7-8 常系数非齐次线性微分方程

常系数非齐次线性微分方程第八节

第七章二阶常系数非齐次线性微分方程复习:特征方程:二阶常系数齐次线性微分方程通解求法:二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解一.二.非齐次线性方程的通解结构二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解对应齐次方程三.求二阶常系数非齐次线性微分方程通解的步骤(1)、求对应的齐次方程的通解(2)、求非齐次方程的特解(3)、写出非齐次方程的通解二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解通解求法四.求非齐次方程特解的方法—待定系数法根据

f(x)的特殊形式,给出特解y*的待定形式,代入原方程，比较两端表达式，确定待定系数.

为实数,为m

次多项式.五.一次多项式：二次多项式：三次多项式：

零次多项式：……

为实数,为m

次多项式.

五.

()()代入原方程,得

m次的多项式(1)若不是特征方程的根,则取从而得到特解，形式为R

(x)为

m次待定系数多项式—可以求得比较两端x同次幂的系数

(2)若是特征方程的单根

从而得到特解，形式为可以求得比较两端x同次幂的系数

(3)若是特征方程的重根,从而得到特解，形式为可以求得比较两端x同次幂的系数

代入方程即可确定系数：从而确定特解.特解的形式为求特解的过程λ是0重特征根λ是1重特征根λ是2重特征根

解:

本题λ而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为解:对应的齐次方程的特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为本题λ=2,求通解1.（观察法）六.（一）变形f（x）（二）分解原方程，求新方程的特解（三）由叠加原理得解欧拉公式k=01例3.

的一个特解

.解:本题

特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解,,代入原方程原方程的一个特解为求通解可设通解为1.

设特解为P361.4求通解代入，比较系数，得代入，比较系数，得课后练习习题7-81.(1)(2)(3)(4)(6)(7)2.(2)(3)(4)(5)作业：习题7-81.（6）（7）；2.（2）总习题七：1,2,3,4:(1)(2)(3)(5)5:(2),6一、一阶微分方程求解二、可降阶微分方程的解法三.二阶常系数线性微分方程复习-微分方程微分方程预备知识—相关概念○微分方程定义：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.○微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.○微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数.○微分方程的通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同.○微分方程的特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.微分方程预备知识—相关概念○线性微分方程的特征未知函数及它的各阶导数为一次(幂)，各项系数为自变量的已知函数☆二阶齐次线性方程解的叠加原理☆二阶齐次线性方程通解的生成方法☆非齐次线性方程的通解结构一、一阶微分方程求解1.一阶标准类型方程求解关键:辨别方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解三个标准类型可分离变量方程齐次方程线性方程可分离变量方程齐次方程形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:一阶线性方程方法1先解齐次方程,再用常数变易法.方法2用通解公式二、可降阶微分方程的解法——降阶法逐次积分令令求解二阶常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化三.二阶常系数线性微分方程小结:特征方程:实根特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法k(=0,1,2)是

做为特征根的重数,设特解为6.已知某曲线经过点(1,1),轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.提示:设曲线上的动点为M(x,y),令X=0,得截距由题意知微分方程为即定解条件为此点处切线方程为它的切线在纵总复习题七1.2.3.6.A1110补例1.设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件:(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(2003考研)(2)求出F(x)的表达式.