的通解：齐次方程的通解：2.

常数变易法:把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.下面用常数变易法求非齐次线性方程的通解:将齐次方程的通解中的任意常数C换成未知函数的解,代入原方程,确定u(x)便得到原方程的解.为非齐次线性方程的解，常数变易法的实质是:

未知函数的变量代换.对应齐次方程通解非齐次方程特解在通解中令C=0,便得到原方程的一个特解为:结论:

一阶非齐次线性方程的解等于它所对应的齐次方程的通解与它本身的一个特解之和.这是一个很重要的结论,以后可以看到,凡是线性非齐次方程都具有这个特性.例1.解方程解:先解即积分得即用常数变易法求特解.则代入非齐次方程得解得故原方程通解为令方法二：代入公式，直接得到通解。原方程通解为

1P(x)=

一阶线性微分方程的标准形式:

常数变易法P(y)=

CP(x)=-1

变量代换常数变易法变量代换变量代换变量还原变量代换……变量还原7变量代换

变量还原……四、小结1.一阶线性齐次微分方程2.一阶线性非齐次微分方程（1）一般式（2）通解公式（1）一般式（2）通解公式求解方法:求解方法：分离变量法先解齐次方程,再用常数变易法.作业：7-3，

2：（1）7-4，1：（7）（8）7：（1

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